高中數(shù)學 第二章 圓錐曲線與方程 2_4_2 拋物線的簡單幾何性質 第1課時 拋物線的簡單幾何性質高效測評 新人教A版選修2-1

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2016-2017學年高中數(shù)學 第二章 圓錐曲線與方程 2.4.2 拋物線的簡單幾何性質 第1課時 拋物線的簡單幾何性質高效測評 新人教A版選修2-1 一、選擇題(每小題5分，共20分) 1．已知拋物線y2＝2px(p>0)的準線與圓x2＋y2－6x－7＝0相切，則p的值為(　　) A． B．1 C．2 D．4 解析：　圓的標準方程為(x－3)2＋y2＝16，圓心(3,0)到拋物線準線x＝－的距離為4， ∴＝1，∴p＝2，故選C. 答案：　C 2．已知拋物線關于x軸對稱，它的頂點在坐標原點O，并且經(jīng)過點M(2，y0)．若點M到該拋物線焦點的距離為3，則|OM|＝(　　) A．2 B．2 C．4 D．2 解析：　利用拋物線的定義求解． 由題意設拋物線方程為y2＝2px(p＞0)，則M到焦點的距離為xM＋＝2＋＝3，∴p＝2，∴y2＝4x.∴y＝42， ∴y0＝2，∴|OM|＝＝＝2. 答案：　B 3．設拋物線y2＝8x的焦點為F，準線為l，P為拋物線上一點，PA⊥l，A為垂足，如果直線AF的斜率為－，那么|PF|＝(　　) A．4 B．8 C．8 D．16 解析：　由拋物線的定義得，|PF|＝|PA|，又由直線AF的斜率為－，可知∠PAF＝60，△PAF是等邊三角形， ∴|PF|＝|AF|＝＝8. 答案：　B 4．若拋物線y2＝2px(p>0)上三個點的縱坐標的平方成等差數(shù)列，那么這三個點到拋物線焦點的距離的關系是(　　) A．成等差數(shù)列 B．既成等差數(shù)列又成等比數(shù)列 C．成等比數(shù)列 D．既不成等比數(shù)列也不成等差數(shù)列 解析：　設三點為P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，P3(x3，y3)， 則y＝2px1，y＝2px2，y＝2px3， 因為2y＝y(tǒng)＋y，所以x1＋x3＝2x2， 即|P1F|－＋|P3F|－＝2， 所以|P1F|＋|P3F|＝2|P2F|. 答案：　A 二、填空題(每小題5分，共10分) 5．設點F為拋物線y2＝4x的焦點，A，B，C為該拋物線上三點．若＋＋＝0，則||＋||＋||＝________. 解析：　設點A坐標為(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)， 拋物線的焦點為(1,0)， ∵＋＋＝0， ∴x1＋x2＋x3－3＝0. ||＋||＋||＝x1＋＋x2＋＋x3＋ ＝3＋2＝6. 答案：　6 6．如圖，已知拋物線y2＝2px(p>0)的焦點恰好是橢圓＋＝1(a>b>0)的右焦點F，且兩條曲線交點的連線過F，則該橢圓的離心率是________． 解析：　如圖所示，設橢圓的左焦點為F′，兩條曲線在x軸上方的交點為M，連接MF′，2c＝p，MF′＋MF＝p＋p＝2a， 所以e＝＝＝－1. 答案：?。? 三、解答題(每小題10分，共20分) 7．若拋物線的頂點在原點，開口向上，F(xiàn)為焦點，M為準線與y軸的交點，A為拋物線上一點，且|AM|＝，|AF|＝3，求此拋物線的標準方程． 解析：　設所求拋物線的標準方程為x2＝2py(p>0)，設A(x0，y0)，由題知M. ∵|AF|＝3， ∴y0＋＝3， ∵|AM|＝， ∴x＋2＝17， ∴x＝8，代入方程x＝2py0得， 8＝2p，解得p＝2或p＝4. ∴所求拋物線的標準方程為x2＝4y或x2＝8y. 8．設O為坐標原點，F(xiàn)為拋物線y2＝4x的焦點，A為拋物線上一點，若OA＝－4，求點A的坐標． 解析：　由y2＝4x，知F(1,0)． ∵點A在y2＝4x上， ∴不妨設A， 則O＝，A＝. 代入OA＝－4中， 得＋y(－y)＝－4， 化簡得y4＋12y2－64＝0. ∴y2＝4或－16(舍去)，y＝2. ∴點A的坐標為(1,2)或(1，－2)． 9．(10分)設P是拋物線y2＝4x上的一個動點． (1)求點P到點A(－1,1)的距離與點P到直線x＝－1的距離之和的最小值； (2)若B(3,2)，求|PB|＋|PF|的最小值． 解析：　(1)拋物線焦點為F(1,0)，準線方程為x＝－1. ∵點P到準線x＝－1的距離等于P到點F(1,0)的距離． ∴問題轉化為：在曲線上求一點P，使點P到A(－1,1)的距離與P到F(1,0)的距離之和最?。? 顯然P是A，F(xiàn)的連線與拋物線的交點，最小值為|AF|＝. (2)同理|PF|與點P到準線的距離相等，如圖： 過點B作BQ⊥準線于點Q，交拋物線于點P1. ∵|P1Q|＝|P1F|， ∴|PB|＋|PF|≥|P1B|＋|P1Q|＝|BQ|＝4. ∴|PB|＋|PF|的最小值為4.