2020年高考數(shù)學一輪復習 考點50 橢圓必刷題 理(含解析)
考點50 橢圓
1.(北京市昌平區(qū)2019屆高三5月綜合練習二模理)嫦娥四號月球探測器于2018年12月8日搭載長征三號乙運載火箭在西昌衛(wèi)星發(fā)射中心發(fā)射.12日下午4點43分左右,嫦娥四號順利進入了以月球球心為一個焦點的橢圓形軌道,如圖中軌道③所示,其近月點與月球表面距離為公里,遠月點與月球表面距離為公里.已知月球的直徑為公里,則該橢圓形軌道的離心率約為
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
如下圖,F(xiàn)為月球的球心,月球半徑為:×3476=1738,
依題意,|AF|=100+1738=1838,
?。麭F|=400+1738=2138.
2a=1838+2138,
a=1988,
a+c=2138,
c=2138-1988=150,
橢圓的離心率為:,
選B.
2.(山東省實驗中學等四校2019屆高三聯(lián)合考試理)已知橢圓:,的左、右焦點分別為,,為橢圓上異于長軸端點的一點,的內(nèi)心為,直線交軸于點,若,則橢圓的離心率是( ?。?
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
解:的內(nèi)心為,連接和,
可得為的平分線,即有,
,
可得,
即有,
即有,
故選:B.
3.(內(nèi)蒙古2019屆高三高考一模試卷數(shù)學理)以橢圓的兩個焦點為直徑的端點的圓與橢圓交于四個不同的點,順次連接這四個點和兩個焦點恰好組成一個正六邊形,那么這個橢圓的離心率為( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
解:設橢圓的兩個焦點為,,圓與橢圓交于,,,四個不同的點,
設,則,.
橢圓定義,得,
所以,
故選:B.
4.(廣東省深圳市高級中學2019屆高三適應性考試(6月)數(shù)學理)在平面直角坐標系中,已知點分別為橢圓的右頂點和右焦點,過坐標原點的直線交橢圓于兩點,線段的中點為,若三點共線,則橢圓的離心率為( )
A. B. C. D.或
【答案】A
【解析】
如圖
設,
又,
,
三點共線,
,
即,
,
,
,故選A.
5.(陜西省漢中市2019屆高三全真模擬考試數(shù)學理)已知、分別是橢圓的左、右焦點,點是關于直線的對稱點,且軸,則橢圓的離心率為_________.
【答案】
【解析】
、分別是橢圓的左、右焦點,點是關于直線的對稱點,且軸,可得的方程為,的方程,可得,
的中點為,代入直線,可得:,,
可得,
解得.
故選:
6.(河南省洛陽市2018-2019學年高二5月質量檢測(期末)數(shù)學(理)已知是橢圓的右焦點,是橢圓短軸的一個端點,直線與橢圓另一交點為,且,則橢圓的離心率為______.
【答案】
【解析】
設,,作軸,垂足為,如下圖所示:
則:
由得: ,即:
由橢圓的焦半徑公式可知:
,整理可得:
,即
本題正確結果:
7.(安徽省合肥市2019屆高三第三次教學質量檢測數(shù)學理)如圖是數(shù)學家Germinal Dandelin用來證明一個平面截圓錐得到的截口曲線是橢圓的模型(稱為“Dandelin雙球”);在圓錐內(nèi)放兩個大小不同的小球,使得它們分別與圓錐的側面、截面相切,設圖中球,球的半徑分別為和,球心距離,截面分別與球,球切于點,,(,是截口橢圓的焦點),則此橢圓的離心率等于______.
【答案】
【解析】
如圖,圓錐面與其內(nèi)切球,分別相切與B,A,連接則,,過作垂直于,連接, 交于點C
設圓錐母線與軸的夾角為 ,截面與軸的夾角為
在中, ,
解得
即
則橢圓的離心率
8.(吉林省長春市北京師范大學長春市附屬中學2019屆高三第四次模擬考試)已知橢圓與軸正半軸交于點,離心率為.直線經(jīng)過點和點.且與橢圖E交于A、B兩點(點A在第二象限).
(1)求橢圓E的標準方程;
(2)若,當時,求的取值范圍.
【答案】(1)(2)
【解析】
解析:(1).由題意,且,所以,
所以橢圓E的標準方程為.
(2).因為直線l經(jīng)過點和點,所以直線l的斜率為,設,將其代入橢圓方程中,
消去得,
當時,設、,
則……①,……②
因為,所以,所以……③
聯(lián)立①②③,消去、,整理得.
當時,,解
由且,
故,所以.
9.(山東省威海市2019屆高三二??荚嚁?shù)學理)在直角坐標系中,設橢圓的左焦點為,短軸的兩個端點分別為,且,點在上.
(Ⅰ)求橢圓的方程;
(Ⅱ)若直線與橢圓和圓分別相切于,兩點,當面積取得最大值時,求直線的方程.
【答案】(Ⅰ) .(Ⅱ) .
【解析】
(Ⅰ)由,可得,①
由橢圓經(jīng)過點,得,②
由①②得,
所以橢圓的方程為.
(Ⅱ)由消去整理得(*),
由直線與橢圓相切得,
,
整理得,
故方程(*)化為,即,
解得,
設,則,故,
因此.
又直線與圓相切,可得.
所以,
所以,
將式代入上式可得
,
由得,
所以,當且僅當時等號成立,即時取得最大值.
由,得,
所以直線的方程為.
10.(山東省日照市2019屆高三5月校際聯(lián)合考試數(shù)學理)如圖,已知橢圓,是長軸的一個端點,弦過橢圓的中心,且.
(1)求橢圓的方程.
(2)過橢圓右焦點的直線,交橢圓于兩點,交直線于點,判定直線的斜率是否依次構成等差數(shù)列?請說明理由.
【答案】(1);(2)是,理由見詳解.
【解析】
(1)由,得,即,
所以是等腰三角形,
又,∴點的橫坐標為2;
又,
設點的縱坐標為,∴,解得,
應取,
又點在橢圓上,∴,解得,
∴所求橢圓的方程為;
(2)由題意知橢圓的右焦點為,,
由題意可知直線的斜率存在,
設直線的方程為,
代入橢圓并整理,得;
設,,直線的斜率分別為,
則有,,
可知的坐標為;
∴
,
又;
所以,
即直線的斜率成等差數(shù)列.
11.(天津市河北區(qū)2019屆高三一模數(shù)學理)已知橢圓C:過點,且離心率為
(Ⅰ)求橢圓C的方程;
(Ⅱ)若過原點的直線與橢圓C交于P、Q兩點,且在直線上存在點M,使得為等邊三角形,求直線的方程。
【答案】(Ⅰ)(Ⅱ)y=0或y=
【解析】
(Ⅰ)由題解得a=,b=,c=,橢圓C的方程為
(Ⅱ)由題,當?shù)男甭蔾=0時,此時PQ=4 直線與y軸的交點(0,滿足題意;
當?shù)男甭蔾0時,設直線與橢圓聯(lián)立得=8,,設P(),則Q(),,又PQ的垂直平分線方程為由,解得,,, ∵為等邊三角形即解得k=0(舍去),k=,直線的方程為y=
綜上可知,直線的方程為y=0或y=.
12.(湖南省2017屆高三高考沖刺預測卷六理)已知橢圓的右頂點為,上頂點為,下頂點為是的中點(為原點),連接并延長交橢圓于點,連接,得.
(1)求橢圓的離心率;
(2)若是上一點,以為直徑的圓經(jīng)過橢圓的右焦點,求直線的斜率.
【答案】(1)(2)
【解析】
試題分析:(1)求出點坐標,根據(jù)可得,結合可得結果;(2)方程為,由,結合韋達定理可得 點坐標,利用列方程,進而可得結果.
試題解析:(1),直線方程為,
由得點坐標,
∵,∴,∴,
∵,∴,∴離心率;
(2)分析題意,易知直線的斜率存在,設方程為,
由得,由以為直徑的圓經(jīng)過右焦點得
,∴,
∵,∴,∴.
13.(2017屆安徽省合肥市高三第一次模擬考試數(shù)學理)已知點為橢圓的左焦點,且兩焦點與短軸的一個頂點構成一個等邊三角形,直線與橢圓有且僅有一個交點.
(Ⅰ)求橢圓的方程;
(Ⅱ)設直線與軸交于,過點的直線與橢圓交于兩不同點,,若,求實數(shù)的取值范圍.
【答案】(1);(2).
【解析】
(Ⅰ)求橢圓標準方程,只要求出參數(shù),由于有,因此要列出關于的兩個方程,而由條件兩焦點與短軸的一個頂點構成一個等邊三角形得,再利用已知直線與橢圓只有一個公共點,即判別式為0可求得橢圓方程;
(Ⅱ)由(Ⅰ)得點的坐標,從而可得,要求范圍只要求得的范圍,為此可直線分類,對斜率不存在時,求得,而當直線斜率存在時,可設出直線方程為,同時設,則,由韋達定理可把表示為的函數(shù),注意直線與橢圓相交,判別式>0,確定的范圍,從而可得的范圍,最后可得的取值范圍.
試題解析:(Ⅰ)由題意,得,則橢圓為:,
由,得 ,
直線與橢圓有且僅有一個交點,
,
橢圓的方程為 ;
(Ⅱ)由(Ⅰ)得,直線與軸交于 ,
,
當直線與軸垂直時, ,
由 ,
當直線與軸不垂直時,設直線的方程為, ,
由 ,
依題意得,,且 ,
,
,
,
綜上所述,的取值范圍是 .
14.(山西省晉城市2019屆高三第三次模擬考試數(shù)學理)已知的周長為6,,關于原點對稱,且.點的軌跡為.
(Ⅰ)求的方程;
(Ⅱ)若,直線:與交于,兩點,若,,成等差數(shù)列,求的值.
【答案】(Ⅰ);(Ⅱ)2.
【解析】
(Ⅰ)依題意,,,故,則,
故點的軌跡是以,為焦點的橢圓(不含左、右兩頂點),
故的方程為.
(Ⅱ)依題意,,故.
聯(lián)立整理得.
設,,則,.
故
,
則.
15.(遼寧省葫蘆島市普通高中2019屆高三第二次模擬考試數(shù)學理)在平面直角坐標系中,橢圓的上頂點為A,左、右焦點分別為,,直線的斜率為,點在橢圓E上,其中P是橢圓上一動點,Q點坐標為.
(1)求橢圓E的標準方程;
(2)作直線l與x軸垂直,交橢圓于兩點(兩點均不與P點重合),直線,與x軸分別交于點.求的最小值及取得最小值時點P的坐標.
【答案】(1)(2)的最小值為,此時點P的坐標為或
【解析】
(1)由直線的斜率為可知直線的傾斜角為.
在中,,于是,
橢圓,將代入得
所以,橢圓E的標準方程
(2)設點.
于是,直線,令,
所以
直線,令,
所以
又.代入上式并化簡
即,
當(即)時取得最小值,
(Ⅰ)時,化簡得
根據(jù)題意:,若亦與題意不符,
所以,此時或
(Ⅱ)時,化簡得
將代入并化簡得:
根據(jù)題意:,若,而
所以 不成立,即不成立
綜上,或,點P的坐標為或
16.(內(nèi)蒙古呼倫貝爾市2019屆高三模擬統(tǒng)一考試一數(shù)學(理)已知橢圓:離心率為,直線被橢圓截得的弦長為.
(1)求橢圓方程;
(2)設直線交橢圓于,兩點,且線段的中點在直線上,求證:線段的中垂線恒過定點.
【答案】(1)(2)見解析
【解析】
【分析】
(1)根據(jù)題意易得橢圓過點,結合,求出即可得結果;(2)聯(lián)立直線與橢圓的方程,結合韋達定理根據(jù)中點坐標公式化簡可得,求出,列出的中垂線方程即可得結果.
【詳解】
(1)由直線被橢圓截得的弦長為,得橢圓過點,即,
又,得,
所以,,即橢圓方程為.
(2)由得,
由,
得.
由,
設的中點為,
得,即,
∴.
∴的中垂線方程為.
即,故的中垂線恒過點.
17.(湖南省益陽市桃江縣第一中學2019屆高三5月模擬考試理)已知橢圓:的離心率為,焦距為.
(1)求的方程;
(2)若斜率為的直線與橢圓交于,兩點(點,均在第一象限),為坐標原點.
①證明:直線的斜率依次成等比數(shù)列.
②若與關于軸對稱,證明:.
【答案】(1); (2)①見解析;②見解析.
【解析】
(1)由題意可得:,解得:
橢圓的方程為:
(2)證明:①設直線的方程為:,,
由消去得:
則,且,
即直線的斜率依次成等比數(shù)列
②由題可知:
由①可知:,,
若,則兩點重合,不符合題意;可知無法取得等號
18.(安徽省泗縣第一中學2019屆高三高考最后一模數(shù)學理)已知橢圓:的離心率為,且橢圓上一點的坐標為.
(1)求橢圓的方程;
(2)設直線與橢圓交于,兩點,且以線段為直徑的圓過橢圓的右頂點,求面積的最大值.
【答案】(1);(2)
【解析】
(1)由已知,又,則.
橢圓方程為,將代入方程得,,
故橢圓的方程為;
(2)不妨設直線的方程,
聯(lián)立消去得.
設,,則有,①
又以線段為直徑的圓過橢圓的右頂點,∴,
由,得,
將,代入上式得
,
將①代入上式求得或(舍),
則直線恒過點.
∴,
設,則在上單調(diào)遞增,
當時,取得最大值.
19.(廣東省潮州市2019屆高三第二次模擬考試數(shù)學理)已知橢圓,是長軸的一個端點,弦過橢圓的中心,點在第一象限,且,.
(1)求橢圓的標準方程;
(2)設、為橢圓上不重合的兩點且異于、,若的平分線總是垂直于軸,問是否存在實數(shù),使得?若不存在,請說明理由;若存在,求取得最大值時的的長.
【答案】(1) (2)
【解析】
(1)∵,∴,
∵.即,
∴是等腰直角三角形,
∵,∴,
而點在橢圓上,∴,,∴,
∴所求橢圓方程為.
(2)對于橢圓上兩點,,
∵的平分線總是垂直于軸,
∴與所在直線關于對稱,
,則,
∵,∴的直線方程為,①
的直線方程為,②
將①代入,得,③
∵在橢圓上,∴是方程③的一個根,
∴,
以替換,得到.
∴,
∵,,,弦過橢圓的中心,
∴,,∴,
∴,∴,
∴存在實數(shù),使得,
,
當時,即時取等號,
,
又, ,
∴取得最大值時的的長為.
20.(安徽省合肥市2019屆高三第三次教學質量檢測數(shù)學理)已知直線經(jīng)過橢圓的右焦點,交橢圓于點,,點為橢圓的左焦點,的周長為..
(Ⅰ)求橢圓的標準方程;
(Ⅱ)若直線與直線的傾斜角互補,且交橢圓于點、,,求證:直線與直線的交點在定直線上.
【答案】(Ⅰ)(Ⅱ)見證明
【解析】
解:(Ⅰ)由已知,得,,,
橢圓的標準方程.
(Ⅱ)若直線的斜率不存在,則直線的斜率也不存在,這與直線與直線相交于點矛盾,所以直線的斜率存在.
令,,,,,.
將直線的方程代入橢圓方程得:,
,,
同理,.
由得,此時,,
直線,
,即點的定直線上.
21.(湖南省師范大學附屬中學2019屆高三下學期模擬三理)已知橢圓過點,右焦點是拋物線的焦點.
(1)求橢圓的方程;
(2)已知動直線過右焦點,且與橢圓分別交于,兩點.試問軸上是否存在定點,使得恒成立?若存在求出點的坐標:若不存在,說明理由.
【答案】(1) (2)見解析
【解析】
(1)因為橢圓過點,所以,
又拋物線的焦點為,所以.
所以,解得(舍去)或.
所以橢圓的方程為.
(2)假設在軸上存在定點,使得.
①當直線的斜率不存在時,則,,,,
由,解得或;
②當直線的斜率為0時,則,,,,
由,解得或.
由①②可得,即點的坐標為.
下面證明當時,恒成立.
當直線的斜率不存在或斜率為0時,由①②知結論成立.
當直線的斜率存在且不為0時,設其方程為,,.直線與橢圓聯(lián)立得,
直線經(jīng)過橢圓內(nèi)一點,一定與橢圓有兩個交點,且,.
,
所以
恒成立
綜上所述,在軸上存在點,使得恒成立.
22.(湖北省黃岡中學2019屆高三第三次模擬考試數(shù)學理)已知橢圓的離心率為,左、右焦點分別為、,為相圓上一點,與軸交于,,.
(Ⅰ)求橢圓的方程;
(Ⅱ)過右焦點的直線交橢圓于、兩點若的中點為,為原點,直線交直線于點.求的最大值.
【答案】(I);(II)
【解析】
(I)連接,由題意得,所以為的中位線,
又因為,所以,且
又,,得,,
故所求橢圓方程為.
(II)聯(lián)立,可得.
設、,則,,
所以為
所以的中點坐標為,
因此直線的方程為,從而點為,,
設,令,則
,
因此當,即時取得最大值.
23.(貴州省遵義航天高級中學2019屆高三第十一模)已知橢圓C:的離心率,左、右焦點分別為,拋物線的焦點F恰好是該橢圓的一個頂點.
(1)求橢圓C的方程;
(2)已知圓M:的切線與橢圓相交于A、B兩點,那么以AB為直徑的圓是否經(jīng)過定點?如果是,求出定點的坐標;如果不是,請說明理由,
【答案】(1);(2)見解析
【解析】
(1)因為橢圓的離心率,所以,即.
因為拋物線的焦點恰好是該橢圓的一個頂點,
所以,所以.所以橢圓的方程為.
(2)(i)當直線的斜率不存在時.
因為直線與圓相切,故其中的一條切線方程為.
由,不妨設,,
則以為直徑的圓的方程為.
(ii)當直線的斜率為零時.
因為直線與圓相切,所以其中的一條切線方程為.
由,不妨設,,
則以為直徑的圓的方程為.
顯然以上兩圓都經(jīng)過點.
(iii)當直線的斜率存在且不為零時.
設直線的方程為.
由消去,得,
所以設,,則,.
所以.
所以.①
因為直線和圓相切,所以圓心到直線的距離,
整理,得, ②
將②代入①,得,顯然以為直徑的圓經(jīng)過定點,
綜上可知,以為直徑的圓過定點.
24.(廣東省深圳市高級中學2019屆高三適應性考試(6月)數(shù)學理)在平面直角坐標系中,離心率為的橢圓過點.
(1)求橢圓的標準方程;
(2)若直線上存在點,且過點的橢圓的兩條切線相互垂直,求實數(shù)的取值范圍.
【答案】(1) (2)
【解析】
(1)由題意,解得,又,解得
所以橢圓C的標準方程為.
(2)①當過點的橢圓的一條切線的斜率不存在時,另一條切線必垂直于軸,易得
②當過點的橢圓的切線的斜率均存在時,設
切線方程為,
代入橢圓方程得,
,
化簡得:,
由此得,
設過點的橢圓的切線的斜率分別為,所以.
因為兩條切線相互垂直,所以,即,
由①②知在圓上,又點在直線上,
所以直線與圓有公共點,
所以,所以.
綜上所述,的取值范圍為.
25.(甘肅省蘭州市第一中學2019屆高三6月最后高考沖刺模擬數(shù)學理)橢圓的左、右焦點分別為,離心率為,過焦點且垂直于軸的直線被橢圓截得的線段長為.
(Ⅰ)求橢圓的方程;
(Ⅱ)點為橢圓上一動點,連接、,設的角平分線交橢圓的長軸于點,求實數(shù)的取值范圍.
【答案】(Ⅰ);(Ⅱ).
【解析】
(Ⅰ)將代入中,由可得,
所以弦長為,
故有,解得,所以橢圓的方程為:.
(Ⅱ)設點,又,則直線的方程分別為; .
由題意可知.
由于點為橢圓上除長軸外的任一點,所以,
所以,
因為,,
所以,即
因此, .
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考點50 橢圓
1.(北京市昌平區(qū)2019屆高三5月綜合練習二模理)嫦娥四號月球探測器于2018年12月8日搭載長征三號乙運載火箭在西昌衛(wèi)星發(fā)射中心發(fā)射.12日下午4點43分左右,嫦娥四號順利進入了以月球球心為一個焦點的橢圓形軌道,如圖中軌道③所示,其近月點與月球表面距離為公里,遠月點與月球表面距離為公里.已知月球的直徑為公里,則該橢圓形軌道的離心率約為
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
如下圖,F(xiàn)為月球的球心,月球半徑為:×3476=1738,
依題意,|AF|=100+1738=1838,
|BF|=400+1738=2138.
2a=1838+2138,
a=1988,
a+c=2138,
c=2138-1988=150,
橢圓的離心率為:,
選B.
2.(山東省實驗中學等四校2019屆高三聯(lián)合考試理)已知橢圓:,的左、右焦點分別為,,為橢圓上異于長軸端點的一點,的內(nèi)心為,直線交軸于點,若,則橢圓的離心率是( ?。?
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
解:的內(nèi)心為,連接和,
可得為的平分線,即有,
,
可得,
即有,
即有,
故選:B.
3.(內(nèi)蒙古2019屆高三高考一模試卷數(shù)學理)以橢圓的兩個焦點為直徑的端點的圓與橢圓交于四個不同的點,順次連接這四個點和兩個焦點恰好組成一個正六邊形,那么這個橢圓的離心率為( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
解:設橢圓的兩個焦點為,,圓與橢圓交于,,,四個不同的點,
設,則,.
橢圓定義,得,
所以,
故選:B.
4.(廣東省深圳市高級中學2019屆高三適應性考試(6月)數(shù)學理)在平面直角坐標系中,已知點分別為橢圓的右頂點和右焦點,過坐標原點的直線交橢圓于兩點,線段的中點為,若三點共線,則橢圓的離心率為( )
A. B. C. D.或
【答案】A
【解析】
如圖
設,
又,
,
三點共線,
,
即,
,
,
,故選A.
5.(陜西省漢中市2019屆高三全真模擬考試數(shù)學理)已知、分別是橢圓的左、右焦點,點是關于直線的對稱點,且軸,則橢圓的離心率為_________.
【答案】
【解析】
、分別是橢圓的左、右焦點,點是關于直線的對稱點,且軸,可得的方程為,的方程,可得,
的中點為,代入直線,可得:,,
可得,
解得.
故選:
6.(河南省洛陽市2018-2019學年高二5月質量檢測(期末)數(shù)學(理)已知是橢圓的右焦點,是橢圓短軸的一個端點,直線與橢圓另一交點為,且,則橢圓的離心率為______.
【答案】
【解析】
設,,作軸,垂足為,如下圖所示:
則:
由得: ,即:
由橢圓的焦半徑公式可知:
,整理可得:
,即
本題正確結果:
7.(安徽省合肥市2019屆高三第三次教學質量檢測數(shù)學理)如圖是數(shù)學家Germinal Dandelin用來證明一個平面截圓錐得到的截口曲線是橢圓的模型(稱為“Dandelin雙球”);在圓錐內(nèi)放兩個大小不同的小球,使得它們分別與圓錐的側面、截面相切,設圖中球,球的半徑分別為和,球心距離,截面分別與球,球切于點,,(,是截口橢圓的焦點),則此橢圓的離心率等于______.
【答案】
【解析】
如圖,圓錐面與其內(nèi)切球,分別相切與B,A,連接則,,過作垂直于,連接, 交于點C
設圓錐母線與軸的夾角為 ,截面與軸的夾角為
在中, ,
解得
即
則橢圓的離心率
8.(吉林省長春市北京師范大學長春市附屬中學2019屆高三第四次模擬考試)已知橢圓與軸正半軸交于點,離心率為.直線經(jīng)過點和點.且與橢圖E交于A、B兩點(點A在第二象限).
(1)求橢圓E的標準方程;
(2)若,當時,求的取值范圍.
【答案】(1)(2)
【解析】
解析:(1).由題意,且,所以,
所以橢圓E的標準方程為.
(2).因為直線l經(jīng)過點和點,所以直線l的斜率為,設,將其代入橢圓方程中,
消去得,
當時,設、,
則……①,……②
因為,所以,所以……③
聯(lián)立①②③,消去、,整理得.
當時,,解
由且,
故,所以.
9.(山東省威海市2019屆高三二??荚嚁?shù)學理)在直角坐標系中,設橢圓的左焦點為,短軸的兩個端點分別為,且,點在上.
(Ⅰ)求橢圓的方程;
(Ⅱ)若直線與橢圓和圓分別相切于,兩點,當面積取得最大值時,求直線的方程.
【答案】(Ⅰ) .(Ⅱ) .
【解析】
(Ⅰ)由,可得,①
由橢圓經(jīng)過點,得,②
由①②得,
所以橢圓的方程為.
(Ⅱ)由消去整理得(*),
由直線與橢圓相切得,
,
整理得,
故方程(*)化為,即,
解得,
設,則,故,
因此.
又直線與圓相切,可得.
所以,
所以,
將式代入上式可得
,
由得,
所以,當且僅當時等號成立,即時取得最大值.
由,得,
所以直線的方程為.
10.(山東省日照市2019屆高三5月校際聯(lián)合考試數(shù)學理)如圖,已知橢圓,是長軸的一個端點,弦過橢圓的中心,且.
(1)求橢圓的方程.
(2)過橢圓右焦點的直線,交橢圓于兩點,交直線于點,判定直線的斜率是否依次構成等差數(shù)列?請說明理由.
【答案】(1);(2)是,理由見詳解.
【解析】
(1)由,得,即,
所以是等腰三角形,
又,∴點的橫坐標為2;
又,
設點的縱坐標為,∴,解得,
應取,
又點在橢圓上,∴,解得,
∴所求橢圓的方程為;
(2)由題意知橢圓的右焦點為,,
由題意可知直線的斜率存在,
設直線的方程為,
代入橢圓并整理,得;
設,,直線的斜率分別為,
則有,,
可知的坐標為;
∴
,
又;
所以,
即直線的斜率成等差數(shù)列.
11.(天津市河北區(qū)2019屆高三一模數(shù)學理)已知橢圓C:過點,且離心率為
(Ⅰ)求橢圓C的方程;
(Ⅱ)若過原點的直線與橢圓C交于P、Q兩點,且在直線上存在點M,使得為等邊三角形,求直線的方程。
【答案】(Ⅰ)(Ⅱ)y=0或y=
【解析】
(Ⅰ)由題解得a=,b=,c=,橢圓C的方程為
(Ⅱ)由題,當?shù)男甭蔾=0時,此時PQ=4 直線與y軸的交點(0,滿足題意;
當?shù)男甭蔾0時,設直線與橢圓聯(lián)立得=8,,設P(),則Q(),,又PQ的垂直平分線方程為由,解得,,, ∵為等邊三角形即解得k=0(舍去),k=,直線的方程為y=
綜上可知,直線的方程為y=0或y=.
12.(湖南省2017屆高三高考沖刺預測卷六理)已知橢圓的右頂點為,上頂點為,下頂點為是的中點(為原點),連接并延長交橢圓于點,連接,得.
(1)求橢圓的離心率;
(2)若是上一點,以為直徑的圓經(jīng)過橢圓的右焦點,求直線的斜率.
【答案】(1)(2)
【解析】
試題分析:(1)求出點坐標,根據(jù)可得,結合可得結果;(2)方程為,由,結合韋達定理可得 點坐標,利用列方程,進而可得結果.
試題解析:(1),直線方程為,
由得點坐標,
∵,∴,∴,
∵,∴,∴離心率;
(2)分析題意,易知直線的斜率存在,設方程為,
由得,由以為直徑的圓經(jīng)過右焦點得
,∴,
∵,∴,∴.
13.(2017屆安徽省合肥市高三第一次模擬考試數(shù)學理)已知點為橢圓的左焦點,且兩焦點與短軸的一個頂點構成一個等邊三角形,直線與橢圓有且僅有一個交點.
(Ⅰ)求橢圓的方程;
(Ⅱ)設直線與軸交于,過點的直線與橢圓交于兩不同點,,若,求實數(shù)的取值范圍.
【答案】(1);(2).
【解析】
(Ⅰ)求橢圓標準方程,只要求出參數(shù),由于有,因此要列出關于的兩個方程,而由條件兩焦點與短軸的一個頂點構成一個等邊三角形得,再利用已知直線與橢圓只有一個公共點,即判別式為0可求得橢圓方程;
(Ⅱ)由(Ⅰ)得點的坐標,從而可得,要求范圍只要求得的范圍,為此可直線分類,對斜率不存在時,求得,而當直線斜率存在時,可設出直線方程為,同時設,則,由韋達定理可把表示為的函數(shù),注意直線與橢圓相交,判別式>0,確定的范圍,從而可得的范圍,最后可得的取值范圍.
試題解析:(Ⅰ)由題意,得,則橢圓為:,
由,得 ,
直線與橢圓有且僅有一個交點,
,
橢圓的方程為 ;
(Ⅱ)由(Ⅰ)得,直線與軸交于 ,
,
當直線與軸垂直時, ,
由 ,
當直線與軸不垂直時,設直線的方程為, ,
由 ,
依題意得,,且 ,
,
,
,
綜上所述,的取值范圍是 .
14.(山西省晉城市2019屆高三第三次模擬考試數(shù)學理)已知的周長為6,,關于原點對稱,且.點的軌跡為.
(Ⅰ)求的方程;
(Ⅱ)若,直線:與交于,兩點,若,,成等差數(shù)列,求的值.
【答案】(Ⅰ);(Ⅱ)2.
【解析】
(Ⅰ)依題意,,,故,則,
故點的軌跡是以,為焦點的橢圓(不含左、右兩頂點),
故的方程為.
(Ⅱ)依題意,,故.
聯(lián)立整理得.
設,,則,.
故
,
則.
15.(遼寧省葫蘆島市普通高中2019屆高三第二次模擬考試數(shù)學理)在平面直角坐標系中,橢圓的上頂點為A,左、右焦點分別為,,直線的斜率為,點在橢圓E上,其中P是橢圓上一動點,Q點坐標為.
(1)求橢圓E的標準方程;
(2)作直線l與x軸垂直,交橢圓于兩點(兩點均不與P點重合),直線,與x軸分別交于點.求的最小值及取得最小值時點P的坐標.
【答案】(1)(2)的最小值為,此時點P的坐標為或
【解析】
(1)由直線的斜率為可知直線的傾斜角為.
在中,,于是,
橢圓,將代入得
所以,橢圓E的標準方程
(2)設點.
于是,直線,令,
所以
直線,令,
所以
又.代入上式并化簡
即,
當(即)時取得最小值,
(Ⅰ)時,化簡得
根據(jù)題意:,若亦與題意不符,
所以,此時或
(Ⅱ)時,化簡得
將代入并化簡得:
根據(jù)題意:,若,而
所以 不成立,即不成立
綜上,或,點P的坐標為或
16.(內(nèi)蒙古呼倫貝爾市2019屆高三模擬統(tǒng)一考試一數(shù)學(理)已知橢圓:離心率為,直線被橢圓截得的弦長為.
(1)求橢圓方程;
(2)設直線交橢圓于,兩點,且線段的中點在直線上,求證:線段的中垂線恒過定點.
【答案】(1)(2)見解析
【解析】
【分析】
(1)根據(jù)題意易得橢圓過點,結合,求出即可得結果;(2)聯(lián)立直線與橢圓的方程,結合韋達定理根據(jù)中點坐標公式化簡可得,求出,列出的中垂線方程即可得結果.
【詳解】
(1)由直線被橢圓截得的弦長為,得橢圓過點,即,
又,得,
所以,,即橢圓方程為.
(2)由得,
由,
得.
由,
設的中點為,
得,即,
∴.
∴的中垂線方程為.
即,故的中垂線恒過點.
17.(湖南省益陽市桃江縣第一中學2019屆高三5月模擬考試理)已知橢圓:的離心率為,焦距為.
(1)求的方程;
(2)若斜率為的直線與橢圓交于,兩點(點,均在第一象限),為坐標原點.
①證明:直線的斜率依次成等比數(shù)列.
②若與關于軸對稱,證明:.
【答案】(1); (2)①見解析;②見解析.
【解析】
(1)由題意可得:,解得:
橢圓的方程為:
(2)證明:①設直線的方程為:,,
由消去得:
則,且,
即直線的斜率依次成等比數(shù)列
②由題可知:
由①可知:,,
若,則兩點重合,不符合題意;可知無法取得等號
18.(安徽省泗縣第一中學2019屆高三高考最后一模數(shù)學理)已知橢圓:的離心率為,且橢圓上一點的坐標為.
(1)求橢圓的方程;
(2)設直線與橢圓交于,兩點,且以線段為直徑的圓過橢圓的右頂點,求面積的最大值.
【答案】(1);(2)
【解析】
(1)由已知,又,則.
橢圓方程為,將代入方程得,,
故橢圓的方程為;
(2)不妨設直線的方程,
聯(lián)立消去得.
設,,則有,①
又以線段為直徑的圓過橢圓的右頂點,∴,
由,得,
將,代入上式得
,
將①代入上式求得或(舍),
則直線恒過點.
∴,
設,則在上單調(diào)遞增,
當時,取得最大值.
19.(廣東省潮州市2019屆高三第二次模擬考試數(shù)學理)已知橢圓,是長軸的一個端點,弦過橢圓的中心,點在第一象限,且,.
(1)求橢圓的標準方程;
(2)設、為橢圓上不重合的兩點且異于、,若的平分線總是垂直于軸,問是否存在實數(shù),使得?若不存在,請說明理由;若存在,求取得最大值時的的長.
【答案】(1) (2)
【解析】
(1)∵,∴,
∵.即,
∴是等腰直角三角形,
∵,∴,
而點在橢圓上,∴,,∴,
∴所求橢圓方程為.
(2)對于橢圓上兩點,,
∵的平分線總是垂直于軸,
∴與所在直線關于對稱,
,則,
∵,∴的直線方程為,①
的直線方程為,②
將①代入,得,③
∵在橢圓上,∴是方程③的一個根,
∴,
以替換,得到.
∴,
∵,,,弦過橢圓的中心,
∴,,∴,
∴,∴,
∴存在實數(shù),使得,
,
當時,即時取等號,
,
又, ,
∴取得最大值時的的長為.
20.(安徽省合肥市2019屆高三第三次教學質量檢測數(shù)學理)已知直線經(jīng)過橢圓的右焦點,交橢圓于點,,點為橢圓的左焦點,的周長為..
(Ⅰ)求橢圓的標準方程;
(Ⅱ)若直線與直線的傾斜角互補,且交橢圓于點、,,求證:直線與直線的交點在定直線上.
【答案】(Ⅰ)(Ⅱ)見證明
【解析】
解:(Ⅰ)由已知,得,,,
橢圓的標準方程.
(Ⅱ)若直線的斜率不存在,則直線的斜率也不存在,這與直線與直線相交于點矛盾,所以直線的斜率存在.
令,,,,,.
將直線的方程代入橢圓方程得:,
,,
同理,.
由得,此時,,
直線,
,即點的定直線上.
21.(湖南省師范大學附屬中學2019屆高三下學期模擬三理)已知橢圓過點,右焦點是拋物線的焦點.
(1)求橢圓的方程;
(2)已知動直線過右焦點,且與橢圓分別交于,兩點.試問軸上是否存在定點,使得恒成立?若存在求出點的坐標:若不存在,說明理由.
【答案】(1) (2)見解析
【解析】
(1)因為橢圓過點,所以,
又拋物線的焦點為,所以.
所以,解得(舍去)或.
所以橢圓的方程為.
(2)假設在軸上存在定點,使得.
①當直線的斜率不存在時,則,,,,
由,解得或;
②當直線的斜率為0時,則,,,,
由,解得或.
由①②可得,即點的坐標為.
下面證明當時,恒成立.
當直線的斜率不存在或斜率為0時,由①②知結論成立.
當直線的斜率存在且不為0時,設其方程為,,.直線與橢圓聯(lián)立得,
直線經(jīng)過橢圓內(nèi)一點,一定與橢圓有兩個交點,且,.
,
所以
恒成立
綜上所述,在軸上存在點,使得恒成立.
22.(湖北省黃岡中學2019屆高三第三次模擬考試數(shù)學理)已知橢圓的離心率為,左、右焦點分別為、,為相圓上一點,與軸交于,,.
(Ⅰ)求橢圓的方程;
(Ⅱ)過右焦點的直線交橢圓于、兩點若的中點為,為原點,直線交直線于點.求的最大值.
【答案】(I);(II)
【解析】
(I)連接,由題意得,所以為的中位線,
又因為,所以,且
又,,得,,
故所求橢圓方程為.
(II)聯(lián)立,可得.
設、,則,,
所以為
所以的中點坐標為,
因此直線的方程為,從而點為,,
設,令,則
,
因此當,即時取得最大值.
23.(貴州省遵義航天高級中學2019屆高三第十一模)已知橢圓C:的離心率,左、右焦點分別為,拋物線的焦點F恰好是該橢圓的一個頂點.
(1)求橢圓C的方程;
(2)已知圓M:的切線與橢圓相交于A、B兩點,那么以AB為直徑的圓是否經(jīng)過定點?如果是,求出定點的坐標;如果不是,請說明理由,
【答案】(1);(2)見解析
【解析】
(1)因為橢圓的離心率,所以,即.
因為拋物線的焦點恰好是該橢圓的一個頂點,
所以,所以.所以橢圓的方程為.
(2)(i)當直線的斜率不存在時.
因為直線與圓相切,故其中的一條切線方程為.
由,不妨設,,
則以為直徑的圓的方程為.
(ii)當直線的斜率為零時.
因為直線與圓相切,所以其中的一條切線方程為.
由,不妨設,,
則以為直徑的圓的方程為.
顯然以上兩圓都經(jīng)過點.
(iii)當直線的斜率存在且不為零時.
設直線的方程為.
由消去,得,
所以設,,則,.
所以.
所以.①
因為直線和圓相切,所以圓心到直線的距離,
整理,得, ②
將②代入①,得,顯然以為直徑的圓經(jīng)過定點,
綜上可知,以為直徑的圓過定點.
24.(廣東省深圳市高級中學2019屆高三適應性考試(6月)數(shù)學理)在平面直角坐標系中,離心率為的橢圓過點.
(1)求橢圓的標準方程;
(2)若直線上存在點,且過點的橢圓的兩條切線相互垂直,求實數(shù)的取值范圍.
【答案】(1) (2)
【解析】
(1)由題意,解得,又,解得
所以橢圓C的標準方程為.
(2)①當過點的橢圓的一條切線的斜率不存在時,另一條切線必垂直于軸,易得
②當過點的橢圓的切線的斜率均存在時,設
切線方程為,
代入橢圓方程得,
,
化簡得:,
由此得,
設過點的橢圓的切線的斜率分別為,所以.
因為兩條切線相互垂直,所以,即,
由①②知在圓上,又點在直線上,
所以直線與圓有公共點,
所以,所以.
綜上所述,的取值范圍為.
25.(甘肅省蘭州市第一中學2019屆高三6月最后高考沖刺模擬數(shù)學理)橢圓的左、右焦點分別為,離心率為,過焦點且垂直于軸的直線被橢圓截得的線段長為.
(Ⅰ)求橢圓的方程;
(Ⅱ)點為橢圓上一動點,連接、,設的角平分線交橢圓的長軸于點,求實數(shù)的取值范圍.
【答案】(Ⅰ);(Ⅱ).
【解析】
(Ⅰ)將代入中,由可得,
所以弦長為,
故有,解得,所以橢圓的方程為:.
(Ⅱ)設點,又,則直線的方程分別為; .
由題意可知.
由于點為橢圓上除長軸外的任一點,所以,
所以,
因為,,
所以,即
因此, .
32
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