《組合數(shù)學(xué)》測(cè)試題含答案.doc

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測(cè) 試 題 ——組合數(shù)學(xué) 一、選擇題 1. 把101本書(shū)分給10名學(xué)生，則下列說(shuō)法正確的是（） A.有一名學(xué)生分得11本書(shū) B.至少有一名學(xué)生分得11本書(shū) C.至多有一名學(xué)生分得11本書(shū) D.有一名學(xué)生分得至少11本書(shū) 2. 8人排隊(duì)上車，其中A，B兩人之間恰好有4人，則不同的排列方法是（） A. B. C. D. 3. 10名嘉賓和4名領(lǐng)導(dǎo)站成一排參加剪彩，其中領(lǐng)導(dǎo)不能相鄰，則站位方法總數(shù)為（） A. B. C. D. 4. 把10個(gè)人分成兩組，每組5人，共有多少種方法（） A. B. C. D. 5. 設(shè)x,y均為正整數(shù)且，則這樣的有序數(shù)對(duì)共有（）個(gè) A.190 B.200 C.210 D.220 6. 僅由數(shù)字1，2，3組成的七位數(shù)中，相鄰數(shù)字均不相同的七位數(shù)的個(gè)數(shù)是（） A.128 B.252 C.343 D.192 7. 百位數(shù)字不是1且各位數(shù)字互異的三位數(shù)的個(gè)數(shù)為（） A.576 B.504 C.720 D.336 8. 設(shè)n為正整數(shù)，則等于（） A. B. C. D. 9. 設(shè)n為正整數(shù)，則的值是（） A. B. C. D.0 10. 設(shè)n為正整數(shù)，則當(dāng)時(shí)，=() A. B. C. D. 11. 中的系數(shù)是（） A.1440 B.-1440 C.0 D.1 12. 在1和之間只由數(shù)字1，2或3構(gòu)成的整數(shù)個(gè)數(shù)為（） A. B. C. D. 13. 在1和300之間的整數(shù)中能被3或5整除的整數(shù)共有（）個(gè) A.100 B.120 C.140 D.160 14. 已知是Fibonacci數(shù)列且，則（） A.89 B.110 C.144 D.288 15. 遞推關(guān)系的特征方程是（） A. B. C. D. 16. 已知，則當(dāng)時(shí)，（） A. B. C. D. 17. 遞推關(guān)系的解為（） A. B. C. D. 18. 設(shè)，則數(shù)列的常生成函數(shù)是（） A. B. C. D. 19. 把15個(gè)相同的足球分給4個(gè)人，使得每人至少分得3個(gè)足球，不同的分法共有（）種 A.45 B.36 C.28 D.20 20. 多重集的5-排列數(shù)為（） A.5 B.10 C.15 D.20 21. 部分?jǐn)?shù)為3且沒(méi)有等于1的部分的15-分拆的個(gè)數(shù)為（） A.10 B.11 C.12 D.13 22. 設(shè)n,k都是正整數(shù)，以表示部分?jǐn)?shù)為k的n-分拆的個(gè)數(shù)，則的值是（） A.6 B.7 C.8 D.9 23. 設(shè)A，B，C是實(shí)數(shù)且對(duì)任意正整數(shù)n都有，則B的值是（） A.9 B.8 C.7 D.6 24. 不定方程的正整數(shù)解的個(gè)數(shù)是（） A.26 B.28 C.30 D.32 25. 已知數(shù)列的指數(shù)生成函數(shù)是，則該數(shù)列的通項(xiàng)公式是（） A. B. C. D. 二、填空題 1. 在1和2000之間能被6整除但不能被15整除的正整數(shù)共有_________個(gè) 2. 用紅、黃、藍(lán)、黑4種顏色去圖棋盤，每個(gè)方格涂一種顏色，則使得被涂成紅色的方格數(shù)是奇數(shù)的涂色方法共有_______種 3. 已知遞歸推關(guān)系的一個(gè)特征根為2，則其通解為_(kāi)__________ 4. 把個(gè)人分到3個(gè)不同的房間，每個(gè)房間至少1人的分法數(shù)為_(kāi)_________ 5. 棋盤的車多項(xiàng)式為_(kāi)__________ 6. 由5個(gè)字母a,b,c,d,e作成的6次齊次式最多可以有_________個(gè)不同類的項(xiàng)。 7. =_____________________ 8. 求由2個(gè)0，3個(gè)1和3個(gè)2作成的八位數(shù)的個(gè)數(shù)______________ 9.含3個(gè)變?cè)獂, y, z的一個(gè)對(duì)稱多項(xiàng)式包含9個(gè)項(xiàng)，其中4項(xiàng)包含x,2項(xiàng)包含,1項(xiàng)是常數(shù)項(xiàng)，則包含的項(xiàng)數(shù)為_(kāi)___________ 10．已知是n的3次多項(xiàng)式且,,,,則____________ 11. 已表示把n元集劃分成k個(gè)元素個(gè)數(shù)均不小于2的子集的不同方法數(shù)， 則=___________ 12.部分?jǐn)?shù)為3且沒(méi)有等于k的部分的n-分拆數(shù)________________ 13. 把24顆糖分成5堆，每堆至少有3顆糖，則有___________種分法 三、計(jì)算題 1．在1000至9999之間有多少個(gè)數(shù)字不同的奇數(shù)？ 2、以3種不同的長(zhǎng)度，8種不同的顏色和4種不同的直徑生產(chǎn)粉筆，試問(wèn)總共有多少種不同種類的粉筆？ 3、至多使用4位數(shù)字可以寫(xiě)成多少個(gè)2進(jìn)制數(shù)?。?進(jìn)制數(shù)只能用符號(hào)0或1） 4、由字母表L={a,b,c,d,e}中字母組成的不同字母且長(zhǎng)度為4的字符串有多少個(gè)？如果允許字母重復(fù)出現(xiàn)，則由L中字母組成的長(zhǎng)度為3的字符串有多少個(gè)？ 5、從{1，2，3……9}中選取不同的數(shù)字且使5和6不相鄰的7位數(shù)有多少？ 6、已知平面上任3點(diǎn)不共線的25個(gè)點(diǎn)，它們能確定多少條直線？能確定多少個(gè)三角形？ 7、計(jì)算數(shù)字為1，2，3，4，5且滿足以下兩個(gè)性質(zhì)的4位數(shù)的個(gè)數(shù)： (a)數(shù)字全不相同； (b)數(shù)為偶數(shù) 8、正整數(shù)7715785有多少個(gè)不同的正因子（1除外）？ 9、50！中有多少個(gè)0在結(jié)尾處？ 10、比5400大并且只有下列性質(zhì)的數(shù)有多少？ (a)數(shù)字全不相同； (b)不出現(xiàn)數(shù)字2和7 11. 將m=3761寫(xiě)成階乘和的形式。 12. 根據(jù)序數(shù)生成的排列(p)=(3214)，其序號(hào)是多少？ 13. 如果用序數(shù)法對(duì)5個(gè)文字排列編號(hào)，則序號(hào)為117的排列是多少？ 14. 設(shè)中介數(shù)序列為（120），向它所對(duì)應(yīng)的4個(gè)文字的全排列是什么？ 15. 按字典序給出所有3個(gè)文字的全排列。 16. 按遞歸生成算法，依次寫(xiě)出所有的4個(gè)文字的全排列。 17. 根據(jù)鄰位互換生成算法，4個(gè)文字的排列4231的下一個(gè)排列是什不同的方案? 18. 有5件不同的工作任務(wù)，由4個(gè)人去完成它們，每件工作只能由一個(gè)人完成，問(wèn)有多少種方式完成所有這5件工作？ 19. 有紀(jì)念章4枚，紀(jì)念冊(cè)6本，分送給十位同學(xué)，問(wèn)有多少種分法？如限制每人得一件物品，則又有多少種分法？ 20．寫(xiě)出按次序產(chǎn)生的所有從1，2，3，4，5，6中任取2個(gè)的組合。 21．給定一個(gè)n邊形，能畫(huà)出多少個(gè)三角形使得三角形的頂點(diǎn)為n邊形的頂點(diǎn)，三角形的邊為n邊形的對(duì)角線（不是邊）？ 22．試問(wèn)（x+y+z）的6次方中有多少不同的項(xiàng)？ 23. 如果沒(méi)有兩個(gè)相鄰的數(shù)在同一個(gè)集合里，由{1，2，…20}中的數(shù)可形成3個(gè)數(shù)的集合有多少？ 24. 試列出重集{2a,1b,3c}的所有3組合和4組合。 25. 設(shè){Fn}為fibonna序列，求出使Fn = n的所有的n。 26. 試求從1到1000中,不能被4,5或6整除的個(gè)數(shù)? 27. 計(jì)算12+22+……+n2 28. 設(shè)某地的街道把城市分割成矩形方格，每個(gè)方格叫它塊，某甲從家里出發(fā)上班，向東要走過(guò)7塊，向北要走過(guò)5塊，問(wèn)某甲上班的路經(jīng)有多少條？ 29. 設(shè)n=253273114,試求能除盡數(shù)n的正整數(shù)的數(shù)目。 30. 求（1+x4+x8）10 中x20項(xiàng)的系數(shù)。 31. 試給出3個(gè)文字的對(duì)稱群S3中的所有元素，并說(shuō)出各個(gè)元素的格式。 32. 有一BIBD，已知b=14,k=3,λ=2,求v和r。 33. 將39寫(xiě)成∑ai i!(0≤ai≤i)的形式。 34. 8個(gè)人圍坐一圈，問(wèn)有多少種不同的坐法？ 35. 求 36. 試給出兩個(gè)正交的7階拉丁方。 37. 在3n+1個(gè)球中，有n個(gè)相同，求從這3n+1個(gè)球中選取n個(gè)的方案數(shù)。 38. 用紅、黃兩種顏色為一個(gè)等邊三角形的三個(gè)頂點(diǎn)著色，問(wèn)有多少種實(shí)質(zhì)不同的著色方案？ 39. 在r,s,t,u,v,w,x,y,z的排列中，求y居x和z中間的排列數(shù)。 40. 求1040和2030的公因數(shù)數(shù)目。 41. 求1到1000中不被5和7整除，但被3整除的數(shù)的數(shù)目。 42. 求的和。 43. 用母函數(shù)法求遞推關(guān)系的解，已知a0=0,a1=1。 44. 試求由a,b,c這3個(gè)文字組成的n位符號(hào)串中不出現(xiàn)aa圖像的符號(hào)串的數(shù)目。 45. 26個(gè)英文小寫(xiě)字母進(jìn)行排列，要求x和y之間有5個(gè)字母的排列數(shù)。 46. 8個(gè)盒子排成一列，5個(gè)有標(biāo)志的球放到盒子里，每個(gè)盒子最多放一個(gè)球，要求空盒不相鄰，問(wèn)有多少種排列方案？ 47. 有紅、黃、藍(lán)、白球各兩個(gè)，綠、紫、黑球各3個(gè)，從中取出6個(gè)球，試問(wèn)有多少種不同的取法。 48. 用b、r、g這三種顏色的5顆珠子鑲成的圓環(huán)，共有幾種不同的方案？ 49. n個(gè)完全一樣的球放到r（n≥r）個(gè)有標(biāo)志的盒中，無(wú)一空盒，試問(wèn)有多少種方案？ 50. 假設(shè)某個(gè)凸n邊形的任意三條對(duì)角線不共點(diǎn)，試求這凸n邊形的對(duì)角線交于多少個(gè)點(diǎn)？ 51. 求從k個(gè)不同文字中取n個(gè)文字作允許重復(fù)的排列，但不允許一個(gè)文字連續(xù)出現(xiàn)3次，求這樣的排列的數(shù)目。 52. 求下圖中從A點(diǎn)出發(fā)到n點(diǎn)的路徑數(shù)。 53. n條直線將平面分成多少個(gè)區(qū)域？假設(shè)無(wú)三線共點(diǎn)，且兩兩相交。 54. 四位十進(jìn)制數(shù)a b c d，試求滿足a+b+c+d=31的數(shù)的數(shù)目。 55. 兩名教師分別對(duì)6名學(xué)生面試，每位教師各負(fù)責(zé)一門課，每名學(xué)生面試時(shí)間固定，6名學(xué)生面試時(shí)間定于下周一的第1節(jié)至第6節(jié)課，兩門課的面試分別在901和902兩個(gè)教室進(jìn)行。試問(wèn)共有多少種面試的順序。 56. 對(duì)正六角形的6個(gè)頂點(diǎn)用5種顏色進(jìn)行染色，試問(wèn)有多少種不同的方案？旋轉(zhuǎn)或翻轉(zhuǎn)使之重合的視為相同的方案。 58. 生成矩陣 試求相應(yīng)的校驗(yàn)矩陣H。 59. 由m個(gè)0，n個(gè)1組成的n+m位符號(hào)串，其中n≤m+1,試求不存在兩個(gè)1相鄰的符號(hào)串的數(shù)目。 60. n個(gè)男人與n個(gè)女人沿一圓桌坐下，問(wèn)兩個(gè)女人之間坐一個(gè)男人的方案數(shù)，又m個(gè)女人n個(gè)男人，且m2)，則 其中α=（1+√5）/2，β=（1-√5）/2 8. N個(gè)代表參加會(huì)議，試證其中至少有兩個(gè)人各自的朋友數(shù)相等。 9. 證明： 10. 證明：是整數(shù)。 11. 證明：在邊長(zhǎng)為1的等邊三角形內(nèi)任取5點(diǎn)，試證至少有兩點(diǎn)的距離小于1/2。 12.證明： 其中定義為：， 13. 任取11個(gè)整數(shù)，求證其中至少有兩個(gè)數(shù)它們的差是10的倍數(shù)。 14. 在邊長(zhǎng)為1的正方形內(nèi)任取5點(diǎn)，試證其中至少有兩點(diǎn)，其間距離小于。 15. 若H是群G的子群，試證：|xH|=K, 其中K＝|H|，x∈G。 16. 二維空間的點(diǎn)（x,y）的坐標(biāo)x和y都是整數(shù)的點(diǎn)稱為格點(diǎn)。任意5個(gè)格點(diǎn)的集合A，試證A中至少存在兩個(gè)點(diǎn)，它們的中點(diǎn)也是格點(diǎn)。 17. 證明：在由字母表{0，1，2}生成的長(zhǎng)度為n的字符串中，0出現(xiàn)偶數(shù)次的字符串有（3n+1）/2個(gè)。 18. 試證任意r個(gè)相鄰的正整數(shù)的連乘積（n+1）(n+2)…(n+r)必被r!除盡。 19. 證明： 20. 證明 21. 任取5個(gè)整數(shù)，試求其中必存在3個(gè)數(shù)，其和能被3整除。 22. 若H是群G的子群，x和y 是G的元素。試證xH∩yH或?yàn)榭占?，或xH=yH. 23. 令S={1，2，…，n+1},n≥2, 試證：。 24. 證明：任何K個(gè)相繼的正整數(shù)之積，必是r的倍數(shù)，其中r=1，2，…，K。 25. 求證：=。 26. 使用二項(xiàng)式定理證明,試推廣到任意實(shí)數(shù)r，求。 27. 證明 28. 證明任何k個(gè)相繼正整數(shù)中，有一個(gè)必能被k整除。 29. 證明在小于或等于2n的任意n+1個(gè)不同的正整數(shù)中，必有兩個(gè)是互等的。 30. 證任一正整數(shù)n可唯一地表成如下形式:,0≤ai≤i,i＝1,2,…。 31. 對(duì)于給定的正整數(shù)n,證明當(dāng) 時(shí)，是最大值。 32. 證明在由字母表{0,1,2}生成的長(zhǎng)度為n的字符串中,0出現(xiàn)偶數(shù)次的字符串有個(gè)； 33. 設(shè)有三個(gè)7位的二進(jìn)制數(shù)：，，。試證存在整數(shù)i和j，，使得下列之一必定成立，。 34.證明：在n階幻方中將每個(gè)數(shù)碼a換成，所得的陣列仍是一個(gè)n階幻方。（注：所謂幻方是指一個(gè)方陣，其中的元素分別是，且每列的元素和均相等） 35.證明：把有n個(gè)元素的集合s劃分為k個(gè)有序集合的個(gè)數(shù)等于 36.試證明： 37.證明：如果在邊長(zhǎng)為1的等邊三角形內(nèi)任取10個(gè)點(diǎn)，則必有2個(gè)點(diǎn)，它們的距離不大于1/3。 測(cè) 試 題 答 案 ——組合數(shù)學(xué) 一、選擇題 1.D 2.C 3.A 4.C 5.A 6.D 7.A 8.B 9.C 10.C 11.B 12.C 13.C 14.A 15.C 16.B 17.D 18.A 19.D 20.C 21.C 22.B 23.D 24.B 25.D 二、填空題 1. 267 2. 3. 4. 5. 6. 210 7. 0 8. 420 9. 2 10. 11. 12. 13. 23 三、計(jì)算題 1、 在1000至9999之間的數(shù)都是4位數(shù)。我們可以先選個(gè)位，再選千位，百位和十位。因?yàn)槲覀円臄?shù)是奇數(shù)，所以個(gè)位數(shù)字可以是1，3，5，7，9中的任何一個(gè)，即有5種選擇。選定個(gè)位數(shù)之后，十位就只有8種選擇了。百位也只有8種選擇，而十位則只有7種選擇，因此應(yīng)用乘法原則，問(wèn)題的答案是5887=2240種。 2、 在這個(gè)問(wèn)題中，我們要計(jì)算的是組合數(shù)，因?yàn)榉酃P的特性與上面三種數(shù)的順序無(wú)關(guān)，利用乘法法則可知共有384=96種不同種類的粉筆。 3、 因?yàn)?進(jìn)制數(shù)必須考慮其數(shù)字的次序，故要計(jì)算的是排列問(wèn)題。有4種選擇要做，并且每種都可以獨(dú)立地選擇0或1，于是有2222=24=16種至多4位數(shù)字的2進(jìn)制數(shù)，它們分別是{0，1，10，11，100，101，111，1000，1001，1010，1011，1100，1101，1110，1111} 4、 從5個(gè)字母中選取4個(gè)組成的字符串共有p(5,4)=5432=120種。如果允許字母重復(fù)出現(xiàn)，則長(zhǎng)度為3的字符串共有555=125種。 5、 可以這樣考慮：在9個(gè)數(shù)字中不重復(fù)地選取7個(gè)作排列共有種，其中出現(xiàn)5和6相鄰的排列數(shù)共有種，因?yàn)槌霈F(xiàn)5和6相鄰的排列可看成是從1，2，3，4，7，8，9七個(gè)數(shù)中選5個(gè)排列后，將56或65插入到這5個(gè)數(shù)的6個(gè)間隔位置上（數(shù)前、數(shù)后及兩個(gè)數(shù)字之間的間隔共6個(gè)位置），所以包含相鄰的5和6的7位數(shù)共有，于是所求數(shù)的個(gè)數(shù)為。 6、 因?yàn)槿?點(diǎn)均不共線，所以25個(gè)點(diǎn)中每?jī)蓚€(gè)點(diǎn)組成一條直線，每3個(gè)點(diǎn)了構(gòu)成一個(gè)三角形，所以共有條直線和個(gè)三角形。 7、 因?yàn)樗蟮臄?shù)為偶數(shù)，所以個(gè)位只有2種選擇：2或4。因?yàn)?位數(shù)字全不相同，所以乘余3位數(shù)只能是1，2，3，4，5中去掉用于個(gè)位數(shù)的數(shù)字之后的4個(gè)數(shù)字的3排列，可是共有2P(4,3)=24個(gè)這樣的數(shù)。 8、 因?yàn)?，所以共有個(gè)不同的正因子 9、因?yàn)樵?到50中共有10個(gè)數(shù)含有因子5而這10個(gè)數(shù)中又有2個(gè)包含有因子25。因此50！中含有10+2=12個(gè)5因子，顯然50！中至少含有12個(gè)因子2，因?yàn)樵?到50這50個(gè)數(shù)中有25個(gè)是偶數(shù)所以50！中含有12個(gè)因子10，即50！在結(jié)尾處有12個(gè)0。 10、符合條件的數(shù)可分成以下幾類： （1）8位數(shù)：共有7P（7，7）=35280個(gè) （2）7位數(shù)：共有7P（7，6）=35280個(gè) （3）6位數(shù)：共有7P（7，5）=17640個(gè) （4）5位數(shù)：共有7P（7，4）=5880個(gè) （5）4位數(shù)：8位數(shù)>5的有3P（7，3）=630個(gè) 8位數(shù)=5，百位數(shù)>4的有4P（6，2）=120個(gè) 8位數(shù)=5，百位數(shù)=4的有P（6，2）=30個(gè) 所以符合條件的數(shù)共有94860個(gè) 11. 3761 =56!+5!+4!+23!+2!+1 12. 因?yàn)楹?p)=(3214)對(duì)應(yīng)的中介數(shù)是（021），所以（p）的序號(hào)為m=03!+22!+1=5,即(p)是第5個(gè)排列 13. 因?yàn)?17=44!+33!+2!+1，則中介數(shù)為（4311），所以序號(hào)為117的5個(gè)文字的全排列為54231。 14. 因?yàn)閍1=0,所以2在1的右邊，a2=2，所以3在1和2的左邊,a3=1，所以4在2的前面且在3和1的后面，因此所對(duì)應(yīng)的排列為3142。 15. 123，132，213，231，312，321 16. 1234 1243 1423 4123 1324 1342 1432 4132 3124 3142 3412 4312 2134 2143 2413 4213 2314 2341 2431 4231 3214 3241 3421 4321 17. 排列4231的下一個(gè)排列是4213。 18. 因?yàn)?件工作中的每一件工作都可由4個(gè)人中的任一人完成，因此每件工作有4種分配方法，所以總共有44444=1024種完成任務(wù)的方案。 19. 因?yàn)闆](méi)有限制一個(gè)同學(xué)可得紀(jì)念章和紀(jì)念冊(cè)的個(gè)數(shù)，所以將4枚紀(jì)念章分給十個(gè)同學(xué)的方法有C（10+4-1,4）=C(13,4),將6本紀(jì)念冊(cè)分給十個(gè)同學(xué)的方法有C（10+6-1，6）=C（15，6），所以若有C（13，4）、C（15，6）種方案。 20. 如果限制每人得1件物品，則共有10！/（4！6?。?2，13，14，15，16，23，24，25， 26，34，35，36，45，46，56 21. 因?yàn)閚邊形的每個(gè)頂點(diǎn)有n-3條對(duì)角線，要使另一邊也是對(duì)角線，則選中的兩條對(duì)角線不能相鄰，于是相當(dāng)于在n-4條對(duì)角線中選2條對(duì)角線作三角形的兩邊，另一條邊即為此二對(duì)角線頂點(diǎn)的連線。所以共有C(n-4,2)個(gè)這樣的三角形，有n個(gè)頂點(diǎn)，共有nc(n-4,2)個(gè)三角形。但這里有重復(fù)，因?yàn)槊恳粋€(gè)滿足條件的三角形在三個(gè)頂點(diǎn)處重復(fù)了3次，所以真正不同的三角形只有nc(n-4,2)/3.例如，6邊形中可以找出6c(2,2)/3=2個(gè)這樣的三角形。 22. 共有C（3+6-1,6）=C(8,6)=C(8,2)=28項(xiàng)。 23. 因?yàn)榭梢栽趝1,2,…,18}中任取3個(gè)的組合同在{1,2,…,20}中任取3個(gè)沒(méi)有相鄰的數(shù)組成的集合之間建立起一一對(duì)應(yīng)關(guān)系,所以答案是C(18,3)=816 24. {c,c,c},{b,c,c},{a,c,c},{a,b,c},{a,a,c},{a,a,b}，共6個(gè)3組合， {a,c ,c,c},{b,c,c,c},{a,b,c,c},{a,a,c,c},{a,a,b,c}共5個(gè)4組合。 25. F1 = 1, F 5 = 5 26. 因?yàn)槟鼙?整除的有10000/4=2500，能被5整除的有1000/5=2000，能被6整除的有10000/6=1666，能同時(shí)被4，5整除的有10000/20=500，能同時(shí)被4，6整除的有10000/24=416，能同時(shí)被5，6整除的有10000/30=333，能同時(shí)被4，5，6整除的有10000/120=83，所以符合要求的有10000-（2500+2000+1666）+（500+416+333）-83=5000（個(gè)） 27. 因?yàn)閗2=2C(k,2)+C(k,1)=2k(k－1)/2+k= k2 所以12+22+……+n2=2(C(1,2)+C(2,2)+……+C(n,2))+C(1,1)+C(2,1)+……+C(n,1) =2C(n+1,3)+C(n+1,2) =2(n+1)n(n－1)/(32)+(n+1)n/2 =n(n+1)(2n+1)/6 28. N=C(7+5,7)=C(7+5,5)=C(12,5)=792 一般情況 N=C(m+n,n) 29. N=(1+5)(1+2)(1+3)(1+4)=360 30. 令x4=y, 則x8=y2, x20=y5,于是（1+y+y2）10中y5項(xiàng)的系數(shù)N即為(1+x4+x8)10中x20項(xiàng)的系數(shù)，而y5=y?yyyy=yyyy2=yy2y2，于是 N=C(10,5)+c(10,3)c(7,1)+c(10,1) c(9,2)=1326 31 S3={(1)(2)(3),(23),(12),(13),(123),(132)} (1)(2)(3)的格式是(1)3 (23),(12),(13)的格式是(1)1(2)2 (123),(132)的格式是(3)1 32 因?yàn)閎k=vr , r(k-1)=λ(v-1),已知 b=14,k=3,λ=2 所以 143=vr 即時(shí) vr=42 求得 v=7 r(3-1)=2(v-1) 2r=2(v-1) r=6 33. 39=4!+2?3!+2!+1!=24+12+2+1 34. N=7!=5040 35. 因?yàn)镃(n,1)+2C(n,2)+…+nC(n,n)=n?2n-1 所以C(10,1)+2C(10,2)+…+10C(10,10)=10?210-1=5120 36. 和 37. N=C(2n+1,0)+C(2n+1,1)+…+C(2n+1,2)+…+C(2n+1,n) =2(C(2n+1,0)+C(2n+1,1)+…+C(2n+1,n))/2 =(C(2n+1,0)+C(2n+1,2n+1)+C(2n+1,1)+C(2n+1,2n)+… +C(2n+1,n)+C(2n+1,n+1))/2 =22n+1/2=22n=4n 38. N=(23+2??????21+3???22)/6=4 39. 解：N=2?7！=10080 40. 解：∵M(jìn)=gcd(1040,2030)=240?530,∴N=(40+1)(30+1)=1271 41. 解：N=int(1000/3)-int(1000/15)-int(1000/21)+int(1000/105)=333-66-47+9=229 42. 解： ∵ △Sn=Sn+1-Sn=(n+1)4 ∴可設(shè)Sn=A?C(n,0)+B?C(n,1)+C?C(n,2)+D?C(n,3)+E?C(n,4)+F???C(n,5),于是可知： A=0 解得： A=0 A+B=1 B=1 A+2B+C=17 c=15 A+3B+3C+D=98 D=50 A+4B+6C+4D+E=354 E=60 A+5B+10C+10D+5E+F=979 F=24 所以 Sn=C(n,1)+15C(n,2)+50C(n,3)+60C(n,4)+24C(n,5) =(n(n+1)(2n+1)(3n2+3n-1))/30 43．解：特征函數(shù)為x2-6x+8=0,x1=2,x2=4,所以可設(shè) an=A?2n+B?4n,于是 a0=0=A+B 解得 A=-1/2 a1=1=2A+4B B=1/2 即an=(4n-2n)/2 44．解：設(shè)an為n位符號(hào)串中不出現(xiàn)aa圖像的符號(hào)串的個(gè)數(shù)， 則an=2an-1+2an-2,即 an－2an-1－2an-2＝０，a1=3,a2=8，由此知 a0=1。 特征方程為x2-2x-2=0, x1=1+√3 , x2=1-√3 ，可設(shè) an=A(1+√3)n+B(1-√3)n,于是有 a0 = 1 =Ａ＋Ｂ a1 = 3 = (1+√3)A+ (1-√3)B 解此方程組得 Ａ=(３＋2√3)/6 B=(３-2√3)/6 an=[(３＋2√3)(1+√3)n+(３-2√3)(1-√3)n]/6 45．解：M=2?20! ?5! ?C(24,5)=40?24! 46. 解：如圖_0_0_0_0_0_ ,3個(gè)空盒可插在兩個(gè)球之間,共有C(6,3)=20種方案,5個(gè)有標(biāo)志的球共有5!種排序,所以總計(jì)有M=20?5!=2400種排列方案。 47. 解：母函數(shù)為G(x)= (1+x+x2)4(1+x+x2+x3)3,其中x6的系數(shù)為 M=1?10+4?12+10?12+16?10+19?6+16?3+10?1=510,因?yàn)? G(x)= (1+4x+10x2+16x3+19x4+16x5+10x6+4x7+x8) 48. 解：運(yùn)動(dòng)群G={(1)(2)(3)(4)(5),(1 2 3 4 5),(1 3 5 2 4),(1 4 2 5 3), (1 5 4 3 2 ), (1)(25)(34), (2)(13)(45), (3)(24)(15), (4)(35)(12), (5)(14)(23)}={ p1,p2,p3,p4,p5,p6,p7,p8,p9,p10} c( p1)=5, c(p2)=c(p3)= c(p4)=c(p5)=1, c(p6)=c(p7)= c(p8)= c(p9)= c(p10)=3, m=3, |G|=10,據(jù)Plya定理,M=(1/|G|)?(mc(p1)+ mc(p2)+ mc(p3)+。。。+ mc(p10))=(1/10)（35+4?31+5?33） =(1/10)（243+12+45）=30。 49．Ｃ（ｎ－１，ｒ－１） 將ｎ個(gè)球排成一行，兩球之間有一間隔，共有ｎ－１個(gè)間隔。在此ｎ－１個(gè)間隔中任?。颍眰€(gè)，將ｎ個(gè)球分成ｒ段，將第ｉ段的球（其中至少有１球）放入第ｉ個(gè)盒子，所以共有Ｃ（ｎ－１，ｒ－１）種方案。 50. Ｃ（ｎ，４） 凸ｎ邊形有ｎ個(gè)頂點(diǎn)，任取其中４個(gè)頂點(diǎn)可以組成一個(gè)凸４邊形，該４邊形的兩條對(duì)角線有一個(gè)交點(diǎn)，所以凸ｎ邊形的對(duì)角線交于Ｃ（ｎ，４）個(gè)交點(diǎn)（根據(jù)假設(shè)，沒(méi)有３條對(duì)角線相交于一點(diǎn)）。 51. Ｓｎ＝ｎ（ｎ＋１）（ｎ＋２）（ｎ＋３）／４ Ｓｎ＝１２３＋２３４＋．．．＋ｎ（ｎ＋１）（ｎ＋２） ?。剑常。ǎ保玻常常。玻常矗常。睿ǎ睿保ǎ睿玻常。? 　＝３?。ǎ茫ǎ常常茫ǎ?，３）＋．．．＋Ｃ（ｎ＋２，３）） 　＝３?。ǎ茫ǎ?，０）＋Ｃ（４，１）＋．．．＋Ｃ（ｎ＋２，ｎ－１）） ?。剑常。茫ǎ睿?，ｎ－１） 　＝３?。茫ǎ睿?，４） ?。剑睿ǎ睿保ǎ睿玻ǎ睿常? 52. ａｎ＝（ｋ／（２（ｋ－１））＋ｋ／（２ｓｑｒｔ（（ｋ－１）（ｋ＋３））） 　　　　?。ǎǎ耄保螅瘢颍簦ǎǎ耄保ǎ耄常玻? 　　　?。ǎ耄ǎ玻ǎ耄保耄ǎ玻螅瘢颍簦ǎǎ耄保ǎ耄常? 　　　　　（（ｋ－１－ｓｑｒｔ（（ｋ－１）（ｋ＋３）））／２）ｎ 假設(shè)從ｋ（ｋ＞１）個(gè)不同文字取出ｎ個(gè)（可以重復(fù)）作排列，但不允許一個(gè)文字連續(xù)出現(xiàn)３次的排列所組成的集合為Ａｎ，則所求排列數(shù)ａｎ＝｜Ａｎ｜。將Ａｎ中的字符串按最后一個(gè)文字可以分成兩類：一類是最后一個(gè)文字同其前一個(gè)文字不相同的那些字符串，共有（ｋ－１）ａｎ－１個(gè)（最后一位有ｋ－１種選擇，而前ｎ－１位是沒(méi)有一個(gè)文字連續(xù)出現(xiàn)３次的字符串），另一類是最后兩個(gè)文字相同，但與倒數(shù)第３個(gè)文字不相同的字符串，共有（ｋ－１）ａｎ－２個(gè)，所以有遞推關(guān)系 ａｎ＝（ｋ－１）ａｎ－１＋（ｋ－１）ａｎ－２（ 而ａ１＝ｋ，ａ２＝ｋ２，ａ３＝ｋ３－ｋ＝ｋ（ｋ－１）（ｋ＋１ 遞推關(guān)系的特征方程為 　?。玻ǎ耄保ǎ耄保剑? 其根為： 　　α１＝（ｋ－１＋ｓｑｒｔ（（ｋ－１）（ｋ＋３）））／２ 　　α２＝（ｋ－１－ｓｑｒｔ（（ｋ－１）（ｋ＋３）））／２ 于是知　?。幔睿剑粒宝粒保睿粒拨粒玻? 由于ａ１＝ｋ，ａ２＝ｋ２，由遞推關(guān)系知ａ０＝ｋ／（ｋ－１），所以 ａ０＝ｋ／（ｋ－１）＝Ａ１α１０＋Ａ２α２０Ａ＝Ａ１＋Ａ２ ａ１＝ｋ＝Ａ１α１１＋Ａ２α２１＝Ａ１（ｋ－１＋ｓｑｒｔ（（ｋ－１）（ｋ＋３）））／２ 　　　　　　　　　　　?。粒玻ǎ耄保螅瘢颍簦ǎǎ耄保ǎ耄常? 解得 Ａ１＝（ｋ／（２（ｋ－１））＋ｋ／（２ｓｑｒｔ（（ｋ－１）（ｋ＋３））） Ａ２＝（ｋ／（２（ｋ－１））－ｋ／（２ｓｑｒｔ（（ｋ－１）（ｋ＋３））） 所以 ａｎ＝（ｋ／（２（ｋ－１））＋ｋ／（２ｓｑｒｔ（（ｋ－１）（ｋ＋３））） 　　　　　（（ｋ－１＋ｓｑｒｔ（（ｋ－１）（ｋ＋３）））／２）ｎ 　　　?。ǎ耄ǎ玻ǎ耄保耄ǎ玻螅瘢颍簦ǎǎ耄保ǎ耄常? 　　　　　（（ｋ－１－ｓｑｒｔ（（ｋ－１）（ｋ＋３）））／２）ｎ 53. f（n）＝（（（１＋√５）／２）n＋1－（（１－√５）／２）n＋1）／√５ 假設(shè)從A（編號(hào)為０）到編號(hào)為i的頂點(diǎn)有f（i）條路徑，則f（１）＝１，f（２）＝２，當(dāng)i＞2時(shí)，f（i）＝f（i-1）＋f（i－2），由此知f（０）＝f（A）＝１。當(dāng)i＝n時(shí)，f（n）＝f（n-1）＋f（n－2）,即f（n）－f（n-1）－f（n－2）＝０。其特征方程為： x2－x－1=0，它的兩個(gè)根分別為：α１＝（１＋√５）／２，α２＝（１－√５）／２。 于是知f（n）＝Ａ１α１ｎ＋Ａ２α２ｎ，根據(jù) f（０）＝１＝A1＋A2 f（１）＝１＝A1（１＋√５）／２＋A2（１－√５）／２， 解得 　　 A1＝（１＋√５）／（２√５），A2＝（１－√５）／（２√５） 所以， f（n）＝（（（１＋√５）／２）n＋1－（（１－√５）／２）n＋1）／√５＝F（n＋1） 其中F（n）為第n個(gè)Fibonacci數(shù)。 54. an＝（n2＋n＋２）／２ 設(shè)n條符合條件的直線將平面分成an個(gè)區(qū)域，那么n－１條直線可將平面分成an－１個(gè)區(qū)域，而第n條直線與前n-1條直線均相交，有n－１個(gè)交點(diǎn)，因此第n條直線被分成n段，而每一段對(duì)應(yīng)一個(gè)新增的區(qū)域，所以有an＝an－１＋n，即an－an－１＝n。于是 an－１－an－２＝n－１，由此得an－２an－１＋an－２＝１，同樣有an－１－２an－２＋an－３＝１，故得an－３an－１＋３an－２－an－３＝０，其特征方程為x3－３x2＋３x－1＝０，解此方程得α＝α１＝α２＝α３＝１，所以an＝（A0＋A1n＋A2n2）αn＝A0＋A1n＋A2n2 ，而 a0＝１＝A0　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 a1＝２＝A0＋A1＋A2 a２＝４＝A0＋２A1＋４A2 　　　　解得 　　　　A0=1 A1=1/2 A2=1/2 由此知 an＝（n2＋n＋２）／２ 55、56 因?yàn)閤1＋x2＋x3＋x４＝31,xi≥0（i＝１，２，３，４）的整數(shù)解共有C（4+31-1，31）＝C（34，３）＝343332/6＝5984（個(gè)）。 再考慮x1＋x2＋x3＋x４＝31,xi≥１0（i＝１，２，３，４）的整數(shù)解的個(gè)數(shù)。令N為全體非負(fù)整數(shù)解，則｜N｜＝5984。 令A(yù)i(i＝１，２，３，４)為其中xi≥１0的解集合。則｜A1｜即為（x1＋10）＋x2＋x3＋x４＝31，也就是x1＋x2＋x3＋x４＝21的非負(fù)整數(shù)解的個(gè)數(shù)。所以， ｜A1｜＝C（４＋21－１，21）＝C（24，3）＝242322/6＝2024。同理可知 ｜A２｜＝｜A３｜＝｜A４｜＝｜A1｜＝2024。類似地， ｜Ai∩Aj｜＝C（4＋11－１,11）＝C（14，3）＝141312/6＝364（１≤i120，所以n1或n2中必有一數(shù)∈{2，3，5，7}。 設(shè)A1表示S中能被2整除的數(shù)，則| A1|=int（120/2）=60（int（x）表示不超過(guò)x的最大整數(shù)）， 設(shè)A2表示S中能被3整除的數(shù)，則| A2|=int（120/3）=40， 設(shè)A3表示S中能被5整除的數(shù)，則| A3|=int（120/5）=24， 設(shè)A4表示S中能被7整除的數(shù)，則| A4|=int（120/7）=17， 而且， | A1 ∩A2|=20，| A1 ∩A3|=12，| A1 ∩A4|=8， | A2 ∩A3|=8，| A2 ∩A4|=5，| A3 ∩A4|=3， | A1 ∩A2 ∩A3|=4，| A1 ∩A2 ∩A4|=2，| A1 ∩A3 ∩A4|=1，| A2 ∩A3 ∩A4|=1， | A1 ∩A2 ∩A3 ∩A4|=0， 所以，根據(jù)容斥原理知，S中既不是2、3、5的倍數(shù)，也不是7的倍數(shù)的個(gè)數(shù)共有 120-（60+40+24+17）+（20+12+8+8+5+3）-（4+2+1+1）+0=176-149=27 但是，這27個(gè)數(shù)中包含了1，它不是素?cái)?shù)，卻沒(méi)有包含2、3、5、7，所以，1至120之間的素?cái)?shù)共有27-1+4=30個(gè)。 64．因?yàn)锳4={（1）（2）（3）（4），（123），（124），（132），（134），（142），（143），（234）， （243），（12）（34），（13）（24），（14）（23）}，它共有12個(gè)置換，其中 格式為（1）4的有1個(gè)：（1）（2）（3）（4）， 格式為（1）1（3）1的有8個(gè)：（123），（124），（132），（134），（142），（143），（234），（243）， 格式為（2）2的有3個(gè)：（12）（34），（13）（24），（14）（23） 65． (a) w1=(1111)G=(1111111) (b) w2=(1000)G=(1000011) (c) w3=(0001)G=(0001111) (d) w4=(1101)G=(1101001) 66．（n-2）2n-1+1 從n個(gè)不相同的數(shù)a1，a2，. . . ，an中取出r（r=2，3，. . . ，n）個(gè),將這r個(gè)數(shù)從小到大排序：ai1≤ai2≤. . . ≤air。將這r個(gè)數(shù)分成前后兩部分，使每一部分非空，共有r-1種分法。前面部分形成第2組，后面部分形成第1組，則第1組中的最小數(shù)大于第2組中的最大數(shù)。所以滿足條件的取法共有 r=2∑nC（n，r）（r-1）= r=2∑nrC（n，r）- r=2∑nC（n，r） =（ r=1∑nrC（n，r）-C（n，1））-（r=0∑nC（n，r）- C（n，1）- C（n，0）） =（n2n-1-n）-（2n-n-1）=（n-2）2n-1+1 67. 解 根據(jù)題設(shè)，無(wú)論選哪一名，有26種可能結(jié)果；余下選一名只有25種可能結(jié)果；最后選一名就只有24種可能結(jié)果。由于同時(shí)選出三名，所以由積的法則知，共有262524=15600種選法。 68. 解 （1）這100個(gè)數(shù)的前7個(gè)數(shù)，任選取兩個(gè)數(shù)的差不可能等于7，只有100－7=9