第23屆全國中學(xué)生物理競賽復(fù)賽試題及答案.doc

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第23屆全國中學(xué)生物理競賽復(fù)賽試卷 一、（23分）有一豎直放置、兩端封閉的長玻璃管，管內(nèi)為真空，管內(nèi)有一小球自某處自由下落（初速度為零），落到玻璃管底部時(shí)與底部發(fā)生彈性碰撞．以后小球?qū)⒃诓ＡЧ軆?nèi)不停地上下跳動?，F(xiàn)用支架固定一照相機(jī)，用以拍攝小球在空間的位置。每隔一相等的確定的時(shí)間間隔T拍攝一張照片，照相機(jī)的曝光時(shí)間極短，可忽略不計(jì)。從所拍到的照片發(fā)現(xiàn)，每張照片上小球都處于同一位置。求小球開始下落處離玻璃管底部距離（用H表示）的可能值以及與各H值相應(yīng)的照片中小球位置離玻璃管底部距離的可能值。 二、（25分）如圖所示，一根質(zhì)量可以忽略的細(xì)桿，長為2，兩端和中心處分別固連著質(zhì)量為的小球B、D和C，開始時(shí)靜止在光滑的水平桌面上。桌面上另有一質(zhì)量為的小球A，以一給定速度沿垂直于桿DB的方間與右端小球B作彈性碰撞。求剛碰后小球A,B,C,D的速度，并詳細(xì)討論以后可能發(fā)生的運(yùn)動情況。 三、（23分）有一帶活塞的氣缸，如圖1所示。缸內(nèi)盛有一定質(zhì)量的氣體。缸內(nèi)還有一可隨軸轉(zhuǎn)動的葉片，轉(zhuǎn)軸伸到氣缸外，外界可使軸和葉片一起轉(zhuǎn)動，葉片和軸以及氣缸壁和活塞都是 絕熱的，它們的熱容量都不計(jì)。軸穿過氣缸處不漏氣。 如果葉片和軸不轉(zhuǎn)動，而令活塞緩慢移動，則在這種過程中，由實(shí)驗(yàn)測得，氣體的壓強(qiáng)和體積遵從以下的過程方程式 圖1 其中,均為常量, ＞1（其值已知）。可以由上式導(dǎo)出，在此過程中外界對氣體做的功為 式中和,分別表示末態(tài)和初態(tài)的體積。 如果保持活塞固定不動，而使葉片以角速度做勻角速轉(zhuǎn)動，已知在這種過程中，氣體的壓強(qiáng)的改變量和經(jīng)過的時(shí)間遵從以 圖2 下的關(guān)系式 式中為氣體的體積，表示氣體對葉片阻力的力矩的大小。 上面并沒有說氣體是理想氣體，現(xiàn)要求你不用理想氣體的狀態(tài)方程和理想氣體的內(nèi)能只與溫度有關(guān)的知識，求出圖2中氣體原來所處的狀態(tài)與另一已知狀態(tài)之間的內(nèi)能之差（結(jié)果要用狀態(tài)、的壓強(qiáng)、和體積、及常量表示） 四、（25分）圖1所示的電路具有把輸人的交變電壓變成直流電壓并加以升壓、輸出的功能，稱為整流倍壓電路。圖中和是理想的、點(diǎn)接觸型二極管（不考慮二極管的電容），和是理想電容器，它們的電容都為C，初始時(shí)都不帶電，G點(diǎn)接地?，F(xiàn)在A、G間接上一交變電源，其電壓，隨時(shí)間t變化的圖線如圖2所示．試分別在圖3和圖4中準(zhǔn)確地畫出D點(diǎn)的電壓和B點(diǎn)的電壓在t＝0到t=2T時(shí)間間隔內(nèi)隨時(shí)間t變化的圖線，T為交變電壓的周期。 圖2 圖1 圖3 圖4 五、（25分）磁懸浮列車是一種高速運(yùn)載工具。它具有兩個(gè)重要系統(tǒng)。一是懸浮系統(tǒng)，利用磁力（可由超導(dǎo)電磁鐵提供）使車體在導(dǎo)軌上懸浮起來與軌道脫離接觸。另一是驅(qū)動系統(tǒng)，在沿軌道上安裝的三相繞組（線圈）中，通上三相交流電，產(chǎn)生隨時(shí)間、空間作周期性變化的磁場，磁場與固連在車體下端的感應(yīng)金屬板相互作用，使車體獲得牽引力。 為了有助于了解磁懸浮列車的牽引力的來由，我們求解下面的問題。 設(shè)有一與軌道平面垂直的磁場，磁感應(yīng)強(qiáng)度B隨時(shí)間t和空間位置x變化規(guī)律為 式中、、均為已知常量，坐標(biāo)軸x與軌道平行。在任一時(shí)刻t，軌道平面上磁場沿x方向的分布是不均勻的，如圖所示。圖中Oxy平面代表軌道平面，“”表示磁場的方向垂直O(jiān)xy平面指向紙里，“ ”表示磁場的方向垂直O(jiān)xy平面指向紙外。規(guī)定指向紙外時(shí)B取正值?！啊焙汀?”的疏密程度表示沿著x軸B的大小分布。一與軌道平面平行的具有一定質(zhì)量的金屬矩形框MNPQ處在該磁場中，已知與軌道垂直的金屬框邊MN的長度為，與軌道平行的金屬框邊MQ的長度為d，金屬框的電阻為R，不計(jì)金屬框的電感。1．試求在時(shí)刻t，當(dāng)金屬框的MN邊位于x處時(shí)磁場作用于金屬框的安培力，設(shè)此時(shí)刻金屬框沿x軸正方向移動的速度為。 2.試討論安培力的大小與金屬框幾何尺寸的關(guān)系。 六、（23分）有一種被稱為直視分光鏡的光譜學(xué)儀器。所有光學(xué)元件均放在一直長圓筒內(nèi)。筒內(nèi)有：三個(gè)焦距分別為、和的透鏡,,，；觀察屏P，它是一塊帶有刻度的玻璃片；由三塊形狀相同的等腰棱鏡構(gòu)成的 圖1 分光元件（如圖1所示），棱鏡分別用折射率不同的玻璃制成，兩側(cè)棱鏡的質(zhì)料相同，中間棱鏡則與它們不同，棱鏡底面與圓筒軸平行。圓筒的一端有一與圓筒軸垂直的狹縫，它與圓筒軸的交點(diǎn)為S，縫平行于棱鏡的底面．當(dāng)有狹縫的一端對準(zhǔn)筒外的光源時(shí)，位于圓筒另一端的人眼可觀察到屏上的光譜。 已知：當(dāng)光源是鈉光源時(shí)，它的黃色譜線（波長為589.3 nm，稱為D線）位于圓筒軸與觀察屏相 交處。制作棱鏡所用的玻璃，一種為冕牌玻璃，它對鈉D線的折射率＝1.5170;另一種為火石玻璃，它對鈉D線的折射率=1.7200。 1.試在圖2中繪出圓筒內(nèi)諸光學(xué)元件相對位置的示意圖并說出各元件的作用。 2.試論證三塊棱鏡各應(yīng)由何種玻璃制成并求出三棱鏡的頂角的數(shù)值。 圖2 七、（16分）串列靜電加速器是加速質(zhì)子、重離子進(jìn)行核物理基礎(chǔ)研究以及核技術(shù)應(yīng)用研究的設(shè)備，右圖是其構(gòu)造示意圖。S是產(chǎn)生負(fù)離子的裝置，稱為離子源；中間部分N為充有氮?dú)獾墓艿溃ㄟ^高壓裝置H使其對地有V的高壓?，F(xiàn)將氫氣通人離子源S，S的作用是使氫分子變?yōu)闅湓?，并使氫原子粘附上一個(gè)電子，成為帶有一個(gè)電子電量的氫負(fù)離子。氫負(fù)離子（其初速度為0)在靜電場的作用下，形成高速運(yùn)動的氫負(fù)離子束流，氫負(fù)離子束射入管道N后將與氮?dú)夥肿影l(fā)生相互作用，這種作用可使大部分的氫負(fù)離子失去粘附在它們上面的多余的電子而成為氫原子，又可能進(jìn)一步剝離掉氫原子的電子使它成為質(zhì)子。已知氮?dú)馀c帶電粒子的相互作用不會改變粒子的速度。質(zhì)子在電場的作用下由N飛向串列靜電加速器的終端靶子T。試在考慮相對論效應(yīng)的情況下，求質(zhì)子到達(dá)T時(shí)的速度。 電子電荷量C，質(zhì)子的靜止質(zhì)量 kg。 第23屆全國中學(xué)生物理競賽復(fù)賽題參考解答及評分標(biāo)準(zhǔn) 一、參考解答： 解法一 t H O hA h 小球沿豎直線上下運(yùn)動時(shí)，其離開玻璃管底部的距離h隨時(shí)間t變化的關(guān)系如圖所示．設(shè)照片拍攝到的小球位置用A表示，A離玻璃管底部的距離為hA，小球開始下落處到玻璃管底部的距離為H.小球可以在下落的過程中經(jīng)過A點(diǎn)，也可在上升的過程中經(jīng)過A點(diǎn).現(xiàn)以表示小球從最高點(diǎn)（即開始下落處）落到玻璃管底部所需的時(shí)間（也就是從玻璃管底部反跳后上升到最高點(diǎn)所需的時(shí)間），表示小球從最高點(diǎn)下落至A點(diǎn)所需的時(shí)間（也就是從A點(diǎn)上升至最高點(diǎn)所需的時(shí)間），表示小球從A點(diǎn)下落至玻璃管底部所需的時(shí)間（也就是從玻璃管底部反跳后上升至A點(diǎn)所需的時(shí)間）.顯然，.根據(jù)題意，在時(shí)間間隔T 的起始時(shí)刻和終了時(shí)刻小球都在A點(diǎn)．用n表示時(shí)間間隔 T 內(nèi)（包括起始時(shí)刻和終了時(shí)刻）小球位于A點(diǎn)的次數(shù)（n≥2）.下面分兩種情況進(jìn)行討論： 1．A點(diǎn)不正好在最高點(diǎn)或最低點(diǎn)． 當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)有 （1） 在（1）式中，根據(jù)題意可取中的任意值，而 （2） 當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)有 （3） 由（3）式得 （4） 由（1）、（3）、（4）式知，不論n是奇數(shù)還是偶數(shù)，都有 （5） 因此可求得，開始下落處到玻璃管底部的距離的可能值為 （6） 若用表示與n對應(yīng)的H值，則與相應(yīng)的A點(diǎn)到玻璃管底部的距離 （7） 當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，可取中的任意值，故有 n=3,5,7, （8） 可見與相應(yīng)的的可能值為0與之間的任意值． 當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，，由（6）式、（7）式求得的可能值 n=2,4,6, （9） 2．若A點(diǎn)正好在最高點(diǎn)或最低點(diǎn)． 無論n是奇數(shù)還是偶數(shù)都有 n=2,3,4, （10） n=2,3,4, （11） n=2,3,4, （12） 或 （13） 解法二 因?yàn)檎障鄼C(jī)每經(jīng)一時(shí)間間隔T拍攝一次時(shí)，小球都位于相片上同一位置，所以小球經(jīng)過該位置的時(shí)刻具有周期性，而且T和這個(gè)周期的比值應(yīng)該是一整數(shù)．下面我們就研究小球通過某個(gè)位置的周期性． 設(shè)小球從最高點(diǎn)（開始下落處）落下至管底所需時(shí)間為t ，從最高點(diǎn)下落至相片上小球所在點(diǎn)（A點(diǎn)）所需時(shí)間為，從A點(diǎn)下落至管底所需時(shí)間為，則 （1） （小球上升時(shí)通過相應(yīng)路程段所需時(shí)間與下落時(shí)同一路程所需時(shí)間相同，也是t、和） 從小球在下落過程中經(jīng)過A點(diǎn)時(shí)刻開始，小球經(jīng)過的時(shí)間后上升至A點(diǎn)，再經(jīng)過時(shí)間后又落到A點(diǎn)，此過程所需總時(shí)間為．以后小球?qū)⒅貜?fù)這樣的運(yùn)動．小球周期性重復(fù)出現(xiàn)在A點(diǎn)的周期是多少？ 分兩種情況討論： （1）． ，和都不是小球在A點(diǎn)重復(fù)出現(xiàn)的周期，周期是． （2）． ，小球經(jīng)過時(shí)間回到A點(diǎn)，再經(jīng)過時(shí)間又回到A點(diǎn)，所以小球重復(fù)出現(xiàn)在A點(diǎn)的周期為t． 下面就分別討論各種情況中的可能值和A點(diǎn)離管底的距離的可能值．（如果從小球在上升過程中經(jīng)過A點(diǎn)的時(shí)刻開始計(jì)時(shí)，結(jié)果一樣，只是和對調(diào)一下） 1．H的可能值 （1）．較普遍的情況，．與的比值應(yīng)為一整數(shù)，的可能值應(yīng)符合下式 ， （2） 由自由落體公式可知，與此相應(yīng)的的數(shù)值為 （3） （2）．．的可能值應(yīng)符合下式 （4） 故的可能值為 （5） 當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，即時(shí)，（5）式與（3）式完全相同．可見由（3）式求得的的可能值包含了的全部情況和的一部分情況．當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，即時(shí)，由（5）式得出的的可能值為 （6） 它們不在（3）式之內(nèi)，故（3）式和（6）式得出的合在一起是的全部的可能值． 2．與各H值相應(yīng)的的可能值 a.與相應(yīng)的的可能值 由于在求得（3）式時(shí)未限定A點(diǎn)的位置，故的數(shù)值可取0和之間的任意值，即 （7） b. 與（為奇數(shù)）相應(yīng)的的可能值 這些數(shù)值與A位于特定的位置，，相對應(yīng)，所以對于每一個(gè)對應(yīng)的是一個(gè)特定值，它們是 （8） 評分標(biāo)準(zhǔn)： 本題23分 二、參考解答： 1． 求剛碰撞后小球A、B、C、D的速度 設(shè)剛碰撞后，小球A、B、C、D的速度分別為、、、，并設(shè)它們的方向都與的方向相同．由于小球C位于由B、C、D三球組成的系統(tǒng)的質(zhì)心處，所以小球C的速度也就是這系統(tǒng)的質(zhì)心的速度．因碰撞前后四小球組成的質(zhì)點(diǎn)組的動量守恒， 故有 （1） 碰撞前后質(zhì)點(diǎn)組的角動量守恒，有 （2） 這里角動量的參考點(diǎn)設(shè)在與B球重合的空間固定點(diǎn)，且規(guī)定順時(shí)針方向的角動量為正．因?yàn)槭菑椥耘鲎?，碰撞前后質(zhì)點(diǎn)組的動能相等，有 （3） 因?yàn)闂U是剛性桿，小球B和D相對于小球C的速度大小必相等，方向應(yīng)相反，所以有 （4） 解（1）、（2）、（3）、（4）式，可得兩個(gè)解 =0 （5） 和 （6） 因?yàn)橐彩莿偱鲎埠笥葿、C、D三小球組成的系統(tǒng)的質(zhì)心的速度，根據(jù)質(zhì)心運(yùn)動定律，碰撞后這系統(tǒng)的質(zhì)心不可能靜止不動，故（5）式不合理，應(yīng)舍去．?。?）式時(shí)可解得剛碰撞后A、B、D三球的速度 （7） （8） （9） 2．討論碰撞后各小球的運(yùn)動 碰撞后，由于B、C、D三小球組成的系統(tǒng)不受外力作用，其質(zhì)心的速度不變，故小球C將以（6）式的速度即沿方向作勻速運(yùn)動．由（4）、（8）、（9）式可知，碰撞后，B、D兩小球?qū)⒗@小球C作勻角速度轉(zhuǎn)動，角速度的大小為 （10） 方向?yàn)槟鏁r(shí)針方向．由（7）式可知，碰后小球A的速度的大小和方向與M、m的大小有關(guān)，下面就M、m取值不同而導(dǎo)致運(yùn)動情形的不同進(jìn)行討論： （i），即碰撞后小球A停住，由（7）式可知發(fā)生這種運(yùn)動的條件是 即 （11） （ii），即碰撞后小球A反方向運(yùn)動，根據(jù)（7）式，發(fā)生這種運(yùn)動的條件是 （12） （iii）但，即碰撞后小球A 沿方向作勻速直線運(yùn)動，但其速度小于小球C的速度．由（7）式和（6）式，可知發(fā)生這種運(yùn)動的條件是 和 即 （13） （iv），即碰撞后小球A仍沿方向運(yùn)動，且其速度大于小球C的速度，發(fā)生這種運(yùn)動的條件是 （14） （v），即碰撞后小球A 和小球C以相同的速度一起沿方向運(yùn)動，發(fā)生這種運(yùn)動的條件是 （15） 在這種情形下，由于小球B、D繞小球C作圓周運(yùn)動，當(dāng)細(xì)桿轉(zhuǎn)過時(shí)，小球D 將從小球A的后面與小球A相遇，而發(fā)生第二次碰撞，碰后小球A繼續(xù)沿方向運(yùn)動．根據(jù)質(zhì)心運(yùn)動定理，C球的速度要減小，碰后再也不可能發(fā)生第三次碰撞．這兩次碰撞的時(shí)間間隔是 （16） 從第一次碰撞到第二次碰撞，小球C走過的路程 （17） 3．求第二次碰撞后，小球A、B、C、D的速度 剛要發(fā)生第二次碰撞時(shí)，細(xì)桿已轉(zhuǎn)過，這時(shí)，小球B的速度為，小球D的速度為．在第二次碰撞過程中，質(zhì)點(diǎn)組的動量守恒，角動量守恒和能量守恒．設(shè)第二次剛碰撞后小球A、B、C、D的速度分別為、、和，并假定它們的方向都與的方向相同．注意到（1）、（2）、（3）式可得 （18） （19） （20） 由桿的剛性條件有 （21） （19）式的角動量參考點(diǎn)設(shè)在剛要發(fā)生第二次碰撞時(shí)與D球重合的空間點(diǎn)． 把（18）、（19）、（20）、（21）式與（1）、（2）、（3）、（4）式對比，可以看到它們除了小球B 和D互換之外是完全相同的．因此它們也有兩個(gè)解 （22） 和 （23） 對于由B、C、D 三小球組成的系統(tǒng)，在受到A球的作用后，其質(zhì)心的速度不可能保持不變，而（23）式是第二次碰撞未發(fā)生時(shí)質(zhì)心的速度，不合理，應(yīng)該舍去．取（22）式時(shí)，可解得 （24） （25） （26） （22）、（24）、（25）、（26）式表明第二次碰撞后，小球A以速度作勻速直線運(yùn)動，即恢復(fù)到第一次碰撞前的運(yùn)動，但已位于桿的前方，細(xì)桿和小球B、C、D則處于靜止?fàn)顟B(tài)，即恢復(fù)到第一次碰撞前的運(yùn)動狀態(tài)，但都向前移動了一段距離，而且小球D和B換了位置． 評分標(biāo)準(zhǔn)： 本題25分． 三、參考解答： p V A B C 0 由 ， （1） 可知，當(dāng)V增大時(shí)，p將隨之減?。ó?dāng)V減小時(shí)，p將隨之增大），在圖上所對應(yīng)的曲線（過狀態(tài)A）大致如圖所示．在曲線上取體積與狀態(tài)B的體積相同的狀態(tài)C． 現(xiàn)在設(shè)想氣體從狀態(tài)A出發(fā)，保持葉片不動，而令活塞緩慢地向右移動，使氣體膨脹，由狀態(tài)A到達(dá)狀態(tài)C，在此過程中，外界對氣體做功 （2） 用UA、UC分別表示氣體處于狀態(tài)A、C時(shí)的內(nèi)能，因?yàn)槭墙^熱過程，所以內(nèi)能的增量等于外界對氣體做的功，即 （3） 再設(shè)想氣體處于狀態(tài)C時(shí)，保持其體積不變，即保持活塞不動，令葉片以角速度w 做勻速轉(zhuǎn)動，這樣葉片就要克服氣體阻力而做功，因?yàn)楦妆诩盎钊际墙^熱的，題設(shè)缸內(nèi)其它物體熱容量不計(jì)，活塞又不動（即活塞不做功），所以此功完全用來增加氣體的內(nèi)能．因?yàn)闅怏w體積不變，所以它的溫度和壓強(qiáng)都會升高，最后令它到達(dá)狀態(tài)B．在這過程中葉片轉(zhuǎn)動的時(shí)間用Dt表示，則在氣體的狀態(tài)從C到B的過程中，葉片克服氣體阻力做功 （4） 令UB表示氣體處于狀態(tài)B時(shí)的內(nèi)能，由熱力學(xué)第一定律得 （5） 由題知 （6） 由（4）、（5）、（6）式得 （7） （7）式加（3）式，得 （8） 利用和得 （9） 評分標(biāo)準(zhǔn)： 本題23分． 四、參考解答： T 2T 0 uDBDDA 圖1 U －U 答案：如圖1所示，如圖2 所示． 0 T uA 0 2T T 圖2 ． 附參考解法： 二極管可以處在導(dǎo)通和截止兩種不同的狀態(tài).不管D1和D2處在什么狀態(tài)，若在時(shí)刻t，A點(diǎn)的電壓為uA，D點(diǎn)的電壓為uD，B點(diǎn)的電壓為uB，電容器C1兩極板間的電壓為uC1，電容器C2兩極板間的電壓為uC2，則有 （1） （2） （3） （4） 式中q1為C1與A點(diǎn)連接的極板上的電荷量，q2為C2與B點(diǎn)連接的極板上的電荷量. 若二極管D1截止，D2導(dǎo)通，則稱電路處在狀態(tài)I. 當(dāng)電路處在狀態(tài)I時(shí)有 （5） 若二極管D1和D2都截止，則稱電路處在狀態(tài)II. 當(dāng)電路處在狀態(tài)II時(shí)有 （6） 若二極管D1導(dǎo)通，D2截止，則稱電路處在狀態(tài)III.當(dāng)電路處在狀態(tài)III時(shí)有 （7） 電路處在不同狀態(tài)時(shí)的等效電路如圖3所示. C1 D1 C2 D uA G A B D2 C1 D1 C2 D uA G A B D2 C1 D1 C2 D uA G A B D2 狀態(tài)I 狀態(tài)II 狀態(tài)III 圖3 在到時(shí)間間隔內(nèi)，uD、uB隨時(shí)間t的變化情況分析如下： 1. 從起，uA從0開始增大，電路處在狀態(tài) I ，C1、C2與電源組成閉合回路. 因C1、C2的電容相等，初始時(shí)兩電容器都不帶電，故有 在uA達(dá)到最大值即uA = U時(shí)，對應(yīng)的時(shí)刻為，這時(shí)，也達(dá)到最大值. uA達(dá)到最大值后將要減小，由于D2的單向?qū)щ娦?，電容器C1、C2都不會放電，和保持不變，uD將要小于，即將要小于uB ，D2將由導(dǎo)通變成截止，電路不再處于狀態(tài)I. 所以從t = 0到時(shí)間間隔內(nèi)，uD、uB隨時(shí)間t變化的圖線如圖4、圖5中區(qū)域I1 內(nèi)的的直線所示． 2. 從起，因uD小于uB ，D2處在截止?fàn)顟B(tài)，電路從狀態(tài) I 變?yōu)闋顟B(tài) II. 因?yàn)槎O管的反向電阻為無限大，電容器C1、C2都不會放電，兩極板間的電壓都保持不變.當(dāng)電路處在狀態(tài)II 時(shí)，D點(diǎn)的電壓 B點(diǎn)的電壓 隨著uA從最大值U逐漸變小，uD亦變?。划?dāng)時(shí)，對應(yīng)的時(shí)刻為，.如果uA小于，則uD將小于0，D1要從截止變成導(dǎo)通，電路不再處在狀態(tài)II.所以在到時(shí)間間隔內(nèi)，uD、uB隨t變化的圖線如圖4和圖5中區(qū)域 II1 內(nèi)的直線所示. 3.從起，uA從開始減小，D1導(dǎo)通，但，D2仍是截止的，電路從狀態(tài)II變?yōu)闋顟B(tài)III.當(dāng)電路處在 狀態(tài) III 時(shí)有 在uA減小的過程中，C1兩極板間的電壓uC1（= uA）也隨之改變，從而維持uD為0. 當(dāng)uA達(dá)到反向最大值即時(shí)，對應(yīng)的時(shí)刻為，.若uA從開始增大（減?。?，因D1的單向?qū)щ娦裕娙萜鰿1不會放電，保持不變，，D1要從導(dǎo)通變成截止，電路不再處于狀態(tài)III.所以在到時(shí)間間隔內(nèi)，uD、uB隨t變化的圖線如圖4和圖5中區(qū)域 III1 內(nèi)的直線所示. 4. 從起，uA從開始增大， D1變?yōu)榻刂範(fàn)顟B(tài)，從零開始增大，只要uD仍小于uB，D2仍是截止的，電路從狀態(tài)III變?yōu)闋顟B(tài)II. 當(dāng)電路處在 狀態(tài) II 時(shí)，C1和C2不會放電，電容器兩極板間的電壓保持不變. 故有 當(dāng)uA增大至?xí)r，對應(yīng)的時(shí)刻為，. 若uA再增大，uD將要大于uB，D2將要從截止變?yōu)閷?dǎo)通，，電路不再處于狀態(tài)II. 所以在到時(shí)間間隔內(nèi)，uD、uB隨t變化的圖線如圖4和圖5中 區(qū)域 II2 中的直線所示. 5. 從起，uA要從增大， D2變?yōu)閷?dǎo)通狀態(tài)，這時(shí)D1仍是截止的，電路又進(jìn)入狀態(tài)I. 當(dāng)電路處在 狀態(tài)I時(shí)，電源與C1、C2構(gòu)成閉合回路，而 當(dāng)uA變化時(shí)，將隨之變化，但由導(dǎo)通的二極管D2連接的C1、C2的兩塊極板所帶的總電荷量是恒定不變的.由于在時(shí)刻，，，此時(shí)，，故有 由以上有關(guān)各式得 uD、uB隨著uA的增大而增大. 當(dāng)uA達(dá)到最大值即時(shí)，對應(yīng)的時(shí)刻為，．由于D2單向?qū)щ姡辉霾粶p，uA從最大值減小時(shí)，不變，uD將要小于，而保持為，因而，D2從導(dǎo)通變成截止，電路不再是狀態(tài)I. 所以在到時(shí)間間隔內(nèi)，uD、uB隨t變化的圖線如圖4和圖5中 I2中的直線所示. 6. 從起，uA從U開始減小， D2變?yōu)榻刂範(fàn)顟B(tài)，這時(shí)D1仍是截止的，電路又進(jìn)入狀態(tài)II. 當(dāng)電路處在 狀態(tài) II 時(shí)，C1和C2不會放電，電容器兩極板間的電壓保持不變. 由時(shí)刻的uD和uA的值可知此時(shí). 故有 當(dāng)uA減少至?xí)r，對應(yīng)的時(shí)刻為，，以后D1將由截止變?yōu)閷?dǎo)通，電路不再處在狀態(tài)II. 所以在到時(shí)間內(nèi)，uD、uB隨t變化的圖線如圖4和圖5中 II3中的直線所示. 7. 從起，uA從開始減小，D1變?yōu)閷?dǎo)通狀態(tài)，但D2仍是截止的，電路又進(jìn)入狀態(tài)III，故有 在uA減小的過程中，C1兩端的電壓uC1也隨之改變，開始階段D1保持導(dǎo)通，uD = 0. 但當(dāng)uA減小至-U時(shí)，對應(yīng)的時(shí)刻為，uC1 = U. 因D1單向?qū)щ姡?，C1右極板的正電荷只增不減，uA到達(dá)-U后要增大，uD要大于0，D1要從導(dǎo)通變?yōu)榻刂?，電路不再處于狀態(tài)III. 所以在到時(shí)間間隔內(nèi)，uD、uB隨t變化的圖線如圖4和圖5中III2內(nèi)的直線所示. 8. 從起，uA從-U開始增大，D1變?yōu)榻刂範(fàn)顟B(tài)，D2仍是截止的，電路又進(jìn)入狀態(tài)II. 當(dāng)電路處于狀態(tài)II 時(shí)，C1和C2不會放電，電容器兩極板間的電壓保持不變.由時(shí)刻的uD和uA的值可知，此時(shí).故有 uD將隨著uA的增大而增大.當(dāng)uA=時(shí)，對應(yīng)的時(shí)刻，uD =，與uB相等.以后uD要大于，D2要從截止變?yōu)閷?dǎo)通，電路不再是狀態(tài)II. 所以在到時(shí)間間隔內(nèi)，uD、uB隨t變化的圖線如圖4和圖5中II4內(nèi)的直線所示. 總結(jié)以上討論，各時(shí)段起訖時(shí)刻及和變化值如下表所示： 時(shí) 段 1 2 3 4 5 6 7 8 I1 II1 III1 II2 I2 II3 III2 II4 T 2T 0 uDBDDA 圖4 I1 II1 III2 II2 III1 I2 II4 II32 0 2T T 圖5 I1 II1 III2 II2 III1 I2 II4 II32 評分標(biāo)準(zhǔn)： 本題25分 五、參考解答： 1．題給的磁場隨時(shí)間和空間的變化具有周期性，在某時(shí)刻，磁場的空間分布為 在時(shí)刻，磁場的空間分布為 比較上面兩式，不難看出，和這兩個(gè)時(shí)刻的磁場的空間分布規(guī)律是相同的，只是時(shí)刻原位于處的磁場，經(jīng)歷時(shí)間，在時(shí)刻，出現(xiàn)在處．即整個(gè)磁場的分布經(jīng)時(shí)間間隔沿x軸的正方向平移了一段距離 平移速度 （1） 平移速度為恒量．由此可見，題給出的磁場可視為一在空間按余弦規(guī)律分布的非均勻磁場區(qū)域以速度沿x軸的正方向平移．如果金屬框移動的速度小于磁場區(qū)域平移的速度，那么通過金屬框的磁通將隨時(shí)間發(fā)生變化，從而在金屬框中產(chǎn)生感應(yīng)電流，感應(yīng)電流將受到磁場的安培力作用． 由題已知，在時(shí)刻t，金屬框移動的速度為，金屬框MN邊位于坐標(biāo)x處，PQ邊位于坐標(biāo)處．設(shè)此時(shí)金屬框的磁通為（規(guī)定由紙內(nèi)到紙外為正）；經(jīng)過一很短的時(shí)間間隔，整個(gè)磁場分布區(qū)域向x方向移動了一段距離，金屬框向x方向移動了一段距離，其結(jié)果是：MN邊左側(cè)穿過面積為的磁通移進(jìn)了金屬框，PQ邊左側(cè)穿過面積為的磁通移出了金屬框，故在時(shí)刻，通過金屬框的磁通為 在時(shí)間間隔內(nèi)，通過金屬框的磁通增量為 （2） 規(guī)定框內(nèi)的感應(yīng)電動勢沿順時(shí)針方向（沿回路MNPQM方向)為正，由電磁感應(yīng)定律，可得t時(shí)刻的感應(yīng)電動勢 （3） 規(guī)定金屬框內(nèi)的感應(yīng)電流沿順時(shí)針方向（沿回路MNPQM方向)為正，可得t時(shí)刻的感應(yīng)電流為 (4) 磁場對于上下兩邊NP和MQ的安培力的大小相等，方向相反，二者的合力為零．規(guī)定向右的力為正，則磁場作用于金屬框MN邊的安培力為；由于PQ邊和MN邊的電流方向相反，磁場作用于金屬框PQ邊的安培力為 ，故金屬框的安培力的合力 （5） 由（1）、（2）、（3）、（4）、（5）式及題給定的磁場分布規(guī)律，得 （6） 利用三角學(xué)公式，得 （7） 稱為安培力的幅度．從（7）式可以看出，安培力在的幅度內(nèi)隨時(shí)間變化，但其值不會小于零，表示磁場作用于金屬框的安培力始終向右． 2．討論安培力的大小與線框幾何尺寸的關(guān)系就是討論與線框幾何尺寸的關(guān)系．與金屬框長度l的平方成正比，與金屬框的寬度d有關(guān)： 當(dāng)， 即 （8） 得 （9） 當(dāng)，即 （10） 達(dá)最大值 （11） 當(dāng)d取其它值時(shí)，介于0與最大值之間． 評分標(biāo)準(zhǔn)： 本題25分． 六、參考解答： 1． 圓筒內(nèi)光學(xué)元件的相對位置如圖1所示．各元件的作用如下： L2 L1 L3 狹縫 S P 圓筒軸 圖1 狹縫S：光源的光由此進(jìn)入分光鏡，觀察到的譜線就是狹縫的像． 透鏡L1：與狹縫的距離為f1，使由狹縫射來的光束經(jīng)L1后成為與圓筒軸平行的平行光束． 分光棱鏡：使由L1射來的平行光束中頻率不同的單色光經(jīng)棱鏡后成為沿不同方向出射的平行光束． 透鏡L2：使各種單色平行光束經(jīng)L2 成像在它的焦平面上，形成狹縫的像（即光譜線）． 觀察屏P：位于L2焦平面上，光源的譜線即在此屏上． 透鏡L3：與P的距離f3，是人眼觀察光譜線所用的放大鏡（目鏡）． 2．已知鈉黃光的譜線位于P的中央，S的像位于L2 的焦點(diǎn)上，由此可知，對分光棱鏡系統(tǒng)來說，鈉黃光的入射光束和出射光束都與軸平行，由于棱鏡系統(tǒng)是左右對稱，因此鈉黃光在棱鏡內(nèi)的光路應(yīng)該是左右對稱的，在中間棱鏡中的光路應(yīng)該與軸平行，分光元件中的光路圖如圖2所示，左半部的光路如圖3．用i1、r1、i2、r2分別表示兩次折射時(shí)的入射角和折射角，用n1、n2分別表示兩塊棱鏡對D線的折射率，由圖3可以看出，在兩棱鏡界面上發(fā)生折射時(shí)，，表明，即中間的棱鏡應(yīng)用折射率較大的火石玻璃制成，兩側(cè)棱鏡用冕牌玻璃制成，故有=1.5170，=1.7200． 圖2 r1 i2 r2 i1 n2 n1 圖3 由幾何關(guān)系可得 （1） （2） 由折射定律可得 （3） （4） 從以上各式中消去、、和得 （5） 解（5）式得 （6） 以，代入，得 （7） 評分標(biāo)準(zhǔn)： 本題23分． 七、參考解答： 帶電粒子在靜電場內(nèi)從S到T的運(yùn)動過程中，經(jīng)歷了從S到N和從N到T的兩次加速，粒子帶的電荷量q的大小均為，若以U 表示N 與地之間的電壓，則粒子從電場獲得的能量 (1) 質(zhì)子到達(dá)T處時(shí)的質(zhì)量 (2) 式中v為質(zhì)子到達(dá)T時(shí)的速度．質(zhì)子在S處的能量為，到達(dá)T處時(shí)具有的能量為，電子的質(zhì)量與質(zhì)子的質(zhì)量相比可忽略不計(jì)，根據(jù)能量守恒有 （3） 由（1）、（2）、（3）式得 代入數(shù)據(jù)解得 （4） 評分標(biāo)準(zhǔn)： 本題16分． 24