電大開放本科《機(jī)電控制工程基礎(chǔ)》總復(fù)習(xí)指導(dǎo)考試參考小抄.doc

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概 述 《機(jī)電控制工程基礎(chǔ)》是以控制理論為基礎(chǔ)，密切結(jié)合工程實際的一門專業(yè)基礎(chǔ)課，是機(jī)械設(shè)計制造及自動化專業(yè)必修課。 本課程所討論的問題，都是在工程實踐的基礎(chǔ)上抽象出來的問題，是分析和設(shè)計控制系統(tǒng)的共性問題，這些問題理論較強(qiáng)，涉及的面也十分廣泛。因此，討論問題的周期長是本課程特點之一。為了學(xué)好本課程，在學(xué)習(xí)過程中就應(yīng)對學(xué)過的內(nèi)容經(jīng)常復(fù)習(xí)，明確前后問題的聯(lián)系，掌握進(jìn)度。 　　本課程中應(yīng)用的數(shù)學(xué)較多，但是，所討論的問題都是和工程實踐緊密聯(lián)系著的。因此，學(xué)習(xí)本課程要特別重視理論聯(lián)系實際，重視在物理概念的基礎(chǔ)上對問題的理解。 　　負(fù)反饋是構(gòu)成自動控制系統(tǒng)的基本控制策略。因此，牢固地掌握反饋在工程系統(tǒng)中的應(yīng)用是學(xué)好本課程的關(guān)鍵。 　　控制系統(tǒng)分析，就是建立給定系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型，在規(guī)定的工作條件下，對它的數(shù)學(xué)模型進(jìn)行分析研究。其研究的內(nèi)容就是穩(wěn)態(tài)性能和瞬態(tài)（暫態(tài)）性能，以及分析某些參數(shù)變化對上述性能的影響，決定如何選取合理的參數(shù)等。 　　系統(tǒng)綜合設(shè)計，就是在給定對系統(tǒng)瞬態(tài)和穩(wěn)態(tài)性能要求情況下，根據(jù)己知的被控制對象，合理的確定控制器的數(shù)學(xué)模型，控制規(guī)律和參數(shù)，并驗證所綜合的控制系統(tǒng)是否是滿足性能指標(biāo)要求。 機(jī)電控制工程基礎(chǔ)的基本問題是：建立系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型；系統(tǒng)分析計算；綜合校正確定控制規(guī)律。 本課程的基本任務(wù)，是使學(xué)生獲得機(jī)電控制系統(tǒng)的基本理論，掌握系統(tǒng)的基本分析方法和計算方法。為設(shè)計機(jī)電控制系統(tǒng)及后繼課程的學(xué)習(xí)和進(jìn)一步研究學(xué)習(xí)控制理論打下一定的基礎(chǔ)。 一、考核說明 本課程主要內(nèi)容包含相關(guān)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)；數(shù)學(xué)模型的建立；時域分析；頻域分析；綜合校正；采樣系統(tǒng)的基本理論及基本分析計算方法。本課程的任務(wù)是使學(xué)生掌握控制工程基本理論的基本知識以及系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型的建立、動、靜特性的分析計算方法，具有初步分析設(shè)計系統(tǒng)的能力。 現(xiàn)將有關(guān)考核的幾個問題說明如下： 考核對象：電大理工科類機(jī)械設(shè)計制造及其自動化專業(yè)本科生。 考核方式：采用形成性考核和終結(jié)性考試相結(jié)合的方式。 考核依據(jù)：本課程所用教學(xué)大綱為2001年審定通過并下發(fā)執(zhí)行的、電大理工科類機(jī)械設(shè)計制造及其自動化專業(yè)本科生《機(jī)電控制工程基礎(chǔ)教學(xué)大綱》；所用文字教材為劉恒玉編著的2001年12 月由中央電大出版社出版的《機(jī)電控制工程基礎(chǔ)》。本課程考核說明是形成性考核和終結(jié)性考試命題的基本依據(jù)。 課程總成績的記分方法：形成性考核成績在課程總成績中占20%，終結(jié)性考試成績在課程總成績中占80%。課程總成績?yōu)榘俜种疲?0分為合格。 形成性考核的要求和形式：形成性考核的形式有平時作業(yè)和課程實驗。能夠按時、按質(zhì)、按量完成平時作業(yè)和課程實驗者方可得滿分。 終結(jié)性考試的要求和形式： 考試要求：本課程以應(yīng)用為最終目的，考核重點是考察學(xué)員是否掌握控制工程基本理論的基本知識以及系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型的建立、動、靜特性的分析計算方法，具體考核要求分為幾個層次： 熟練掌握：要求學(xué)生能夠全面、深入理解和熟練掌握所學(xué)內(nèi)容，并能夠用所學(xué)的內(nèi)容分析、初步設(shè)計和解答與實際應(yīng)用相關(guān)的問題，能夠舉一反三。 掌握：要求學(xué)生能夠較好地理解和掌握相應(yīng)內(nèi)容，并能夠進(jìn)行簡單分析和判斷。 了解：要求學(xué)生能夠一般地了解所學(xué)內(nèi)容。 組卷原則： 在教學(xué)大綱和考核說明所規(guī)定的目的、要求和內(nèi)容范圍之內(nèi)命題。在教學(xué)內(nèi)容范圍之內(nèi)，按照理論聯(lián)系實際原則，考察學(xué)員對所學(xué)知識應(yīng)用能力的試題，不屬于超綱。 試題的考察要求覆蓋面廣，并適當(dāng)突出重點。 試題兼顧各個能力層次，熟練掌握60%，掌握占30%，了解占10%。 試題的難易程度和題量適當(dāng)，按難易程度分為三個層次：較易占30%，一般占50%，較難占20%。題量安排以平時基本能夠獨立完成作業(yè)者，他們能在規(guī)定的考試時間內(nèi)作完并有一定時間檢查為原則。 試題類型及試卷結(jié)構(gòu)：填空15%，單項選擇題15%，判斷10%，分析及計算40%，綜合題20%，具體形式見后面所附“試題類型及規(guī)范解答舉例”。 考核形式：閉卷。 答題時限：120分鐘。 其它說明：考生需自備計算器、直尺、鉛筆、橡皮等文具。 二、考核內(nèi)容和要求 (一 )控制系統(tǒng)的基本概念 [考核目的]： 考核學(xué)員對控制系統(tǒng)的含義及有關(guān)概念的掌握情況 [考核內(nèi)容]： （1）控制的任務(wù)，被控制對象、輸入量、輸出量、擾動量的概念。 （2）開環(huán)控制系統(tǒng)、閉環(huán)控制系統(tǒng)及反饋的概念。 （3）控制系統(tǒng)的組成、基本環(huán)節(jié)及對控制系統(tǒng)的基本要求。 [考核要求]： 熟練掌握：開環(huán)控制、閉環(huán)控制系統(tǒng)的基本組成環(huán)節(jié)。 掌握：控制系統(tǒng)概念，反饋及反饋控制概念，開環(huán)系統(tǒng)及閉環(huán)系統(tǒng)概念。 (二 ) 機(jī)電控制工程數(shù)學(xué)基礎(chǔ) [考核目的]： 考核學(xué)員對拉氏變換定義及其性質(zhì)及有關(guān)概念的掌握情況 [考核內(nèi)容]： （1）復(fù)變函數(shù)概念。 （2）初等函數(shù)定義，復(fù)變函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。 （3）復(fù)變函數(shù)積分，計算方法。 （4）羅朗級數(shù)、留數(shù)定理。 （5）拉氏變換定義、常用函數(shù)拉氏變換、拉氏變換性質(zhì)、拉氏反變換。 [考核要求]： 熟練掌握：拉氏變換的定義；拉氏變換性質(zhì)及應(yīng)用，用部分分式法求拉氏反變換。 掌握：復(fù)數(shù)域描述函數(shù)的概念。通過拉氏變換這一數(shù)學(xué)工具將時間函數(shù)變?yōu)閺?fù)域的函數(shù)。 了解：復(fù)變量的表示方法，復(fù)變函數(shù)的概念，計算留數(shù)。 （三） 控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型 [考核目的]： 考核學(xué)員是否掌握傳遞函數(shù)的概念、拉氏變換基本內(nèi)容以及結(jié)構(gòu)圖簡化方法求取傳遞函數(shù)的方法。是否理解數(shù)學(xué)模型的含義。 [考核內(nèi)容]： （1）數(shù)學(xué)模型概念。簡單機(jī)、電元件及系統(tǒng)列寫微分方程式的方法。 （2）傳遞函數(shù)的定義、性質(zhì)、求法，典型環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)及瞬態(tài)（動態(tài)）特性。 （3）控制系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖繪制方法步驟及簡化原則，環(huán)節(jié)串聯(lián)、并聯(lián)傳遞函數(shù)、反饋連接時傳遞函數(shù)。 [考核要求]： 熟練掌握： （1）傳遞函數(shù)的概念、定義、性質(zhì)及求法，典型環(huán)節(jié)傳遞函數(shù)及瞬態(tài)特性。 （2）串聯(lián)、并聯(lián)、反饋連接等效傳遞函數(shù)的求法； （3）控制系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)、閉環(huán)傳遞函數(shù)、誤差傳遞函數(shù)的含義 掌握： （1）數(shù)學(xué)模型基本概念，能夠運(yùn)用力學(xué)、電學(xué)知識列寫簡單機(jī)、電元件及系統(tǒng)的微分方程式。 （2） 結(jié)構(gòu)圖等效變換原則，用結(jié)構(gòu)圖簡化方法求系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。 了解： 根據(jù)系統(tǒng)方程式繪制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖 (四 ) 控制系統(tǒng)時域分析 [考核目的]： 考核學(xué)員是否掌握拉氏反變換知識和終值定理，是否理解系統(tǒng)性能指標(biāo)的含義以及計算方法。 [考核內(nèi)容]： （1）典型輸入信號和時域性能指標(biāo)。 （2）時間響應(yīng)概念 （3）一階系統(tǒng)的瞬態(tài)響應(yīng)。 （4）二階系統(tǒng)的瞬態(tài)響應(yīng)，性能指標(biāo)。 （5）勞斯穩(wěn)定判據(jù)；穩(wěn)態(tài)誤差分析計算（誤差定義、靜態(tài)誤差系數(shù)、動態(tài)誤差系數(shù)）；擾動誤差；減小穩(wěn)態(tài)誤差方法。 [考核要求] 熟練掌握： （1）定常系統(tǒng)時域性能分析的基本內(nèi)容。典型輸入信號形式及性能指標(biāo)的規(guī)定。一階系統(tǒng) 的瞬態(tài)響應(yīng)。 （2）勞斯穩(wěn)定判據(jù)，穩(wěn)態(tài)誤差的概念。 掌握： （1）時間響應(yīng)的基本概念。 （2）二階系統(tǒng)的階躍響應(yīng)及性能指標(biāo)穩(wěn)態(tài)誤差計算。 了解： （1）動態(tài)誤差系數(shù)。 (五) 控制系統(tǒng)的頻域分析 [考核目的]： 考核學(xué)員是否掌握與控制系統(tǒng)的頻域分析有關(guān)概念以及方法，是否會用頻率法對控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性以及性能指標(biāo)進(jìn)行判斷和分析。 [考核內(nèi)容]： （1）頻率特性基本概念。 （2）頻率特性的表示方法：極坐標(biāo)圖、對數(shù)頻率特性圖。 （3）典型環(huán)節(jié)頻率特性，系統(tǒng)開環(huán)頻率特性曲線繪制方法。 （4）奈氏穩(wěn)定判據(jù)、相角裕量、幅值裕量。 （5）對數(shù)幅頻-2/-1/-2、-2/-1/-3特性。 （6）時域性能指標(biāo)與頻域性能指標(biāo)關(guān)系。 [考核要求] 熟練掌握： （1）頻率特性基本概念；頻率特性兩種表示方法；典型環(huán)節(jié)頻率特性曲線圖。 （2）系統(tǒng)的開環(huán)奈氏頻率特性和對數(shù)頻率特性畫法。 （3）奈氏穩(wěn)定判據(jù)的基本原理及其判別方法。 掌握： （1）頻域性能指標(biāo)與時域性能指標(biāo)的關(guān)系。 （2） 相角裕量，幅值裕量定義及計算方法，頻域性能指標(biāo) 了解：對數(shù)幅頻-2/-1/-2、-2/-1/-3特性； (六) 用頻率法綜合控制系統(tǒng) [考核目的]： 考核學(xué)員是否理解校正的含義，是否能夠根據(jù)要求進(jìn)行系統(tǒng)校正 [考核內(nèi)容]： （1）校正的基本概念 （2）校正方式 [考核要求] 熟練掌握： （1）系統(tǒng)綜合的基本概念；超前校正，遲后校正，遲后——超前校正環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)及其特 點。 掌握： （2）串聯(lián)校正，反饋校正的方法和步驟。 第1章 控制系統(tǒng)的基本概念 主要學(xué)習(xí)內(nèi)容： （1） 控制任務(wù)，被控制對象、輸入量、輸出量、擾動量。 （2） 開環(huán)控制系統(tǒng)、閉環(huán)控制系統(tǒng)及反饋的概念。 （3） 控制系統(tǒng)的組成、基本環(huán)節(jié)及對控制系統(tǒng)的基本要求。 被控制對象或?qū)ο?── 我們稱這些需要控制的工作機(jī)器、裝備為被控制對象或?qū)ο蟆? 輸出量（被控制量）── 將表征這些機(jī)器裝備工作狀態(tài)需要加以控制的物理參量，稱為被控制量（輸出量）。 輸入量（控制量）── 將要求這些機(jī)器裝備工作狀態(tài)應(yīng)保持的數(shù)值，或者說，為了保證對象的行為達(dá)到所要求的目標(biāo)，而輸入的量，稱為輸入量（控制量） 擾動量 ── 使輸出量偏離所要求的目標(biāo)，或者說妨礙達(dá)到目標(biāo)，所作用的物理量稱為擾動量。 控制的任務(wù)實際上就是形成控制作用的規(guī)律，使不管是否存在擾動，均能使被控制對象的輸出量滿足給定值的要求。 開環(huán)控制系統(tǒng) 只有給定量影響輸出量（被控制量），被控制量只能受控于控制量，而被控制量不能反過來影響控制量的控制系統(tǒng)稱為開環(huán)控制。 開環(huán)控制系統(tǒng)可以用結(jié)構(gòu)示意圖表示，如圖所示。 控制器 被控制對象 擾動量 輸入量 輸出量 ur u a n 圖 開環(huán)控制結(jié)構(gòu)圖 閉環(huán)控制系統(tǒng) 為了實現(xiàn)閉環(huán)控制，必須對輸出量進(jìn)行測量，并將測量的結(jié)果反饋到輸入端與輸入量相減得到偏差，再由偏差產(chǎn)生直接控制作用去消除偏差。因此，整個控制系統(tǒng)形成一個閉合環(huán)路。我們把輸出量直接或間接地反饋到輸入端，形成閉環(huán),參與控制的系統(tǒng)，稱作閉環(huán)控制系統(tǒng)。由于系統(tǒng)是根據(jù)負(fù)反饋原理按偏差進(jìn)行控制的，也叫作反饋控制系統(tǒng)或偏差控制系統(tǒng)。 閉環(huán)控制系統(tǒng)中各元件的作用和信號的流通情況，可用結(jié)構(gòu)圖表示。 控制器 被控制對象 檢測裝置 ur ue ua n 輸入量 輸出量 ucf 反饋 圖 閉環(huán)系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖 歸納一下開環(huán)與閉環(huán)控制系統(tǒng)各自的特點如下： （1） 開環(huán)控制系統(tǒng)中，只有輸入量對輸出量產(chǎn)生控制作用；從控制結(jié)構(gòu)上來看，只有從輸入端到輸出端的信號傳遞通道（該通道稱為前向通道），控制系統(tǒng)簡單，實現(xiàn)容易。 閉環(huán)控制系統(tǒng)中除前向通道外，還必須有從輸出端到輸入端的信號傳遞通道，使輸出信號也參與控制，該通道稱為反饋通道。閉環(huán)控制系統(tǒng)就是由前向通道和反饋通道組成的，控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)復(fù)雜。 （2） 閉環(huán)控制系統(tǒng)能抑制內(nèi)部和外部各種形式的干擾，對干擾不甚敏感。因此，可采用不太精密和成本較低的元件來構(gòu)成控制精度較高的系統(tǒng)。 開環(huán)控制系統(tǒng)的控制精度，完全由采用高精度元件和有效的抗干擾措施來保證。 （3） 對閉環(huán)控制系統(tǒng)來說，系統(tǒng)的穩(wěn)定性，始終是一個首要問題。穩(wěn)定是閉環(huán)控制系統(tǒng)正常工作必要條件。對于開環(huán)控制系統(tǒng)，或者不存在不穩(wěn)定問題，或者容易解決。 例題： (1) 什么叫反饋？什么是負(fù)反饋？ 答：把系統(tǒng)輸出全部或部分地返回到輸入端，就叫做反饋。把輸出量反饋到系統(tǒng)的輸入端與輸入量相減稱為負(fù)反饋。 (2) 什么樣系統(tǒng)叫開環(huán)控制系統(tǒng)？舉例說明。 答：若系統(tǒng)的輸出量對系統(tǒng)沒有控制作用，即系統(tǒng)沒有反饋回路時，則該控制系統(tǒng)稱為開環(huán)控制系統(tǒng)。如自動售貨機(jī)，自動洗衣機(jī)，步進(jìn)電機(jī)控制刀架進(jìn)給機(jī)構(gòu)等。 (3) 什么叫閉環(huán)控制系統(tǒng)？舉例說明之。 答：當(dāng)系統(tǒng)的輸出量對系統(tǒng)有控制作用時，即系統(tǒng)存在著負(fù)反饋回路稱為閉環(huán)控制系統(tǒng)，例如：人手在抓取物件時的動作。機(jī)器人手臂運(yùn)動控制，火炮跟蹤目標(biāo)的運(yùn)動，導(dǎo)彈飛行運(yùn)動控制等等。 自動控制系統(tǒng)的類型 自動控制系統(tǒng)的種類繁多，很難確切地對自動控制系統(tǒng)進(jìn)行分類。現(xiàn)在將經(jīng)常討論的幾種自動控制系統(tǒng)的類型概括如下： 1． 線性系統(tǒng)和非線性系統(tǒng) 按組成自動控制系統(tǒng)主要元件的特性方程式的性質(zhì)，可以分為線性控制系統(tǒng)和非線性控制系統(tǒng)。 線性系統(tǒng)是由線性元件組成的系統(tǒng)，系統(tǒng)的運(yùn)動方程式可用線性微分方程式或線性差分方程式來描述的系統(tǒng)稱為線性系統(tǒng)。 線性系統(tǒng)主要特點是具有迭加性和齊次性。就是說對于線性控制系統(tǒng)，幾個輸入信號同時作用在系統(tǒng)上所引起的輸出等于各自輸入時，系統(tǒng)輸出之和。 如果微分方程式或差分方程式的系數(shù)，不隨時間的變化而變化即是常數(shù)，則稱這類系統(tǒng)為線性定常系統(tǒng)，或稱為常參數(shù)系統(tǒng)。 如果線性微分方程式或差分方程式的系數(shù)，隨時間的變化而變化則稱這類系統(tǒng)為線性時變系統(tǒng)。 1． 非線性系統(tǒng)是由非線性微分方程式來描述的系統(tǒng)稱非線性系統(tǒng)。在自動控制系統(tǒng)中，若有一個元件是非線性的，這個系統(tǒng)就是非線性系統(tǒng)。 2． 2. 連續(xù)系統(tǒng)和離散系統(tǒng) 連續(xù)系統(tǒng) ── 控制系統(tǒng)中各元件的輸入、輸出信號都是時間t的連續(xù)函數(shù)時，則稱此系統(tǒng)為連續(xù)數(shù)據(jù)系統(tǒng)（或稱連續(xù)系統(tǒng)）。連續(xù)系統(tǒng)一般由微分方程式來描述。 離散系統(tǒng) ── 是指系統(tǒng)的某一處或幾處，信號是以脈沖系列或數(shù)碼的形式傳遞。 離散系統(tǒng)的主要特點是：在系統(tǒng)中使用脈沖開關(guān)或采樣開關(guān)，將連續(xù)信號轉(zhuǎn)變?yōu)殡x散信號。離散信號取脈沖形式的系統(tǒng)，稱為脈沖控制系統(tǒng)；離散信號以數(shù)碼形式傳遞的系統(tǒng)，稱為數(shù)字控制系統(tǒng)。 控制系統(tǒng)的組成與對控制系統(tǒng)的基本要求 是我們從控制功能的角度來看，自動控制系統(tǒng)一般均由以下基本環(huán)節(jié)（基本元件）組成。 閉環(huán)控制系統(tǒng)的組成和基本環(huán)節(jié) （1） 被控對象或調(diào)節(jié)對象：是指要進(jìn)行控制的設(shè)備或過程。 （2） 比較環(huán)節(jié)（比較元件）：用來實現(xiàn)將所檢測到的輸出量和輸入量進(jìn)行比較，并產(chǎn)生偏差信號的元件。在多數(shù)控制系統(tǒng)中，比較元件常常和測量元件或測量線路結(jié)合在一起。 （3） 放大環(huán)節(jié)（放大元件）：由于偏差信號一般比較微弱，不能直接用于驅(qū)動被控對象，需要進(jìn)行放大。因此控制系統(tǒng)必須具有放大環(huán)節(jié)。常用放大元件有：放大器、可控硅整流器、液壓伺服放大器等。 （4） 執(zhí)行環(huán)節(jié)（執(zhí)行元件）：用來實現(xiàn)控制動作，直接操縱被控對象的元件。常用執(zhí)行元件有：交、直流電機(jī)、液壓馬達(dá)、傳動裝置等。 （5） 檢測環(huán)節(jié)（測量元件）：是用來測量被控制量的元件。由于測量元件的測量精度直接影響到系統(tǒng)的控制精度，因此應(yīng)盡可能采用高精度的測量元件和合理的測量電路，常用的測量元件有：測速電機(jī)、編碼器、自整角機(jī)等。 （6） 校正環(huán)節(jié)（校正元件）：對控制性能要求比較高的系統(tǒng)或者比較復(fù)雜的系統(tǒng)，為了改善系統(tǒng)的控制性能，提高控制系統(tǒng)的控制質(zhì)量，需要在系統(tǒng)中加入校正環(huán)節(jié)。 由上述元件構(gòu)成的閉環(huán)控制系統(tǒng)，就其信號的傳遞和變換的功能來說，都可抽象出如圖所示的控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖。 放 大 執(zhí) 行 反饋校正 檢 測 被控對象 放大 串聯(lián)校正 擾動量 比較 輸入量 輸出量 － － 偏 差 反 量 饋 （局部反饋） 量 （主反饋） 閉環(huán)控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖 對控制系統(tǒng)的基本要求 穩(wěn)定性 如果系統(tǒng)受擾動后偏離了原工作狀態(tài)，擾動消失后，系統(tǒng)能自動恢復(fù)到原來的工作狀態(tài)，這樣的系統(tǒng)稱為穩(wěn)定系統(tǒng)，否則為不穩(wěn)定系統(tǒng)。任何一個反饋控制系統(tǒng)能正常工作，系統(tǒng)必須是穩(wěn)定 瞬態(tài)性能 對于穩(wěn)定系統(tǒng)，瞬態(tài)響應(yīng)曲線如圖所示。 xc(t) 1 0 t 圖 欠阻尼單位階躍響應(yīng)曲線 一般要求響應(yīng)速度快，超調(diào)小。 穩(wěn)態(tài)誤差 閉環(huán)反饋控制系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差，是指當(dāng)時，系統(tǒng)輸出的實際值與按參考輸入所確定的希望輸出值之間的差值，即穩(wěn)態(tài)誤差為 一般來說，對于反饋控制系統(tǒng)的基本要求是：系統(tǒng)必須是穩(wěn)定的，其次是系統(tǒng)的瞬態(tài)性能應(yīng)滿足瞬態(tài)性能指標(biāo)要求，第三是系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差要滿足生產(chǎn)使用時對誤差的要求。 2 機(jī)電控制工程數(shù)學(xué)基礎(chǔ) 2.1 復(fù)變量及復(fù)變函數(shù) 2.1.1復(fù)變函數(shù)的概念 (1) 復(fù)變函數(shù)的定義 設(shè)G是一個復(fù)數(shù)的集合，如果有一個確定的法則存在，按照這一法則，對于集合G中的每一個復(fù)數(shù)z，就有一個或幾個復(fù)數(shù)與之對應(yīng)，那未稱復(fù)變數(shù)w是復(fù)變數(shù)z的函數(shù)簡稱復(fù)變函數(shù)，記作 2.1.2導(dǎo)數(shù) 例 求的導(dǎo)數(shù) 解：因為 所以 幾個初等函數(shù)的定義 (1) 指數(shù)函數(shù) 由，所以 例 求的實部、虛部、模和相角。 解：因為，所以 主值 (2) 對數(shù)函數(shù) 性質(zhì) 但應(yīng)注意，這些等式右端必須取適當(dāng)?shù)姆种Р拍艿扔谧蠖说哪骋环种А? (3) 冪函數(shù) 性質(zhì) ① ②的每一單值分支在相應(yīng)的Lnz的解析域內(nèi)也解析，且 (4) 三角函數(shù) 三角函數(shù)的性質(zhì) ① 和在復(fù)平上解析，且 ② 周期性 ③ 奇偶性 ④ 加法定理 ⑤ 平方關(guān)系 2.3 拉氏變換的定義及常用函數(shù)的拉氏變換 2.3.1 拉普拉斯變換的定義 滿足狄利赫利條件的函數(shù)f(t)的拉普拉斯變換為 其中為復(fù)數(shù)。 F(s)稱為f(t)的象函數(shù)，而f(t)為F(s)的原函數(shù)。 常用函數(shù)的拉普拉斯變換 (1) 單位階躍函數(shù)的拉普拉斯變換 單位階躍函數(shù)為 根據(jù)拉普拉斯變換的定義，單位階躍函數(shù)的拉普拉斯變換為 (2) 單位脈沖函數(shù)的拉普拉斯變換 單位脈沖函數(shù)為 根據(jù)拉普拉斯變換的定義，單位脈沖函數(shù)的拉普拉斯變換為 (3) 單位斜坡函數(shù)的拉普拉斯變換 單位斜坡函數(shù)為 根據(jù)拉普拉斯變換的定義，單位斜坡函數(shù)的拉普拉斯變換為 4)指數(shù)函數(shù)的拉普拉斯變換 指數(shù)函數(shù)： 根據(jù)拉普拉斯變換的定義，指數(shù)函數(shù)的拉普拉斯變換為 同理可得 (5) 冪函數(shù)的拉普拉斯變換。 拉氏變換的性質(zhì) (1) 線性性質(zhì) 拉氏變換也遵從線性函數(shù)的齊次性和疊加性。拉氏變換的齊次性是：一個時間函數(shù)乘以常數(shù)時，其拉氏變換為該時間函數(shù)的拉氏變換乘以該常數(shù)。 若 則 其中 為常數(shù)。 拉氏變換的疊加性是：兩個時間函數(shù)與之和的拉氏變換等于、 的拉氏變換、之和。即 ； 則 例 求及的拉氏變換。 解：根據(jù)歐拉公式 則 又根據(jù)拉普拉斯變換的線性性質(zhì)，有 ， 所以 同理 例 已知，求的拉氏變換。 解：應(yīng)用線性性質(zhì)，則 （2）微分性質(zhì) 若，則 例 已知，為整數(shù)，求的拉氏變換。 解：由于，且，由拉氏變換微分性質(zhì)得 ，又因 故 (3) 積分性質(zhì) 若，則 例 已知，為實數(shù)，求的拉氏變換。 解：根據(jù)拉氏變換的積分性質(zhì)得 =L (4) 延遲性質(zhì) 如圖2－4－1所示，原函數(shù)沿時間軸平移τ， f (t) f (t) 平移后的函數(shù)為f (t-τ)。該函數(shù)滿足下述條件 f (t-τ) t<0時，f (t)=0 t<τ時, f (t-τ)=0 0 τ t 若L[f(t)]= F(s)，則 圖2－4－1 L[f (t-t)]=e-st F(s) ， 例 求函數(shù) 的拉氏變換。 解：由延遲性質(zhì)得： (5) 位移性質(zhì) 若，則 例 求的拉氏變換。 解：因為 故 例 求下面各圖所示函數(shù)的拉氏變換。 f (t) f (t) 2a a 0 T 2T 3T t 0 T t 圖2－4－2 圖2－4－3 解： 圖2－4－2可表示成如下時間函數(shù)： 利用延遲性質(zhì)，求得f (t)的拉氏變換為 圖2－4－3三角波可表示為 利用延遲性質(zhì)，求得f (t)的拉氏變換為 (6) 時間尺度性質(zhì) 若，則 (7) 初值定理 若L[f(t)]= F(s)，且存在，則 (8) 終值定理 若L[f(t)]= F(s)，且存在，則 例 已知F(s)= ,求f(0)和f ()。 解：由初值定理和終值定理可得 ==1 =0 例 已知F(s)= ，求f(0)和f ()。 解：由初值定理得 由于是的奇點，位于虛軸上，不能應(yīng)用終值定理，既不存在。 例 (1) 拉氏變換的數(shù)學(xué)表達(dá)式為（ ）。 ① ；② ；③ ；④ 。 答：④ 。 (2) 已知誤差函數(shù)，則由終值定理可知其穩(wěn)定誤差（ ）。 ① 1 ；② ∞ ；③ 0 。 答：，所以選擇 ① 。 (3) 已知函數(shù)的拉氏變換為（ ）。 ① ；② ；③ ；④ 。 答：依據(jù)線性性質(zhì)和位移性質(zhì)選擇 ① 。 (4) 圖所示函數(shù)的拉氏變換為（ ）。 a 0 τ t 圖 ① ；② ；③ ；④ 。 答：因為，依據(jù)延遲性質(zhì)，的拉氏變換為。所以選擇 ③ 。 (5) 已知，其原函數(shù)為（ ）。 ① ；② ； ③ ； ④ 。 答：由于，其原函數(shù)為所以選擇①。 2.5 拉氏反變換 。 2.5.1 拉氏反變換的定義 部分分式法 例 已知，求 解：因的一階極點，可得 式中 所以 。 例 已知 。 （1） 用終值定理，求時的f(t)的值。 （2） 通過取F（s）的拉氏反變換，求時f(t)的值。 解：方法1，由終值定理知： 方法2，利用部分分式法將改寫成 則可知的拉氏反變換為 則 例 已知 。 （1）利用初值定理求和的值。 （2）通過取F(s)的拉氏反變換求，并求及和 。 解：（1） 因為 兩邊取極限s→∞， 所以 （2）F(s)的拉氏反變換為，則 可見，兩種方法結(jié)果相同。 例求的拉氏反變換。 解： 部分分式法： 其中 所以 因此的拉氏反變換為 第2章 輔導(dǎo) 機(jī)械系統(tǒng) 機(jī)械旋轉(zhuǎn)系統(tǒng)如圖所示。為一圓柱體被軸承支撐并在黏性介質(zhì)中轉(zhuǎn)動。當(dāng)力矩作用于系統(tǒng)時，產(chǎn)生角位移。求該系統(tǒng)的微分方程式。 解 根據(jù)牛頓第二定律，系統(tǒng)的諸力矩之和為 式中：J——轉(zhuǎn)動系統(tǒng)的慣性矩； 扭矩， 圖 機(jī)械旋轉(zhuǎn)系統(tǒng) K——扭簧的彈性系數(shù)； 黏性摩擦阻尼力矩，B——黏性摩擦系數(shù)。 因此該系統(tǒng)的運(yùn)動方程式為 （2－2） 電氣系統(tǒng) 電氣系統(tǒng)的基本元件是電阻、電容、電感以及電動機(jī)等，支配電氣系統(tǒng)的基本定律是基爾霍夫電路定律。 圖為一具有電阻－電感－電容的無源網(wǎng)絡(luò)，求以電壓u為輸入，uc為輸出的系統(tǒng)微分方程式。 解 根據(jù)基爾霍夫電路定律，有 圖 RLC無源網(wǎng)絡(luò) 而 ，則上式可寫成如下形式 （2－3） 上式表示了RLC電路的輸入量和輸出量之間的關(guān)系。 編寫控制系統(tǒng)微分方程的一般步驟為： (l) 首先確定系統(tǒng)的輸入量和輸出量； (2) 將系統(tǒng)劃分為若干個環(huán)節(jié)，確定每一環(huán)節(jié)的輸入量和輸出量。確定輸入量和輸出量時，應(yīng)使前一環(huán)節(jié)的輸出量是后一環(huán)節(jié)的輸入量。 (3) 寫出每一環(huán)節(jié)(或元件)描述輸出信號和輸入信號相互關(guān)系的運(yùn)動方程式；找出聯(lián)系輸出量與輸入量的內(nèi)部關(guān)系，并確定反映這種內(nèi)在聯(lián)系的物理規(guī)律。而這些物理定律的數(shù)學(xué)表達(dá)式就是環(huán)節(jié)(或元件)的原始方程式。在此同時再做一些數(shù)學(xué)上的處理，如非線性函數(shù)的線性化?？紤]忽略一些次要因素。使方程簡化的可能性和容許程度。 (4) 消去中間變量，列出各變量間的關(guān)系式。設(shè)法消去中間變量，最后得到只包含輸入量和輸出量的方程式。于是，就得到所要建立的元件或系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型了。 非線性數(shù)學(xué)模型的線性化 1、一般運(yùn)動方程式化為增量方程式的步驟 以下式為例 (1) 確定額定點，寫出靜態(tài)方程式：設(shè)額定點為(F。，y。)，靜態(tài)方程式為Ky。=F。. (2) 將原運(yùn)動方程式中的瞬時值用其額定點值和增量之和表示 y=y。+Δy；F＝F。+ΔF。 (3) 將演化后的運(yùn)動方程式與靜態(tài)方程式相減，其結(jié)果即為增量方程式 2、非線性函數(shù)的線性化 線性化這一概念用數(shù)學(xué)方法來處理，就是將一個非線性函數(shù)在其工作點展開成泰勒（Taytor）級數(shù)，然后略去二次以上的高階項，得到線性化方程，用來代替原來的非線性函數(shù)。 (1) 一元函數(shù)的線性化 設(shè)系統(tǒng)的工作點為（x0, y0），那么y=f(x)在額定工作點附近展開成泰勒級數(shù)為 因函數(shù)y=f(x)在工作點很小的范圍內(nèi)變化，可忽略二次以上的各項，則方程為 這就是非線性元件或系統(tǒng)的線性化數(shù)學(xué)模型。 線性化有如下特點： (l) 線性化是相對某一額定工作點進(jìn)行的。工作點不同，得到線性化微分方程的系數(shù)也不同。 (2) 若使線性化具有足夠精度，調(diào)節(jié)過程中變量偏離工作點的偏差信號必須足夠小。 (3) 線性化后的運(yùn)動方程是相對額定工作點以增量來描述的。因此，可以認(rèn)為其初始條件為零。 (4) 線性化只能運(yùn)用沒有間斷點、折斷點和非單值關(guān)系的函數(shù)，對具有本質(zhì)非線性元件的非線性系統(tǒng)是不適用的。 傳遞函數(shù)的定義 G(s) Xr(s) Xc(s) 在線性定常系統(tǒng)中，初始條件為零時，系統(tǒng)(或元件)輸出的拉氏變換Xc(s)和輸入的拉氏變換Xr(s)之比稱為系統(tǒng)(或元件)的傳遞函數(shù)，即 或 Xc(s)=G(s)Xr(s) 圖 傳遞函數(shù)圖示 若令輸入信號為單位脈沖函數(shù)δ(t)，其拉氏變換為Xr(s)＝1，則根據(jù)上式得 Xc(s)＝G(s) 傳遞函數(shù)是系統(tǒng)或環(huán)節(jié)數(shù)學(xué)模型的另一種形式，它反映了系統(tǒng)輸出變量與輸入變量之間的關(guān)系。它只和系統(tǒng)本身的特性參數(shù)有關(guān)，而與輸入量無關(guān)。 系統(tǒng)傳遞函數(shù)是復(fù)變量s的函數(shù)，常?？梢员磉_(dá)成如下形式 或 傳遞函數(shù)的性質(zhì) 1．傳遞函數(shù)只與系統(tǒng)或元件自身的內(nèi)部結(jié)構(gòu)和參數(shù)有關(guān)，而與輸入量和初始條件等外部因素?zé)o關(guān)。 2．傳遞函數(shù)是復(fù)變量s的有理真分式，分母多項式的次數(shù)n高于分子多項式的次數(shù)m(這是控制系統(tǒng)的物理性質(zhì)決定的)，而且其所有系數(shù)均為實數(shù)(因為元件參數(shù)只能是實數(shù))。 3．傳遞函數(shù)等于單位脈沖函數(shù)輸入時的系統(tǒng)輸出響應(yīng)的象函數(shù)，或者說傳遞函數(shù)的拉氏反變換是系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)。 4．在復(fù)數(shù)平面內(nèi)，一定的傳遞函數(shù)有一定的零，極點分布圖與之相對應(yīng)。 5．分母中的最高階若為n，則稱系統(tǒng)為n階系統(tǒng)。 6. 傳遞函數(shù)只能用于研究單輸入、單輸出系統(tǒng)，它只能反映輸入和輸出間的關(guān)系，并且對于非零初始狀態(tài)的系統(tǒng)運(yùn)動特性不能反映。 典型環(huán)節(jié)及其傳遞函數(shù) (一) 放大環(huán)節(jié)(比例環(huán)節(jié)) 放大環(huán)節(jié)的輸出量以一定比例復(fù)現(xiàn)輸入量，而毫無失真和時間滯后現(xiàn)象。設(shè)輸入量為xr(t)，輸出量為xc(t)，則其運(yùn)動方程式為 xc(t)=Kxr(t) 其傳遞函數(shù)為 G(s)=Xc(s)/Xr(s)=K 式中 K——放大系數(shù)。 放大環(huán)節(jié)的共同特點是傳遞函數(shù)為一常數(shù)。純放大環(huán)節(jié)是很少見的，多數(shù)是忽略某些次要因素后視為放大環(huán)節(jié)。幾乎所有控制系統(tǒng)都有放大環(huán)節(jié)，主要用于電壓、電流、力、速度等的放大或減小。 (二) 慣性環(huán)節(jié) 在慣性環(huán)節(jié)中，總含有儲能元件，以致使輸出不能立即復(fù)現(xiàn)突變型式的輸入，而是落后于輸入。設(shè)輸入為xr(t)，輸出為xc(t)，則其運(yùn)動方程式為 其傳遞函數(shù)為 G(s)=Xc(s)/Xr(s)=K/(Ts+1) 式中 T——環(huán)節(jié)的時間常數(shù)； K——環(huán)節(jié)的放大系數(shù)。 慣性環(huán)節(jié)的特性由時間常數(shù)T和放大系數(shù)K決定。慣性環(huán)節(jié)的輸出量和輸入量的量綱可能是相同的，也可能是不相同的。K等于輸出量與輸入量的穩(wěn)態(tài)值之比。 圖2-9 電氣慣性環(huán)節(jié) (三) 積分環(huán)節(jié) 積分環(huán)節(jié)的輸出量xc(t)的變化率和輸入量xr(t)成正比，即 其傳遞函數(shù)為 G(s)=Xc(s)/Xr(s)=K/s (四) 振蕩環(huán)節(jié) 振蕩環(huán)節(jié)包含兩種形式的儲能元件，并且所儲存的能量相互轉(zhuǎn)換。如機(jī)械位能和動能之間，電能和磁能之間的轉(zhuǎn)換等。因此，使輸出量具有振蕩的性質(zhì)。設(shè)輸出量為xc，輸入量為xr，振蕩環(huán)節(jié)的運(yùn)動方程式為 其傳遞函數(shù)為 令，可寫成 式中 T——時間常數(shù)； ζ——阻尼比； K——放大系數(shù)。 顯然，決定振蕩環(huán)節(jié)性能的參數(shù)有放大系數(shù)K，時間常數(shù)T和阻尼比ζ。 (五) 一階微分環(huán)節(jié) 一階微分環(huán)節(jié)有理想微分環(huán)節(jié)和實際微分環(huán)節(jié)之分。理想微分環(huán)節(jié)的輸出xυ(t)為輸入xr(t)的微分。其運(yùn)動方程式為 則傳遞函數(shù)為 G(s)=Xc(s)/Xr(s)=Ks 從數(shù)學(xué)觀點來看，微分是一個求變化率的過程。因此，任何一個能指示出—個量的變化速率的裝置都可視為微分環(huán)節(jié)。實際微分環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)常帶有慣性環(huán)節(jié)，即 G(s)=Xc(s)/Xr(s)=Ks/(Ts+1) 微分環(huán)節(jié)是自動控制系統(tǒng)中經(jīng)常用于改善系統(tǒng)性能的環(huán)節(jié). (六) 二階微分環(huán)節(jié) 二階微分環(huán)節(jié)的運(yùn)動方程為 相應(yīng)地二階微分環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)為 可見二階微分環(huán)節(jié)的輸出不僅決定于輸入量本身，還決定于它的一階導(dǎo)數(shù)和二階導(dǎo)數(shù)。其特性由K、τ和ζ三個參數(shù)來表示。該環(huán)節(jié)主要用來幫助改善系統(tǒng)的動態(tài)品質(zhì)。 (七) 時滯環(huán)節(jié) 在實際控制系統(tǒng)中常遇到時滯環(huán)節(jié)，即輸入信號加入后，輸出要隔一定時間τ才能復(fù)現(xiàn)輸入信號，時滯環(huán)節(jié)的運(yùn)動方程為 xc(t)=xr(t-τ) 根據(jù)時域位移定理，其傳遞函數(shù)為 圖2-11 時滯環(huán)節(jié) 系統(tǒng)動態(tài)結(jié)構(gòu)圖 控制系統(tǒng)的動態(tài)結(jié)構(gòu)圖一般由如下四種基本單元組成，它們是 （1）信號線：帶有箭頭的直線，箭頭表示信號的傳遞方向，信號線上標(biāo)信號的原函數(shù)或象函數(shù) 。 （2）方框：方框中為元部件的傳遞函數(shù)。它起著對信號的運(yùn)算和轉(zhuǎn)換作用 。 （3）引出點：表示信號引出或測量位置，從同一點引出的信號完全相同，如圖 (c)所示。 （4）綜合點（比較點）：對兩個以上信號進(jìn)行加減運(yùn)算，“＋”號表示相加，“－”號表示相減，如圖 (d)所示。 U(s) C(s) G(s) (b) U(s) (a) U(s) U(s) (c) U(s) U(s)R(s) R(s) (d) 圖 組成動態(tài)結(jié)構(gòu)圖的基本單元 2. 結(jié)構(gòu)圖的運(yùn)算法則 系統(tǒng)各環(huán)節(jié)之間一般有三種聯(lián)接方式：串聯(lián)、并聯(lián)和反饋聯(lián)接。 （1）串聯(lián)運(yùn)算法則 n個環(huán)節(jié)串聯(lián)的總傳遞函數(shù)等于各個環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)之積。 （2）并聯(lián)運(yùn)算法則 n個同向環(huán)節(jié)相并聯(lián)的總傳遞函數(shù)等于各環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)之代數(shù)和。 （3）反饋運(yùn)算法則 具有反饋環(huán)節(jié)的系統(tǒng)的總傳遞函數(shù)等于前向通路的傳遞函數(shù)除以1加(或減)前向通路和反饋通路兩者傳遞函數(shù)的乘積。 即 （負(fù)反饋） （正反饋） （4）比較點移位法則和引出點移位法則 在復(fù)雜的反饋系統(tǒng)中，除了主反饋之外，常有互相交錯的局部反饋。為了便于運(yùn)算，常通過移動比較點和引出點的方法，將系統(tǒng)結(jié)構(gòu)作些變化，以減少局部反饋回路。這叫做方框圖變換(或簡化)。方框圖變換的原則是：變換前后的輸出信號應(yīng)不變。 引出點的前后移動 其等效變換結(jié)構(gòu)圖如圖 所示。 (a) 引出點前移 (b) 引出點后移 圖 引出點前后移動等效變換 3. 有擾動參與作用下的閉環(huán)系統(tǒng) 當(dāng)給定量R(s)和擾動量N(s)兩個輸入量同時作用于線性系統(tǒng)時，可對每一輸入量分別求出輸出量，然后應(yīng)用疊加原理，將兩者疊加而成系統(tǒng)的總輸出量。 （1）在R(s)作用下的閉環(huán)傳遞函數(shù) 設(shè)N(s)＝0，應(yīng)用反饋運(yùn)算法則得閉環(huán)傳遞函數(shù) 故 （2）在N(s)作用下的閉環(huán)傳遞函數(shù) 應(yīng)用反饋運(yùn)算法則得閉環(huán)傳遞函數(shù)為 故 圖 圖 圖2-21的等效方框圖 （3）合成輸出響應(yīng) 根據(jù)疊加原理，給定量和擾動量兩種輸入同時作用下的系統(tǒng)合成響應(yīng)為 由上式可知，當(dāng)|G1(s)G2(s)H(s)|>>1和|G1(s)H(s)|>>1時，ΦN(s)≈0，這意味著擾動N(s)的影響被抑制掉了。這是閉環(huán)系統(tǒng)的優(yōu)點之一。此外，當(dāng)|G1(s)G2(s)H(s)|>>1時,, 即ΦR與前向通路的傳遞函數(shù)G1(s)G2(s)無關(guān)，只與反饋通路的傳遞函數(shù)H(s)成反比。這是閉環(huán)系統(tǒng)的另一優(yōu)點。 （4）系統(tǒng)的誤差傳遞函數(shù) 以誤差信號E(s)為輸出、以給定量R(s)或干擾量N(s)為輸入量的閉環(huán)傳遞函數(shù)稱為系統(tǒng)的誤差傳遞函數(shù)。 在R(s)作用下的誤差傳遞函數(shù) 設(shè)N(s)＝0，再用反饋運(yùn)算法則得誤差傳遞函數(shù)為 上式對于反饋系統(tǒng)的誤差分析是非常重要的。 在N(s)作用下的誤差傳遞函數(shù) 設(shè)R(s)＝0，再根據(jù)正饋運(yùn)算法則得誤差傳遞函數(shù)為 在R(s)和N(s)同時作用下的合成誤差，可應(yīng)用疊加原理求得，即 E(s)=ER(s)+EN(s) 以上各式中，當(dāng)H(s)=1時，就得到單位反饋系統(tǒng)的各種傳遞函數(shù)。 繪制系統(tǒng)方框圖的步驟 1．首先按照系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)和工作原理，分解出各環(huán)節(jié)； 2．列寫系統(tǒng)各組成環(huán)節(jié)的運(yùn)動方程，并進(jìn)行線性化； 3．求初始條件皆為零時的各組成環(huán)節(jié)的拉氏變換式； 4．分別以方框圖的形式表達(dá)各環(huán)節(jié)的拉氏變換式； 5．將各環(huán)節(jié)的方框圖中的相同變量用箭頭聯(lián)接起來，便構(gòu)成系統(tǒng)的總方框圖。 第3章 輔導(dǎo) 控制系統(tǒng)典型的輸入信號 1. 階躍函數(shù) 階躍函數(shù)的定義是 式中A為常數(shù)。A等于1的階躍函數(shù)稱為單位階躍函數(shù)，如圖所示。它表示為 xr(t)＝l(t)，或xr(t)=u(t) 單位階躍函數(shù)的拉氏變換為 Xr(s)=L[1(t)]=1/s 在t＝0處的階躍信號，相當(dāng)于一個不變的信號突然加到系統(tǒng)上；對于恒值系統(tǒng)，相當(dāng)于給定值突然變化或者突然變化的擾動量；對于隨動系統(tǒng)，相當(dāng)于加一突變的給定位置信號。 2. 斜坡函數(shù) 這種函數(shù)的定義是 式中A為常數(shù)。該函數(shù)的拉氏變換是 Xr(s)=L[At]=A/s2 這種函數(shù)相當(dāng)于隨動系統(tǒng)中加入一按恒速變化的位置信號，該恒速度為A。當(dāng)A＝l時，稱為單位斜坡函數(shù)，如圖所示。 3. 拋物線函數(shù) 如圖 所示，這種函數(shù)的定義是 式中A為常數(shù)。這種函數(shù)相當(dāng)于隨動系統(tǒng)中加入一按照恒加速變化的位置信號，該恒加速度為A。拋物線函數(shù)的拉氏變換是 Xr(s)=L[At2]=2A/s3 當(dāng)A＝1/2時，稱為單位拋物線函數(shù)，即Xr(s)=1/s3。 4. 脈沖函數(shù) 這種函數(shù)的定義是 式中A為常數(shù)，ε為趨于零的正數(shù)。脈沖函數(shù)的拉氏變換是 當(dāng)A＝1，ε→0時，稱為單位脈沖函數(shù)δ(t)，如圖 所示。單位脈沖函數(shù)的面積等于l，即 在t＝t0處的單位脈沖函數(shù)用δ(t-t0)來表示，它滿足如下條件 幅值為無窮大、持續(xù)時間為零的脈沖純屬數(shù)學(xué)上的假設(shè)，但在系統(tǒng)分析中卻很有用處。單位脈沖函數(shù)δ(t)可認(rèn)為是在間斷點上單位階躍函數(shù)對時間的導(dǎo)數(shù)，即 反之，單位脈沖函數(shù)δ(t)的積分就是單位階躍函數(shù)。 控制系統(tǒng)的時域性能指標(biāo) 對控制系統(tǒng)的一般要求歸納為穩(wěn)、準(zhǔn)、快。工程上為了定量評價系統(tǒng)性能好壞，必須給出控制系統(tǒng)的性能指標(biāo)的準(zhǔn)確定義和定量計算方法。 1 動態(tài)性能指標(biāo) 動態(tài)性能指標(biāo)通常有如下幾項： 延遲時間 階躍響應(yīng)第一次達(dá)到終值的50％所需的時間。 上升時間 階躍響應(yīng)從終值的10％上升到終值的90％所需的時間；對有振蕩的系統(tǒng)，也可定義為從0到第一次達(dá)到終值所需的時間。 峰值時間 階躍響應(yīng)越過穩(wěn)態(tài)值達(dá)到第一個峰值所需的時間。 調(diào)節(jié)時間 階躍響到達(dá)并保持在終值％誤差帶內(nèi)所需的最短時間；有時也用終值的％誤差帶來定義調(diào)節(jié)時間。 超調(diào)量％ 峰值超出終值的百分比，即 ％％ 在上述動態(tài)性能指標(biāo)中，工程上最常用的是調(diào)節(jié)時間（描述“快”），超調(diào)量％（描述“勻”）以及峰值時間。 2 穩(wěn)態(tài)性能指標(biāo) 穩(wěn)態(tài)誤差是時間趨于無窮時系統(tǒng)實際輸出與理想輸出之間的誤差，是系統(tǒng)控制精度或抗干擾能力的一種度量。穩(wěn)態(tài)誤差有不同定義，通常在典型輸入下進(jìn)行測定或計算。 一階系統(tǒng)的階躍響應(yīng) 一. 一階系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型 由一階微分方程描述的系統(tǒng)，稱為一階系統(tǒng)。一些控制元部件及簡單系統(tǒng)如RC網(wǎng)絡(luò)、發(fā)電機(jī)、空氣加熱器、液面控制系統(tǒng)等都是一階系統(tǒng)。 因為單位階躍函數(shù)的拉氏變換為R(s)=1/s，故輸出的拉氏變換式為 取C(s)的拉氏反變換得 或?qū)懗? 式中，css=1，代表穩(wěn)態(tài)分量；代表暫態(tài)分量。當(dāng)時間t趨于無窮，暫態(tài)分量衰減為零。顯然，一階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)曲線是一條由零開始，按指數(shù)規(guī)律上升并最終趨于1的曲線，如圖所示。響應(yīng)曲線具有非振蕩特征，故又稱為非周期響應(yīng)。 一階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng) 二階系統(tǒng)的階躍響應(yīng) 典型二階系統(tǒng)方框圖，其閉環(huán)傳遞函數(shù)為： 式中 Kv--開環(huán)增益； ωn--無阻尼自然頻率或固有頻率，； ζ--阻尼比，。 二階系統(tǒng)的閉環(huán)特征方程為 s2+2ζωns+ω2n=0 其特征根為 1. 臨界阻尼(ζ=1) 其時域響應(yīng)為 上式包含一個衰減指數(shù)項。c(t)為一無超調(diào)的單調(diào)上升曲線，如圖3-8b所示。 (a) (b) (c) ζ≥1時二階系統(tǒng)的特征根的分布與單位階躍響應(yīng) 2. 過阻尼(ζ＞1) 具有兩個不同負(fù)實根的慣性環(huán)節(jié)單位階躍響應(yīng)拉氏變換式。其時域響應(yīng)必然包含二個衰減的指數(shù)項，其動態(tài)過程呈現(xiàn)非周期性，沒有超調(diào)和振蕩。圖為其特征根分布圖。 3. 欠阻尼（0<ζ＜1） 圖3-9 0<ζ＜1時二階系統(tǒng)特征根的分布 圖3-10 欠阻尼時二階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng) 4. 無阻尼(ζ＝0) 其時域響應(yīng)為 在這種情況下，系統(tǒng)的響應(yīng)為等幅(不衰減)振蕩， 圖ζ＝0時特征根的分布 圖ζ＝0時二階系統(tǒng)的階躍響應(yīng) 5. 負(fù)阻尼（ζ＜0） 當(dāng)ζ＜0時，特征根將位于復(fù)平面的虛軸之右，其時域響應(yīng)中的e的指數(shù)將是正的時間函數(shù)，因而為發(fā)散的，系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。 顯然，ζ≤0時的二階系統(tǒng)都是不穩(wěn)定的，而在ζ≥1時，系統(tǒng)動態(tài)響應(yīng)的速度又太慢，所以對二階系統(tǒng)而言，欠阻尼情況是最有實際意義的。下面討論這種情況下的二階系統(tǒng)的動態(tài)性能指標(biāo)。 欠阻尼二階系統(tǒng)的動態(tài)性能指標(biāo) 1. 上升時間tr 上升時間tr是指瞬態(tài)響應(yīng)第一次到達(dá)穩(wěn)態(tài)值所需的時間。 由此式可見，阻尼比ζ越小，上升時間tr則越??；ζ越大則tr越大。固有頻率ωn越大，tr越小，反之則tr越大。 2. 峰值時間tp及最大超調(diào)量Mp 最大超調(diào)量 最大超調(diào)百分?jǐn)?shù) 3. 調(diào)整時間ts 圖3-13 二階系統(tǒng)單位階躍響應(yīng)的一對包絡(luò)線 圖3-14 調(diào)節(jié)時間和阻尼比的近似關(guān)系 根據(jù)以上分析，二階振蕩系統(tǒng)特征參數(shù)ζ和ωn與瞬態(tài)性能指標(biāo)(δ 4. 振蕩次數(shù)μ 在調(diào)整時問ts之內(nèi)，輸出c(t)波動的次數(shù)稱為振蕩次數(shù)μ，顯然 式中 ，稱為阻尼振蕩的周期時間。 這一系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)瞬態(tài)特性指標(biāo)為： 最大超調(diào)百分?jǐn)?shù) 上升時間 調(diào)整時間 (用近似式求得為8T) (用近似式求得為6T) 有一位置隨動系統(tǒng)其中Kk＝4。求該系統(tǒng)的(１)固有頻率；(2)阻尼比；(3)超調(diào)量和調(diào)整時間；(4)如果要求實現(xiàn)工程最佳參數(shù)ζ＝l／，開環(huán)放大系數(shù)值應(yīng)是多少？ 【解】系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為 與二階系統(tǒng)標(biāo)準(zhǔn)形式的傳遞函數(shù) 對比得：(1) 固有頻率 (2) 阻尼比 由得 (3) 超調(diào) (4) 調(diào)整時間 當(dāng)要求時，由 得 可見該系統(tǒng)要滿足工程最佳參數(shù)的要求，須降低開環(huán)放大系數(shù)的值。但是，降低值將增大系統(tǒng)的誤差。 勞斯穩(wěn)定判據(jù) 將系統(tǒng)的特