高考數(shù)學(xué)大二輪總復(fù)習(xí)與增分策略 專題四 數(shù)列、推理與證明 第3講 數(shù)列的綜合問題練習(xí) 理

第3講數(shù)列的綜合問題1(2016浙江)設(shè)數(shù)列an的前n項和為Sn.若S24，an12Sn1，nN*，則a1_，S5_.答案1121解析由解得a11，a23，當(dāng)n2時，由已知可得：an12Sn1，an2Sn11，得an1an2an，an13an，又a23a1，an是以a11為首項，以q3為公比的等比數(shù)列S5121.2(2016四川)已知數(shù)列an的首項為1，Sn為數(shù)列an的前n項和，Sn1qSn1，其中q>0，nN*.(1)若2a2，a3，a22成等差數(shù)列，求數(shù)列an的通項公式；(2)設(shè)雙曲線x21的離心率為en，且e2，證明：e1e2en>.(1)解由已知，Sn1qSn1，Sn2qSn11，兩式相減得an2qan1，n1.又由S2qS11得a2qa1，故an1qan對所有n1都成立所以數(shù)列an是首項為1，公比為q的等比數(shù)列從而anqn1.由2a2，a3，a22成等差數(shù)列，可得2a33a22，即2q23q2，則(2q1)(q2)0，由已知，q>0，故q2.所以an2n1(nN*)(2)證明由(1)可知，anqn1.所以雙曲線x21的離心率en.由e2，解得q.因為1q2(k1)>q2(k1)，所以>qk1(kN*)于是e1e2en>1qqn1.故e1e2en>.1.數(shù)列的綜合問題，往往將數(shù)列與函數(shù)、不等式結(jié)合，探求數(shù)列中的最值或證明不等式.2.以等差數(shù)列、等比數(shù)列為背景，利用函數(shù)觀點探求參數(shù)的值或范圍.3.將數(shù)列與實際應(yīng)用問題相結(jié)合，考查數(shù)學(xué)建模和數(shù)學(xué)應(yīng)用.熱點一利用Sn，an的關(guān)系式求an1數(shù)列an中，an與Sn的關(guān)系：an.2求數(shù)列通項的常用方法(1)公式法：利用等差(比)數(shù)列求通項公式(2)在已知數(shù)列an中，滿足an1anf(n)，且f(1)f(2)f(n)可求，則可用累加法求數(shù)列的通項an.(3)在已知數(shù)列an中，滿足f(n)，且f(1)f(2)f(n)可求，則可用累積法求數(shù)列的通項an.(4)將遞推關(guān)系進(jìn)行變換，轉(zhuǎn)化為常見數(shù)列(等差、等比數(shù)列)例1數(shù)列an中，a11，Sn為數(shù)列an的前n項和，且滿足1(n2)求數(shù)列an的通項公式解由已知，當(dāng)n2時，1，所以1，即1，所以.又S1a11，所以數(shù)列是首項為1，公差為的等差數(shù)列所以1(n1)，即Sn.所以當(dāng)n2時，anSnSn1.因此an思維升華給出Sn與an的遞推關(guān)系，求an，常用思路：一是利用SnSn1an(n2)轉(zhuǎn)化為an的遞推關(guān)系，再求其通項公式；二是轉(zhuǎn)化為Sn的遞推關(guān)系，先求出Sn與n之間的關(guān)系，再求an.跟蹤演練1已知正項數(shù)列an的前n項和為Sn，且Sn，則數(shù)列an的通項公式是_答案an2n解析Sn，當(dāng)n1時，a1S1，解得a12或a10(舍去)當(dāng)n2時，由anSnSn1aa2(anan1)，因為an>0，所以anan10，則anan12，所以數(shù)列an是首項為2，公差為2的等差數(shù)列，故an2n.熱點二數(shù)列與函數(shù)、不等式的綜合問題數(shù)列與函數(shù)的綜合問題一般是利用函數(shù)作為背景，給出數(shù)列所滿足的條件，通常利用點在曲線上給出Sn的表達(dá)式，還有以曲線上的切點為背景的問題，解決這類問題的關(guān)鍵在于利用數(shù)列與函數(shù)的對應(yīng)關(guān)系，將條件進(jìn)行準(zhǔn)確的轉(zhuǎn)化數(shù)列與不等式的綜合問題一般以數(shù)列為載體，考查最值問題，不等關(guān)系或恒成立問題例2(2015陜西)設(shè)fn(x)xx2xn1，x0，nN，n2.(1)求fn(2)；(2)證明：fn(x)在內(nèi)有且僅有一個零點(記為an)，且0ann.(1)解方法一由題設(shè)fn(x)12xnxn1，所以fn(2)122(n1)2n2n2n1，則2fn(2)2222(n1)2n1n2n，得，fn(2)12222n1n2nn2n(1n)2n1，所以fn(2)(n1)2n1.方法二當(dāng)x1時，fn(x)1，則fn(x)，可得fn(2)(n1)2n1.(2)證明因為fn(0)10，fn112n1220，所以fn(x)在內(nèi)至少存在一個零點，又fn(x)12xnxn10，所以fn(x)在內(nèi)單調(diào)遞增，因此fn(x)在內(nèi)有且僅有一個零點an，由于fn(x)1，所以0fn(an)1，由此可得ana，故an，所以0anan1n.思維升華解決數(shù)列與函數(shù)、不等式的綜合問題要注意以下幾點：(1)數(shù)列是一類特殊的函數(shù)，函數(shù)定義域是正整數(shù)，在求數(shù)列最值或不等關(guān)系時要特別重視；(2)解題時準(zhǔn)確構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)性質(zhì)時注意限制條件；(3)不等關(guān)系證明中進(jìn)行適當(dāng)?shù)姆趴s跟蹤演練2(2015安徽)設(shè)nN*，xn是曲線yx2n21在點(1,2)處的切線與x軸交點的橫坐標(biāo)(1)求數(shù)列xn的通項公式；(2)記Tnxxx，證明：Tn.(1)解y(x2n21)(2n2)x2n1，曲線yx2n21在點(1,2)處的切線斜率為2n2，從而切線方程為y2(2n2)(x1)令y0，解得切線與x軸交點的橫坐標(biāo)xn1.所以數(shù)列xn的通項公式為xn.(2)證明由題設(shè)和(1)中的計算結(jié)果得Tnxxx222.當(dāng)n1時，T1.當(dāng)n2時，因為x2>.所以Tn>2.綜上可得對任意的nN*，均有Tn.熱點三數(shù)列的實際應(yīng)用用數(shù)列知識解相關(guān)的實際問題，關(guān)鍵是合理建立數(shù)學(xué)模型數(shù)列模型，弄清所構(gòu)造的數(shù)列是等差模型還是等比模型，它的首項是什么，項數(shù)是多少，然后轉(zhuǎn)化為解數(shù)列問題求解時，要明確目標(biāo)，即搞清是求和，還是求通項，還是解遞推關(guān)系問題，所求結(jié)論對應(yīng)的是解方程問題，還是解不等式問題，還是最值問題，然后進(jìn)行合理推算，得出實際問題的結(jié)果例3自從祖國大陸允許臺灣農(nóng)民到大陸創(chuàng)業(yè)以來，在11個省區(qū)設(shè)立了海峽兩岸農(nóng)業(yè)合作試驗區(qū)和臺灣農(nóng)民創(chuàng)業(yè)園，臺灣農(nóng)民在那里申辦個體工商戶可以享受“綠色通道”的申請、受理、審批一站式服務(wù)，某臺商第一年年初到大陸就創(chuàng)辦了一座120萬元的蔬菜加工廠M，M的價值在使用過程中逐年減少，從第二年到第六年，每年年初M的價值比上年年初減少10萬元，從第七年開始，每年年初M的價值為上年年初的75%.(1)求第n年年初M的價值an的表達(dá)式；(2)設(shè)An，若An大于80萬元，則M繼續(xù)使用，否則須在第n年年初對M更新，證明：必須在第九年年初對M更新(1)解當(dāng)n6時，數(shù)列an是首項為120，公差為10的等差數(shù)列，故an12010(n1)13010n，當(dāng)n7時，數(shù)列an從a6開始的項構(gòu)成一個以a61306070為首項，以為公比的等比數(shù)列，故an70()n6，所以第n年年初M的價值an(2)證明設(shè)Sn表示數(shù)列an的前n項和，由等差數(shù)列和等比數(shù)列的求和公式，得當(dāng)1n6時，Sn120n5n(n1)，An1205(n1)1255n95>80，當(dāng)n7時，由于S6570，故Sn570(a7a8an)5707041()n6780210()n6.因為an是遞減數(shù)列，所以An是遞減數(shù)列因為An，A882.734>80，A976.823<80，所以必須在第九年年初對M更新思維升華常見數(shù)列應(yīng)用題模型的求解方法(1)產(chǎn)值模型：原來產(chǎn)值的基礎(chǔ)數(shù)為N，平均增長率為p，對于時間n的總產(chǎn)值yN(1p)n.(2)銀行儲蓄復(fù)利公式：按復(fù)利計算利息的一種儲蓄，本金為a元，每期的利率為r，存期為n，則本利和ya(1r)n.(3)銀行儲蓄單利公式：利息按單利計算，本金為a元，每期的利率為r，存期為n，則本利和ya(1nr)(4)分期付款模型：a為貸款總額，r為年利率，b為等額還款數(shù)，則b.跟蹤演練3一牧羊人趕著一群羊通過6個關(guān)口，每過1個關(guān)口守關(guān)人將拿走當(dāng)時羊的一半，然后退還1只給牧羊人，過完這些關(guān)口后，牧羊人只剩下2只羊，則牧羊人在過第1個關(guān)口前有_只羊答案2解析記此牧羊人通過第1個關(guān)口前、通過第2個關(guān)口前、通過第6個關(guān)口前，剩下的羊的只數(shù)組成數(shù)列an(n1,2,3,4,5,6)，則由題意得a2a11，a3a21，a6a51，而a612，解得a62，因此代入得a52，a42，a12.已知數(shù)列an的前n項和Sn滿足關(guān)系式Snkan1，k為不等于0的常數(shù)(1)試判斷數(shù)列an是否為等比數(shù)列；(2)若a2，a31.求數(shù)列an的通項公式及前n項和Sn的表達(dá)式；設(shè)bnlog2Sn，數(shù)列cn滿足數(shù)列cn的前n項和為Tn，當(dāng)n>1時，求使Tn<Sn3成立的最小正整數(shù)n的值押題依據(jù)本題綜合考查數(shù)列知識，第(1)問考查反證法的數(shù)學(xué)方法及邏輯推理能力，第(2)問是高考的熱點問題，即數(shù)列與不等式的完美結(jié)合，其中將求數(shù)列前n項和的常用方法“裂項相消法”與“錯位相消法”結(jié)合在一起，考查了綜合分析問題、解決問題的能力解(1)若數(shù)列an是等比數(shù)列，則由n1得a1S1ka2，從而a2ka3.又取n2得a1a2S2ka3，于是a10，顯然矛盾，故數(shù)列an不是等比數(shù)列(2)由條件得解得從而Snan1.當(dāng)n2時，由Sn1an，得anSnSn1an1an，即an12an，此時數(shù)列是首項為a2、公比為2的等比數(shù)列綜上所述，數(shù)列an的通項公式為an從而其前n項和Sn2n2 (nN*)由得bnn2，從而cnn2n2.記C1，記C2121220n2n2，則2C2120221n2n1，兩式相減得C2(n1)2n1，從而Tn(n1)2n1(n1)2n1，則不等式Tn<Sn3可化為2n1<2n1，即n2n90>0，因為nN*，故n>9，從而最小正整數(shù)n的值是10.A組專題通關(guān)1若數(shù)列an的通項公式是an(1)n(3n2)，則a1a2a10等于()A15 B12C12 D15答案A解析記bn3n2，則數(shù)列bn是以1為首項，3為公差的等差數(shù)列，所以a1a2a9a10(b1)b2(b9)b10(b2b1)(b4b3)(b10b9)5315.2在數(shù)列an中，an1ana (nN*，a為常數(shù))，若平面上的三個不共線的非零向量，滿足a1a2 016，三點A，B，C共線且該直線不過O點，則S2 016等于()A1 007 B1 008C2 016 D2 012答案B解析a1a2 016，且三點A，B，C共線，必有a1a2 0161，又an1ana，an1ana為常數(shù)，故數(shù)列an為等差數(shù)列，故S2 0161 008，故選A.3已知函數(shù)yf(x)對任意自變量x都有f(x1)f(1x)，且函數(shù)f(x)在1，)上單調(diào)若數(shù)列an是公差不為0的等差數(shù)列，且f(a6)f(a20)，則an的前25項之和為()A0 B.C25 D50答案C解析由已知函數(shù)關(guān)系可知a6a202，又an是等差數(shù)列，所以a6a20a5a21a4a22a3a23a2a24a1a25a7a19a8a18a9a17a10a16a11a15a12a142a132，所以數(shù)列的前25項和為122125，故選C.4今有女善織，日益功疾，且從第2天起，每天比前一天多織相同量的布，若第1天織5尺布，現(xiàn)在一月(按30天計)共織390尺布，則每天比前一天多織的布的尺數(shù)為(不作近似計算)()A. B.C. D.答案C解析由題意可知，該女每天的織布量成等差數(shù)列，首項是5，公差為d，前30項和為390.根據(jù)等差數(shù)列前n項和公式，有390305d，解得d.5已知定義在R上的函數(shù)f(x)，g(x)滿足ax，且f(x)g(x)<f(x)g(x)，若有窮數(shù)列 (nN*)的前n項和等于，則n等于()A5 B6 C7 D8答案A解析令h(x)，則h(x)<0，故函數(shù)h(x)為減函數(shù)，即0<a<1.再根據(jù)，得a，解得a2(舍去)或a.所以n，數(shù)列的前n項和是1，由于1，所以n5.6已知數(shù)列an的前n項和構(gòu)成數(shù)列bn，若bn(2n1)3n4，則數(shù)列an的通項公式an_.答案an解析當(dāng)n1時，a1b1(211)3147，當(dāng)n2時，anbnbn1(2n1)3n4(2n3)3n144n3n1，綜上所述，an故答案為an7已知向量a(2，n)，b(Sn，n1)，nN*，其中Sn是數(shù)列an的前n項和，若ab，則數(shù)列的最大項的值為_答案解析依題意得ab0，即2Snn(n1)，Sn.當(dāng)n2時，anSnSn1n；又a1S11，因此ann，當(dāng)且僅當(dāng)n，nN*，即n2時取等號，因此數(shù)列的最大項的值為.8對于數(shù)列an，定義數(shù)列an1an為數(shù)列an的“差數(shù)列”，若a11.an的“差數(shù)列”的通項公式為an1an2n，則數(shù)列an的前n項和Sn_.答案2n1n2解析因為an1an2n，應(yīng)用累加法可得an2n1，所以Sna1a2a3an222232nnn2n1n2.9(2016課標(biāo)全國丙)已知數(shù)列an的前n項和Sn1an，其中0.(1)證明an是等比數(shù)列，并求其通項公式；(2)若S5，求.(1)證明由題意得a1S11a1，故1，a1，a10.由Sn1an，Sn11an1，得an1an1an，即an1(1)an，由a10，0得an0，所以.因此an是首項為，公比為的等比數(shù)列，于是ann1.(2)解由(1)得Sn1n.由S5得15，即5.解得1.10已知等差數(shù)列an的公差d>0，其前n項和為Sn，若S312，且2a1，a2，1a3成等比數(shù)列(1)求數(shù)列an的通項公式；(2)記bn (nN*)，且數(shù)列bn的前n項和為Tn，證明：Tn<.(1)解依題意，得即得d2d120.d>0，d3，a11.數(shù)列an的通項公式an13(n1)3n2.(2)證明bn()，Tnb1b2b3bn(1)()()(1).nN*，>0，故Tn<，又Tn為單調(diào)遞增，當(dāng)n1時，取最小值，故Tn<.B組能力提高11已知曲線C：y(x>0)及兩點A1(x1,0)和A2(x2,0)，其中x2>x1>0.過A1，A2分別作x軸的垂線，交曲線C于B1，B2兩點，直線B1B2與x軸交于點A3(x3,0)，那么()Ax1，x2成等差數(shù)列Bx1，x2成等比數(shù)列Cx1，x3，x2成等差數(shù)列Dx1，x3，x2成等比數(shù)列答案A解析由題意，得B1，B2兩點的坐標(biāo)分別為(x1，)，(x2，)，所以直線B1B2的方程為y(xx1)，令y0，得xx1x2，所以x3x1x2，因此，x1，x2成等差數(shù)列12已知函數(shù)f(x)x2(a8)xa2a12，且f(a24)f(2a8)，設(shè)等差數(shù)列an的前n項和為Sn (nN*)，若Snf(n)，則的最小值為()A. B.C. D.答案D解析由題意可得a242a8或a242a82()，解得a1或a4，當(dāng)a1時，f(x)x29x10，數(shù)列an不是等差數(shù)列；當(dāng)a4時，f(x)x24x，Snf(n)n24n，a15，a27，an5(75)(n1)2n3，1，當(dāng)且僅當(dāng)n1，即n1時取等號，n為正數(shù)，故當(dāng)n3時原式取最小值，故選D.13對于數(shù)列an，若m，nN* (mn)，都有t (t為常數(shù))成立，則稱數(shù)列an具有性質(zhì)P(t)(1)若數(shù)列an的通項公式為an2n，且具有性質(zhì)P(t)，則t的最大值為_；(2)若數(shù)列an的通項公式為ann2，且具有性質(zhì)P(10)，則實數(shù)a的取值范圍是_答案(1)2(2)36，)解析(1)t0，所以數(shù)列antn是遞增數(shù)列，即an1t(n1)(antn)0.因為an2n，所以上式化簡為t2n，得t2，故t的最大值為2.(2)由已知條件得100.所以數(shù)列an10n是遞增數(shù)列，即an110(n1)(an10n)0，因為ann2，所以上式化簡為an(n1)(2n9)，令f(n)n(n1)(2n9)，由三次函數(shù)的圖象性質(zhì)可知f(n)min為f(1)或f(2)或f(3)或f(4)f(1)14，f(2)30，f(3)36，f(4)20.所以f(n)min36，所以a36a36，故a的取值范圍為36，)14數(shù)列an的通項an是關(guān)于x的不等式x2x<nx的解集中正整數(shù)的個數(shù)，f(n).(1)求數(shù)列an的通項公式；(2)若bn，求數(shù)列bn的前n項和Sn；(3)求證：對n2且nN*恒有f(n)<1.(1)解x2x<nx等價于x(xn1)<0，解得x(0，n1)，其中有正整數(shù)n個，于是ann.(2)解bnnn，Snb1b2bn122nn，Sn1223nn1，兩式相減得，Sn23nnn11nnn1，故Sn2n1nn.(3)證明f(n)<1.由f(n)，知f(n1)，于是f(n1)f(n)>0，故f(n1)>f(n)，當(dāng)n2且nN*時，f(n)為增函數(shù)，f(n)f(2)，綜上可知f(n)<1.