高考數學 考前3個月知識方法專題訓練 第一部分 知識方法篇 專題4 三角函數與平面向量 第19練 平面向量中的線性問題 文

第19練平面向量中的線性問題題型分析高考展望平面向量是初等數學的重要內容，兼具代數和幾何的“雙重特性”，是解決代數問題和幾何問題的有力工具，與很多知識聯系較為密切，是高考命題的熱點多與其他知識聯合命題，題型有選擇題、填空題、解答題，掌握好向量的基本概念、基本運算性質是解題的關鍵體驗高考1(2015課標全國)設D為ABC所在平面內一點，3，則()A.B.C.D.答案A解析3，3()，即43，.2(2016課標全國甲)已知向量a(1，m)，b(3，2)，且(ab)b，則m等于()A8 B6 C6 D8答案D解析由題知ab(4，m2)，因為(ab)b，所以(ab)b0，即43(2)(m2)0，解之得m8，故選D.3(2016山東)已知非零向量m，n滿足4|m|3|n|，cosm，n.若n(tmn)，則實數t的值為()A4 B4 C. D答案B解析n(tmn)，n(tmn)0，即tmn|n|20，t|m|n|cosm，n|n|20，又4|m|3|n|，t|n|2|n|20，解得t4，故選B.4(2015北京)在ABC中，點M，N滿足2，.若xy，則x_；y_.答案解析()，x，y.高考必會題型題型一平面向量的線性運算及應用例1(1)在ABC中，點D在線段BC的延長線上，且3，點O在線段CD上(與點C，D不重合)，若x(1x)，則x的取值范圍是()A.B.C.D.(2)已知在ABC中，D是AB邊上的一點，若2，則_.答案(1)D(2)解析(1)設y，yy()y(1y).3，點O在線段CD上(與點C，D不重合)，y，x(1x)，xy，x.(2)因為2，所以()，所以.點評平面向量的線性運算應注意三點(1)三角形法則和平行四邊形法則的運用條件(2)證明三點共線問題，可用向量共線來解決，但應注意向量共線與三點共線的區(qū)別與聯系，當兩向量共線且有公共點時，才能得出三點共線(3)(，為實數)，若A，B，C三點共線，則1.變式訓練1(1)如圖，兩塊全等的直角邊長為1的等腰直角三角形拼在一起，若k，則k等于()A1B2C2 D.2(2)在ABC中，0，a，b.若ma，nb，CGPQH，2，則_.答案(1)A(2)6解析(1)根據向量的基本定理可得，()() ()，所以，k1，所以k1.故選A.(2)由0，知點G為ABC的重心，取AB的中點D(圖略)，則()，由P，H，Q三點共線，得1，則6.題型二平面向量的坐標運算例2(1)已知點A(3,0)，B(0，)，點O為坐標原點，點C在第二象限，且AOC30，則實數的值為_答案1解析由題意知(3,0)，(0，)，則(3，)，由AOC30，知xOC150，tan 150，即，1.(2)平面內給定三個向量a(3,2)，b(1,2)，c(4,1)，請解答下列問題：求滿足ambnc的實數m，n；若(akc)(2ba)，求實數k；若d滿足(dc)(ab)，且|dc|，求d.解由題意得(3,2)m(1,2)n(4,1)，得akc(34k,2k)，2ba(5,2)，(akc)(2ba)，2(34k)(5)(2k)0，k.設d(x，y)，則dc(x4，y1)，ab(2,4)，由題意得解得或d(3，1)或d(5,3)點評(1)兩平面向量共線的充要條件有兩種形式：若a(x1，y1)，b(x2，y2)，則ab的充要條件是x1y2x2y10；若ab(a0)，則ba.(2)向量共線的坐標表示既可以判定兩向量平行，也可以由平行求參數當兩向量的坐標均非零時，也可以利用坐標對應成比例來求解(3)向量的坐標運算主要是利用加法、減法、數乘運算法則進行若已知有向線段兩端點的坐標，則應先求出向量的坐標，解題過程中要注意方程思想的運用及正確使用運算法則變式訓練2(1)如圖所示，在ABC中，D為AB的中點，F在線段CD上，設a，b，Axayb，則的最小值為()A82B8C6 D62(2)已知向量(3，4)，(6，3)，(5m，3m)，若點A、B、C能構成三角形，則實數m滿足的條件是_答案(1)B(2)m解析(1)因為點D為AB的中點，所以2，因為xayb，所以2xy.因為點F在線段CD上，所以2xy1，又x，y0，所以(2xy)4428，當且僅當y2x時取等號，所以的最小值為8.(2)因為(3，4)，(6，3)，(5m，3m)，所以(3,1)，(m1，m)由于點A、B、C能構成三角形，所以與不共線，而當與共線時，有，解得m，故當點A、B、C能構成三角形時，實數m滿足的條件是m.高考題型精練1設a是非零向量，是非零實數，下列結論中正確的是()Aa與a的方向相反Ba與2a的方向相同C|a|a|D|a|a答案B解析對于A，當0時，a與a的方向相同，當0時，a與a的方向相反，B正確；對于C，|a|a|，由于|的大小不確定，故|a|與|a|的大小關系不確定；對于D，|a是向量，而|a|表示長度，兩者不能比較大小2設點M是ABC所在平面上的一點，且0，點D是AC的中點，則的值為()A.B.C1 D2答案A解析D是AC的中點，延長MD至E，使得DEMD，四邊形MAEC為平行四邊形，()0，()3，故選A.3已知點A(3,0)，B(0,2)，點O為坐標原點，點C在AOB內，|OC|2，且AOC，設(R)，則的值為()A1 B. C. D.答案D解析過點C作CEx軸于點E(圖略)由AOC，知|OE|CE|2，所以，即，所以(2,0)(3,0)，故.4在四邊形ABCD中，a2b，4ab，5a3b，則四邊形ABCD的形狀是()A矩形B平行四邊形C梯形D以上都不對答案C解析由已知，得8a2b2(4ab)2，故.又因為與不平行，所以四邊形ABCD是梯形5設向量a，b滿足|a|2，b(2,1)，則“a(4,2)”是“ab”成立的()A充要條件B必要不充分條件C充分不必要條件D既不充分也不必要條件答案C解析若a(4,2)，則|a|2，且ab都成立；ab，設ab(2，)，由|a|2，知42220，24，2，a(4,2)或a(4，2)因此“a(4,2)”是“ab”成立的充分不必要條件6在四邊形ABCD中，ABCD，AB3DC，點E為BC的中點，則等于()A.B.C.D.答案A解析，.7給出下列命題：若|a|b|，則ab；若A，B，C，D是不共線的四點，則是四邊形ABCD為平行四邊形的充要條件；若ab，bc，則ac；ab的充要條件是|a|b|且ab；若ab，bc，則ac.其中正確命題的序號是()A B C D答案A解析方向不一定相同；方向可能相反；若b0，則不對8在矩形ABCD中，O是對角線的交點，若5e1，3e2，則_.(用e1，e2表示)答案(5e13e2)解析在矩形ABCD中，因為點O是對角線的交點，所以()()(5e13e2)9在梯形ABCD中，ABCD，AB2CD，M，N分別為CD，BC的中點，若，則_.答案解析依題意得，.又，于是有.又與不共線，因此有由此解得，2，所以.10.已知點G是ABC的外心，是三個單位向量，且20，如圖所示，ABC的頂點B，C分別在x軸的非負半軸和y軸的非負半軸上移動，點O是坐標原點，則|的最大值為_答案2解析因為點G是ABC的外心，且20，所以點G是BC的中點，ABC是直角三角形，且BAC是直角又，是三個單位向量，所以BC2，又ABC的頂點B，C分別在x軸的非負半軸和y軸的非負半軸上移動，所以點G的軌跡是以原點為圓心、1為半徑的圓弧又|1，所以當OA經過BC的中點G時，|取得最大值，且最大值為2|2.11設e1，e2是兩個不共線的向量，已知2e18e2，e13e2，2e1e2.(1)求證：A，B，D三點共線；(2)若3e1ke2，且B，D，F三點共線，求k的值(1)證明由已知得(2e1e2)(e13e2)e14e2，2e18e2，2.又與有公共點B，A，B，D三點共線(2)解由(1)可知e14e2，3e1ke2，且B，D，F三點共線， (R)，即3e1ke2e14e2，得解得k12.12已知點O為坐標原點，A(0,2)，B(4,6)，t1t2.(1)求點M在第二或第三象限的充要條件；(2)求證：當t11時，不論t2為何實數，A，B，M三點都共線；(3)若t1a2，求當且ABM的面積為12時，a的值(1)解t1t2t1(0,2)t2(4,4)(4t2,2t14t2)當點M在第二或第三象限時，有故所求的充要條件為t2<0且t12t20.(2)證明當t11時，由(1)知(4t2,4t22)(4,4)，(4t2,4t2)t2(4,4)t2，又與有公共點A，不論t2為何實數，A，B，M三點共線(3)解當t1a2時，(4t2,4t22a2)又(4,4)，4t24(4t22a2)40，t2a2，故(a2，a2)|4，點M到直線AB：xy20的距離d|a21|.SABM12，|AB|d4|a21|12，解得a2，故所求a的值為2.