(通用版)2019高考數(shù)學二輪復習 第二篇 第29練 壓軸小題突破練(2)精準提分練習 文.docx
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第29練 壓軸小題突破練(2) [明晰考情] 高考選擇題的12題位置、填空題的16題位置,往往出現(xiàn)邏輯思維深刻,難度高檔的題目. 考點一 與向量有關的壓軸小題 方法技巧 (1)以向量為載體的綜合問題,要準確使用平面向量知識進行轉化,最后歸結為不含向量的問題. (2)平面向量常與三角函數(shù)、平面幾何、解析幾何等相結合,利用向量共線或數(shù)量積的知識解題. 1.已知△ABC的外接圓半徑為1,圓心為點O,且3+4+5=0,則的值為( ) A.B.C.-D. 答案 C 解析 ∵3+4+5=0, ∴4+5=-3, ∴162+40+252=92, 又∵||=||=||=1, ∴=-,同理可求=-. ∴=(-) =--=-. 故選C. 2.已知P是△ABC所在平面內(nèi)一點,若=-,則△PBC與△ABC的面積的比為( ) A.B.C.D. 答案 A 解析 在線段AB上取D使AD=AB,則=-,過A作直線l使l∥BC,在l上取點E使=,過D作l的平行線,過E作AB的平行線,設交點為P, 則由平行四邊形法則可得=-, 設△PBC的高為h,△ABC的高為k,由三角形相似可得h∶k=1∶3, ∵△PBC與△ABC有公共的底邊BC, ∴△PBC與△ABC的面積的比為,故選A. 3.(2017江蘇)如圖,在同一個平面內(nèi),向量,,的模分別為1,1,,與的夾角為α,且tanα=7,與的夾角為45.若=m+n(m,n∈R),則m+n=________. 答案 3 解析 如圖,過點C作CD∥OB交OA的延長線于點D. 設=m,=n,則在△ODC中有OD=m, DC=n,OC=,∠OCD=45, 由tanα=7,得cosα=, 又由余弦定理知, 即 ①+②得4-2n-m=0,即m=10-5n,代入①得12n2-49n+49=0,解得n=或n=,當n=時,m=10-5=-<0(舍去),當n=時,m=10-5=,故m+n=+=3. 4.已知=(1,0),=(1,1),(x,y)=λ+μ.若0≤λ≤1≤μ≤2時,z=+(m>0,n>0)的最大值為2,則m+n的最小值為____________. 答案?。? 解析 (x,y)=λ+μ=(λ+μ,μ)?λ=x-y,μ=y(tǒng), 所以0≤x-y≤1≤y≤2,可行域為一個平行四邊形及其內(nèi)部,由直線z=+斜率小于零知直線z=+過點(3,2)取最大值,即+=2, 因此m+n=(m+n)=≥=+, 當且僅當=時取等號. 考點二 與解析幾何有關的壓軸小題 方法技巧 求圓錐曲線范圍,最值問題的常用方法 (1)定義性質轉化法:利用圓錐曲線的定義性質進行轉化,根據(jù)平面幾何中的結論確定最值或范圍. (2)目標函數(shù)法:建立所求的目標函數(shù),將所求最值轉化為函數(shù)最值解決. (3)條件不等式法:找出與變量相關的所有限制條件,然后再通過解決不等式(組)求變量的范圍. 5.已知F1,F(xiàn)2是橢圓C:+=1(a>b>0)的左、右焦點,A是C的左頂點,點P在過A且斜率為的直線上,△PF1F2為等腰三角形,∠F1F2P=120,則C的離心率為( ) A. B. C. D. 答案 D 解析 如圖,作PB⊥x軸于點B. 由題意可設|F1F2|=|PF2|=2,則c=1, 由∠F1F2P=120, 可得|PB|=,|BF2|=1, 故|AB|=a+1+1=a+2, tan∠PAB===, 解得a=4, 所以e==. 故選D. 6.已知F1(-c,0),F(xiàn)2(c,0)為橢圓+=1(a>b>0)的兩個焦點,P為橢圓上一點且=c2,則此橢圓離心率的取值范圍是( ) A.B.C.D. 答案 C 解析 設P(m,n),則=(-c-m,-n)(c-m,-n)=m2-c2+n2=c2, ∴2c2-m2=n2.① 把P(m,n)代入+=1,得+=1,② ①代入②得m2=≥0, ∴a2b2≤2a2c2,即b2≤2c2, 又a2=b2+c2,∴a2≤3c2,即e=≥. 又m2=≤a2,即a2≥2c2,即e=≤, ∴橢圓離心率的取值范圍是. 7.已知F是拋物線y2=x的焦點,點A,B在該拋物線上且位于x軸的兩側,=2(其中O為坐標原點),則△ABO與△AFO面積之和的最小值為( ) A.2B.3C.D. 答案 B 解析 設直線AB的方程為x=ty+m,點A(x1,y1),B(x2,y2),直線AB與x軸的交點為M(m,0),聯(lián)立得y2-ty-m=0, 根據(jù)根與系數(shù)的關系有y1y2=-m, ∵=2, ∴x1x2+y1y2=2,結合y=x1,y=x2, 得(y1y2)2+y1y2-2=0,∵點A,B位于x軸的兩側, ∴y1y2=-2,故m=2, 不妨設點A在x軸上方,則y1>0,又F, ∴S△ABO+S△AFO=2(y1-y2)+y1=y(tǒng)1+≥2=3,當且僅當y1=,即y1=時,取等號, ∴△ABO與△AFO面積之和的最小值是3. 8.如圖,拋物線y2=4x的一條弦AB經(jīng)過焦點F,取線段OB的中點D,延長OA至點C,使=,過點C,D作y軸的垂線,垂足分別為E,G,則的最小值為__________________. 答案 4 解析 設點A,B的坐標為A(xA,yA),B(xB,yB), 由題意可知=+ =2≥2 =2, 當直線AB的斜率存在時,設直線AB的斜率為k,則直線AB的方程為y=k(x-1),聯(lián)立得ky2-4y-4k=0, 由根與系數(shù)的關系,得yAyB=-4,由此可知|EG|≥4,當且僅當時等號成立, 即的最小值為4. 當直線AB的斜率不存在時,直線AB:x=1,此時A(1,-2),B(1,2),所以C(2,-4),D,即G(0,1), E(0,-4),所以|EG|=5. 綜上,|EG|的最小值為4. 考點三 與推理證明有關的壓軸小題 方法技巧 推理證明問題考查學生邏輯推理能力,屬于較難題,考試形式往往為 (1)以數(shù)表、數(shù)陣、圖形為背景與數(shù)列、周期性等知識相結合考查歸納推理和類比推理,多以小題形式出現(xiàn). (2)“新定義”問題題型較為新穎,所包含的信息豐富,能較好地考查學生分析問題、解決問題的能力,越來越受到關注和重視. 9.給出以下數(shù)對序列: (1,1) (1,2)(2,1) (1,3)(2,2)(3,1) (1,4)(2,3)(3,2)(4,1) … 若第i行的第j個數(shù)對為aij,如a43=(3,2),則anm等于( ) A.(m,n-m+1) B.(m-1,n-m) C.(m-1,n-m+1) D.(m,n-m) 答案 A 解析 方法一 由前4行的特點,歸納可得:若anm=(a,b),則a=m,b=n-m+1,∴anm=(m,n-m+1). 方法二 賦值法,令m=n=1,則anm=a11=(1,1),分別代入選項A,B,C,D,只有A結果為(1,1)符合題意. 10.老王和小王父子倆玩一種類似于古代印度的“梵塔游戲”:有3個柱子甲、乙、丙,在甲柱上現(xiàn)有4個盤子,最上面的兩個盤子大小相同,從第二個盤子往下大小不等,大的在下,小的在上(如圖),把這4個盤子從甲柱全部移到乙柱游戲即結束,在移動過程中每次只能移動一個盤子,甲、乙、丙柱都可以利用,且3個柱子上的盤子始終保持小的盤子不能放在大的盤子之下,設游戲結束需要移動的最少次數(shù)為n,則n等于( ) A.7B.8C.11D.15 答案 C 解析 由題意得,根據(jù)甲乙丙三圖可知最上面的兩個是一樣大小的,所以比三個盤子不同時操作的次數(shù)(23-1)要多,比四個s盤子不同時操作的次數(shù)(24-1)要少,相當于與操作三個不同盤子的時候相比,最上面的那個動了幾次,就會增加幾次,故游戲結束需要移動的最少次數(shù)為11. 11.學校藝術節(jié)對同一類的A,B,C,D四項參賽作品,只評一項一等獎,在評獎揭曉前,甲、乙、丙、丁四位同學對這四項參賽作品預測如下: 甲說:“C或D作品獲得一等獎”; 乙說:“B作品獲得一等獎”; 丙說:“A,D兩項作品未獲得一等獎”; 丁說:“C作品獲得一等獎”. 若這四位同學中只有兩位說的話是對的,則獲得一等獎的作品是__________. 答案 B 解析 若甲同學說的話是對的,則C作品獲得一等獎時,丙、丁兩位說的話也是對的,D作品獲得一等獎時,只有甲說的話是對的,不符合題意;若丁同學說的話是對的,則甲、丙兩位說的話也是對的,所以只有乙、丙兩位說的話是對的,所以獲得一等獎的作品是B. 12.給出定義:設f′(x)是函數(shù)y=f(x)的導函數(shù),f″(x)是函數(shù)f′(x)的導函數(shù),若方程f″(x)=0有實數(shù)解x0,則稱點(x0,f(x0))為函數(shù)y=f(x)的“拐點”.已知函數(shù)f(x)=3x+4sinx-cosx的拐點是M(x0,f(x0)),則點M在直線________上. 答案 y=3x 解析 f′(x)=3+4cosx+sinx,f″(x)=-4sinx+cosx,4sinx0-cosx0=0,所以f(x0)=3x0, 故M(x0,f(x0))在直線y=3x上. 1.(2018天津)在如圖所示的平面圖形中,已知OM=1,ON=2,∠MON=120,=2,=2,則的值為( ) A.-15B.-9C.-6D.0 答案 C 解析 如圖,連接MN. ∵=2, =2, ∴==, ∴MN∥BC,且=, ∴=3=3(-), ∴=3(-2)=3(21cos120-12)=-6. 故選C. 2.已知向量a,b滿足|a|=2|b|≠0,且關于x的函數(shù)f(x)=2x3+3|a|x2+6abx+7在實數(shù)集R上單調(diào)遞增,則向量a,b的夾角的取值范圍是( ) A. B. C. D. 答案 C 解析 求導可得f′(x)=6x2+6|a|x+6ab,則由函數(shù)f(x)=2x3+3|a|x2+6abx+7在實數(shù)集R上單調(diào)遞增,可得f′(x)=6x2+6|a|x+6ab≥0在R上恒成立,即x2+|a|x+ab≥0恒成立, 故判別式Δ=a2-4ab≤0, 再由|a|=2|b|≠0,可得8|b|2≤8|b|2cos〈a,b〉, ∴cos〈a,b〉≥, 又∵〈a,b〉∈[0,π], ∴〈a,b〉∈. 3.(2018重慶診斷)設集合A={(x,y)|(x+3sinα)2+(y+3cosα)2=1,α∈R},B={(x,y)|3x+4y+10=0},記P=A∩B,則點集P所表示的軌跡長度為( ) A.2 B.2 C.4 D.4 答案 D 解析 由題意得圓(x+3sinα)2+(y+3cosα)2=1的圓心(-3sinα,-3cosα)在圓x2+y2=9上,當α變化時,該圓繞著原點轉動,集合A表示的區(qū)域是如圖所示的環(huán)形區(qū)域(陰影部分所示). 由于原點(0,0)到直線3x+4y+10=0的距離為d==2,所以直線3x+4y+10=0恰好與圓環(huán)的小圓相切. 所以P=A∩B表示的是直線3x+4y+10=0截圓環(huán)的大圓x2+y2=16所得的弦長. 故點集P所表示的軌跡長度為2=4. 4.已知點M(1,0),A,B是橢圓+y2=1上的動點,且=0,則的取值范圍是( ) A. B.[1,9] C. D. 答案 C 解析 設A(x1,y1),B(x2,y2),則=(x1-1,y1),=(x2-1,y2),=(x1-x2,y1-y2), 由題意有=(x1-1)(x2-1)+y1y2=0, 所以=(x1-1)(x1-x2)+y1(y1-y2) =(x1-1)x1-(x1-1)x2+y-y1y2 =x-x1+y-[(x1-1)(x2-1)+y1y2+(x1-1)] =x-x1+1-x-x1+1 =x-2x1+2 =2+,x1∈[-2,2]. 所以當x1=-2時,有最大值9, 當x1=時,有最小值,故選C. 5.若數(shù)列{an}滿足-=0,n∈N*,p為非零常數(shù),則稱數(shù)列{an}為“夢想數(shù)列”.已知正項數(shù)列為“夢想數(shù)列”,且b1b2b3…b99=299,則b8+b92的最小值是( ) A.2 B.4 C.6 D.8 答案 B 解析 依題意可得bn+1=pbn,則數(shù)列{bn}為等比數(shù)列.又b1b2b3…b99=299=b,則b50=2.b8+b92≥2=2b50=4,當且僅當b8=b92=2,即該數(shù)列為常數(shù)列時取等號. 6.來自英、法、日、德的甲、乙、丙、丁四位客人,剛好碰在一起.他們除懂本國語言外,每人還會說其他三國語言中的一種.有一種語言是三個人會說的,但沒有一種語言四人都懂,現(xiàn)知道:①甲是日本人,丁不會說日語,但他倆能自由交談;②四人中沒有一個人既能用日語交談,又能用法語交談;③乙、丙、丁交談時,不能只用一種語言;④乙不會說英語,當甲與丙交談時,他能做翻譯.針對他們懂的語言,正確的推理是( ) A.甲日德、乙法德、丙英法、丁英德 B.甲日英、乙日德、丙德法、丁日英 C.甲日德、乙法德、丙英德、丁英德 D.甲日法、乙英德、丙法德、丁法英 答案 A 解析 分析題目和選項,由①知,丁不會說日語,排除B選項;由②知,沒有人既會日語又會法語,排除D選項;由③知乙、丙、丁不會同一種語言,排除C選項,故選A. 7.(2018石家莊模擬)拋物線C:y=x2的焦點為F,其準線l與y軸交于點A,點M在拋物線C上,當=時,△AMF的面積為( ) A.1 B.2 C.2 D.4 答案 B 解析 F(0,1),A(0,-1),過M作MN⊥l,垂足為N,∴△AMF的高為|AN|, 設M(m>0), 則S△AMF=2m=m. 又由=,|MN|=|MF|, ∴△AMN為等腰直角三角形, ∴m2+1=m,∴m=2, ∴△AMF的面積為2. 8.在直角梯形ABCD中,AB⊥AD,AD∥BC,AB=BC=2AD=2,E,F(xiàn)分別為BC,CD的中點,以A為圓心,AD為半徑的圓交AB于點G,點P在上運動(如圖).若=λ+μ,其中λ,μ∈R,則6λ+μ的取值范圍是( ) A.[1,] B.[,2] C.[2,2] D.[1,2] 答案 C 解析 建立如圖所示的平面直角坐標系, 則A(0,0),B(2,0),E(2,1),C(2,2),D(0,1),F(xiàn). 設P(cosθ,sinθ),其中0≤θ≤,則 =(cosθ,sinθ),=(2,1),=, ∵=λ+μ, ∴(cosθ,sinθ)=λ(2,1)+μ, 即 解得 ∴6λ+μ=2sinθ+2cosθ=2sin, ∵0≤θ≤,∴≤θ+≤, ∴2≤2sin≤2, 即6λ+μ的取值范圍是[2,2],故選C. 9.在△ABC中,A,B,C所對的邊分別為a,b,c,已知a2+b2-c2=ab,且acsinB=2sinC,則=________. 答案 3 解析 由a2+b2-c2=ab,得2cosC=,即cosC=,由acsinB=2sinC,得=,由=,得ab=2,所以=abcosC=2=3. 10.設數(shù)列{an}的前n項和為Sn,若為常數(shù),則稱數(shù)列{an}為“精致數(shù)列”.已知等差數(shù)列{bn}的首項為1,公差不為0,若數(shù)列{bn}為“精致數(shù)列”,則數(shù)列{bn}的通項公式為__________. 答案 bn=2n-1(n∈N*) 解析 設等差數(shù)列{bn}的公差為d,由為常數(shù),設=k且b1=1,得n+n(n-1)d=k, 即2+(n-1)d=4k+2k(2n-1)d, 整理得(4k-1)dn+(2k-1)(2-d)=0, 因為對任意正整數(shù)n上式恒成立, 則 解得 所以數(shù)列{bn}的通項公式為bn=2n-1(n∈N*). 11.將全體正整數(shù)排成一個三角形數(shù)陣: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 … 根據(jù)以上排列規(guī)律,數(shù)陣中第n(n>3)行從左至右的第3個數(shù)是________. 答案 解析 前n-1行共有正整數(shù)1+2+…+(n-1)=個,即個,因此第n行從左至右的第3個數(shù)是全體正整數(shù)中第+3個,即為. 12.過雙曲線-=1(a>0,b>0)的左焦點F(-c,0)(c>0),作圓x2+y2=的切線,切點為E,延長FE交雙曲線右支于點P,若=2-,則雙曲線的離心率為________. 答案 解析 由=2-,得 =(+),可知E為PF的中點,令右焦點為F′,則O為FF′的中點,PF′∥OE,|PF′|=2|OE|=a, ∵E為切點, ∴OE⊥PF,PF′⊥PF,|PF|-|PF′|=2a,|PF|=3a, ∴|PF|2+|PF′|2=|FF′|2, 則10a2=4c2,∴e=.- 配套講稿:
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