高中集合知識(shí)點(diǎn)總結(jié).doc

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一、 集合的相關(guān)概念 1. 滿(mǎn)足共同屬性的對(duì)象的全體叫做集合，集合的研究對(duì)象叫元素. 例：軍訓(xùn)前學(xué)校通知:8月15日8點(diǎn),高一年級(jí)學(xué)生到操場(chǎng)集合進(jìn)行軍訓(xùn).試問(wèn)這個(gè)通知的對(duì)象是全體的高一學(xué)生還是個(gè)別學(xué)生？每個(gè)學(xué)生與全體高一學(xué)生之間的關(guān)系？ 問(wèn)題： 世界上最高的山能不能構(gòu)成一個(gè)集合？ 世界上的高山能不能構(gòu)成一個(gè)集合？ 我們把研究的對(duì)象統(tǒng)稱(chēng)為“元素”,那么把一些元素組成的總體叫“集合”. 2. 元素與集合的關(guān)系有兩種：屬于，不屬于 元素的特性（判斷是否為集合的依據(jù)）： （1）確定性：給定的集合,它的元素必須是明確的,即任何一個(gè)元素要么在這個(gè)集合中,要么不在這個(gè)集合中,這就是集合的確定性. （2）無(wú)序性：即集合中的元素是沒(méi)有順序的. （3）互異性：一個(gè)給定集合的元素是互不相同的,即集合中的元素是不重復(fù)出現(xiàn)的,這就是集合的互異性. 結(jié)論： 1、一般地，指定的某些對(duì)象的全體稱(chēng)為集合，標(biāo)記：A，B，C，D，… 集合中的每個(gè)對(duì)象叫做這個(gè)集合的元素，標(biāo)記：a，b，c，d，… 2、元素與集合的關(guān)系 a是集合A的元素，就說(shuō)a屬于集合A ，記作 a∈A ， a不是集合A的元素，就說(shuō)a不屬于集合A，記作 aA 3、集合的中元素的三個(gè)特性： （1）元素的確定性：對(duì)于一個(gè)給定的集合，集合中的元素是確定的，任何一個(gè)對(duì)象或者是或者不是這個(gè)給定的集合的元素。 （2）元素的互異性：任何一個(gè)給定的集合中，任何兩個(gè)元素都是不同的對(duì)象，相同的對(duì)象歸入一個(gè)集合時(shí)，僅算一個(gè)元素。比如：book中的字母構(gòu)成的集合 （3）元素的無(wú)序性：集合中的元素是平等的，沒(méi)有先后順序，因此判定兩個(gè)集合是否一樣，僅需比較它們的元素是否一樣，不需考查排列順序是否一樣。 3.有限集、無(wú)限集、空集、單元素集 4.常用數(shù)集及其記法:自然數(shù)集記作,正整數(shù)集記作或，整數(shù)集記作,有理數(shù)集記作,實(shí)數(shù)集記作R. 注意：（1）都是單元素集 （2）的區(qū)別 （3）具有全體之意 例1 判斷以下元素的全體是否組成集合： （1）大于3小于11的偶數(shù)；（ ） （2）我國(guó)的小河流； ( ) （3）非負(fù)奇數(shù)； （ ） （4）本校2009級(jí)新生；（ ） （5）血壓很高的人； （ ） （6）著名的數(shù)學(xué)家； （ ） 例題2 下列各組對(duì)象不能組成集合的是( ) A.大于6的所有整數(shù) B.高中數(shù)學(xué)的所有難題 C.被3除余2的所有整數(shù) D.函數(shù)y=圖象上所有的點(diǎn) 練習(xí) 1.下列條件能形成集合的是( D ) A.充分小的負(fù)數(shù)全體 B.愛(ài)好足球的人 C.中國(guó)的富翁 D.某公司的全體員工 2．下列結(jié)論中，不正確的是( ) A.若a∈N，則-aN B.若a∈Z，則a2∈Z C.若a∈Q，則｜a｜∈Q D.若a∈R，則 3、你能否確定，你所在班級(jí)中，高個(gè)子同學(xué)構(gòu)成的集合？并說(shuō)明理由。 你能否確定，你所在班級(jí)中，最高的3位同學(xué)構(gòu)成的集合？ 4、 （1） -3 N； （2）3.14 Q； （3） Q； （4）0 Φ； （5） Q； （6） R； （7）1 N+； （8） R。 5、下列對(duì)象能否組成集合: (1)數(shù)組1、3、5、7; (2)到兩定點(diǎn)距離的和等于兩定點(diǎn)間距離的點(diǎn); (3)滿(mǎn)足3x-2>x+3的全體實(shí)數(shù); (4)所有直角三角形; (5)美國(guó)NBA的著名籃球明星; (6)所有絕對(duì)值等于6的數(shù); (7)所有絕對(duì)值小于3的整數(shù); (8)中國(guó)男子足球隊(duì)中技術(shù)很差的隊(duì)員; (9)參加2008年奧運(yùn)會(huì)的中國(guó)代表團(tuán)成員. 6、說(shuō)出下面集合中的元素: (1){大于3小于11的偶數(shù)}; (2){平方等于1的數(shù)}; (3){15的正約數(shù)}. 7、用符號(hào)∈或填空: (1)1______N,0______N,-3______N,0.5______N,______N; (2)1______Z,0______Z,-3______Z,0.5______Z,______Z; (3)1______Q,0______Q,-3______Q,0.5______Q,______Q; (4)1______R,0______R,-3______R,0.5______R,______R. 8、判斷正誤: (1)所有屬于N的元素都屬于N*. ( ) (2)所有屬于N的元素都屬于Z. ( ) (3)所有不屬于N*的數(shù)都不屬于Z. ( ) (4)所有不屬于Q的實(shí)數(shù)都屬于R. ( ) (5)不屬于N的數(shù)不能使方程4x=8成立. ( ) 二、集合的表示方法 1.列舉法：即把集合的元素一一列舉出來(lái)，并用花括號(hào)“{ }”括起來(lái)，基本形式為 ，適用于有限集或元素間存在規(guī)律的無(wú)限集. 如“中國(guó)的直轄市”構(gòu)成的集合，寫(xiě)成{北京,天津,上海,重慶} 由“maths中的字母” 構(gòu)成的集合，寫(xiě)成{m,a,t,h,s} 由“book中的字母” 構(gòu)成的集合，寫(xiě)成{b,o,k} 注： （1） 有些集合亦可如下表示：從51到100的所有整數(shù)組成的集合： {51，52，53，…，100}所有正奇數(shù)組成的集合：{1，3，5，7，…} （2） a與{a}不同：a表示一個(gè)元素，{a}表示一個(gè)集合，該集合只有一個(gè)元素. （3） 集合中的元素具有無(wú)序性，所以用列舉法表示集合時(shí)不必考慮元素的順序. 2.描述法：用集合所含元素的共同特征來(lái)表示，即用確定的條件表示某些對(duì)象是否屬于這個(gè)集合，并把這個(gè)條件寫(xiě)在大括號(hào)內(nèi)表示集合的方法，如 “中國(guó)的直轄市”構(gòu)成的集合，寫(xiě)成{為中國(guó)的直轄市}； “方程x2+5x-6=0的實(shí)數(shù)解” {x∈R| x2+5x-6=0}={-6，1} 3.圖示法（Venn圖或數(shù)軸） 4.區(qū)間法：設(shè) ,且，規(guī)定 表示 例1.用列舉法表示下列集合: (1)小于5的正奇數(shù)組成的集合; (2)能被3整除且大于4小于15的自然數(shù)組成的集合; (3)方程x2-9=0的解組成的集合; (4){15以?xún)?nèi)的質(zhì)數(shù)}; (5){x|∈Z,x∈Z}. 例2 已知,,且,求實(shí)數(shù)的值. 例3 下列關(guān)系錯(cuò)誤的是（ ） A. B. C. D. 練習(xí) 1．下列說(shuō)法正確的是（ ） （A）所有著名的作家可以形成一個(gè)集合 （B）0與的意義相同 （C）集合是有限集 （D）方程的解集只有一個(gè)元素 2．下列四個(gè)集合中，是空集的是 （ ） A． B． C． D． 3．方程組的解構(gòu)成的集合是 （ ） A． B． C． D．. 4．已知，，則B＝ 5．若，，用列舉法表示B= . 6. 用列舉法表示下列集合: (1)x2-4的一次因式組成的集合; (2){y|y=-x2-2x+3,x∈R,y∈N}; (3)方程x2+6x+9=0的解集; (4){20以?xún)?nèi)的質(zhì)數(shù)}; (5){(x,y)|x2+y2=1,x∈Z,y∈Z}; (6){大于0小于3的整數(shù)}; (7){x∈R|x2+5x-14=0}; (8){(x,y)|x∈N且1≤x<4,y-2x=0}; (9){(x,y)|x+y=6,x∈N,y∈N}. 7. 用列舉法表示下列集合 ①是的約數(shù)_______; ②________________________; ③________; ④數(shù)字和為的兩位數(shù)________; ⑤___________________________; 三、集合間的基本關(guān)系 問(wèn)題：觀察下面幾個(gè)例子，你能發(fā)現(xiàn)兩個(gè)集合間有什么關(guān)系了嗎？ （1）； (2)設(shè)A為某中學(xué)高一(3)班男生的全體組成的集合，B為這個(gè)班學(xué)生的全體組成的集合； (3)設(shè) (4). 1. 對(duì)于兩個(gè)集合A、B，如果集合A中的任意一個(gè)元素都是集合B中的元素，則兩個(gè)集合有包含關(guān)系，稱(chēng)集合A是集合B的子集，記作（或），讀作“A含于B”（或“B包含A”）. 若，則集合A是集合B的子集 注意：空集是任何集合的子集，即 2. 真子集：且即集合A是集合B的真子集 3. 集相等：且 顯然, A的子集除A外都是它的真子集. 由個(gè)元素組成的集合,其子集個(gè)數(shù)為個(gè), 真子集的個(gè)數(shù)為個(gè). 例1 用適當(dāng)?shù)姆?hào)（）填空： ①4 ②11 ③ ④ 例2 寫(xiě)出集合的所有子集. 例3 ，列舉法寫(xiě)出B，并說(shuō)明此時(shí)A、B的關(guān)系. 例4 設(shè)，集合，則（ ） A. 1 B. -1 C. 2 D. -2 練習(xí)： 1. 設(shè)集合，，則與的關(guān)系是__________. 2. 用列舉法___________. 3. 用列舉法表示集合_________. 4. 用描述法表示絕對(duì)值小于4的所有整數(shù)組成的集合：_________. 5. 集合，則用列舉法表示為_(kāi)_________. 6. 寫(xiě)出小于10的正偶數(shù)集合的所有真子集 7. 已知集合，，則與的關(guān)系是_______. 8. 已知集合，，若，則的取值范圍是________. 9、討論下列集合的包含關(guān)系 ①A={本年天陰的日子}，B={本年天下雨的日子}； ②A={-2，-1，0，1，2，3}，B={-1，0，1}。 （2）寫(xiě)出集合A={1，2，3}的所有非空真子集和非空子集 10、用連接下列集合對(duì)： ①A={濟(jì)南人}，B={山東人}； ②A=N，B=R； ③A={1，2，3，4}，B={0，1，2，3，4，5}； ④A={本校田徑隊(duì)隊(duì)員}，B={本校長(zhǎng)跑隊(duì)隊(duì)員}； ⑤A={11月份的公休日}，B={11月份的星期六或星期天} 11、若A={，，},則有幾個(gè)子集，幾個(gè)真子集？寫(xiě)出A所有的子集. 12、設(shè)A={3,Z},B={6，Z},則A、B之間是什么關(guān)系？ 四、集合的運(yùn)算 問(wèn)題： (1)考察集合A={1，2，3},B={2,3,4}與集合C={2,3}之間的關(guān)系. (2)考察集合A={1，2，3},B={2,3,4}與集合C={1,2,3,4}之間的關(guān)系. 1. 交集：一般地，由所有屬于A又屬于B的元素所組成的集合,叫做A,B的交集． 記作A∩B（讀作＂A交B＂）， 即 說(shuō)明：（1） （2） （3）實(shí)質(zhì)上是、的公共部分 性質(zhì)：，，，, 2. 并集：對(duì)于給定的兩個(gè)集合A,B把它們所有的元素并在一起所組成的集合,叫做A,B的并集．記作A∪B（讀作＂A并B＂）， 即 說(shuō)明：（1） （2） （3）實(shí)質(zhì)上是、湊在一起 性質(zhì)：，，，, 3. 全集：一般地，若一個(gè)集合含有我們所研究問(wèn)題中涉及的所有元素，那么稱(chēng)這個(gè)集合為全集. 通常用表示. 4. 補(bǔ)集：對(duì)于一個(gè)集合，由全集中不屬于的所有元素組成的集合稱(chēng)為的補(bǔ)集. 記 顯然: ; 性質(zhì):, , , , 考慮補(bǔ)集時(shí),一定要注意全集;但全集因題而異. 例1 設(shè), , 求. 例2 已知集合, , 若, 則實(shí)數(shù)的取值范圍是__________. 例3 設(shè), , 求, . 例4 已知: , , 求: , 例5 , 練習(xí) 1. 設(shè), , 且, 則_______. 2. 設(shè), , , 則( ) A. B. C. D. 3. 設(shè)集合, , 則( ) A. B. C. D. 4. 集合, , 若, 則的值為( ) A. 0 B. 1 C. 2 D. 4 5. 已知集合, , 則( ) A. B. C. D. 6. 已知, , 則有( ) A. B. C. D. 以上都不對(duì)