2018-2019學年高中數學 第2章 統計 2.1.3 分層抽樣學案 蘇教版必修3.doc

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2.1.3　分層抽樣 學習目標　1.理解分層抽樣的概念(難點)；2.會用分層抽樣從總體中抽取樣本(重點)；3.了解兩種抽樣法的聯系和區(qū)別. 知識點一　分層抽樣 1.分層抽樣的概念 一般地，當總體由差異明顯的幾個部分組成時，為了使樣本更客觀地反映總體情況，我們常常將總體中的個體按不同的特點分成層次比較分明的幾個部分，然后按各個部分在總體中所占的比實施抽樣，這種抽樣方法叫分層抽樣，所分成的各個部分稱為“層”. 分層抽樣具有如下特點： (1)適用于總體由差異明顯的幾部分組成的情況； (2)按比例確定每層抽取個體的個數； (3)在每一層進行抽樣時，采用簡單隨機抽樣的方法； (4)分層抽樣能充分利用已掌握的信息，使樣本具有良好的代表性； (5)分層抽樣也是等機會抽樣，每個個體被抽到的可能性都是，而且在每層抽樣時，可以根據個體情況采用不同的抽樣方法 2.分層抽樣的步驟 分層抽樣的步驟是： (1)將總體按一定標準分層； (2)計算各層的個體數與總體的個體數的比； (3)按各層個體數占總體的個體數的比確定各層應抽取的樣本容量； (4)在每一層進行抽樣(可用簡單隨機抽樣). 【預習評價】　(正確的打“√”，錯誤的打“”) 1.在分層抽樣中，每一個個體被抽到的可能性是相等的；(　　) 2.在各層中抽取的個體數與該層個體數之比等于抽樣比；(　　) 3.分層抽樣中，具體分多少層是固定的.(　　) 答案　1.√　2.√　3. 知識點二　抽樣方法的比較 簡單隨機抽樣、分層抽樣的比較如下表所示： 類別 共同點 各自特點 相互聯系 適用范圍 簡單隨機抽樣 (1)抽樣過程中每個個體被抽到的可能性相等； (2)每次抽出個體后不再將它放回，即不放回抽樣 從總體中逐個抽取 總體中的個體數較少 分層抽樣 將總體分成幾層，在各層中按同一抽樣比抽取 在各層抽樣時，采用簡單隨機抽樣或系統抽樣 總體由差異明顯的幾部分組成 【預習評價】 分層抽樣的總體具有什么特性？ 提示　分層抽樣的總體由差異明顯的幾部分構成，也就是說當已知總體由差異明顯的幾部分組成時，為了使樣本充分地反映總體的情況，常將總體分成幾部分，然后按照各部分所占的比例進行抽樣. 題型一　對分層抽樣概念的理解 【例1】　為了保證分層抽樣時每個個體等可能地被抽取，必須要求________(填序號). ①每層等可能抽樣；②每層抽取的個體數相等；③每層抽取的個體可以不一樣多，但必須滿足抽取ni＝n(i＝1,2,3，…，k)個個體(其中k是層數，n是抽取的樣本容量，Ni是第i層中個體的個數，N是總體的容量)；④只要抽取的樣本容量一定，每層抽取的個體數沒有限制. 解析　雖然每層等可能地抽樣，但是沒有指明每層中應抽取幾個個體，故①不正確；由于每層的容量不一定相等，每層也不一定抽同樣多的個體數，顯然從整個總體來看，各層之間的個體被抽取的可能情況就不一樣了，因此②也不正確；對于第i層的每個個體，它被抽到的可能性與層數k無關，即對于每個個體來說，被抽入樣本的可能性是相同的，故③正確；④不正確，因為每層抽取的個體數是有限制的. 答案?、? 規(guī)律方法　分層抽樣的特點主要有： (1)適用總體由差異明顯的幾部分組成的情況； (2)分成的各層互不交叉； (3)是等可能抽樣，每個個體被抽到的可能性都相等，都是(n為樣本容量，N為總體容量)，與層數及分層無關； (4)是不放回抽樣； (5)各層抽取的比例都等于樣本容量在總體中所占的比例； (6)分層抽樣是建立在簡單隨機抽樣的基礎上的，由于它充分利用了已知信息，因此利用它獲得的樣本更具有代表性，更充分反映了總體的情況，在實踐中的應用更為廣泛. 【訓練1】　有40件產品，其中一等品10件，二等品25件，次品5件.現從中抽出8件進行質量分析，則應采取的抽樣方法是________. 解析　總體是由差異明顯的幾部分組成，符合分層抽樣的特點，故采用分層抽樣. 答案　分層抽樣 題型二　分層抽樣的應用 【例2】　一批產品中，有一級品100個，二級品60個，三級品40個，請用分層抽樣法從這批產品中抽取一個容量為20的樣本，應如何抽取？ 解　第一步，確定抽樣比：20∶(100＋60＋40)＝1∶10. 第二步，確定每層中抽取的樣本數：從一級品中抽取100＝10(個)，從二級品中抽取60＝6(個)，從三級品中抽取40＝4(個). 第三步，各層抽樣：用簡單隨機抽樣法或系統抽樣法抽取一級品10個，二級品6個，三級品4個. 第四步，將每層抽取的個體組合在一起構成樣本. 規(guī)律方法　利用分層抽樣抽取樣本的操作步驟： (1)將總體按一定標準進行分層； (2)確定抽樣比； (3)按抽樣比確定各層應抽取的樣本容量； (4)在每一層進行抽樣(可用簡單隨機抽樣)； (5)最后將每一層抽取的樣本匯總合成樣本. 【訓練2】　一個單位有職工800人，其中具有高級職稱的有160人，具有中級職稱的有320人，具有初級職稱的有200人，其余人員120人.為了解職工收入情況，決定采用分層抽樣的方法，從中抽取容量為40的樣本，則從上述各層中依次抽取的人數分別是________. 解析　抽樣比為＝，故各層抽取的人數依次為 160＝8,320＝16,200＝10,120＝6. 答案　8,16,10,6 方向1　抽樣方法的選擇 【例3－1】　某校有教職工240人，其中教師160人，行政人員48人，后勤人員32人.為了了解職工的收入情況，需要從中抽取一個容量為30的樣本，有以下兩種抽樣方法： 方法一：將240人按照1～240進行編號，然后制作出有編號1～240的240個形狀、大小相同的號簽，并將號簽放入一個不透明的箱子里均勻攪拌，然后從中抽取30個號簽，編號和號簽相同的30個人被選出. 方法二：按照人數的比例，從教師中抽出20人，從行政人員中抽出6人，從后勤人員中抽出4人，可抽到30人(從各類人員中抽取所需人員時均采用隨機數表法). 則方法一是________，方法二是________. 解析　根據各個抽樣方法的定義，方法一顯然為抽簽法，屬于簡單隨機抽樣；方法二根據各類人數比例來抽樣，根據分層抽樣的定義，該方法屬于分層抽樣. 答案　簡單隨機抽樣　分層抽樣 方向2　抽樣方法的比較 【例3－2】　在100個零件中，有一級品20個，二級品30個，三級品50個，從中抽取20個作為樣本. 方法1：采用簡單隨機抽樣的方法，將零件編號00,01,02，…，99，用抽簽法抽取20個. 方法2：采用分層抽樣的方法，從一級品中隨機抽取4個，從二級品中隨機抽取6個，從三級品中隨機抽取10個. 對于上述問題，下列說法正確的是________(填序號). ①不論采用哪種抽樣方法，這100個零件中每一個零件被抽到的可能性都是； ②采用不同的方法，這100個零件中每一個零件被抽到的可能性各不相同； ③在上述抽樣方法中，方法2抽到的樣本比方法1抽到的樣本更能反映總體特征. 解析　根據三種抽樣的特點知，不論哪種抽樣，總體中每個個體被抽到的可能性都相等，都是，故①正確，②錯誤；由于總體中有差異較明顯的三個層(一級品、二級品和三級品)，故方法②抽到的樣本更有代表性，③正確，故①③正確. 答案　①③ 方向3　抽樣方法的具體應用 【例3－3】　為了考察某校的教學水平，抽查了這個學校高三年級部分學生的本學年考試成績進行考察.為了全面地反映實際情況，采取以下兩種方式進行(已知該校高三年級共有14個教學班，并且每個班內的學生都已經按隨機方式編好了學號，假定該校每班人數都相同). ①從全年級14個班中任意抽取一個班，再從該班中任意抽取14人，考察他們的學習成績； ②把該校高三年級的學生按成績分成優(yōu)秀，良好，普通三個級別，從中抽取100名學生進行考查(已知若按成績分，該校高三學生中優(yōu)秀學生有105名，良好學生有420名，普通學生有175名). 根據上面的敘述，試回答下列問題： (1)上面兩種抽取方式中，其總體、個體、樣本分別指什么？每一種抽取方式抽取的樣本中，其樣本容量分別是多少？ (2)上面兩種抽取方式各自采用何種抽取樣本的方法？ (3)試分別寫出上面兩種抽取樣本的步驟. 解　(1)這兩種抽取方式中，其總體都是指該校高三全體學生本年度的考試成績，個體都是指高三年級每個學生本年度的考試成績.其中第一種抽取方式中樣本為所抽取的14名學生本年度的考試成績，樣本容量為14；第二種抽取方式中樣本為所抽取的100名學生本年度的考試成績，樣本容量為100. (2)上面二種抽取方式中，第一種方式采用的方法是簡單隨機抽樣法；第二種方式采用的方法是分層抽樣法和簡單隨機抽樣法. (3)第一種方式抽樣的步驟如下： 第一步：在這14個班中用抽簽法任意抽取一個班； 第二步：從這個班中按學號用隨機數表法或抽簽法抽取14名學生，考察其考試成績. 第二種方式抽樣的步驟如下： 第一步：分層，因為若按成績分，其中優(yōu)秀生共105人，良好生共420人，普通生共175人，所以在抽取樣本中應該把全體學生分成三個層次； 第二步：確定各個層次抽取的人數，因為樣本容量與總體數的比為100∶700＝1∶7，所以在每層抽取的個體數依次為，，，即15,60,25； 第三步：按層分別抽取，在優(yōu)秀生中用簡單隨機抽樣法抽取15人，在良好生中用簡單隨機抽樣法抽取60人，在普通生中用簡單隨機抽樣法抽取25人. 第四步：將所抽取的個體組合在一起構成樣本. 規(guī)律方法　(1)兩種抽樣的適用范圍不同，各自的特點也不同，但各種方法間又有密切聯系.在應用時要根據實際情況選取合適的方法. (2)兩種抽樣中每個個體被抽到的可能性都是相同的. 課堂達標 1.某校對全校1 200名男女學生進行健康調查，采用分層抽樣法抽取一個容量為200的樣本.已知女生抽了85人，則該校的男生數是________人. 解析　男生人數占總人數的比等于抽到男生人數占樣本容量的比，可得男生數為1 200＝690(人). 答案　690 2.某高校甲、乙、丙、丁四個專業(yè)分別有150,150,400,300名學生，為了解學生的就業(yè)傾向，用分層抽樣的方法從該校這四個專業(yè)中共抽取40名學生進行調查，則應在丙專業(yè)中抽取的學生人數為________. 解析　由題意知按分層抽樣法進行抽樣，抽樣比為＝，所以應在丙專業(yè)中抽取的人數為400＝16. 答案　16 3.下列問題中宜采用的抽樣方法依次為： (1)________；(2)________；(3)________. (1)從10臺電冰箱中抽取3臺進行質量檢查； (2)某社區(qū)有1 200戶家庭，其中高收入家庭420戶，中等收入家庭470戶，低收入家庭310戶，為了調查該社區(qū)購買力的某項指標，要從所有家庭中抽取一個容量為120的樣本； (3)某學校有160名教職工，其中教師120名，行政人員16名，后勤人員24名，為了了解教職工對學校在校務公開方面的意見，擬抽取一個容量為20的樣本. 解析　 題號 判斷 原因分析 (1) 抽簽法 總體容量較小，宜采用抽簽法 (2) 分層抽樣 社區(qū)中家庭收入層次明顯，宜采用分層抽樣 (3) 分層抽樣 由于學校各類人員對這一問題的看法可能差異較大，故宜采用分層抽樣 答案　抽簽法　分層抽樣　分層抽樣 4.央視春晚直播不到20天的時候，某媒體報道，由六小齡童和郭富城合演的《猴戲》節(jié)目被斃，為此，某網站針對“是否支持該節(jié)目上春晚”對網民進行調查，得到如下數據： 網民態(tài)度 支持 反對 無所謂 人數(單位：人) 8 000 6 000 10 000 若采用分層抽樣的方法從中抽取48人進行座談，則持“支持”態(tài)度的網民抽取的人數為________. 解析　持“支持”態(tài)度的網民抽取的人數為48＝48＝16. 答案　16 5.一個單位有職工160人，其中有業(yè)務人員112人，管理人員16人，后勤服務人員32人.為了了解職工的某種情況，要從中抽取一個容量為20的樣本，請用分層抽樣的方法抽取樣本. 解　法一　三部分所含個體數之比為112∶16∶32＝7∶1∶2，設三部分應抽取個體數分別為7x，x,2x，則由7x＋x＋2x＝20，得x＝2.故業(yè)務人員、管理人員、后勤服務人員應分別抽取14人，2人和4人. 法二　分層抽樣中的抽樣比為＝.由112＝14,16＝2,32＝4，可得業(yè)務人員、管理人員、后勤服務人員應分別抽取14人，2人和4人. 確定樣本的組成部分之后，下面在層內運用簡單隨機抽樣法抽樣. 課堂小結 1.對于分層抽樣中的比值問題，常利用以下關系式解： (1)＝； (2)總體中各層容量之比＝對應層抽取的樣本數之比. 2.選擇抽樣方法的規(guī)律： (1)當總體容量較小，樣本容量也較小時，制簽簡單，號簽容易攪勻，可采用抽簽法. (2)當總體容量較大，樣本容量較小時，可采用隨機數表法. (3)當總體是由差異明顯的幾部分組成時，可采用分層抽樣法. 基礎過關 1.某學校有男、女學生各500名.為了解男、女學生在學習興趣與業(yè)余愛好方面是否存在顯著差異，擬從全體學生中抽取100名學生進行調查，則宜采用的抽樣方法是________. 解析　由于男生和女生存在性別差異，所以宜采用的抽樣方法是分層抽樣法. 答案　分層抽樣法 2.為了解某地區(qū)的中小學生視力情況，擬從該地區(qū)的中小學生中抽取部分學生進行調查，事先已了解到該地區(qū)小學、初中、高中三個學段學生的視力情況有較大差異，而男、女生視力情況差異不大，在下面的抽樣方法中最合理的抽樣方法是________(填序號). ①簡單隨機抽樣； ②按性別分層抽樣； ③按學段分層抽樣. 解析　因為已經了解到該地區(qū)小學、初中、高中三個學段學生的視力情況有較大差異，而男、女生視力情況差異不大.為了解某地區(qū)中小學生的視力情況，按學段分層抽樣，這種方式具有代表性，比較合理. 答案?、? 3.某校高一年級有900名學生，其中女生400名，按男女比例用分層抽樣的方法，從該年級學生中抽取一個容量為45的樣本，則應抽取的男生人數為________. 解析　設男生抽取x人，則有＝，解得x＝25. 答案　25 4.某大學為了解在校本科生對參加某項社會實踐活動的意向，擬采用分層抽樣的方法，從該校四個年級的本科生中抽取一個容量為300的樣本進行調查，已知該校一年級、二年級、三年級、四年級的本科生人數之比為4∶5∶5∶6，則應從一年級本科生中抽取________名學生. 解析　根據題意，應從一年級本科生中抽取的人數為300＝60. 答案　60 5.某單位200名職工的年齡分布情況如圖，現要從中抽取40名職工作為樣本，若用分層抽樣的方法，則40歲以下年齡段應抽取________人. 解析　40歲以下年齡段的職工數為2000.5＝100，則應抽取的人數為100＝20. 答案　20 6.選擇合適的抽樣方法抽樣，寫出抽樣過程. (1)有甲廠生產的30個籃球，其中一箱21個，另一箱9個，抽取3個； (2)有30個籃球，其中甲廠生產的有21個，乙廠生產的有9個，抽取10個； (3)有甲廠生產的300個籃球，抽取10個. 解　(1)總體容量較小，用抽簽法. ①將30個籃球編號，編號為00,01，…，29； ②將以上30個編號分別寫在完全一樣的小紙條上，揉成小球，制成號簽； ③把號簽放入一個不透明的袋子中，充分攪拌； ④從袋子中逐個抽取3個號簽，并記錄上面的號碼； ⑤找出和所得號碼對應的籃球即可得到樣本. (2)總體由差異明顯的兩層組成，需選用分層抽樣. ①確定抽取個數.因為＝，所以甲廠生產的應抽取21＝7(個)，乙廠生產的應抽取9＝3(個)； ②用抽簽法分別抽取甲廠生產的籃球7個，乙廠生產的籃球3個，這些籃球便組成了我們要抽取的樣本. (3)總體容量較大，樣本容量較小，宜用隨機數表法. ①將300個籃球用隨機方式編號，編號為001,002，…，300； ②在隨機數表中隨機的確定一個數作為開始，如第8行第29列的數“7”開始，任選一個方向作為讀數方向，比如向右讀； ③從數“7”開始向右讀，每次讀三位，凡不在001～300中的數跳過去不讀，遇到已經讀過的數也跳過去不讀，依次得到10個號碼，這就是所要抽取的10個樣本個體的號碼. 7.一個單位有職工500人，其中不到35歲的有125人，35歲至49歲的有280人，50歲及以上的有95人.為了了解這個單位的職工與身體狀態(tài)有關的某項指標，要從中抽取100名職工作為樣本，職工年齡與這項指標有關，應該怎樣抽?。? 解　用分層抽樣來抽取樣本，步驟如下： (1)分層.按年齡將500名職工分成三層：不到35歲的職工；35歲到49歲的職工；50歲及以上的職工. (2)確定每層抽取個體的個數.抽樣比為＝，則在不到35歲的職工中抽取125＝25(人)； 在35歲至49歲的職工中抽取280＝56(人)； 在50歲及以上的職工中抽取95＝19(人). (3)在各層分別按抽簽法或隨機數表法抽取樣本. (4)將每層抽取的個體組合在一起構成樣本. 能力提升 8.問題：①有1 000個乒乓球分別裝在3個箱子內，其中紅色箱子內有500個，藍色箱子內有200個，黃色箱子內有300個，現從中抽取一個容量為100的樣本； ②從20名學生中選出3名參加座談會. 方法：Ⅰ.簡單隨機抽樣；Ⅱ.分層抽樣.其中問題與方法能配對的是________. 解析　對于①，由于箱子顏色差異較為明顯，可采用分層抽樣方法抽取樣本；對于②，由于總體容量、樣本容量都較小，宜采用簡單隨機抽樣. 答案?、佗颍冖? 9.某公司生產三種型號的轎車，產量分別為1 200輛，6 000輛和2 000輛.為檢驗該公司的產品質量，現用分層抽樣的方法抽取46輛進行檢驗，這三種型號的轎車依次應抽取的輛數為________. 解析　設三種型號的轎車依次抽取x輛，y輛，z輛，則有解得故填6,30,10. 答案　6,30,10 10.已知某地區(qū)中小學生人數和近視情況分別如圖①和如圖②所示，為了了解該地區(qū)中小學生的近視形成原因，用分層抽樣的方法抽取2%的學生進行調查，則樣本容量和抽取的高中生近視人數分別為________. 解析　由題意知樣本容量為(3 500＋4 500＋2 000)2%＝200，其中高中生人數為2 0002%＝40， 高中生的近視人數為4050%＝20. 答案　200,20 11.某企業(yè)三月中旬生產A，B，C三種產品共3 000件，根據分層抽樣的結果，該企業(yè)統計員制作了如下的統計表： 由于不小心，表格中A，C產品的有關數據已被污染看不清楚，統計員記得A產品的樣本容量比C產品的樣本容量多10.根據以上信息，可得C產品的數量是________件. 解析　設C產品的數量為x件，則A產品的數量為(1 700－x)件，C產品的樣本容量為a，則A產品的樣本容量為10＋a，由分層抽樣的定義可知＝＝，解得x＝800. 答案　800 12.甲、乙兩套設備生產的同類型產品共4 800件，采用分層抽樣的方法從中抽取一個容量為80的樣本進行質量檢測.若樣本中有50件產品由甲設備生產，求乙設備生產的產品總數. 解　由題設，抽樣比為＝. 設甲設備生產的產品為x件，則＝50，∴x＝3 000. 故乙設備生產的產品總數為4 800－3 000＝1 800(件). 13. (選做題)某社區(qū)小學三個年級各班人數如下表所示. 　　　班級 年級　　　 1班 2班 3班 一 45 48 52 二 46 54 50 三 45 55 55 學校計劃召開學生代表座談會，請根據上述基本數據設計一個樣本容量為總體容量的的抽樣方案. 解　第一步　確定一年級、二年級、三年級的被抽個體數. 一年級、二年級、三年級的學生數分別為： 一年級：45＋48＋52＝145，二年級：46＋54＋50＝150， 三年級：45＋55＋55＝155. 由于總體容量與樣本容量的比為20∶1，所以樣本中包含的各部分個體數應為14520≈7,15020≈8,15520≈8. 第二步　將一年級的被抽個體數分配到一年級1班、2班、3班中. 因為一年級1班、2班、3班的人數比為45∶48∶52，所以一年級1班、2班、3班的被抽個體數分別為714545≈2,714548≈2,714552≈3. 第三步　用同樣的方法將二年級的被抽個體數分配到二年級1班、2班、3班中，結果分別為2人、3人、3人. 第四步　用同樣的方法將三年級的被抽個體數分配到三年級1班、2班、3班中，結果分別為2人、3人、3人. 第五步　再用簡單隨機抽樣在對應班級中抽取.