2020年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 考點(diǎn)50 橢圓必刷題 理（含解析）
考點(diǎn)50 橢圓
1．（北京市昌平區(qū)2019屆高三5月綜合練習(xí)二模理）嫦娥四號(hào)月球探測(cè)器于2018年12月8日搭載長(zhǎng)征三號(hào)乙運(yùn)載火箭在西昌衛(wèi)星發(fā)射中心發(fā)射.12日下午4點(diǎn)43分左右，嫦娥四號(hào)順利進(jìn)入了以月球球心為一個(gè)焦點(diǎn)的橢圓形軌道，如圖中軌道③所示，其近月點(diǎn)與月球表面距離為公里，遠(yuǎn)月點(diǎn)與月球表面距離為公里.已知月球的直徑為公里，則該橢圓形軌道的離心率約為
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
如下圖，F(xiàn)為月球的球心，月球半徑為：×3476＝1738，
依題意，｜AF｜＝100＋1738＝1838，
｜BF｜＝400＋1738＝2138.
2a＝1838＋2138，
a＝1988，
a＋c＝2138，
c＝2138－1988＝150，
橢圓的離心率為：，
選B.
2．（山東省實(shí)驗(yàn)中學(xué)等四校2019屆高三聯(lián)合考試?yán)恚┮阎獧E圓：，的左、右焦點(diǎn)分別為，，為橢圓上異于長(zhǎng)軸端點(diǎn)的一點(diǎn)，的內(nèi)心為，直線交軸于點(diǎn)，若，則橢圓的離心率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
解：的內(nèi)心為，連接和，
可得為的平分線，即有，
，
可得，
即有，
即有，
故選：B．
3．（內(nèi)蒙古2019屆高三高考一模試卷數(shù)學(xué)理）以橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)為直徑的端點(diǎn)的圓與橢圓交于四個(gè)不同的點(diǎn),順次連接這四個(gè)點(diǎn)和兩個(gè)焦點(diǎn)恰好組成一個(gè)正六邊形,那么這個(gè)橢圓的離心率為( )
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
解：設(shè)橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)為,,圓與橢圓交于,,,四個(gè)不同的點(diǎn),
設(shè),則,．
橢圓定義,得,
所以,
故選：B．
4．（廣東省深圳市高級(jí)中學(xué)2019屆高三適應(yīng)性考試（6月)數(shù)學(xué)理）在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)分別為橢圓的右頂點(diǎn)和右焦點(diǎn)，過坐標(biāo)原點(diǎn)的直線交橢圓于兩點(diǎn)，線段的中點(diǎn)為，若三點(diǎn)共線，則橢圓的離心率為( )
A． B． C． D．或
【答案】A
【解析】
如圖
設(shè),
又，
,
三點(diǎn)共線,
,
即,
,
,
,故選A.
5．（陜西省漢中市2019屆高三全真模擬考試數(shù)學(xué)理）已知、分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)是關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)，且軸，則橢圓的離心率為_________.
【答案】
【解析】
、分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)是關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)，且軸，可得的方程為，的方程，可得，
的中點(diǎn)為，代入直線，可得：，，
可得，
解得．
故選：
6．（河南省洛陽(yáng)市2018-2019學(xué)年高二5月質(zhì)量檢測(cè)（期末)數(shù)學(xué)（理）已知是橢圓的右焦點(diǎn)，是橢圓短軸的一個(gè)端點(diǎn)，直線與橢圓另一交點(diǎn)為，且，則橢圓的離心率為______.
【答案】
【解析】
設(shè)，，作軸，垂足為，如下圖所示：
則：
由得： ，即：
由橢圓的焦半徑公式可知：
，整理可得：
，即
本題正確結(jié)果：
7．（安徽省合肥市2019屆高三第三次教學(xué)質(zhì)量檢測(cè)數(shù)學(xué)理）如圖是數(shù)學(xué)家Germinal Dandelin用來證明一個(gè)平面截圓錐得到的截口曲線是橢圓的模型（稱為“Dandelin雙球”）；在圓錐內(nèi)放兩個(gè)大小不同的小球，使得它們分別與圓錐的側(cè)面、截面相切，設(shè)圖中球，球的半徑分別為和，球心距離,截面分別與球，球切于點(diǎn)，，（，是截口橢圓的焦點(diǎn)），則此橢圓的離心率等于______．
【答案】
【解析】
如圖，圓錐面與其內(nèi)切球，分別相切與B,A，連接則，，過作垂直于，連接， 交于點(diǎn)C
設(shè)圓錐母線與軸的夾角為 ，截面與軸的夾角為
在中， ，
解得
即
則橢圓的離心率
8．（吉林省長(zhǎng)春市北京師范大學(xué)長(zhǎng)春市附屬中學(xué)2019屆高三第四次模擬考試）已知橢圓與軸正半軸交于點(diǎn)，離心率為．直線經(jīng)過點(diǎn)和點(diǎn)．且與橢圖E交于A、B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在第二象限）．
（1）求橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）若，當(dāng)時(shí)，求的取值范圍．
【答案】（1）（2）
【解析】
解析：（1）．由題意，且，所以，
所以橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程為．
（2）．因?yàn)橹本€l經(jīng)過點(diǎn)和點(diǎn)，所以直線l的斜率為，設(shè)，將其代入橢圓方程中，
消去得，
當(dāng)時(shí)，設(shè)、，
則……①，……②
因?yàn)?，所以，所以……?
聯(lián)立①②③，消去、，整理得．
當(dāng)時(shí)，，解
由且，
故，所以．
9．（山東省威海市2019屆高三二?？荚嚁?shù)學(xué)理）在直角坐標(biāo)系中，設(shè)橢圓的左焦點(diǎn)為,短軸的兩個(gè)端點(diǎn)分別為，且，點(diǎn)在上.
(Ⅰ)求橢圓的方程；
(Ⅱ)若直線與橢圓和圓分別相切于,兩點(diǎn)，當(dāng)面積取得最大值時(shí)，求直線的方程.
【答案】(Ⅰ) .(Ⅱ) .
【解析】
(Ⅰ)由，可得，①
由橢圓經(jīng)過點(diǎn)，得，②
由①②得，
所以橢圓的方程為．
(Ⅱ)由消去整理得（*），
由直線與橢圓相切得，
，
整理得，
故方程（*）化為，即，
解得，
設(shè)，則，故，
因此．
又直線與圓相切，可得．
所以，
所以，
將式代入上式可得
，
由得，
所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，即時(shí)取得最大值．
由，得，
所以直線的方程為．
10．（山東省日照市2019屆高三5月校際聯(lián)合考試數(shù)學(xué)理）如圖，已知橢圓，是長(zhǎng)軸的一個(gè)端點(diǎn)，弦過橢圓的中心，且．
（1）求橢圓的方程．
（2）過橢圓右焦點(diǎn)的直線，交橢圓于兩點(diǎn)，交直線于點(diǎn)，判定直線的斜率是否依次構(gòu)成等差數(shù)列？請(qǐng)說明理由．
【答案】（1）；（2）是，理由見詳解.
【解析】
（1）由，得，即，
所以是等腰三角形，
又，∴點(diǎn)的橫坐標(biāo)為2；
又，
設(shè)點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，∴，解得，
應(yīng)取，
又點(diǎn)在橢圓上，∴，解得，
∴所求橢圓的方程為；
（2）由題意知橢圓的右焦點(diǎn)為，，
由題意可知直線的斜率存在，
設(shè)直線的方程為，
代入橢圓并整理，得；
設(shè)，，直線的斜率分別為，
則有，，
可知的坐標(biāo)為；
∴
，
又；
所以，
即直線的斜率成等差數(shù)列．
11．（天津市河北區(qū)2019屆高三一模數(shù)學(xué)理）已知橢圓C：過點(diǎn)，且離心率為
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）若過原點(diǎn)的直線與橢圓C交于P、Q兩點(diǎn)，且在直線上存在點(diǎn)M，使得為等邊三角形，求直線的方程。
【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）y=0或y=
【解析】
（Ⅰ）由題解得a=,b=,c=,橢圓C的方程為
（Ⅱ）由題，當(dāng)?shù)男甭蔾=0時(shí)，此時(shí)PQ=4 直線與y軸的交點(diǎn)（0，滿足題意；
當(dāng)?shù)男甭蔾0時(shí)，設(shè)直線與橢圓聯(lián)立得=8,,設(shè)P（）,則Q（）,,又PQ的垂直平分線方程為由，解得,,, ∵為等邊三角形即解得k=0(舍去)，k=,直線的方程為y=
綜上可知，直線的方程為y=0或y=．
12．（湖南省2017屆高三高考沖刺預(yù)測(cè)卷六理）已知橢圓的右頂點(diǎn)為，上頂點(diǎn)為，下頂點(diǎn)為是的中點(diǎn)（為原點(diǎn)），連接并延長(zhǎng)交橢圓于點(diǎn)，連接，得．
（1）求橢圓的離心率；
（2）若是上一點(diǎn)，以為直徑的圓經(jīng)過橢圓的右焦點(diǎn)，求直線的斜率．
【答案】（1）（2）
【解析】
試題分析：（1）求出點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)可得，結(jié)合可得結(jié)果；（2）方程為，由，結(jié)合韋達(dá)定理可得 點(diǎn)坐標(biāo)，利用列方程，進(jìn)而可得結(jié)果.
試題解析：（1），直線方程為，
由得點(diǎn)坐標(biāo)，
∵，∴，∴，
∵，∴，∴離心率；
（2）分析題意，易知直線的斜率存在，設(shè)方程為，
由得，由以為直徑的圓經(jīng)過右焦點(diǎn)得
，∴，
∵，∴，∴．
13．（2017屆安徽省合肥市高三第一次模擬考試數(shù)學(xué)理）已知點(diǎn)為橢圓的左焦點(diǎn)，且兩焦點(diǎn)與短軸的一個(gè)頂點(diǎn)構(gòu)成一個(gè)等邊三角形，直線與橢圓有且僅有一個(gè)交點(diǎn).
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）設(shè)直線與軸交于，過點(diǎn)的直線與橢圓交于兩不同點(diǎn)，，若，求實(shí)數(shù)的取值范圍.
【答案】（1）；（2）.
【解析】
（Ⅰ）求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程，只要求出參數(shù)，由于有，因此要列出關(guān)于的兩個(gè)方程，而由條件兩焦點(diǎn)與短軸的一個(gè)頂點(diǎn)構(gòu)成一個(gè)等邊三角形得，再利用已知直線與橢圓只有一個(gè)公共點(diǎn)，即判別式為0可求得橢圓方程；
（Ⅱ）由（Ⅰ）得點(diǎn)的坐標(biāo)，從而可得，要求范圍只要求得的范圍，為此可直線分類，對(duì)斜率不存在時(shí)，求得，而當(dāng)直線斜率存在時(shí)，可設(shè)出直線方程為，同時(shí)設(shè)，則，由韋達(dá)定理可把表示為的函數(shù)，注意直線與橢圓相交，判別式＞0，確定的范圍，從而可得的范圍，最后可得的取值范圍.
試題解析：（Ⅰ）由題意，得，則橢圓為：，
由，得 ，
直線與橢圓有且僅有一個(gè)交點(diǎn)，
，
橢圓的方程為 ；
（Ⅱ）由（Ⅰ）得，直線與軸交于 ,
,
當(dāng)直線與軸垂直時(shí)， ,
由 ,
當(dāng)直線與軸不垂直時(shí)，設(shè)直線的方程為， ，
由 ，
依題意得，，且 ，
，
，
，
綜上所述，的取值范圍是 .
14．（山西省晉城市2019屆高三第三次模擬考試數(shù)學(xué)理）已知的周長(zhǎng)為6，，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，且.點(diǎn)的軌跡為.
（Ⅰ）求的方程；
（Ⅱ）若，直線：與交于，兩點(diǎn)，若，，成等差數(shù)列，求的值.
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）2.
【解析】
（Ⅰ）依題意，，，故，則，
故點(diǎn)的軌跡是以，為焦點(diǎn)的橢圓（不含左、右兩頂點(diǎn)），
故的方程為.
（Ⅱ）依題意，，故.
聯(lián)立整理得.
設(shè)，，則，.
故
，
則.
15．（遼寧省葫蘆島市普通高中2019屆高三第二次模擬考試數(shù)學(xué)理）在平面直角坐標(biāo)系中，橢圓的上頂點(diǎn)為A，左、右焦點(diǎn)分別為，，直線的斜率為，點(diǎn)在橢圓E上，其中P是橢圓上一動(dòng)點(diǎn)，Q點(diǎn)坐標(biāo)為.
(1)求橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)作直線l與x軸垂直，交橢圓于兩點(diǎn)（兩點(diǎn)均不與P點(diǎn)重合)，直線，與x軸分別交于點(diǎn).求的最小值及取得最小值時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo).
【答案】（1）（2）的最小值為，此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為或
【解析】
(1)由直線的斜率為可知直線的傾斜角為.
在中，,于是,
橢圓,將代入得
所以，橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程
(2)設(shè)點(diǎn).
于是，直線,令,
所以
直線，令，
所以
又.代入上式并化簡(jiǎn)
即，
當(dāng)(即)時(shí)取得最小值，
（Ⅰ）時(shí)，化簡(jiǎn)得
根據(jù)題意：，若亦與題意不符，
所以，此時(shí)或
（Ⅱ）時(shí)，化簡(jiǎn)得
將代入并化簡(jiǎn)得：
根據(jù)題意：，若，而
所以 不成立，即不成立
綜上，或，點(diǎn)P的坐標(biāo)為或
16．（內(nèi)蒙古呼倫貝爾市2019屆高三模擬統(tǒng)一考試一數(shù)學(xué)（理）已知橢圓：離心率為，直線被橢圓截得的弦長(zhǎng)為.
（1）求橢圓方程；
（2）設(shè)直線交橢圓于，兩點(diǎn)，且線段的中點(diǎn)在直線上，求證：線段的中垂線恒過定點(diǎn).
【答案】（1）（2）見解析
【解析】
【分析】
（1）根據(jù)題意易得橢圓過點(diǎn)，結(jié)合，求出即可得結(jié)果；（2）聯(lián)立直線與橢圓的方程，結(jié)合韋達(dá)定理根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)公式化簡(jiǎn)可得，求出，列出的中垂線方程即可得結(jié)果.
【詳解】
（1）由直線被橢圓截得的弦長(zhǎng)為，得橢圓過點(diǎn)，即，
又，得，
所以，，即橢圓方程為.
（2）由得，
由，
得.
由，
設(shè)的中點(diǎn)為，
得，即，
∴.
∴的中垂線方程為.
即，故的中垂線恒過點(diǎn).
17．（湖南省益陽(yáng)市桃江縣第一中學(xué)2019屆高三5月模擬考試?yán)恚┮阎獧E圓：的離心率為，焦距為.
（1）求的方程；
（2）若斜率為的直線與橢圓交于，兩點(diǎn)（點(diǎn)，均在第一象限），為坐標(biāo)原點(diǎn).
①證明：直線的斜率依次成等比數(shù)列.
②若與關(guān)于軸對(duì)稱，證明：.
【答案】（1）； （2）①見解析；②見解析.
【解析】
（1）由題意可得：，解得：
橢圓的方程為：
（2）證明：①設(shè)直線的方程為：，，
由消去得：
則，且，
即直線的斜率依次成等比數(shù)列
②由題可知：
由①可知：，，
若，則兩點(diǎn)重合，不符合題意；可知無法取得等號(hào)
18．（安徽省泗縣第一中學(xué)2019屆高三高考最后一模數(shù)學(xué)理）已知橢圓：的離心率為，且橢圓上一點(diǎn)的坐標(biāo)為.
（1）求橢圓的方程；
（2）設(shè)直線與橢圓交于，兩點(diǎn)，且以線段為直徑的圓過橢圓的右頂點(diǎn)，求面積的最大值.
【答案】（1）；（2）
【解析】
（1）由已知，又，則.
橢圓方程為，將代入方程得，，
故橢圓的方程為；
（2）不妨設(shè)直線的方程，
聯(lián)立消去得.
設(shè)，，則有，①
又以線段為直徑的圓過橢圓的右頂點(diǎn)，∴，
由，得，
將，代入上式得
，
將①代入上式求得或（舍），
則直線恒過點(diǎn).
∴，
設(shè)，則在上單調(diào)遞增，
當(dāng)時(shí)，取得最大值.
19．（廣東省潮州市2019屆高三第二次模擬考試數(shù)學(xué)理）已知橢圓，是長(zhǎng)軸的一個(gè)端點(diǎn)，弦過橢圓的中心，點(diǎn)在第一象限，且，．
（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）設(shè)、為橢圓上不重合的兩點(diǎn)且異于、，若的平分線總是垂直于軸，問是否存在實(shí)數(shù)，使得？若不存在，請(qǐng)說明理由；若存在，求取得最大值時(shí)的的長(zhǎng)．
【答案】(1) (2)
【解析】
（1）∵，∴，
∵．即，
∴是等腰直角三角形，
∵，∴，
而點(diǎn)在橢圓上，∴，，∴，
∴所求橢圓方程為．
（2）對(duì)于橢圓上兩點(diǎn)，，
∵的平分線總是垂直于軸，
∴與所在直線關(guān)于對(duì)稱，
，則，
∵，∴的直線方程為，①
的直線方程為，②
將①代入，得，③
∵在橢圓上，∴是方程③的一個(gè)根，
∴，
以替換，得到．
∴，
∵，，，弦過橢圓的中心，
∴，，∴，
∴，∴，
∴存在實(shí)數(shù)，使得，
，
當(dāng)時(shí)，即時(shí)取等號(hào)，
，
又， ，
∴取得最大值時(shí)的的長(zhǎng)為．
20．（安徽省合肥市2019屆高三第三次教學(xué)質(zhì)量檢測(cè)數(shù)學(xué)理）已知直線經(jīng)過橢圓的右焦點(diǎn)，交橢圓于點(diǎn)，，點(diǎn)為橢圓的左焦點(diǎn)，的周長(zhǎng)為..
（Ⅰ）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（Ⅱ）若直線與直線的傾斜角互補(bǔ)，且交橢圓于點(diǎn)、，，求證：直線與直線的交點(diǎn)在定直線上.
【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）見證明
【解析】
解：（Ⅰ）由已知，得，，，
橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.
（Ⅱ）若直線的斜率不存在，則直線的斜率也不存在，這與直線與直線相交于點(diǎn)矛盾，所以直線的斜率存在.
令，，，，，.
將直線的方程代入橢圓方程得：，
，，
同理，.
由得，此時(shí)，，
直線，
，即點(diǎn)的定直線上.
21．（湖南省師范大學(xué)附屬中學(xué)2019屆高三下學(xué)期模擬三理）已知橢圓過點(diǎn)，右焦點(diǎn)是拋物線的焦點(diǎn).
（1）求橢圓的方程；
（2）已知?jiǎng)又本€過右焦點(diǎn)，且與橢圓分別交于，兩點(diǎn).試問軸上是否存在定點(diǎn)，使得恒成立?若存在求出點(diǎn)的坐標(biāo):若不存在，說明理由.
【答案】(1) (2)見解析
【解析】
（1）因?yàn)闄E圓過點(diǎn)，所以，
又拋物線的焦點(diǎn)為，所以.
所以，解得（舍去）或.
所以橢圓的方程為.
（2）假設(shè)在軸上存在定點(diǎn)，使得.
①當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，則，，，，
由，解得或；
②當(dāng)直線的斜率為0時(shí)，則，，，，
由，解得或.
由①②可得，即點(diǎn)的坐標(biāo)為.
下面證明當(dāng)時(shí)，恒成立.
當(dāng)直線的斜率不存在或斜率為0時(shí)，由①②知結(jié)論成立.
當(dāng)直線的斜率存在且不為0時(shí)，設(shè)其方程為，，.直線與橢圓聯(lián)立得，
直線經(jīng)過橢圓內(nèi)一點(diǎn)，一定與橢圓有兩個(gè)交點(diǎn)，且，.
，
所以
恒成立
綜上所述，在軸上存在點(diǎn)，使得恒成立.
22．（湖北省黃岡中學(xué)2019屆高三第三次模擬考試數(shù)學(xué)理）已知橢圓的離心率為，左、右焦點(diǎn)分別為、，為相圓上一點(diǎn)，與軸交于，，.
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）過右焦點(diǎn)的直線交橢圓于、兩點(diǎn)若的中點(diǎn)為，為原點(diǎn)，直線交直線于點(diǎn).求的最大值.
【答案】（I）；（II）
【解析】
（I）連接，由題意得，所以為的中位線，
又因?yàn)?，所以，?
又，，得，，
故所求橢圓方程為.
（II）聯(lián)立，可得.
設(shè)、，則，，
所以為
所以的中點(diǎn)坐標(biāo)為，
因此直線的方程為，從而點(diǎn)為，，
設(shè)，令，則
，
因此當(dāng)，即時(shí)取得最大值.
23．（貴州省遵義航天高級(jí)中學(xué)2019屆高三第十一模）已知橢圓C：的離心率，左、右焦點(diǎn)分別為，拋物線的焦點(diǎn)F恰好是該橢圓的一個(gè)頂點(diǎn)．
(1)求橢圓C的方程；
(2)已知圓M：的切線與橢圓相交于A、B兩點(diǎn)，那么以AB為直徑的圓是否經(jīng)過定點(diǎn)？如果是，求出定點(diǎn)的坐標(biāo)；如果不是，請(qǐng)說明理由，
【答案】（1）；（2）見解析
【解析】
（1）因?yàn)闄E圓的離心率，所以，即．
因?yàn)閽佄锞€的焦點(diǎn)恰好是該橢圓的一個(gè)頂點(diǎn)，
所以，所以．所以橢圓的方程為．
（2）（i）當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)．
因?yàn)橹本€與圓相切，故其中的一條切線方程為．
由，不妨設(shè)，，
則以為直徑的圓的方程為．
（ii）當(dāng)直線的斜率為零時(shí)．
因?yàn)橹本€與圓相切，所以其中的一條切線方程為．
由，不妨設(shè)，，
則以為直徑的圓的方程為．
顯然以上兩圓都經(jīng)過點(diǎn)．
（iii）當(dāng)直線的斜率存在且不為零時(shí)．
設(shè)直線的方程為．
由消去，得，
所以設(shè)，，則，．
所以．
所以．①
因?yàn)橹本€和圓相切，所以圓心到直線的距離，
整理，得， ②
將②代入①，得，顯然以為直徑的圓經(jīng)過定點(diǎn)，
綜上可知，以為直徑的圓過定點(diǎn)．
24．（廣東省深圳市高級(jí)中學(xué)2019屆高三適應(yīng)性考試（6月)數(shù)學(xué)理）在平面直角坐標(biāo)系中，離心率為的橢圓過點(diǎn)．
（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）若直線上存在點(diǎn)，且過點(diǎn)的橢圓的兩條切線相互垂直，求實(shí)數(shù)的取值范圍．
【答案】(1) (2)
【解析】
（1）由題意，解得，又，解得
所以橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為．
（2）①當(dāng)過點(diǎn)的橢圓的一條切線的斜率不存在時(shí)，另一條切線必垂直于軸，易得
②當(dāng)過點(diǎn)的橢圓的切線的斜率均存在時(shí)，設(shè)
切線方程為，
代入橢圓方程得，
，
化簡(jiǎn)得：，
由此得，
設(shè)過點(diǎn)的橢圓的切線的斜率分別為，所以．
因?yàn)閮蓷l切線相互垂直，所以，即，
由①②知在圓上，又點(diǎn)在直線上，
所以直線與圓有公共點(diǎn)，
所以，所以．
綜上所述，的取值范圍為．
25．（甘肅省蘭州市第一中學(xué)2019屆高三6月最后高考沖刺模擬數(shù)學(xué)理）橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，離心率為，過焦點(diǎn)且垂直于軸的直線被橢圓截得的線段長(zhǎng)為．
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）點(diǎn)為橢圓上一動(dòng)點(diǎn)，連接、，設(shè)的角平分線交橢圓的長(zhǎng)軸于點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍.
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.
【解析】
（Ⅰ）將代入中，由可得，
所以弦長(zhǎng)為，
故有，解得，所以橢圓的方程為：.
（Ⅱ）設(shè)點(diǎn)，又，則直線的方程分別為； .
由題意可知.
由于點(diǎn)為橢圓上除長(zhǎng)軸外的任一點(diǎn)，所以，
所以，
因?yàn)?，?
所以，即
因此， .
32
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考點(diǎn)50 橢圓
1．（北京市昌平區(qū)2019屆高三5月綜合練習(xí)二模理）嫦娥四號(hào)月球探測(cè)器于2018年12月8日搭載長(zhǎng)征三號(hào)乙運(yùn)載火箭在西昌衛(wèi)星發(fā)射中心發(fā)射.12日下午4點(diǎn)43分左右，嫦娥四號(hào)順利進(jìn)入了以月球球心為一個(gè)焦點(diǎn)的橢圓形軌道，如圖中軌道③所示，其近月點(diǎn)與月球表面距離為公里，遠(yuǎn)月點(diǎn)與月球表面距離為公里.已知月球的直徑為公里，則該橢圓形軌道的離心率約為
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
如下圖，F(xiàn)為月球的球心，月球半徑為：×3476＝1738，
依題意，｜AF｜＝100＋1738＝1838，
?。麭F｜＝400＋1738＝2138.
2a＝1838＋2138，
a＝1988，
a＋c＝2138，
c＝2138－1988＝150，
橢圓的離心率為：，
選B.
2．（山東省實(shí)驗(yàn)中學(xué)等四校2019屆高三聯(lián)合考試?yán)恚┮阎獧E圓：，的左、右焦點(diǎn)分別為，，為橢圓上異于長(zhǎng)軸端點(diǎn)的一點(diǎn)，的內(nèi)心為，直線交軸于點(diǎn)，若，則橢圓的離心率是（ ?。?
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
解：的內(nèi)心為，連接和，
可得為的平分線，即有，
，
可得，
即有，
即有，
故選：B．
3．（內(nèi)蒙古2019屆高三高考一模試卷數(shù)學(xué)理）以橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)為直徑的端點(diǎn)的圓與橢圓交于四個(gè)不同的點(diǎn),順次連接這四個(gè)點(diǎn)和兩個(gè)焦點(diǎn)恰好組成一個(gè)正六邊形,那么這個(gè)橢圓的離心率為( )
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
解：設(shè)橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)為,,圓與橢圓交于,,,四個(gè)不同的點(diǎn),
設(shè),則,．
橢圓定義,得,
所以,
故選：B．
4．（廣東省深圳市高級(jí)中學(xué)2019屆高三適應(yīng)性考試（6月)數(shù)學(xué)理）在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)分別為橢圓的右頂點(diǎn)和右焦點(diǎn)，過坐標(biāo)原點(diǎn)的直線交橢圓于兩點(diǎn)，線段的中點(diǎn)為，若三點(diǎn)共線，則橢圓的離心率為( )
A． B． C． D．或
【答案】A
【解析】
如圖
設(shè),
又，
,
三點(diǎn)共線,
,
即,
,
,
,故選A.
5．（陜西省漢中市2019屆高三全真模擬考試數(shù)學(xué)理）已知、分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)是關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)，且軸，則橢圓的離心率為_________.
【答案】
【解析】
、分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)是關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)，且軸，可得的方程為，的方程，可得，
的中點(diǎn)為，代入直線，可得：，，
可得，
解得．
故選：
6．（河南省洛陽(yáng)市2018-2019學(xué)年高二5月質(zhì)量檢測(cè)（期末)數(shù)學(xué)（理）已知是橢圓的右焦點(diǎn)，是橢圓短軸的一個(gè)端點(diǎn)，直線與橢圓另一交點(diǎn)為，且，則橢圓的離心率為______.
【答案】
【解析】
設(shè)，，作軸，垂足為，如下圖所示：
則：
由得： ，即：
由橢圓的焦半徑公式可知：
，整理可得：
，即
本題正確結(jié)果：
7．（安徽省合肥市2019屆高三第三次教學(xué)質(zhì)量檢測(cè)數(shù)學(xué)理）如圖是數(shù)學(xué)家Germinal Dandelin用來證明一個(gè)平面截圓錐得到的截口曲線是橢圓的模型（稱為“Dandelin雙球”）；在圓錐內(nèi)放兩個(gè)大小不同的小球，使得它們分別與圓錐的側(cè)面、截面相切，設(shè)圖中球，球的半徑分別為和，球心距離,截面分別與球，球切于點(diǎn)，，（，是截口橢圓的焦點(diǎn)），則此橢圓的離心率等于______．
【答案】
【解析】
如圖，圓錐面與其內(nèi)切球，分別相切與B,A，連接則，，過作垂直于，連接， 交于點(diǎn)C
設(shè)圓錐母線與軸的夾角為 ，截面與軸的夾角為
在中， ，
解得
即
則橢圓的離心率
8．（吉林省長(zhǎng)春市北京師范大學(xué)長(zhǎng)春市附屬中學(xué)2019屆高三第四次模擬考試）已知橢圓與軸正半軸交于點(diǎn)，離心率為．直線經(jīng)過點(diǎn)和點(diǎn)．且與橢圖E交于A、B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在第二象限）．
（1）求橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）若，當(dāng)時(shí)，求的取值范圍．
【答案】（1）（2）
【解析】
解析：（1）．由題意，且，所以，
所以橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程為．
（2）．因?yàn)橹本€l經(jīng)過點(diǎn)和點(diǎn)，所以直線l的斜率為，設(shè)，將其代入橢圓方程中，
消去得，
當(dāng)時(shí)，設(shè)、，
則……①，……②
因?yàn)?，所以，所以……?
聯(lián)立①②③，消去、，整理得．
當(dāng)時(shí)，，解
由且，
故，所以．
9．（山東省威海市2019屆高三二?？荚嚁?shù)學(xué)理）在直角坐標(biāo)系中，設(shè)橢圓的左焦點(diǎn)為,短軸的兩個(gè)端點(diǎn)分別為，且，點(diǎn)在上.
(Ⅰ)求橢圓的方程；
(Ⅱ)若直線與橢圓和圓分別相切于,兩點(diǎn)，當(dāng)面積取得最大值時(shí)，求直線的方程.
【答案】(Ⅰ) .(Ⅱ) .
【解析】
(Ⅰ)由，可得，①
由橢圓經(jīng)過點(diǎn)，得，②
由①②得，
所以橢圓的方程為．
(Ⅱ)由消去整理得（*），
由直線與橢圓相切得，
，
整理得，
故方程（*）化為，即，
解得，
設(shè)，則，故，
因此．
又直線與圓相切，可得．
所以，
所以，
將式代入上式可得
，
由得，
所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，即時(shí)取得最大值．
由，得，
所以直線的方程為．
10．（山東省日照市2019屆高三5月校際聯(lián)合考試數(shù)學(xué)理）如圖，已知橢圓，是長(zhǎng)軸的一個(gè)端點(diǎn)，弦過橢圓的中心，且．
（1）求橢圓的方程．
（2）過橢圓右焦點(diǎn)的直線，交橢圓于兩點(diǎn)，交直線于點(diǎn)，判定直線的斜率是否依次構(gòu)成等差數(shù)列？請(qǐng)說明理由．
【答案】（1）；（2）是，理由見詳解.
【解析】
（1）由，得，即，
所以是等腰三角形，
又，∴點(diǎn)的橫坐標(biāo)為2；
又，
設(shè)點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，∴，解得，
應(yīng)取，
又點(diǎn)在橢圓上，∴，解得，
∴所求橢圓的方程為；
（2）由題意知橢圓的右焦點(diǎn)為，，
由題意可知直線的斜率存在，
設(shè)直線的方程為，
代入橢圓并整理，得；
設(shè)，，直線的斜率分別為，
則有，，
可知的坐標(biāo)為；
∴
，
又；
所以，
即直線的斜率成等差數(shù)列．
11．（天津市河北區(qū)2019屆高三一模數(shù)學(xué)理）已知橢圓C：過點(diǎn)，且離心率為
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）若過原點(diǎn)的直線與橢圓C交于P、Q兩點(diǎn)，且在直線上存在點(diǎn)M，使得為等邊三角形，求直線的方程。
【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）y=0或y=
【解析】
（Ⅰ）由題解得a=,b=,c=,橢圓C的方程為
（Ⅱ）由題，當(dāng)?shù)男甭蔾=0時(shí)，此時(shí)PQ=4 直線與y軸的交點(diǎn)（0，滿足題意；
當(dāng)?shù)男甭蔾0時(shí)，設(shè)直線與橢圓聯(lián)立得=8,,設(shè)P（）,則Q（）,,又PQ的垂直平分線方程為由，解得,,, ∵為等邊三角形即解得k=0(舍去)，k=,直線的方程為y=
綜上可知，直線的方程為y=0或y=．
12．（湖南省2017屆高三高考沖刺預(yù)測(cè)卷六理）已知橢圓的右頂點(diǎn)為，上頂點(diǎn)為，下頂點(diǎn)為是的中點(diǎn)（為原點(diǎn)），連接并延長(zhǎng)交橢圓于點(diǎn)，連接，得．
（1）求橢圓的離心率；
（2）若是上一點(diǎn)，以為直徑的圓經(jīng)過橢圓的右焦點(diǎn)，求直線的斜率．
【答案】（1）（2）
【解析】
試題分析：（1）求出點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)可得，結(jié)合可得結(jié)果；（2）方程為，由，結(jié)合韋達(dá)定理可得 點(diǎn)坐標(biāo)，利用列方程，進(jìn)而可得結(jié)果.
試題解析：（1），直線方程為，
由得點(diǎn)坐標(biāo)，
∵，∴，∴，
∵，∴，∴離心率；
（2）分析題意，易知直線的斜率存在，設(shè)方程為，
由得，由以為直徑的圓經(jīng)過右焦點(diǎn)得
，∴，
∵，∴，∴．
13．（2017屆安徽省合肥市高三第一次模擬考試數(shù)學(xué)理）已知點(diǎn)為橢圓的左焦點(diǎn)，且兩焦點(diǎn)與短軸的一個(gè)頂點(diǎn)構(gòu)成一個(gè)等邊三角形，直線與橢圓有且僅有一個(gè)交點(diǎn).
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）設(shè)直線與軸交于，過點(diǎn)的直線與橢圓交于兩不同點(diǎn)，，若，求實(shí)數(shù)的取值范圍.
【答案】（1）；（2）.
【解析】
（Ⅰ）求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程，只要求出參數(shù)，由于有，因此要列出關(guān)于的兩個(gè)方程，而由條件兩焦點(diǎn)與短軸的一個(gè)頂點(diǎn)構(gòu)成一個(gè)等邊三角形得，再利用已知直線與橢圓只有一個(gè)公共點(diǎn)，即判別式為0可求得橢圓方程；
（Ⅱ）由（Ⅰ）得點(diǎn)的坐標(biāo)，從而可得，要求范圍只要求得的范圍，為此可直線分類，對(duì)斜率不存在時(shí)，求得，而當(dāng)直線斜率存在時(shí)，可設(shè)出直線方程為，同時(shí)設(shè)，則，由韋達(dá)定理可把表示為的函數(shù)，注意直線與橢圓相交，判別式＞0，確定的范圍，從而可得的范圍，最后可得的取值范圍.
試題解析：（Ⅰ）由題意，得，則橢圓為：，
由，得 ，
直線與橢圓有且僅有一個(gè)交點(diǎn)，
，
橢圓的方程為 ；
（Ⅱ）由（Ⅰ）得，直線與軸交于 ,
,
當(dāng)直線與軸垂直時(shí)， ,
由 ,
當(dāng)直線與軸不垂直時(shí)，設(shè)直線的方程為， ，
由 ，
依題意得，，且 ，
，
，
，
綜上所述，的取值范圍是 .
14．（山西省晉城市2019屆高三第三次模擬考試數(shù)學(xué)理）已知的周長(zhǎng)為6，，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，且.點(diǎn)的軌跡為.
（Ⅰ）求的方程；
（Ⅱ）若，直線：與交于，兩點(diǎn)，若，，成等差數(shù)列，求的值.
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）2.
【解析】
（Ⅰ）依題意，，，故，則，
故點(diǎn)的軌跡是以，為焦點(diǎn)的橢圓（不含左、右兩頂點(diǎn)），
故的方程為.
（Ⅱ）依題意，，故.
聯(lián)立整理得.
設(shè)，，則，.
故
，
則.
15．（遼寧省葫蘆島市普通高中2019屆高三第二次模擬考試數(shù)學(xué)理）在平面直角坐標(biāo)系中，橢圓的上頂點(diǎn)為A，左、右焦點(diǎn)分別為，，直線的斜率為，點(diǎn)在橢圓E上，其中P是橢圓上一動(dòng)點(diǎn)，Q點(diǎn)坐標(biāo)為.
(1)求橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)作直線l與x軸垂直，交橢圓于兩點(diǎn)（兩點(diǎn)均不與P點(diǎn)重合)，直線，與x軸分別交于點(diǎn).求的最小值及取得最小值時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo).
【答案】（1）（2）的最小值為，此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為或
【解析】
(1)由直線的斜率為可知直線的傾斜角為.
在中，,于是,
橢圓,將代入得
所以，橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程
(2)設(shè)點(diǎn).
于是，直線,令,
所以
直線，令，
所以
又.代入上式并化簡(jiǎn)
即，
當(dāng)(即)時(shí)取得最小值，
（Ⅰ）時(shí)，化簡(jiǎn)得
根據(jù)題意：，若亦與題意不符，
所以，此時(shí)或
（Ⅱ）時(shí)，化簡(jiǎn)得
將代入并化簡(jiǎn)得：
根據(jù)題意：，若，而
所以 不成立，即不成立
綜上，或，點(diǎn)P的坐標(biāo)為或
16．（內(nèi)蒙古呼倫貝爾市2019屆高三模擬統(tǒng)一考試一數(shù)學(xué)（理）已知橢圓：離心率為，直線被橢圓截得的弦長(zhǎng)為.
（1）求橢圓方程；
（2）設(shè)直線交橢圓于，兩點(diǎn)，且線段的中點(diǎn)在直線上，求證：線段的中垂線恒過定點(diǎn).
【答案】（1）（2）見解析
【解析】
【分析】
（1）根據(jù)題意易得橢圓過點(diǎn)，結(jié)合，求出即可得結(jié)果；（2）聯(lián)立直線與橢圓的方程，結(jié)合韋達(dá)定理根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)公式化簡(jiǎn)可得，求出，列出的中垂線方程即可得結(jié)果.
【詳解】
（1）由直線被橢圓截得的弦長(zhǎng)為，得橢圓過點(diǎn)，即，
又，得，
所以，，即橢圓方程為.
（2）由得，
由，
得.
由，
設(shè)的中點(diǎn)為，
得，即，
∴.
∴的中垂線方程為.
即，故的中垂線恒過點(diǎn).
17．（湖南省益陽(yáng)市桃江縣第一中學(xué)2019屆高三5月模擬考試?yán)恚┮阎獧E圓：的離心率為，焦距為.
（1）求的方程；
（2）若斜率為的直線與橢圓交于，兩點(diǎn)（點(diǎn)，均在第一象限），為坐標(biāo)原點(diǎn).
①證明：直線的斜率依次成等比數(shù)列.
②若與關(guān)于軸對(duì)稱，證明：.
【答案】（1）； （2）①見解析；②見解析.
【解析】
（1）由題意可得：，解得：
橢圓的方程為：
（2）證明：①設(shè)直線的方程為：，，
由消去得：
則，且，
即直線的斜率依次成等比數(shù)列
②由題可知：
由①可知：，，
若，則兩點(diǎn)重合，不符合題意；可知無法取得等號(hào)
18．（安徽省泗縣第一中學(xué)2019屆高三高考最后一模數(shù)學(xué)理）已知橢圓：的離心率為，且橢圓上一點(diǎn)的坐標(biāo)為.
（1）求橢圓的方程；
（2）設(shè)直線與橢圓交于，兩點(diǎn)，且以線段為直徑的圓過橢圓的右頂點(diǎn)，求面積的最大值.
【答案】（1）；（2）
【解析】
（1）由已知，又，則.
橢圓方程為，將代入方程得，，
故橢圓的方程為；
（2）不妨設(shè)直線的方程，
聯(lián)立消去得.
設(shè)，，則有，①
又以線段為直徑的圓過橢圓的右頂點(diǎn)，∴，
由，得，
將，代入上式得
，
將①代入上式求得或（舍），
則直線恒過點(diǎn).
∴，
設(shè)，則在上單調(diào)遞增，
當(dāng)時(shí)，取得最大值.
19．（廣東省潮州市2019屆高三第二次模擬考試數(shù)學(xué)理）已知橢圓，是長(zhǎng)軸的一個(gè)端點(diǎn)，弦過橢圓的中心，點(diǎn)在第一象限，且，．
（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）設(shè)、為橢圓上不重合的兩點(diǎn)且異于、，若的平分線總是垂直于軸，問是否存在實(shí)數(shù)，使得？若不存在，請(qǐng)說明理由；若存在，求取得最大值時(shí)的的長(zhǎng)．
【答案】(1) (2)
【解析】
（1）∵，∴，
∵．即，
∴是等腰直角三角形，
∵，∴，
而點(diǎn)在橢圓上，∴，，∴，
∴所求橢圓方程為．
（2）對(duì)于橢圓上兩點(diǎn)，，
∵的平分線總是垂直于軸，
∴與所在直線關(guān)于對(duì)稱，
，則，
∵，∴的直線方程為，①
的直線方程為，②
將①代入，得，③
∵在橢圓上，∴是方程③的一個(gè)根，
∴，
以替換，得到．
∴，
∵，，，弦過橢圓的中心，
∴，，∴，
∴，∴，
∴存在實(shí)數(shù)，使得，
，
當(dāng)時(shí)，即時(shí)取等號(hào)，
，
又， ，
∴取得最大值時(shí)的的長(zhǎng)為．
20．（安徽省合肥市2019屆高三第三次教學(xué)質(zhì)量檢測(cè)數(shù)學(xué)理）已知直線經(jīng)過橢圓的右焦點(diǎn)，交橢圓于點(diǎn)，，點(diǎn)為橢圓的左焦點(diǎn)，的周長(zhǎng)為..
（Ⅰ）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（Ⅱ）若直線與直線的傾斜角互補(bǔ)，且交橢圓于點(diǎn)、，，求證：直線與直線的交點(diǎn)在定直線上.
【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）見證明
【解析】
解：（Ⅰ）由已知，得，，，
橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.
（Ⅱ）若直線的斜率不存在，則直線的斜率也不存在，這與直線與直線相交于點(diǎn)矛盾，所以直線的斜率存在.
令，，，，，.
將直線的方程代入橢圓方程得：，
，，
同理，.
由得，此時(shí)，，
直線，
，即點(diǎn)的定直線上.
21．（湖南省師范大學(xué)附屬中學(xué)2019屆高三下學(xué)期模擬三理）已知橢圓過點(diǎn)，右焦點(diǎn)是拋物線的焦點(diǎn).
（1）求橢圓的方程；
（2）已知?jiǎng)又本€過右焦點(diǎn)，且與橢圓分別交于，兩點(diǎn).試問軸上是否存在定點(diǎn)，使得恒成立?若存在求出點(diǎn)的坐標(biāo):若不存在，說明理由.
【答案】(1) (2)見解析
【解析】
（1）因?yàn)闄E圓過點(diǎn)，所以，
又拋物線的焦點(diǎn)為，所以.
所以，解得（舍去）或.
所以橢圓的方程為.
（2）假設(shè)在軸上存在定點(diǎn)，使得.
①當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，則，，，，
由，解得或；
②當(dāng)直線的斜率為0時(shí)，則，，，，
由，解得或.
由①②可得，即點(diǎn)的坐標(biāo)為.
下面證明當(dāng)時(shí)，恒成立.
當(dāng)直線的斜率不存在或斜率為0時(shí)，由①②知結(jié)論成立.
當(dāng)直線的斜率存在且不為0時(shí)，設(shè)其方程為，，.直線與橢圓聯(lián)立得，
直線經(jīng)過橢圓內(nèi)一點(diǎn)，一定與橢圓有兩個(gè)交點(diǎn)，且，.
，
所以
恒成立
綜上所述，在軸上存在點(diǎn)，使得恒成立.
22．（湖北省黃岡中學(xué)2019屆高三第三次模擬考試數(shù)學(xué)理）已知橢圓的離心率為，左、右焦點(diǎn)分別為、，為相圓上一點(diǎn)，與軸交于，，.
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）過右焦點(diǎn)的直線交橢圓于、兩點(diǎn)若的中點(diǎn)為，為原點(diǎn)，直線交直線于點(diǎn).求的最大值.
【答案】（I）；（II）
【解析】
（I）連接，由題意得，所以為的中位線，
又因?yàn)椋?，?
又，，得，，
故所求橢圓方程為.
（II）聯(lián)立，可得.
設(shè)、，則，，
所以為
所以的中點(diǎn)坐標(biāo)為，
因此直線的方程為，從而點(diǎn)為，，
設(shè)，令，則
，
因此當(dāng)，即時(shí)取得最大值.
23．（貴州省遵義航天高級(jí)中學(xué)2019屆高三第十一模）已知橢圓C：的離心率，左、右焦點(diǎn)分別為，拋物線的焦點(diǎn)F恰好是該橢圓的一個(gè)頂點(diǎn)．
(1)求橢圓C的方程；
(2)已知圓M：的切線與橢圓相交于A、B兩點(diǎn)，那么以AB為直徑的圓是否經(jīng)過定點(diǎn)？如果是，求出定點(diǎn)的坐標(biāo)；如果不是，請(qǐng)說明理由，
【答案】（1）；（2）見解析
【解析】
（1）因?yàn)闄E圓的離心率，所以，即．
因?yàn)閽佄锞€的焦點(diǎn)恰好是該橢圓的一個(gè)頂點(diǎn)，
所以，所以．所以橢圓的方程為．
（2）（i）當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)．
因?yàn)橹本€與圓相切，故其中的一條切線方程為．
由，不妨設(shè)，，
則以為直徑的圓的方程為．
（ii）當(dāng)直線的斜率為零時(shí)．
因?yàn)橹本€與圓相切，所以其中的一條切線方程為．
由，不妨設(shè)，，
則以為直徑的圓的方程為．
顯然以上兩圓都經(jīng)過點(diǎn)．
（iii）當(dāng)直線的斜率存在且不為零時(shí)．
設(shè)直線的方程為．
由消去，得，
所以設(shè)，，則，．
所以．
所以．①
因?yàn)橹本€和圓相切，所以圓心到直線的距離，
整理，得， ②
將②代入①，得，顯然以為直徑的圓經(jīng)過定點(diǎn)，
綜上可知，以為直徑的圓過定點(diǎn)．
24．（廣東省深圳市高級(jí)中學(xué)2019屆高三適應(yīng)性考試（6月)數(shù)學(xué)理）在平面直角坐標(biāo)系中，離心率為的橢圓過點(diǎn)．
（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）若直線上存在點(diǎn)，且過點(diǎn)的橢圓的兩條切線相互垂直，求實(shí)數(shù)的取值范圍．
【答案】(1) (2)
【解析】
（1）由題意，解得，又，解得
所以橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為．
（2）①當(dāng)過點(diǎn)的橢圓的一條切線的斜率不存在時(shí)，另一條切線必垂直于軸，易得
②當(dāng)過點(diǎn)的橢圓的切線的斜率均存在時(shí)，設(shè)
切線方程為，
代入橢圓方程得，
，
化簡(jiǎn)得：，
由此得，
設(shè)過點(diǎn)的橢圓的切線的斜率分別為，所以．
因?yàn)閮蓷l切線相互垂直，所以，即，
由①②知在圓上，又點(diǎn)在直線上，
所以直線與圓有公共點(diǎn)，
所以，所以．
綜上所述，的取值范圍為．
25．（甘肅省蘭州市第一中學(xué)2019屆高三6月最后高考沖刺模擬數(shù)學(xué)理）橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，離心率為，過焦點(diǎn)且垂直于軸的直線被橢圓截得的線段長(zhǎng)為．
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）點(diǎn)為橢圓上一動(dòng)點(diǎn)，連接、，設(shè)的角平分線交橢圓的長(zhǎng)軸于點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍.
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.
【解析】
（Ⅰ）將代入中，由可得，
所以弦長(zhǎng)為，
故有，解得，所以橢圓的方程為：.
（Ⅱ）設(shè)點(diǎn)，又，則直線的方程分別為； .
由題意可知.
由于點(diǎn)為橢圓上除長(zhǎng)軸外的任一點(diǎn)，所以，
所以，
因?yàn)?，?
所以，即
因此， .
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