高中數(shù)學(xué) 第一章 統(tǒng)計(jì) 7 相關(guān)性學(xué)案 北師大版必修31

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7　相關(guān)性 1．通過收集現(xiàn)實(shí)問題中兩個(gè)變量的數(shù)據(jù)作出散點(diǎn)圖，利用散點(diǎn)圖直觀認(rèn)識(shí)變量間的相關(guān)關(guān)系． 2．經(jīng)歷用不同的估算方法來描述兩個(gè)變量相關(guān)的過程． 1．散點(diǎn)圖 在考慮兩個(gè)量的關(guān)系時(shí)，為了對(duì)變量之間的關(guān)系有一個(gè)大致的了解，人們通常將變量所________描出來，這些點(diǎn)就組成了變量之間的一個(gè)圖，通常稱這種圖為變量之間的散點(diǎn)圖． 在尋找變量之間的相關(guān)關(guān)系的過程中，統(tǒng)計(jì)發(fā)揮著非常重要的作用．這就需要通過收集大量的數(shù)據(jù)，在對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析的基礎(chǔ)上，發(fā)現(xiàn)其中的規(guī)律，才能對(duì)它們之間的關(guān)系作出正確的判斷． 2．變量之間的相關(guān)關(guān)系 從散點(diǎn)圖上看，如果兩個(gè)變量之間存在著某種關(guān)系，這些點(diǎn)會(huì)有一個(gè)集中的大趨勢(shì)，這種趨勢(shì)通?？梢杂靡粭l光滑的________來近似，這樣近似的過程稱為曲線擬合．若兩個(gè)變量x和y的散點(diǎn)圖中，所有點(diǎn)看上去都在__________附近波動(dòng)，則稱這兩個(gè)變量是線性相關(guān)的，而若所有點(diǎn)看上去都在某條________(不是一條直線)附近波動(dòng)，則稱此相關(guān)為非線性相關(guān)．如果所有點(diǎn)在散點(diǎn)圖中沒有顯示________，則稱變量間是不相關(guān)的． 兩變量間的關(guān)系分為三類：一類是確定性的函數(shù)關(guān)系，如正方形的邊長(zhǎng)與面積的關(guān)系；另一類是變量間確實(shí)存在關(guān)系，但又不具備函數(shù)關(guān)系所要求的確定性，它們的關(guān)系是帶有隨機(jī)性的，這種關(guān)系就是相關(guān)關(guān)系，例如，某位同學(xué)的“物理成績(jī)”與“數(shù)學(xué)成績(jī)”之間的關(guān)系，我們稱它們?yōu)橄嚓P(guān)關(guān)系；再一類是不相關(guān)，即兩變量間沒有任何關(guān)系． 【做一做1】下列兩個(gè)變量之間的關(guān)系是相關(guān)關(guān)系的是(　　)． A．正方體的棱長(zhǎng)與體積 B．單位圓中圓心角的度數(shù)與所對(duì)弧長(zhǎng) C．單位面積的產(chǎn)量為常數(shù)時(shí)，土地面積與總產(chǎn)量 D．日照時(shí)間與水稻的畝產(chǎn)量 【做一做2】下列說法正確的是(　　)． A．相關(guān)關(guān)系是函數(shù)關(guān)系 B．函數(shù)關(guān)系是相關(guān)關(guān)系 C．線性相關(guān)關(guān)系是一次函數(shù)關(guān)系 D．相關(guān)關(guān)系有兩種，分別是線性相關(guān)關(guān)系和非線性相關(guān)關(guān)系 1．函數(shù)關(guān)系與相關(guān)關(guān)系有什么區(qū)別？ 剖析：函數(shù)關(guān)系是一種因果關(guān)系，而相關(guān)關(guān)系不是因果關(guān)系，是伴隨關(guān)系．例如有人發(fā)現(xiàn)，對(duì)于在校兒童，身高與閱讀技能有很強(qiáng)的相關(guān)關(guān)系．然而學(xué)會(huì)新詞并不能使兒童馬上長(zhǎng)高，而是涉及第三個(gè)因素——年齡，當(dāng)兒童長(zhǎng)大一些，他們的閱讀能力會(huì)提高，而且由于長(zhǎng)大身高也會(huì)高些． 在現(xiàn)實(shí)生活中，相關(guān)關(guān)系大量存在．在某種意義上說，函數(shù)關(guān)系是一種理想的關(guān)系模型，而相關(guān)關(guān)系是一種更為一般的情況．因此研究相關(guān)關(guān)系，不僅可使我們處理更為廣泛的數(shù)學(xué)應(yīng)用問題，還可以使我們對(duì)函數(shù)關(guān)系的認(rèn)識(shí)上升到一個(gè)新的高度． 2．散點(diǎn)圖有什么作用？ 剖析：散點(diǎn)圖是表示兩個(gè)變量之間關(guān)系的圖，又稱相關(guān)圖，它是用平面直角坐標(biāo)系上點(diǎn)的散點(diǎn)圖形來表示兩種事物之間的相關(guān)性及聯(lián)系的模式，用于分析兩測(cè)定值之間的相關(guān)關(guān)系．散點(diǎn)圖具有直觀、簡(jiǎn)便的優(yōu)點(diǎn)，通過散點(diǎn)圖不但可以從點(diǎn)的位置判斷測(cè)量值的高低、大小、變動(dòng)趨勢(shì)或變化范圍，還可以通過觀察剔除異常數(shù)據(jù)，從而提高用計(jì)算法估算相關(guān)程度的準(zhǔn)確性，所以散點(diǎn)圖對(duì)于探究?jī)煞N事物、兩種現(xiàn)象之間的關(guān)系起著重要的作用． 題型一 判斷相關(guān)關(guān)系 【例題1】有下列關(guān)系： ①煉鋼時(shí)鋼水的含碳量與冶煉時(shí)間的關(guān)系； ②曲線上的點(diǎn)與該點(diǎn)的坐標(biāo)之間的關(guān)系； ③柑橘的產(chǎn)量與氣溫之間的關(guān)系； ④森林中的同一種樹木，其橫斷面直徑與高度之間的關(guān)系． 其中具有相關(guān)關(guān)系的是____________． 反思：相關(guān)關(guān)系與函數(shù)關(guān)系的區(qū)別在于是否具有確定性．在區(qū)分二者時(shí)，如果一個(gè)變量每取一個(gè)值，另一個(gè)變量總有唯一確定的值與之對(duì)應(yīng)，那么這兩個(gè)變量就是函數(shù)關(guān)系，不是相關(guān)關(guān)系；如果一個(gè)變量每取一個(gè)值，另一個(gè)變量的取值帶有一定的隨機(jī)性，并且從總體上來看有關(guān)系，但不是確定性關(guān)系，那么這兩個(gè)變量之間就是相關(guān)關(guān)系，不是函數(shù)關(guān)系．確定相關(guān)關(guān)系時(shí)有時(shí)要依靠生活經(jīng)驗(yàn)大致確定． 題型二 散點(diǎn)圖的畫法及應(yīng)用 【例題2】李老師為了了解學(xué)生的計(jì)算能力，對(duì)某同學(xué)進(jìn)行了10次測(cè)驗(yàn)，收集數(shù)據(jù)如下： 題數(shù)x/道 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 做題時(shí)間y/分鐘 9 19 26 37 48 52 61 73 81 89 畫出散點(diǎn)圖，并判斷它們是否有線性相關(guān)關(guān)系． 分析：畫散點(diǎn)圖，利用散點(diǎn)圖進(jìn)行判斷． 反思：兩個(gè)隨機(jī)變量x和y相關(guān)關(guān)系的確定方法： (1)散點(diǎn)圖法：通過散點(diǎn)圖，觀察它們的分布是否存在一定規(guī)律，直觀地判斷； (2)表格、關(guān)系式法：結(jié)合表格或關(guān)系式進(jìn)行判斷； (3)經(jīng)驗(yàn)法：借助積累的經(jīng)驗(yàn)進(jìn)行分析判斷． 1對(duì)于給定的兩個(gè)變量的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)，下列說法正確的是(　　)． A．都可以分析出兩個(gè)變量的關(guān)系 B．都可以用一條直線近似地表示兩者的關(guān)系 C．都可以作出散點(diǎn)圖 D．都可以用確定的表達(dá)式表示兩者的關(guān)系 2下列兩個(gè)變量間的關(guān)系，是相關(guān)關(guān)系的是(　　)． A．任意實(shí)數(shù)和它的平方 B．圓的半徑和圓的面積 C．正多邊形的邊數(shù)和內(nèi)角度數(shù)之和 D．天空中的云量和下雨 3下列分別是3對(duì)變量的散點(diǎn)圖，則具有相關(guān)關(guān)系的是(　　)． A．①②③ B．①③ C．②③ D．② 4下列關(guān)系中，屬于相關(guān)關(guān)系的是________． ①正方形的邊長(zhǎng)與面積之間的關(guān)系； ②農(nóng)作物的產(chǎn)量與施肥量之間的關(guān)系； ③人的身高與年齡之間的關(guān)系； ④降雪量與交通事故的發(fā)生率之間的關(guān)系． 5下圖是兩個(gè)變量統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖，判斷兩個(gè)變量之間是否具有相關(guān)關(guān)系． 答案： 基礎(chǔ)知識(shí)梳理 1．對(duì)應(yīng)的點(diǎn) 2．曲線　一條直線　曲線　任何關(guān)系 【做一做1】D　選項(xiàng)A，B，C為函數(shù)關(guān)系，日照時(shí)間與水稻的畝產(chǎn)量有一定的關(guān)系，日照時(shí)間長(zhǎng)，水稻的畝產(chǎn)量就高，但這種情況也不是絕對(duì)的，二者是相關(guān)關(guān)系． 【做一做2】D　函數(shù)關(guān)系和相關(guān)關(guān)系互不包含，所以A，B，C三項(xiàng)不正確；根據(jù)定義，相關(guān)關(guān)系有兩種，分別是線性相關(guān)關(guān)系和非線性相關(guān)關(guān)系，故選D項(xiàng)． 典型例題領(lǐng)悟 【例題1】①③④　①煉鋼的過程就是一個(gè)降低含碳量進(jìn)行氧化還原的過程，除了與冶煉時(shí)間有關(guān)外，還受冶煉溫度等其他因素的影響，具有相關(guān)關(guān)系． ②曲線上的點(diǎn)與該點(diǎn)的坐標(biāo)之間的關(guān)系是一一對(duì)應(yīng)的，即是一種確定性關(guān)系，不具有相關(guān)關(guān)系． ③柑橘的產(chǎn)量除了受氣溫影響以外，還受施肥量以及水分等因素的影響，具有相關(guān)關(guān)系． ④森林中的同一種樹木，其橫斷面直徑隨高度的增加而增加，但是還受光照等因素的影響，具有相關(guān)關(guān)系． 【例題2】解：散點(diǎn)圖如圖，由散點(diǎn)圖可以看出，兩者之間具有線性相關(guān)關(guān)系． 隨堂練習(xí)鞏固 1．C 2．D　很明顯A，B，C三項(xiàng)都是函數(shù)關(guān)系；根據(jù)生活經(jīng)驗(yàn)，天空中的云量和下雨之間不是確定性關(guān)系，雖然有云彩不一定下雨，但是如果沒有云彩一定不下雨，這說明它們之間是相關(guān)關(guān)系，故選D. 3．B 4．②④　在①中，正方形的邊長(zhǎng)與面積之間的關(guān)系是函數(shù)關(guān)系；在②中，農(nóng)作物的產(chǎn)量與施肥量之間不具有嚴(yán)格的函數(shù)關(guān)系，但具有相關(guān)關(guān)系；在③中，人的身高與年齡之間的關(guān)系既不是函數(shù)關(guān)系，也不是相關(guān)關(guān)系，因?yàn)槿说哪挲g達(dá)到一定時(shí)期身高就不發(fā)生明顯變化了，因而它們不具有相關(guān)關(guān)系；在④中，降雪量與交通事故的發(fā)生率之間具有相關(guān)關(guān)系． 5．解：觀察圖像易知散點(diǎn)圖散亂地分布在坐標(biāo)平面內(nèi)，不能擬合成某條曲線或直線，所以這兩個(gè)變量不具有相關(guān)關(guān)系．