2020高考數學大一輪復習 第五章 數列 第四節(jié) 數列求和及綜合應用檢測 理 新人教A版.doc
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第四節(jié) 數列求和及綜合應用 限時規(guī)范訓練(限時練夯基練提能練) A級 基礎夯實練 1.(2018河北衡水中學質檢)1++1+++…+的值為( ) A.18+ B.20+ C.22+ D.18+ 解析:選B.設an=1+++…+ ==2. 則原式=a1+a2+…+a11 =2+2+…+2 =2 =2 =2 =2=20+. 2.(2018重慶聯考)設y=f(x)是一次函數,若f(0)=1,且f(1),f(4),f(13)成等比數列,則f(2)+f(4)+…+f(2n)等于( ) A.n(2n+3) B.n(n+4) C.2n(2n+3) D.2n(n+4) 解析:選A.由題意可設f(x)=kx+1(k≠0),則(4k+1)2=(k+1)(13k+1),解得k=2,f(2)+f(4)+…+f(2n)=(22+1)+(24+1)+…+(22n+1)=2(2+4+…+2n)+n=n(2n+3). 3.(2018貴陽模擬)已知數列{an}:,+,++,…,+++…+,…,若bn=,那么數列{bn}的前n項和Sn為( ) A. B. C. D. 解析:選B.∵an==, ∴bn===4, ∴Sn=4 =4=. 4.(2018南昌模擬)若數列{an}的通項公式是an=(-1)n(3n-2),則a1+a2+…+a12=( ) A.18 B.15 C.-18 D.-15 解析:選A.記bn=3n-2,則數列{bn}是以1為首項,3為公差的等差數列,所以a1+a2+…+a11+a12=(-b1)+b2+…+(-b11)+b12=(b2-b1)+(b4-b3)+…+(b12-b11)=63=18. 5.(2018深圳調研)已知函數f(n)=且an=f(n)+f(n+1),則a1+a2+a3+…+a100等于( ) A.0 B.100 C.-100 D.10 200 解析:選B.由題意,得a1+a2+a3+…+a100 =12-22-22+32+32-42-42+52+…+992-1002-1002+1012 =(12-22)+(32-22)+(32-42)+…+(992-1002)+(1012-1002) =-(1+2)+(3+2)-(4+3)+…-(99+100)+(101+100) =-(1+2+…+99+100)+(2+3+…+100+101) =-50101+50103=100.故選B. 6.(2018青島二模)某住宅小區(qū)計劃植樹不少于100棵,若第一天植2棵,以后每天植樹的棵數是前一天的2倍,則需要的最少天數n(n∈N*)等于________. 解析:每天植樹的棵數構成以2為首項,2為公比的等比數列,其前n項和Sn===2n+1-2.由2n+1-2≥100,得2n+1≥102,由于26=64,27=128,則n+1≥7,即n≥6. 答案:6 7.(2018黃石二模)已知公比不為1的等比數列{an}的前5項積為243,且2a3為3a2和a4的等差中項.若數列{bn}滿足bn=log3an+2(n∈N*),則數列{an+bn}的前n項和Sn=________. 解析:由前5項積為243得a3=3.設等比數列{an}的公比為q(q≠1),由2a3為3a2和a4的等差中項,得3+3q=43,由公比不為1,解得q=3,所以an=3n-2,故bn=log3an+2=n,所以an+bn=3n-2+n,數列{an+bn}的前n項和Sn=3-1+30+31+32+…+3n-2+1+2+3+…+n=+=+. 答案:+ 8.(2018濟南模擬)在公差d<0的等差數列{an}中,已知a1=10,且a1,2a2+2,5a3成等比數列,則|a1|+|a2|+|a3|+…+|an|=________. 解析:由已知可得(2a2+2)2=5a1a3,即4(a1+d+1)2=5a1(a1+2d),所以(11+d)2=25(5+d),解得d=4(舍去)或d=-1,所以an=11-n. 當1≤n≤11時 ,an≥0,所以|a1|+|a2|+|a3|+…+|an|=a1+a2+a3+…+an==;當n≥12時,an<0,所以|a1|+|a2|+|a3|+…+|an|=a1+a2+a3+…+a11-(a12+a13+…+an)=2(a1+a2+a3+…+a11)-(a1+a2+a3+…+an)=2-=. 綜上所述,|a1|+|a2|+|a3|+…+|an| = 答案: 9.(2018河北唐山二模)已知數列{an}為單調遞增數列,Sn為其前n項和,2Sn=a+n. (1)求{an}的通項公式; (2)若bn=,Tn為數列{bn}的前n項和,證明:Tn<. 解:(1)當n=1時,2S1=2a1=a+1, 所以(a1-1)2=0,即a1=1, 又{an}為單調遞增數列,所以an≥1. 由2Sn=a+n得2Sn+1=a+n+1, 所以2Sn+1-2Sn=a-a+1,則2an+1=a-a+1,所以a=(an+1-1)2. 所以an=an+1-1,即an+1-an=1, 所以{an}是以1為首項,1為公差的等差數列,所以an=n. (2)證明:bn===-,所以Tn=++…+=-<. 10.(2018浙江卷)已知等比數列{an}的公比q>1,且a3+a4+a5=28,a4+2是a3,a5的等差中項.數列{bn}滿足b1=1,數列{(bn+1-bn)an}的前n項和為2n2+n. (1)求q的值; (2)求數列{bn}的通項公式. 解:(1)由a4+2是a3,a5的等差中項得a3+a5=2a4+4, 所以a3+a4+a5=3a4+4=28, 解得a4=8. 由a3+a5=20得8=20, 解得q=2或q=, 因為q>1,所以q=2. (2)設cn=(bn+1-bn)an,數列{cn}的前n項和為Sn=2n2+n. 由cn=解得cn=4n-1. 由(1)可得an=2n-1, 所以bn+1-bn=(4n-1)n-1, 故bn-bn-1=(4n-5)n-2,n≥2, bn-b1=(bn-bn-1)+(bn-1-bn-2)+…+(b3-b2)+(b2-b1) =(4n-5)n-2+(4n-9)n-3+…+7+3. 設Tn=3+7+112+…+(4n-5)n-2,n≥2, Tn=3+72+…+(4n-9)n-2+(4n-5)n-1, 所以Tn=3+4+42+…+4n-2-(4n-5)n-1, 因此Tn=14-(4n+3)n-2,n≥2, 又b1=1,所以bn=15-(4n+3)n-2. B級 能力提升練 11.(2018合肥模擬)已知數列{an}滿足a1=1,an+1an=2n(n∈N*),Sn是數列{an}的前n項和,則S2 020=( ) A.22 020-1 B.321 010-3 C.321 010-1 D.322 020-2 解析:選B.依題意得anan+1=2n,an+1an+2=2n+1,于是有=2,即=2,數列a1,a3,a5,…,a2n-1,…是以a1=1為首項、2為公比的等比數列;數列a2,a4,a6,…,a2n,…是以a2=2為首項、2為公比的等比數列,于是有S2 020=(a1+a3+a5+…+a2 019)+(a2+a4+a6+…+a2 020)=+=321 010-3,故選B. 12.定義為n個正數p1,p2,…,pn的“均倒數”.若已知正項數列{an}的前n項的“均倒數”為,又bn=,則++…+=( ) A. B. C. D. 解析:選C.依題意有=,即數列{an}的前n項和Sn=n(2n+1)=2n2+n,當n=1時,a1=S1=3;當n≥2時,an=Sn-Sn-1=4n-1,a1=3滿足該式.則an=4n-1,bn==n.因為==-,所以++…+=++…+=1-=. 13.(2018衡水模擬)數列{an}是等差數列,數列{bn}滿足bn=anan+1an+2(n∈N*),設Sn為{bn}的前n項和.若a12=a5>0,則當Sn取得最大值時n的值為________. 解析:設{an}的公差為d,由a12=a5>0,得a1=-d,d<0,所以an=d,從而可知當1≤n≤16時,an>0;當n≥17時,an<0. 從而b1>b2>…>b14>0>b17>b18>…, b15=a15a16a17<0,b16=a16a17a18>0,故S14>S13>…>S1,S14>S15,S15<S16,S16>S17>S18>…. 因為a15=-d>0,a18=d<0,所以a15+a18=-d+d=d<0,所以b15+b16=a16a17(a15+a18)>0,所以S16>S14,故當Sn取得最大值時n=16. 答案:16 14.(2018湘東五校聯考)已知各項均不相等的等差數列{an}的前四項和S4=14,且a1,a3,a7成等比數列. (1)求數列{an}的通項公式; (2)設Tn為數列前n項的和,若λTn≤an+1對一切n∈N*恒成立,求實數λ的最大值. 解:(1)設公差為d,由已知得 解得d=1或d=0(舍去),所以a1=2,所以an=n+1. (2)因為=-, 所以Tn=++…+-=-=, 又λTn≤an+1對一切n∈N*恒成立,所以λ≤=2+8,而2+8≥16,當且僅當n=2時等號成立. 所以λ≤16,即λ的最大值為16. 15.(2018長沙模擬)已知數列{an}是公差不為零的等差數列,a10=15,且a3,a4,a7成等比數列. (1)求數列{an}的通項公式; (2)設bn=,數列{bn}的前n項和為Tn,求證:-≤Tn<-1(n∈N*). 解:(1)設數列{an}的公差為d(d≠0), 由已知得 即 解得 ∴an=2n-5(n∈N*). (2)證明:∵bn==,n∈N*. ∴Tn=+++…+,① Tn=+++…++,② ①-②得Tn=+2- =-+, ∴Tn=-1-(n∈N*), ∵>0(n∈N*),∴Tn<-1. Tn+1-Tn=-=, ∴Tn<Tn+1(n≥2). 又T1=-1-=-,T2=-1-=-. ∵T1>T2,∴T2最小,即Tn≥T2=-. 綜上所述,-≤Tn<-1(n∈N*). C級 素養(yǎng)加強練 16.已知等差數列{an}中,a2=p(p是不等于0的常數),Sn為數列{an}的前n項和,若對任意的正整數n都有Sn=. (1)記bn=+,求數列{bn}的前n項和Tn; (2)記cn=Tn-2n,是否存在正整數N,使得當n>N時,恒有cn∈,若存在,證明你的結論,并給出一個具體的N值,若不存在,請說明理由. 解:(1)由S2=得a1+a2=a2-a1, ∴a1=0,∴d=a2-a1=p-0=p, ∴Sn==, bn=+=+=2+2, 所以Tn=2n+2++++…++ =2n+2=2n+3-2. (2)cn=Tn-2n=3-2<3對所有正整數n都成立; 若cn>,即3-2>?+<,記f(n)=+,則f(n)單調遞減, 又f(6)=+>+=,f(7)=+<+=,故可取N=6,則當n>6時,f(n)<. 故存在正整數N,使得當n>N時,恒有cn∈,N可以取所有不小于6的正整數.- 配套講稿:
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