高考數(shù)學(xué) 考前3個(gè)月知識(shí)方法專題訓(xùn)練 第一部分 知識(shí)方法篇 專題4 三角函數(shù)與平面向量 第19練 平面向量中的線性問題 文
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第19練平面向量中的線性問題題型分析高考展望平面向量是初等數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容,兼具代數(shù)和幾何的“雙重特性”,是解決代數(shù)問題和幾何問題的有力工具,與很多知識(shí)聯(lián)系較為密切,是高考命題的熱點(diǎn)多與其他知識(shí)聯(lián)合命題,題型有選擇題、填空題、解答題,掌握好向量的基本概念、基本運(yùn)算性質(zhì)是解題的關(guān)鍵體驗(yàn)高考1(2015課標(biāo)全國)設(shè)D為ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn),3,則()A.B.C.D.答案A解析3,3(),即43,.2(2016課標(biāo)全國甲)已知向量a(1,m),b(3,2),且(ab)b,則m等于()A8 B6 C6 D8答案D解析由題知ab(4,m2),因?yàn)?ab)b,所以(ab)b0,即43(2)(m2)0,解之得m8,故選D.3(2016山東)已知非零向量m,n滿足4|m|3|n|,cosm,n.若n(tmn),則實(shí)數(shù)t的值為()A4 B4 C. D答案B解析n(tmn),n(tmn)0,即tmn|n|20,t|m|n|cosm,n|n|20,又4|m|3|n|,t|n|2|n|20,解得t4,故選B.4(2015北京)在ABC中,點(diǎn)M,N滿足2,.若xy,則x_;y_.答案解析(),x,y.高考必會(huì)題型題型一平面向量的線性運(yùn)算及應(yīng)用例1(1)在ABC中,點(diǎn)D在線段BC的延長線上,且3,點(diǎn)O在線段CD上(與點(diǎn)C,D不重合),若x(1x),則x的取值范圍是()A.B.C.D.(2)已知在ABC中,D是AB邊上的一點(diǎn),若2,則_.答案(1)D(2)解析(1)設(shè)y,yy()y(1y).3,點(diǎn)O在線段CD上(與點(diǎn)C,D不重合),y,x(1x),xy,x.(2)因?yàn)?,所以(),所以.點(diǎn)評(píng)平面向量的線性運(yùn)算應(yīng)注意三點(diǎn)(1)三角形法則和平行四邊形法則的運(yùn)用條件(2)證明三點(diǎn)共線問題,可用向量共線來解決,但應(yīng)注意向量共線與三點(diǎn)共線的區(qū)別與聯(lián)系,當(dāng)兩向量共線且有公共點(diǎn)時(shí),才能得出三點(diǎn)共線(3)(,為實(shí)數(shù)),若A,B,C三點(diǎn)共線,則1.變式訓(xùn)練1(1)如圖,兩塊全等的直角邊長為1的等腰直角三角形拼在一起,若k,則k等于()A1B2C2 D.2(2)在ABC中,0,a,b.若ma,nb,CGPQH,2,則_.答案(1)A(2)6解析(1)根據(jù)向量的基本定理可得,()() (),所以,k1,所以k1.故選A.(2)由0,知點(diǎn)G為ABC的重心,取AB的中點(diǎn)D(圖略),則(),由P,H,Q三點(diǎn)共線,得1,則6.題型二平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算例2(1)已知點(diǎn)A(3,0),B(0,),點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn),點(diǎn)C在第二象限,且AOC30,則實(shí)數(shù)的值為_答案1解析由題意知(3,0),(0,),則(3,),由AOC30,知xOC150,tan 150,即,1.(2)平面內(nèi)給定三個(gè)向量a(3,2),b(1,2),c(4,1),請(qǐng)解答下列問題:求滿足ambnc的實(shí)數(shù)m,n;若(akc)(2ba),求實(shí)數(shù)k;若d滿足(dc)(ab),且|dc|,求d.解由題意得(3,2)m(1,2)n(4,1),得akc(34k,2k),2ba(5,2),(akc)(2ba),2(34k)(5)(2k)0,k.設(shè)d(x,y),則dc(x4,y1),ab(2,4),由題意得解得或d(3,1)或d(5,3)點(diǎn)評(píng)(1)兩平面向量共線的充要條件有兩種形式:若a(x1,y1),b(x2,y2),則ab的充要條件是x1y2x2y10;若ab(a0),則ba.(2)向量共線的坐標(biāo)表示既可以判定兩向量平行,也可以由平行求參數(shù)當(dāng)兩向量的坐標(biāo)均非零時(shí),也可以利用坐標(biāo)對(duì)應(yīng)成比例來求解(3)向量的坐標(biāo)運(yùn)算主要是利用加法、減法、數(shù)乘運(yùn)算法則進(jìn)行若已知有向線段兩端點(diǎn)的坐標(biāo),則應(yīng)先求出向量的坐標(biāo),解題過程中要注意方程思想的運(yùn)用及正確使用運(yùn)算法則變式訓(xùn)練2(1)如圖所示,在ABC中,D為AB的中點(diǎn),F(xiàn)在線段CD上,設(shè)a,b,Axayb,則的最小值為()A82B8C6 D62(2)已知向量(3,4),(6,3),(5m,3m),若點(diǎn)A、B、C能構(gòu)成三角形,則實(shí)數(shù)m滿足的條件是_答案(1)B(2)m解析(1)因?yàn)辄c(diǎn)D為AB的中點(diǎn),所以2,因?yàn)閤ayb,所以2xy.因?yàn)辄c(diǎn)F在線段CD上,所以2xy1,又x,y0,所以(2xy)4428,當(dāng)且僅當(dāng)y2x時(shí)取等號(hào),所以的最小值為8.(2)因?yàn)?3,4),(6,3),(5m,3m),所以(3,1),(m1,m)由于點(diǎn)A、B、C能構(gòu)成三角形,所以與不共線,而當(dāng)與共線時(shí),有,解得m,故當(dāng)點(diǎn)A、B、C能構(gòu)成三角形時(shí),實(shí)數(shù)m滿足的條件是m.高考題型精練1設(shè)a是非零向量,是非零實(shí)數(shù),下列結(jié)論中正確的是()Aa與a的方向相反Ba與2a的方向相同C|a|a|D|a|a答案B解析對(duì)于A,當(dāng)0時(shí),a與a的方向相同,當(dāng)0時(shí),a與a的方向相反,B正確;對(duì)于C,|a|a|,由于|的大小不確定,故|a|與|a|的大小關(guān)系不確定;對(duì)于D,|a是向量,而|a|表示長度,兩者不能比較大小2設(shè)點(diǎn)M是ABC所在平面上的一點(diǎn),且0,點(diǎn)D是AC的中點(diǎn),則的值為()A.B.C1 D2答案A解析D是AC的中點(diǎn),延長MD至E,使得DEMD,四邊形MAEC為平行四邊形,()0,()3,故選A.3已知點(diǎn)A(3,0),B(0,2),點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn),點(diǎn)C在AOB內(nèi),|OC|2,且AOC,設(shè)(R),則的值為()A1 B. C. D.答案D解析過點(diǎn)C作CEx軸于點(diǎn)E(圖略)由AOC,知|OE|CE|2,所以,即,所以(2,0)(3,0),故.4在四邊形ABCD中,a2b,4ab,5a3b,則四邊形ABCD的形狀是()A矩形B平行四邊形C梯形D以上都不對(duì)答案C解析由已知,得8a2b2(4ab)2,故.又因?yàn)榕c不平行,所以四邊形ABCD是梯形5設(shè)向量a,b滿足|a|2,b(2,1),則“a(4,2)”是“ab”成立的()A充要條件B必要不充分條件C充分不必要條件D既不充分也不必要條件答案C解析若a(4,2),則|a|2,且ab都成立;ab,設(shè)ab(2,),由|a|2,知42220,24,2,a(4,2)或a(4,2)因此“a(4,2)”是“ab”成立的充分不必要條件6在四邊形ABCD中,ABCD,AB3DC,點(diǎn)E為BC的中點(diǎn),則等于()A.B.C.D.答案A解析,.7給出下列命題:若|a|b|,則ab;若A,B,C,D是不共線的四點(diǎn),則是四邊形ABCD為平行四邊形的充要條件;若ab,bc,則ac;ab的充要條件是|a|b|且ab;若ab,bc,則ac.其中正確命題的序號(hào)是()A B C D答案A解析方向不一定相同;方向可能相反;若b0,則不對(duì)8在矩形ABCD中,O是對(duì)角線的交點(diǎn),若5e1,3e2,則_.(用e1,e2表示)答案(5e13e2)解析在矩形ABCD中,因?yàn)辄c(diǎn)O是對(duì)角線的交點(diǎn),所以()()(5e13e2)9在梯形ABCD中,ABCD,AB2CD,M,N分別為CD,BC的中點(diǎn),若,則_.答案解析依題意得,.又,于是有.又與不共線,因此有由此解得,2,所以.10.已知點(diǎn)G是ABC的外心,是三個(gè)單位向量,且20,如圖所示,ABC的頂點(diǎn)B,C分別在x軸的非負(fù)半軸和y軸的非負(fù)半軸上移動(dòng),點(diǎn)O是坐標(biāo)原點(diǎn),則|的最大值為_答案2解析因?yàn)辄c(diǎn)G是ABC的外心,且20,所以點(diǎn)G是BC的中點(diǎn),ABC是直角三角形,且BAC是直角又,是三個(gè)單位向量,所以BC2,又ABC的頂點(diǎn)B,C分別在x軸的非負(fù)半軸和y軸的非負(fù)半軸上移動(dòng),所以點(diǎn)G的軌跡是以原點(diǎn)為圓心、1為半徑的圓弧又|1,所以當(dāng)OA經(jīng)過BC的中點(diǎn)G時(shí),|取得最大值,且最大值為2|2.11設(shè)e1,e2是兩個(gè)不共線的向量,已知2e18e2,e13e2,2e1e2.(1)求證:A,B,D三點(diǎn)共線;(2)若3e1ke2,且B,D,F(xiàn)三點(diǎn)共線,求k的值(1)證明由已知得(2e1e2)(e13e2)e14e2,2e18e2,2.又與有公共點(diǎn)B,A,B,D三點(diǎn)共線(2)解由(1)可知e14e2,3e1ke2,且B,D,F(xiàn)三點(diǎn)共線, (R),即3e1ke2e14e2,得解得k12.12已知點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn),A(0,2),B(4,6),t1t2.(1)求點(diǎn)M在第二或第三象限的充要條件;(2)求證:當(dāng)t11時(shí),不論t2為何實(shí)數(shù),A,B,M三點(diǎn)都共線;(3)若t1a2,求當(dāng)且ABM的面積為12時(shí),a的值(1)解t1t2t1(0,2)t2(4,4)(4t2,2t14t2)當(dāng)點(diǎn)M在第二或第三象限時(shí),有故所求的充要條件為t20且t12t20.(2)證明當(dāng)t11時(shí),由(1)知(4t2,4t22)(4,4),(4t2,4t2)t2(4,4)t2,又與有公共點(diǎn)A,不論t2為何實(shí)數(shù),A,B,M三點(diǎn)共線(3)解當(dāng)t1a2時(shí),(4t2,4t22a2)又(4,4),4t24(4t22a2)40,t2a2,故(a2,a2)|4,點(diǎn)M到直線AB:xy20的距離d|a21|.SABM12,|AB|d4|a21|12,解得a2,故所求a的值為2.- 1.請(qǐng)仔細(xì)閱讀文檔,確保文檔完整性,對(duì)于不預(yù)覽、不比對(duì)內(nèi)容而直接下載帶來的問題本站不予受理。
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