高考數(shù)學(xué)大二輪總復(fù)習(xí)與增分策略 專題四 數(shù)列、推理與證明 第3講 數(shù)列的綜合問題練習(xí) 理

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第3講　數(shù)列的綜合問題 1．(2016浙江)設(shè)數(shù)列{an}的前n項和為Sn.若S2＝4，an＋1＝2Sn＋1，n∈N*，則a1＝______，S5＝______. 答案　1　121 解析　由解得a1＝1，a2＝3， 當(dāng)n≥2時，由已知可得： an＋1＝2Sn＋1，① an＝2Sn－1＋1，② ①－②得an＋1－an＝2an，∴an＋1＝3an，又a2＝3a1， ∴{an}是以a1＝1為首項，以q＝3為公比的等比數(shù)列． ∴S5＝＝121. 2．(2016四川)已知數(shù)列{an}的首項為1，Sn為數(shù)列{an}的前n項和，Sn＋1＝qSn＋1，其中q>0，n∈N*. (1)若2a2，a3，a2＋2成等差數(shù)列，求數(shù)列{an}的通項公式； (2)設(shè)雙曲線x2－＝1的離心率為en，且e2＝，證明：e1＋e2＋…＋en>. (1)解　由已知，Sn＋1＝qSn＋1，Sn＋2＝qSn＋1＋1，兩式相減得an＋2＝qan＋1，n≥1.又由S2＝qS1＋1得a2＝qa1，故an＋1＝qan對所有n≥1都成立． 所以數(shù)列{an}是首項為1，公比為q的等比數(shù)列． 從而an＝qn－1. 由2a2，a3，a2＋2成等差數(shù)列，可得 2a3＝3a2＋2，即2q2＝3q＋2，則(2q＋1)(q－2)＝0， 由已知，q>0，故q＝2.所以an＝2n－1(n∈N*)． (2)證明　由(1)可知，an＝qn－1. 所以雙曲線x2－＝1的離心率 en＝＝. 由e2＝＝，解得q＝. 因為1＋q2(k－1)>q2(k－1)， 所以>qk－1(k∈N*)． 于是e1＋e2＋…＋en>1＋q＋…＋qn－1＝. 故e1＋e2＋…＋en>. 1.數(shù)列的綜合問題，往往將數(shù)列與函數(shù)、不等式結(jié)合，探求數(shù)列中的最值或證明不等式. 2.以等差數(shù)列、等比數(shù)列為背景，利用函數(shù)觀點探求參數(shù)的值或范圍.3.將數(shù)列與實際應(yīng)用問題相結(jié)合，考查數(shù)學(xué)建模和數(shù)學(xué)應(yīng)用. 熱點一　利用Sn，an的關(guān)系式求an 1．?dāng)?shù)列{an}中，an與Sn的關(guān)系： an＝. 2．求數(shù)列通項的常用方法 (1)公式法：利用等差(比)數(shù)列求通項公式． (2)在已知數(shù)列{an}中，滿足an＋1－an＝f(n)，且f(1)＋f(2)＋…＋f(n)可求，則可用累加法求數(shù)列的通項an. (3)在已知數(shù)列{an}中，滿足＝f(n)，且f(1)f(2)…f(n)可求，則可用累積法求數(shù)列的通項an. (4)將遞推關(guān)系進(jìn)行變換，轉(zhuǎn)化為常見數(shù)列(等差、等比數(shù)列)． 例1　數(shù)列{an}中，a1＝1，Sn為數(shù)列{an}的前n項和，且滿足＝1(n≥2)．求數(shù)列{an}的通項公式． 解　由已知，當(dāng)n≥2時，＝1， 所以＝1， 即＝1， 所以－＝. 又S1＝a1＝1， 所以數(shù)列{}是首項為1，公差為的等差數(shù)列． 所以＝1＋(n－1)＝，即Sn＝. 所以當(dāng)n≥2時，an＝Sn－Sn－1＝－＝－. 因此an＝ 思維升華　給出Sn與an的遞推關(guān)系，求an，常用思路：一是利用Sn－Sn－1＝an(n≥2)轉(zhuǎn)化為an的遞推關(guān)系，再求其通項公式；二是轉(zhuǎn)化為Sn的遞推關(guān)系，先求出Sn與n之間的關(guān)系，再求an. 跟蹤演練1　已知正項數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且Sn＝，則數(shù)列{an}的通項公式是________． 答案　an＝2n 解析　Sn＝，當(dāng)n＝1時，a1＝S1＝，解得a1＝2或a1＝0(舍去)． 當(dāng)n≥2時，由an＝Sn－Sn－1＝－?a－a＝2(an＋an－1)， 因為an>0，所以an＋an－1≠0，則an－an－1＝2， 所以數(shù)列{an}是首項為2，公差為2的等差數(shù)列，故an＝2n. 熱點二　數(shù)列與函數(shù)、不等式的綜合問題 數(shù)列與函數(shù)的綜合問題一般是利用函數(shù)作為背景，給出數(shù)列所滿足的條件，通常利用點在曲線上給出Sn的表達(dá)式，還有以曲線上的切點為背景的問題，解決這類問題的關(guān)鍵在于利用數(shù)列與函數(shù)的對應(yīng)關(guān)系，將條件進(jìn)行準(zhǔn)確的轉(zhuǎn)化．?dāng)?shù)列與不等式的綜合問題一般以數(shù)列為載體，考查最值問題，不等關(guān)系或恒成立問題． 例2　(2015陜西)設(shè)fn(x)＝x＋x2＋…＋xn－1，x≥0，n∈N，n≥2. (1)求fn′(2)； (2)證明：fn(x)在內(nèi)有且僅有一個零點(記為an)，且0＜an－＜n. (1)解　方法一　由題設(shè)fn′(x)＝1＋2x＋…＋nxn－1， 所以fn′(2)＝1＋22＋…＋(n－1)2n－2＋n2n－1，① 則2fn′(2)＝2＋222＋…＋(n－1)2n－1＋n2n，② ①－②得，－fn′(2)＝1＋2＋22＋…＋2n－1－n2n ＝－n2n＝(1－n)2n－1， 所以fn′(2)＝(n－1)2n＋1. 方法二　當(dāng)x≠1時，fn(x)＝－1， 則fn′(x)＝， 可得fn′(2)＝＝(n－1)2n＋1. (2)證明　因為fn(0)＝－1＜0， fn＝－1＝1－2n ≥1－22＞0， 所以fn(x)在內(nèi)至少存在一個零點， 又f′n(x)＝1＋2x＋…＋nxn－1＞0， 所以fn(x)在內(nèi)單調(diào)遞增， 因此fn(x)在內(nèi)有且僅有一個零點an， 由于fn(x)＝－1， 所以0＝fn(an)＝－1， 由此可得an＝＋a＞， 故＜an＜， 所以0＜an－＝a＜n＋1＝n. 思維升華　解決數(shù)列與函數(shù)、不等式的綜合問題要注意以下幾點：(1)數(shù)列是一類特殊的函數(shù)，函數(shù)定義域是正整數(shù)，在求數(shù)列最值或不等關(guān)系時要特別重視；(2)解題時準(zhǔn)確構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)性質(zhì)時注意限制條件；(3)不等關(guān)系證明中進(jìn)行適當(dāng)?shù)姆趴s． 跟蹤演練2　(2015安徽)設(shè)n∈N*，xn是曲線y＝x2n＋2＋1在點(1,2)處的切線與x軸交點的橫坐標(biāo)． (1)求數(shù)列{xn}的通項公式； (2)記Tn＝xx…x，證明：Tn≥. (1)解　y′＝(x2n＋2＋1)′＝(2n＋2)x2n＋1，曲線y＝x2n＋2＋1在點(1,2)處的切線斜率為2n＋2， 從而切線方程為y－2＝(2n＋2)(x－1)． 令y＝0，解得切線與x軸交點的橫坐標(biāo) xn＝1－＝. 所以數(shù)列{xn}的通項公式為xn＝. (2)證明　由題設(shè)和(1)中的計算結(jié)果得 Tn＝xx…x＝22…2. 當(dāng)n＝1時，T1＝. 當(dāng)n≥2時，因為x＝2＝>＝＝. 所以Tn>2…＝. 綜上可得對任意的n∈N*，均有Tn≥. 熱點三　數(shù)列的實際應(yīng)用 用數(shù)列知識解相關(guān)的實際問題，關(guān)鍵是合理建立數(shù)學(xué)模型——數(shù)列模型，弄清所構(gòu)造的數(shù)列是等差模型還是等比模型，它的首項是什么，項數(shù)是多少，然后轉(zhuǎn)化為解數(shù)列問題．求解時，要明確目標(biāo)，即搞清是求和，還是求通項，還是解遞推關(guān)系問題，所求結(jié)論對應(yīng)的是解方程問題，還是解不等式問題，還是最值問題，然后進(jìn)行合理推算，得出實際問題的結(jié)果． 例3　自從祖國大陸允許臺灣農(nóng)民到大陸創(chuàng)業(yè)以來，在11個省區(qū)設(shè)立了海峽兩岸農(nóng)業(yè)合作試驗區(qū)和臺灣農(nóng)民創(chuàng)業(yè)園，臺灣農(nóng)民在那里申辦個體工商戶可以享受“綠色通道”的申請、受理、審批一站式服務(wù)，某臺商第一年年初到大陸就創(chuàng)辦了一座120萬元的蔬菜加工廠M，M的價值在使用過程中逐年減少，從第二年到第六年，每年年初M的價值比上年年初減少10萬元，從第七年開始，每年年初M的價值為上年年初的75%. (1)求第n年年初M的價值an的表達(dá)式； (2)設(shè)An＝，若An大于80萬元，則M繼續(xù)使用，否則須在第n年年初對M更新，證明：必須在第九年年初對M更新． (1)解　當(dāng)n≤6時，數(shù)列{an}是首項為120，公差為－10的等差數(shù)列，故an＝120－10(n－1)＝130－10n， 當(dāng)n≥7時，數(shù)列{an}從a6開始的項構(gòu)成一個以a6＝130－60＝70為首項，以為公比的等比數(shù)列，故an＝70()n－6， 所以第n年年初M的價值an＝ (2)證明　設(shè)Sn表示數(shù)列{an}的前n項和，由等差數(shù)列和等比數(shù)列的求和公式，得 當(dāng)1≤n≤6時，Sn＝120n－5n(n－1)， An＝＝120－5(n－1)＝125－5n≥95>80， 當(dāng)n≥7時，由于S6＝570， 故Sn＝570＋(a7＋a8＋…＋an)＝570＋704[1－()n－6]＝780－210()n－6. 因為{an}是遞減數(shù)列，所以{An}是遞減數(shù)列． 因為An＝＝， A8＝≈82.734>80， A9＝≈76.823<80， 所以必須在第九年年初對M更新． 思維升華　常見數(shù)列應(yīng)用題模型的求解方法 (1)產(chǎn)值模型：原來產(chǎn)值的基礎(chǔ)數(shù)為N，平均增長率為p，對于時間n的總產(chǎn)值y＝N(1＋p)n. (2)銀行儲蓄復(fù)利公式：按復(fù)利計算利息的一種儲蓄，本金為a元，每期的利率為r，存期為n，則本利和y＝a(1＋r)n. (3)銀行儲蓄單利公式：利息按單利計算，本金為a元，每期的利率為r，存期為n，則本利和y＝a(1＋nr)． (4)分期付款模型：a為貸款總額，r為年利率，b為等額還款數(shù)，則b＝. 跟蹤演練3　一牧羊人趕著一群羊通過6個關(guān)口，每過1個關(guān)口守關(guān)人將拿走當(dāng)時羊的一半，然后退還1只給牧羊人，過完這些關(guān)口后，牧羊人只剩下2只羊，則牧羊人在過第1個關(guān)口前有________只羊． 答案　2 解析　記此牧羊人通過第1個關(guān)口前、通過第2個關(guān)口前、……、通過第6個關(guān)口前，剩下的羊的只數(shù)組成數(shù)列{an}(n＝1,2,3,4,5,6)，則由題意得a2＝a1＋1，a3＝a2＋1，…，a6＝a5＋1，而a6＋1＝2，解得a6＝2，因此代入得a5＝2，a4＝2，…，a1＝2. 已知數(shù)列{an}的前n項和Sn滿足關(guān)系式Sn＝kan＋1，k為不等于0的常數(shù)． (1)試判斷數(shù)列{an}是否為等比數(shù)列； (2)若a2＝，a3＝1. ①求數(shù)列{an}的通項公式及前n項和Sn的表達(dá)式； ②設(shè)bn＝log2Sn，數(shù)列{cn}滿足數(shù)列{cn}的前n項和為Tn，當(dāng)n>1時，求使Tn0，因為n∈N*，故n>9， 從而最小正整數(shù)n的值是10. A組　專題通關(guān) 1．若數(shù)列{an}的通項公式是an＝(－1)n(3n－2)，則a1＋a2＋…＋a10等于(　　) A．15 B．12 C．－12 D．－15 答案　A 解析　記bn＝3n－2，則數(shù)列{bn}是以1為首項，3為公差的等差數(shù)列，所以a1＋a2＋…＋a9＋a10＝(－b1)＋b2＋…＋(－b9)＋b10＝(b2－b1)＋(b4－b3)＋…＋(b10－b9)＝53＝15. 2．在數(shù)列{an}中，an＋1＝an＋a (n∈N*，a為常數(shù))，若平面上的三個不共線的非零向量，，滿足＝a1＋a2 016，三點A，B，C共線且該直線不過O點，則S2 016等于(　　) A．1 007 B．1 008 C．2 016 D．2 012 答案　B 解析　∵＝a1＋a2 016，且三點A，B，C共線， ∴必有a1＋a2 016＝1，又an＋1＝an＋a， ∴an＋1－an＝a為常數(shù)，故數(shù)列{an}為等差數(shù)列， 故S2 016＝＝1 008，故選A. 3．已知函數(shù)y＝f(x)對任意自變量x都有f(x＋1)＝f(1－x)，且函數(shù)f(x)在[1，＋∞)上單調(diào)．若數(shù)列{an}是公差不為0的等差數(shù)列，且f(a6)＝f(a20)，則{an}的前25項之和為(　　) A．0 B. C．25 D．50 答案　C 解析　由已知函數(shù)關(guān)系可知a6＋a20＝2，又{an}是等差數(shù)列，所以a6＋a20＝a5＋a21＝a4＋a22＝a3＋a23＝a2＋a24＝a1＋a25＝a7＋a19＝a8＋a18＝a9＋a17＝a10＋a16＝a11＋a15＝a12＋a14＝2a13＝2，所以數(shù)列的前25項和為122＋1＝25，故選C. 4．今有女善織，日益功疾，且從第2天起，每天比前一天多織相同量的布，若第1天織5尺布，現(xiàn)在一月(按30天計)共織390尺布，則每天比前一天多織的布的尺數(shù)為(不作近似計算)(　　) A. B. C. D. 答案　C 解析　由題意可知，該女每天的織布量成等差數(shù)列，首項是5，公差為d，前30項和為390.根據(jù)等差數(shù)列前n項和公式，有390＝305＋d，解得d＝. 5．已知定義在R上的函數(shù)f(x)，g(x)滿足＝ax，且f′(x)g(x)0，其前n項和為Sn，若S3＝12，且2a1，a2，1＋a3成等比數(shù)列． (1)求數(shù)列{an}的通項公式； (2)記bn＝ (n∈N*)，且數(shù)列{bn}的前n項和為Tn，證明：≤Tn<. (1)解　依題意，得 即得d2＋d－12＝0. ∵d>0，∴d＝3，a1＝1. ∴數(shù)列{an}的通項公式an＝1＋3(n－1)＝3n－2. (2)證明　∵bn＝＝ ＝(－)， ∴Tn＝b1＋b2＋b3＋…＋bn ＝[(1－)＋(－)＋…＋(－)] ＝(1－)＝. ∵n∈N*，∴>0， 故Tn<，又Tn為單調(diào)遞增， ∴當(dāng)n＝1時，取最小值，故≤Tn<. B組　能力提高 11．已知曲線C：y＝(x>0)及兩點A1(x1,0)和A2(x2,0)，其中x2>x1>0.過A1，A2分別作x軸的垂線，交曲線C于B1，B2兩點，直線B1B2與x軸交于點A3(x3,0)，那么(　　) A．x1，，x2成等差數(shù)列 B．x1，，x2成等比數(shù)列 C．x1，x3，x2成等差數(shù)列 D．x1，x3，x2成等比數(shù)列 答案　A 解析　由題意，得B1，B2兩點的坐標(biāo)分別為(x1，)，(x2，)， 所以直線B1B2的方程為y＝－(x－x1)＋， 令y＝0，得x＝x1＋x2， 所以x3＝x1＋x2， 因此，x1，，x2成等差數(shù)列． 12．已知函數(shù)f(x)＝x2＋(a＋8)x＋a2＋a－12，且f(a2－4)＝f(2a－8)，設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn (n∈N*)，若Sn＝f(n)，則的最小值為(　　) A. B. C. D. 答案　D 解析　由題意可得a2－4＝2a－8或a2－4＋2a－8＝2(－)，解得a＝1或a＝－4， 當(dāng)a＝1時，f(x)＝x2＋9x－10，數(shù)列{an}不是等差數(shù)列； 當(dāng)a＝－4時，f(x)＝x2＋4x，Sn＝f(n)＝n2＋4n， ∴a1＝5，a2＝7，an＝5＋(7－5)(n－1)＝2n＋3， ∴＝ ＝ ＝ ≥＝＋1， 當(dāng)且僅當(dāng)n＋1＝，即n＝－1時取等號， ∵n為正數(shù)，故當(dāng)n＝3時原式取最小值，故選D. 13．對于數(shù)列{an}，若?m，n∈N* (m≠n)，都有≥t (t為常數(shù))成立，則稱數(shù)列{an}具有性質(zhì)P(t)． (1)若數(shù)列{an}的通項公式為an＝2n，且具有性質(zhì)P(t)，則t的最大值為________； (2)若數(shù)列{an}的通項公式為an＝n2－，且具有性質(zhì)P(10)，則實數(shù)a的取值范圍是________． 答案　(1)2　(2)[36，＋∞) 解析　(1)≥t?≥0， 所以數(shù)列{an－tn}是遞增數(shù)列， 即an＋1－t(n＋1)－(an－tn)≥0. 因為an＝2n，所以上式化簡為t≤2n，得t≤2， 故t的最大值為2. (2)由已知條件得≥10?≥0. 所以數(shù)列{an－10n}是遞增數(shù)列， 即an＋1－10(n＋1)－(an－10n)≥0， 因為an＝n2－， 所以上式化簡為－a≤n(n＋1)(2n－9)， 令f(n)＝n(n＋1)(2n－9)， 由三次函數(shù)的圖象性質(zhì)可知f(n)min為f(1)或f(2)或f(3)或f(4)． f(1)＝－14，f(2)＝－30，f(3)＝－36，f(4)＝－20. 所以f(n)min＝－36，所以－a≤－36?a≥36， 故a的取值范圍為[36，＋∞)． 14．?dāng)?shù)列{an}的通項an是關(guān)于x的不等式x2－x＋－＝0， 故f(n＋1)>f(n)，∴當(dāng)n≥2且n∈N*時，f(n)為增函數(shù)，∴f(n)≥f(2)＝， 綜上可知≤f(n)<1.