高中數(shù)學(xué)解析幾何壓軸題

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高中數(shù)學(xué)解析幾何壓軸題 1． 選擇題 1．已知傾斜角α≠0的直線l過橢圓（a＞b＞0）的右焦點交橢圓于A、B兩點，P為右準(zhǔn)線上任意一點，則∠APB為（　?。? A．鈍角B．直角C．銳角D．都有可能 2．已知雙曲線（a＞0，b＞0）的右焦點為F，右準(zhǔn)線為l，一直線交雙曲線于P．Q兩點，交l于R點．則（　?。? 　 A．∠PFR＞∠QFR B ∠PFR=∠QFR C．∠PFR＜∠QFR D．∠PFR與∠AFR的大小不確定 3．設(shè)橢圓的一個焦點為F，點P在y軸上，直線PF交橢圓于M、N，，則實數(shù)λ1+λ2=（　?。? 　 A． B． C． D． 4．中心在原點，焦點在x軸上的雙曲線C1的離心率為e，直線l與雙曲線C1交于A，B兩點，線段AB中點M在一象限且在拋物線y2=2px（p＞0）上，且M到拋物線焦點的距離為p，則l的斜率為（　?。? 　 A． B． e2﹣1 C． D． e2+1 5．已知P為橢圓上的一點，M，N分別為圓（x+3）2+y2=1和圓（x﹣3）2+y2=4上的點，則|PM|+|PN|的最小值為（　?。? 　 A．5 B．7 C．13 D．15 6．過雙曲線﹣=0（b＞0，a＞0）的左焦點F（﹣c，0）（c＞0），作圓x2+y2=的切線，切點為E，延長FE交雙曲線右支于點P，若=（+），則雙曲線的離心率為（　　） 　 A． B． C． D． 7．設(shè)橢圓的左焦點為F，在x軸上F的右側(cè)有一點A，以FA為直徑的圓與橢圓在x軸上方部分交于M、N兩點，則的值為（　?。? 　 A． B． C． D． 8．已知定點A（1，0）和定直線l：x=﹣1，在l上有兩動點E，F(xiàn)且滿足，另有動點P，滿足（O為坐標(biāo)原點），且動點P的軌跡方程為（　?。? 　 A．y2=4x B．y2=4x（x≠0） C．y2=﹣4x D．y2=﹣4x（x≠0） 9．已知拋物線過點A（﹣1，0），B（1，0），且以圓x2+y2=4的切線為準(zhǔn)線，則拋物線的焦點的軌跡方程（　?。? 　 A． +=1（y≠0） B． +=1（y≠0） C． ﹣=1（y≠0） D． ﹣=1（y≠0） 10．如圖，已知半圓的直徑|AB|=20，l為半圓外一直線，且與BA的延長線交于點T，|AT|=4，半圓上相異兩點M、N與直線l的距離|MP|、|NQ|滿足條件，則|AM|+|AN|的值為（　?。? 　 A．22 B．20 C．18 D．16 11．橢圓與雙曲線有公共的焦點F1，F(xiàn)2，P是兩曲線的一個交點，則cos∠F1PF2=（　?。? 　 A． B． C． D． 12．曲線（|x|≤2）與直線y=k（x﹣2）+4有兩個交點時，實數(shù)k的取值范圍是（　?。? 　 A． B． （，+∞） C． D． 13．設(shè)拋物線y2=12x的焦點為F，經(jīng)過點P（1，0）的直線l與拋物線交于A，B兩點，且，則|AF|+|BF|=（　　） 　 A． B． C． 8 D． 14．已知雙曲線上的一點到其左、右焦點的距離之差為4，若已知拋物線y=ax2上的兩點A（x1，y1），B（x2，y2）關(guān)于直線y=x+m對稱，且，則m的值為（　　） 　 A． B． C． D． 15．已知雙曲線上存在兩點M，N關(guān)于直線y=x+m對稱，且MN的中點在拋物線y2=9x上，則實數(shù)m的值為（　?。? 　 A． 4 B． ﹣4 C． 0或4 D． 0或﹣4 1．已知傾斜角α≠0的直線l過橢圓（a＞b＞0）的右焦點交橢圓于A、B兩點，P為右準(zhǔn)線上任意一點，則∠APB為（　?。? A． 鈍角 B． 直角 C． 銳角 D． 都有可能 考點： 直線與圓錐曲線的綜合問題．菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有 專題： 壓軸題． 分析： 根據(jù)題設(shè)條件推導(dǎo)出以AB為直徑的圓與右準(zhǔn)線相離．由此可知∠APB為銳角． 解答： 解：如圖，設(shè)M為AB的中點，過點M作MM1垂直于準(zhǔn)線于點M1，分別過A、B作AA1、BB1垂直于準(zhǔn)線于A1、B1兩點． 則 ∴以AB為直徑的圓與右準(zhǔn)線相離． ∴∠APB為銳角． 點評： 本題考查圓錐曲線的性質(zhì)和應(yīng)用，解題時作出圖形，數(shù)形結(jié)合，往往能收到事半功倍之效果． 　 2．已知雙曲線（a＞0，b＞0）的右焦點為F，右準(zhǔn)線為l，一直線交雙曲線于P．Q兩點，交l于R點．則（　　） 　 A． ∠PFR＞∠QFR B． ∠PFR=∠QFR 　 C． ∠PFR＜∠QFR D． ∠PFR與∠AFR的大小不確定 考點： 直線與圓錐曲線的綜合問題．菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有 專題： 計算題；壓軸題． 分析： 設(shè)Q、P到l 的距離分別為d1，d2，垂足分別為 M，N，則PN∥MQ，=，又由雙曲線第二定義可知，由此能夠推導(dǎo)出RF是∠PFQ的角平分線，所以∠PFR=∠QFR． 解答： 解：設(shè)Q、P到l 的距離分別為d1，d2，垂足分別為 M，N， 則PN∥MQ， ∴=， 又由雙曲線第二定義可知， ∴，， ∴， ∴RF是∠PFQ的角平分線， ∴∠PFR=∠QFR 故選B． 點評： 本題考查雙曲線的性質(zhì)和應(yīng)用，解題時利用雙曲線第二定義綜合平面幾何知識求解． 　 3．設(shè)橢圓的一個焦點為F，點P在y軸上，直線PF交橢圓于M、N，，則實數(shù)λ1+λ2=（　　） 　 A． B． C． D． 考點： 直線與圓錐曲線的綜合問題．菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有 專題： 綜合題；壓軸題． 分析： 設(shè)直線l的斜率為k，則直線l的方程是y=k（x﹣c）．將直線l的方程代入到橢圓C的方程中，消去y并整理得（b2+a2k2）x2﹣2a2ck2x+a2c2k2﹣a2b2=0．然后利用向量關(guān)系及根與系數(shù)的關(guān)系，可求得λ1+λ2的值． 解答： 解：設(shè)M，N，P點的坐標(biāo)分別為M（x1，y1），N（x2，y2），P（0，y0）， 又不妨設(shè)F點的坐標(biāo)為（c，0）． 顯然直線l存在斜率，設(shè)直線l的斜率為k， 則直線l的方程是y=k（x﹣c）． 將直線l的方程代入到橢圓C的方程中，消去y并整理得（b2+a2k2）x2﹣2a2ck2x+a2c2k2﹣a2b2=0． ∴，． 又∵， 將各點坐標(biāo)代入得 ， =． 故選C． 點評： 本題以向量為載體，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，是橢圓性質(zhì)的綜合應(yīng)用題，解題時要注意公式的合理選取和靈活運用． 　 4．中心在原點，焦點在x軸上的雙曲線C1的離心率為e，直線l與雙曲線C1交于A，B兩點，線段AB中點M在一象限且在拋物線y2=2px（p＞0）上，且M到拋物線焦點的距離為p，則l的斜率為（　?。? 　 A． B． e2﹣1 C． D． e2+1 考點： 圓錐曲線的綜合．菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有 專題： 綜合題；壓軸題；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程． 分析： 利用拋物線的定義，確定M的坐標(biāo)，利用點差法將線段AB中點M的坐標(biāo)代入，即可求得結(jié)論． 解答： 解：∵M在拋物線y2=2px（p＞0）上，且M到拋物線焦點的距離為p， ∴M的橫坐標(biāo)為，∴M（，p） 設(shè)雙曲線方程為（a＞0，b＞0），A（x1，y1），B（x2，y2），則 ， 兩式相減，并將線段AB中點M的坐標(biāo)代入，可得 ∴ ∴ 故選A． 點評： 本題考查雙曲線與拋物線的綜合，考查點差法的運用，考查學(xué)生的計算能力，屬于中檔題． 　 5．已知P為橢圓上的一點，M，N分別為圓（x+3）2+y2=1和圓（x﹣3）2+y2=4上的點，則|PM|+|PN|的最小值為（　?。? 　 A． 5 B． 7 C． 13 D． 15 考點： 圓與圓錐曲線的綜合；橢圓的簡單性質(zhì)．菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有 專題： 計算題；壓軸題． 分析： 由題意可得：橢圓的焦點分別是兩圓（x+3）2+y2=1和（x﹣3）2+y2=4的圓心，再結(jié)合橢圓的定義與圓的有關(guān)性質(zhì)可得答案． 解答： 解：依題意可得，橢圓的焦點分別是兩圓（x+3）2+y2=1和（x﹣3）2+y2=4的圓心， 所以根據(jù)橢圓的定義可得：（|PM|+|PN|）min=25﹣1﹣2=7， 故選B． 點評： 本題考查圓的性質(zhì)及其應(yīng)用，以及橢圓的定義，解題時要認真審題，仔細解答，注意公式的合理運用． 　 6．過雙曲線﹣=0（b＞0，a＞0）的左焦點F（﹣c，0）（c＞0），作圓x2+y2=的切線，切點為E，延長FE交雙曲線右支于點P，若=（+），則雙曲線的離心率為（　?。? 　 A． B． C． D． 考點： 圓與圓錐曲線的綜合．菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有 專題： 綜合題；壓軸題． 分析： 由=（+），知E為PF的中點，令右焦點為F′，則O為FF′的中點，則PF′=2OE=a，能推導(dǎo)出在Rt△PFF′中，PF2+PF′2=FF′2，由此能求出離心率． 解答： 解：∵若=（+）， ∴E為PF的中點，令右焦點為F′，則O為FF′的中點， 則PF′=2OE=a， ∵E為切點， ∴OE⊥PF ∴PF′⊥PF ∵PF﹣PF′=2a ∴PF=PF′+2a=3a 在Rt△PFF′中，PF2+PF′2=FF′2 即9a2+a2=4c2 ∴離心率e==． 故選：A． 點評： 本題考查圓與圓錐曲線的綜合運用，解題時要認真審題，仔細解答，注意挖掘題設(shè)中的隱含條件． 　 7．設(shè)橢圓的左焦點為F，在x軸上F的右側(cè)有一點A，以FA為直徑的圓與橢圓在x軸上方部分交于M、N兩點，則的值為（　?。? 　 A． B． C． D． 考點： 圓與圓錐曲線的綜合．菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有 專題： 計算題；壓軸題． 分析： 若以FA為直徑的圓與橢圓大x軸上方的部分交于短軸端點，則M、N重合（設(shè)為M），此時A為橢圓的右焦點，由此可知=，從而能夠得到結(jié)果． 解答： 解：若以FA為直徑的圓與橢圓大x軸上方的部分交于短軸端點， 則M、N重合（設(shè)為M），此時A為橢圓的右焦點，則 ==． 故選A． 點評： 本題考查圓錐曲線的性質(zhì)和應(yīng)用，解題時要注意合理地選取特殊點． 　 8．已知定點A（1，0）和定直線l：x=﹣1，在l上有兩動點E，F(xiàn)且滿足，另有動點P，滿足（O為坐標(biāo)原點），且動點P的軌跡方程為（　?。? 　 A． y2=4x B． y2=4x（x≠0） C． y2=﹣4x D． y2=﹣4x（x≠0） 考點： 圓錐曲線的軌跡問題．菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有 專題： 計算題；壓軸題． 分析： 設(shè)P（x，y），欲動點P的軌跡方程，即尋找x，y之間 的關(guān)系式，利用向量間的關(guān)系求出向量、的坐標(biāo)后垂直條件即得動點P的軌跡方程． 解答： 解：設(shè)P（x，y），E（﹣1，y1），F(xiàn)（﹣1，y2）（y1，y2均不為零） 由∥?y1=y，即E（﹣1，y）． 由∥?． 由y2=4x（x≠0）． 故選B． 點評： 本題主要考查了軌跡方程的問題．本題解題的關(guān)鍵是利用了向量平行和垂直的坐標(biāo)運算求得軌跡方程． 　 9．已知拋物線過點A（﹣1，0），B（1，0），且以圓x2+y2=4的切線為準(zhǔn)線，則拋物線的焦點的軌跡方程（　?。? 　 A． +=1（y≠0） B． +=1（y≠0） C． ﹣=1（y≠0） D． ﹣=1（y≠0） 考點： 圓錐曲線的軌跡問題．菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有 專題： 綜合題；壓軸題． 分析： 設(shè)出切線方程，表示出圓心到切線的距離求得a和b的關(guān)系，再設(shè)出焦點坐標(biāo)，根據(jù)拋物線的定義求得點A，B到準(zhǔn)線的距離等于其到焦點的距離，然后兩式平方后分別相加和相減，聯(lián)立后，即可求得x和y的關(guān)系式． 解答： 解：設(shè)切線ax+by﹣1=0，則圓心到切線距離等于半徑 ∴=2 ∴， ∴a2+b2= 設(shè)拋物線焦點為（x，y），根據(jù)拋物線定義可得 平方相加得：x2+1+y2=4（a2+1）① 平方相減得：x=4a， ∴② 把②代入①可得：x2+1+y2=4（+1） 即： ∵焦點不能與A，B共線 ∴y≠0 ∴ ∴拋物線的焦點軌跡方程為 故選B． 點評： 本題以圓為載體，考查拋物線的定義，考查軌跡方程，解題時利用圓的切線性質(zhì)，拋物線的定義是關(guān)鍵． 　 10．如圖，已知半圓的直徑|AB|=20，l為半圓外一直線，且與BA的延長線交于點T，|AT|=4，半圓上相異兩點M、N與直線l的距離|MP|、|NQ|滿足條件，則|AM|+|AN|的值為（　?。? 　 A． 22 B． 20 C． 18 D． 16 考點： 圓與圓錐曲線的綜合；拋物線的定義．菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有 專題： 計算題；壓軸題． 分析： 先以AT的中點O為坐標(biāo)原點，AT的中垂線為y軸，可得半圓方程為（x﹣12）2+y2=100，根據(jù)條件得出M，N在以A為焦點，PT為準(zhǔn)線的拋物線上，聯(lián)立半圓方程和拋物線方程結(jié)合根與系數(shù)的關(guān)系，利用拋物線的定義即可求得答案． 解答： 解：以AT的中點O為坐標(biāo)原點，AT的中垂線為y軸， 可得半圓方程為（x﹣12）2+y2=100 又，設(shè)M（x1，y1），N（x2，y2）， M，N在以A為焦點，PT為準(zhǔn)線的拋物線上；以AT的垂直平分線為y軸，TA方向為x軸建立坐標(biāo)系，則有 拋物線方程為y2=8x（y≥0），聯(lián)立半圓方程和拋物線方程， 消去y得：x2﹣16x+44=0 ∴x1+x2=16， |AM|+|AN|=|MP|+|NQ|=x1+x2+4=20． 故選B． 點評： 本小題主要考查拋物線的定義、圓的方程、圓與圓錐曲線的綜合等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力，考查數(shù)形結(jié)合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想．屬于基礎(chǔ)題． 　 11．橢圓與雙曲線有公共的焦點F1，F(xiàn)2，P是兩曲線的一個交點，則cos∠F1PF2=（　　） 　 A． B． C． D． 考點： 圓錐曲線的共同特征．菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有 專題： 綜合題；壓軸題；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程． 分析： 利用雙曲線、橢圓的定義，建立方程，求出|PF1|=，|PF2|=，再利用余弦定理，即可求得結(jié)論． 解答： 解：不妨令P在雙曲線的右支上，由雙曲線的定義|PF1|﹣|PF2|=2 ① 由橢圓的定義|PF1|+|PF2|=2 ② 由①②可得|PF1|=，|PF2|= ∵|F1F2|=4 ∴cos∠F1PF2== 故選A． 點評： 本題考查圓錐曲線的共同特征，利用雙曲線、橢圓的定義，建立方程是關(guān)鍵． 　 12．曲線（|x|≤2）與直線y=k（x﹣2）+4有兩個交點時，實數(shù)k的取值范圍是（　?。? 　 A． B． （，+∞） C． D． 考點： 直線與圓錐曲線的關(guān)系．菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有 專題： 計算題；壓軸題． 分析： 如圖，求出 BC的斜率，根據(jù)圓心到切線的距離等于半徑，求得切線BE的斜率k′，由題意可知，k′＜k≤KBC，從而得到實數(shù)k的取值范圍． 解答： 解：曲線 即 x2+（y﹣1）2=4，（y≥1），表示以A（0，1）為圓心，以2為半徑的圓位于直線 y=1 上方的部分（包含圓與直線y=1 的交點C和 D），是一個半圓，如圖： 直線y=k（x﹣2）+4過定點B（2，4），設(shè)半圓的切線BE的切點為E，則 BC的斜率為 KBC==． 設(shè)切線BE的斜率為k′，k′＞0，則切線BE的方程為 y﹣4=k′（x﹣2），根據(jù)圓心A到線BE距離等于半徑得 2=，k′=， 由題意可得 k′＜k≤KBC，∴＜k≤， 故選 A． 點評： 本題考查直線和圓的位置關(guān)系，點到直線的距離公式，傾斜角和斜率的關(guān)系，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，判斷 k′＜k≤KBC，是解題的關(guān)鍵． 　 13．設(shè)拋物線y2=12x的焦點為F，經(jīng)過點P（1，0）的直線l與拋物線交于A，B兩點，且，則|AF|+|BF|=（　?。? 　 A． B． C． 8 D． 考點： 直線與圓錐曲線的關(guān)系．菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有 專題： 計算題；壓軸題． 分析： 根據(jù)向量關(guān)系，用坐標(biāo)進行表示，求出點A，B的坐標(biāo)，再利用拋物線的定義，可求|AF|+|BF|． 解答： 解：設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），則 ∵P（1，0） ∴=（1﹣x2，﹣y2），=（x1﹣1，y1） ∵， ∴2（1﹣x2，﹣y2）=（x1﹣1，y1） ∴ 將A（x1，y1），B（x2，y2）代入拋物線y2=12x，可得， 又∵﹣2y2=y1 ∴4x2=x1又∵x1+2x2=3 解得 ∵|AF|+|BF|= 故選D． 點評： 本題重點考查拋物線的定義，考查向量知識的運用，解題的關(guān)鍵是確定點A，B的橫坐標(biāo)． 　 14．已知雙曲線上的一點到其左、右焦點的距離之差為4，若已知拋物線y=ax2上的兩點A（x1，y1），B（x2，y2）關(guān)于直線y=x+m對稱，且，則m的值為（　　） 　 A． B． C． D． 考點： 直線與圓錐曲線的關(guān)系．菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有 專題： 綜合題；壓軸題． 分析： y1=2x12，y2=2x22，A點坐標(biāo)是（x1，2x12），B點坐標(biāo)是（x2，2x22） A，B的中點坐標(biāo)是（，） 因為A，B關(guān)于直線y=x+m對稱，所以A，B的中點在直線上，且AB與直線垂直 =+m，由此能求得m． 解答： 解：y1=2x12，y2=2x22， A點坐標(biāo)是（x1，2x12），B點坐標(biāo)是（x2，2x22）， A，B的中點坐標(biāo)是（，）， 因為A，B關(guān)于直線y=x+m對稱， 所以A，B的中點在直線上， 且AB與直線垂直 =+m，， x12+x22═+m，x2+x1=﹣， 因為， 所以xx12+x22=（x1+x2）2﹣2x1x2=， 代入得 ，求得m=． 故選B． 點評： 本題主要考查直線與圓錐曲線的綜合應(yīng)用能力，具體涉及到軌跡方程的求法及直線與橢圓的相關(guān)知識，解題時要注意合理地進行等價轉(zhuǎn)化． 　 15．已知雙曲線上存在兩點M，N關(guān)于直線y=x+m對稱，且MN的中點在拋物線y2=9x上，則實數(shù)m的值為（　　） 　 A． 4 B． ﹣4 C． 0或4 D． 0或﹣4 考點： 直線與圓錐曲線的關(guān)系．菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有 專題： 綜合題；壓軸題． 分析： 根據(jù)雙曲線上存在兩點M，N關(guān)于直線y=x+m對稱，求出MN中點P（﹣，m），利用MN的中點在拋物線y2=9x上，即可求得實數(shù)m的值． 解答： 解：∵MN關(guān)于y=x+m對稱∴MN垂直直線y=x+m，MN的斜率﹣1，MN中點P（x0，x0+m）在y=x+m上，且在MN上 設(shè)直線MN：y=﹣x+b，∵P在MN上，∴x0+m=﹣x0+b，∴b=2x0+m 由消元可得：2x2+2bx﹣b2﹣3=0 ∴Mx+Nx=﹣b，∴x0=﹣，∴b= ∴MN中點P（﹣，m） ∵MN的中點在拋物線y2=9x上， ∴ ∴m=0或4 故選D． 點評： 本題考查直線與雙曲線的位置關(guān)系，考查對稱性，考查拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程，解題的關(guān)鍵是確定MN中點P的坐標(biāo)． 　 二．解答題（共15小題） 16．已知橢圓C：，F(xiàn)1，F(xiàn)2是其左右焦點，離心率為，且經(jīng)過點（3，1） （1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程； （2）若A1，A2分別是橢圓長軸的左右端點，Q為橢圓上動點，設(shè)直線A1Q斜率為k，且，求直線A2Q斜率的取值范圍； （3）若Q為橢圓上動點，求cos∠F1QF2的最小值． 考點： 橢圓的簡單性質(zhì)；橢圓的應(yīng)用．菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有 專題： 壓軸題；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程． 分析： （1）根據(jù)橢圓的離心率為，且經(jīng)過點（3，1），求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程； （2）設(shè)A2Q的斜率為k，Q（x0，y0），則可得kk==，利用，即可求直線A2Q斜率的取值范圍； （3）利用橢圓的定義、余弦定理，及基本不等式，即可求cos∠F1QF2的最小值． 解答： 解：（1）∵橢圓的離心率為，且經(jīng)過點（3，1），建立方程，求出幾何量，即可 ∴， ∴橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為…（3分） （2）設(shè)A2Q的斜率為k，Q（x0，y0），則，…（5分） ∴kk=及…（6分） 則kk== 又…（7分） ∴， 故A2Q斜率的取值范圍為（） …（8分） （3）設(shè)橢圓的半長軸長、半短軸長、半焦距分別為a，b，c，則有， 由橢圓定義，有…（9分） ∴cos∠F1QF2=…（10分） =…（11分） ≥…（12分） ==…（13分） ∴cos∠F1QF2的最小值為．（當(dāng)且僅當(dāng)|QF1|=|QF2|時，即Q取橢圓上下頂點時，cos∠F1QF2取得最小值） …（14分） 點評： 本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程與幾何性質(zhì)，考查橢圓的定義，考查余弦定理，考查基本不等式的運用，綜合性強． 　 17．已知橢圓x2+=1的左、右兩個頂點分別為A，B．雙曲線C的方程為x2﹣=1．設(shè)點P在第一象限且在雙曲線C上，直線AP與橢圓相交于另一點T． （Ⅰ）設(shè)P，T兩點的橫坐標(biāo)分別為x1，x2，證明x1?x2=1； （Ⅱ）設(shè)△TAB與△POB（其中O為坐標(biāo)原點）的面積分別為S1與S2，且?≤15，求S﹣S的取值范圍． 考點： 直線與圓錐曲線的關(guān)系；平面向量數(shù)量積的運算．菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有 專題： 壓軸題；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程． 分析： （Ⅰ）設(shè)直線AP的方程與橢圓方程聯(lián)立，確定P、T的橫坐標(biāo)，即可證得結(jié)論； （Ⅱ）利用?≤15，結(jié)合點P是雙曲線在第一象限內(nèi)的一點，可得1＜x1≤2，利用三角形的面積公式求面積，從而可得S﹣S的不等式，利用換元法，再利用導(dǎo)數(shù)法，即可求S﹣S的取值范圍． 解答： （Ⅰ）證明：設(shè)點P（x1，y1）、T（x2，y2）（xi＞0，yi＞0，i=1，2），直線AP的斜率為k（k＞0）， 則直線AP的方程為y=k（x+1）， 代入橢圓方程，消去y，整理，得（4+k2）x2+2k2x+k2﹣4=0， 解得x=﹣1或x=，故x2=． 同理可得x1=． 所以x1?x2=1． （Ⅱ）設(shè)點P（x1，y1）、T（x2，y2）（xi＞0，yi＞0，i=1，2）， 則=（﹣1﹣x1，y1），=（1﹣x1，y1）． 因為?≤15，所以（﹣1﹣x1）（1﹣x1）+y12≤15，即x12+y12≤16． 因為點P在雙曲線上，所以，所以x12+4x12﹣4≤16，即x12≤4． 因為點P是雙曲線在第一象限內(nèi)的一點，所以1＜x1≤2． 因為S1=|y2|，S2=， 所以S﹣S== 由（Ⅰ）知，x1?x2=1，即． 設(shè)t=，則1＜t≤4，S﹣S=5﹣t﹣． 設(shè)f（t）=5﹣t﹣，則f′（t）=﹣1+=， 當(dāng)1＜t＜2時，f（t）＞0，當(dāng)2＜t≤4時，f（t）＜0， 所以函數(shù)f（t）在（1，2）上單調(diào)遞增，在（2，4]上單調(diào)遞減． 因為f（2）=1，f（1）=f（4）=0， 所以當(dāng)t=4，即x1=2時，S﹣S的最小值為f（4）=0，當(dāng)t=2，即x1=時，S﹣S的最大值為f（2）=1． 所以S﹣S的取值范圍為[0，1]． 點評： 本小題主要考查橢圓與雙曲線的方程、直線與圓錐曲線的位置關(guān)系、函數(shù)最值等知識，考查數(shù)形結(jié)合、化歸與轉(zhuǎn)化、函數(shù)與方程的數(shù)學(xué)思想方法，以及推理論證能力和運算求解能力． 　 18．設(shè)橢圓D：=1（a＞b＞0）的左、右焦點分別為F1、F2，上頂點為A，在x軸負半軸上有一點B，滿足，且AB⊥AF2． （Ⅰ）若過A、B、F2三點的圓C恰好與直線l：x﹣y﹣3=0相切，求圓C方程及橢圓D的方程； （Ⅱ）若過點T（3，0）的直線與橢圓D相交于兩點M、N，設(shè)P為橢圓上一點，且滿足（O為坐標(biāo)原點），求實數(shù)t取值范圍． 考點： 直線與圓錐曲線的綜合問題；橢圓的應(yīng)用．菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有 專題： 壓軸題；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程． 分析： （Ⅰ）利用，可得F1為BF2的中點，根據(jù)AB⊥AF2，可得a，c的關(guān)系，利用過A、B、F2三點的圓C恰好與直線l：相切，求出a，即可求出橢圓的方程與圓的方程； （Ⅱ）設(shè)直線MN方程代入橢圓方程，利用韋達定理及向量知識，即可求實數(shù)t取值范圍． 解答： 解：（Ⅰ）由題意知F1（﹣c，0），F(xiàn)2（c，0），A（0，b）． 因為AB⊥AF2，所以在Rt△ABF2中，， 又因為，所以F1為BF2的中點， 所以 又a2=b2+c2，所以a=2c． 所以F2（，0），B（﹣，0）， Rt△ABF2的外接圓圓心為F1（﹣，0），半徑r=a， 因為過A、B、F2三點的圓C恰好與直線l：相切， 所以=a，解得a=2，所以c=1，b=． 所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：，圓的方程為（x+1）2+y2=1； （Ⅱ）設(shè)直線MN方程為y=k（x﹣3），M（x1，y1），N（x2，y2），P（x，y），則 直線方程代入橢圓方程，消去y可得（4k2+3）x2﹣24k2x+36k2﹣12=0， ∴△=（24k2）﹣4（4k2+3）（36k2﹣12）＞0， ∴k2＜， x1+x2=，x1x2=， ∵， ∴x1+x2=tx，y1+y2=ty， ∴tx=，ty=， ∴x=，y=， 代入橢圓方程可得3[]2+4[]2=12， 整理得= ∵k2＜， ∴0＜t2＜4， ∴實數(shù)t取值范圍是（﹣2，0）∪（0，2）． 點評： 本題考查橢圓方程與圓的方程，考查直線與圓的位置關(guān)系，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，難度大 　 19．已知F1、F2為橢圓C：的左，右焦點，M為橢圓上的動點，且?的最大值為1，最小值為﹣2． （1）求橢圓C的方程； （2）過點作不與y軸垂直的直線l交該橢圓于M，N兩點，A為橢圓的左頂點．試判斷∠MAN是否為直角，并說明理由． 考點： 直線與圓錐曲線的綜合問題．菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有 專題： 計算題；壓軸題；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程． 分析： （1）設(shè)M（x，y），化簡?=x2+2b2﹣a2（﹣a≤x≤a），從而求最值，進而求橢圓方程； （2）設(shè)直線MN的方程為x=ky﹣6并與橢圓聯(lián)立，利用韋達定理求?的值，從而說明是直角． 解答： 解：（1）設(shè)M（x，y）， 則y2=b2﹣x2， ?=x2+2b2﹣a2（﹣a≤x≤a）， 則當(dāng)x=0時，?取得最小值2b2﹣a2=﹣2， 當(dāng)x=a時，?取得最大值b2=1， ∴a2=4， 故橢圓的方程為． （2）設(shè)直線MN的方程為x=ky﹣， 聯(lián)立方程組可得， 化簡得：（k2+4）y2﹣2.4ky﹣=0， 設(shè)M（x1，y1），N（x2，y2）， 則y1+y2=，y1y2=﹣， 又A（﹣2，0）， ?=（x1+2，y1）?（x2+2，y2） =（k2+1）y1y2+k（y1+y2）+= =﹣（k2+1）+k+=0， 所以∠MAN為直角． 點評： 本題考查了圓錐曲線方程的求法及直線與圓錐曲線的位置關(guān)系應(yīng)用，同時考查了向量的應(yīng)用，屬于難題． 　 20．如圖，P是拋物線y2=2x上的動點，點B，C在y軸上，圓（x﹣1）2+y2=1內(nèi)切于△PBC，求△PBC面積的最小值． 考點： 圓與圓錐曲線的綜合．菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有 專題： 綜合題；壓軸題；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程． 分析： 設(shè)P（x0，y0），B（0，b），C（0，c），設(shè)b＞c．直線PB：y﹣b=，化簡，得（y0﹣b）x﹣x0y+x0b=0，由圓心（1，0）到直線PB的距離是1，知，由此導(dǎo)出（x0﹣2）b2+2y0b﹣x0=0，同理，（x0﹣2）c2+2y0c﹣x0=0，所以（b﹣c）2=，從而得到S△PBC=，由此能求出△PBC面積的最小值． 解答： 解：設(shè)P（x0，y0），B（0，b），C（0，c），設(shè)b＞c． 直線PB的方程：y﹣b=， 化簡，得（y0﹣b）x﹣x0y+x0b=0， ∵圓心（1，0）到直線PB的距離是1， ∴， ∴（y0﹣b）2+x02=（y0﹣b）2+2x0b（y0﹣b）+x02b2， ∵x0＞2，上式化簡后，得 （x0﹣2）b2+2y0b﹣x0=0， 同理，（x0﹣2）c2+2y0c﹣x0=0， ∴b+c=，bc=， ∴（b﹣c）2=， ∵P（x0，y0）是拋物線上的一點， ∴， ∴（b﹣c）2=，b﹣c=， ∴S△PBC= = =（x0﹣2）++4 ≥2+4=8． 當(dāng)且僅當(dāng)時，取等號． 此時x0=4，y0=． ∴△PBC面積的最小值為8． 點評： 本昰考查三角形面積的最小值的求法，具體涉及到拋物線的性質(zhì)、拋物線和直線的位置關(guān)系、圓的簡單性質(zhì)、均值定理等基本知識，綜合性強，難度大，對數(shù)學(xué)思想的要求較高，解題時要注意等價轉(zhuǎn)化思想的合理運用． 　 21．已知直L1：2x﹣y=0，L2：x﹣2y=0．動圓（圓心為M）被L1L2截得的弦長分別為8，16． （Ⅰ）求圓心M的軌跡方程M； （Ⅱ）設(shè)直線y=kx+10與方程M的曲線相交于A，B兩點．如果拋物y2=﹣2x上存在點N使得|NA|=|NB|成立，求k的取值范圍． 考點： 圓與圓錐曲線的綜合；直線與圓相交的性質(zhì)．菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有 專題： 綜合題；壓軸題． 分析： （Ⅰ）設(shè)M（x，y），M到L1，L2的距離分別為d1，d2，則d12+42=d22+82．所以，由此能求出圓心M的軌跡方程． （Ⅱ）設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），由，得（1﹣k2）x2﹣20kx﹣180=0．AB的中點為，AB的中垂線為，由，得．由此能求出k的取值范圍． 解答： 解：（Ⅰ）設(shè)M（x，y），M到L1，L2的距離分別為d1，d2，則d12+42=d22+82．…（2分） ∴， ∴x2﹣y2=80，即圓心M的軌跡方程M：x2﹣y2=80． …（4分） （Ⅱ）設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），由， 得（1﹣k2）x2﹣20kx﹣180=0． ① ∴AB的中點為，…（6分） ∴AB的中垂線為，即，…（7分） 由，得 ②…（8分） ∵存在N使得|NA|=|NB|成立的條件是：①有相異二解，并且②有解． …（9分） ∵①有相異二解的條件為， ∴?且k≠1．③…（10分） ②有解的條件是，∴，④…（11分） 根據(jù)導(dǎo)數(shù)知識易得時，k3﹣k+40＞0， 因此，由③④可得N點存在的條件是：﹣1或1＜k＜． …（12分） 點評： 本題主要考查雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程，簡單幾何性質(zhì)，直線與橢圓的位置關(guān)系，圓的簡單性質(zhì)等基礎(chǔ)知識．考查運算求解能力，推理論證能力；考查函數(shù)與方程思想，化歸與轉(zhuǎn)化思想． 　 22．已知直線l1：ax﹣by+k=0；l2：kx﹣y﹣1=0，其中a是常數(shù)，a≠0． （1）求直線l1和l2交點的軌跡，說明軌跡是什么曲線，若是二次曲線，試求出焦點坐標(biāo)和離心率． （2）當(dāng)a＞0，y≥1時，軌跡上的點P（x，y）到點A（0，b）距離的最小值是否存在？若存在，求出這個最小值． 考點： 圓錐曲線的軌跡問題．菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有 專題： 綜合題；壓軸題；分類討論；轉(zhuǎn)化思想． 分析： （1）聯(lián)立直線l1和l2的方程，消去參數(shù)即可得到交點的軌跡方程，根據(jù)a的取值a＞0，﹣1＜a＜0，a=﹣1，a＜﹣1說明軌跡曲線，利用二次曲線判斷形狀，直接求出焦點坐標(biāo)和離心率． （2）通過a＞0，y≥1時，說明軌跡的圖形，求出軌跡上的點P（x，y）到點A（0，b）距離的表達式，通過配方討論b與的大小，求出|PA|的最小值． 解答： 解：（1）由 消去k，得y2﹣ax2=1 ①當(dāng)a＞0時，軌跡是雙曲線，焦點為，離心率； ②當(dāng)﹣1＜a＜0時，軌跡是橢圓，焦點為，離心率； ③當(dāng)a=﹣1時，軌跡是圓，圓心為（0，0），半徑為1； ④當(dāng)a＜﹣1時，軌跡是橢圓，焦點為，離心率 （2）當(dāng)a＞0時，y≥1時，軌跡是雙曲線y2﹣ax2=1的上半支． ∵|PA|2=x2+（y﹣b）2= = ①當(dāng)b＞時，|PA|的最小值為； ②當(dāng) b≤時，|PA|的最小值為|1﹣b| 點評： 本題考查知識點比較多，涉及參數(shù)方程，雙曲線方程橢圓方程，圓的方程，兩點的距離公式等等，涉及分類討論思想二次函數(shù)的最值，是難度比較大，容易出錯的題目，考試?？款}型，多以壓軸題為主． 　 23．如圖，ABCD是邊長為2的正方形紙片，沿某動直線l為折痕將正方形在其下方的部分向上翻折，使得每次翻折后點B都落在邊AD上，記為B；折痕與AB交于點E，以EB和EB’為鄰邊作平行四邊形EB’MB．若以B為原點，BC所在直線為x軸建立直角坐標(biāo)系（如下圖）： （Ⅰ）．求點M的軌跡方程； （Ⅱ）．若曲線S是由點M的軌跡及其關(guān)于邊AB對稱的曲線組成的，等腰梯形A1B1C1D1的三邊A1B1，B1C1，C1D1分別與曲線S切于點P，Q，R．求梯形A1B1C1D1面積的最小值． 考點： 圓錐曲線的軌跡問題；向量在幾何中的應(yīng)用．菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有 專題： 計算題；壓軸題． 分析： （1）設(shè)出M的坐標(biāo)，根據(jù)兩點關(guān)于直線對稱時兩點連線與對稱軸垂直，且兩點的中點在對稱軸上，再根據(jù)平行四邊形的對角線對應(yīng)的向量等于兩鄰邊對應(yīng)向量的和得到點M的軌跡方程； （2）利用函數(shù)在切點處的導(dǎo)數(shù)值為曲線的切線斜率，求出腰A1B1的方程，分別令y=0和y=1求出與兩底的交點橫坐標(biāo)，利用梯形的面積公式表示出梯形A1B1C1D1面積，利用基本不等式求出其最小值． 解答： 解：（1）如圖，設(shè)M（x，y），B′（x0，2），又E（0，b） 顯然直線l的斜率存在，故不妨設(shè)直線l的方程為y=kx+b，則 而BB′的中點在直線l上， 故，① 由于?代入①即得，又0≤x0≤2點M的軌跡方程（0≤x≤2）﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（6分） （2）易知曲線S的方程為（﹣2≤x≤2） 設(shè)梯形A1B1C1D1的面積為s，點P的坐標(biāo)為． 由題意得，點Q的坐標(biāo)為（0，1），直線B1C1的方程為y=1． 對于有 ∴ ∴直線A1B1的方程為， 即：令y=0得，， ∴． 令y=1得，， ∴ 所以 當(dāng)且僅當(dāng)，即時，取“=”且，時， s有最小值為．梯形A1B1C1D1的面積的最小值為﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（15分） 點評： 本題考查兩點關(guān)于一條直線對稱的充要條件；向量運算的幾何意義；曲線在切點處的導(dǎo)數(shù)值為曲線的切線斜率；利用基本不等式求函數(shù)的最值．屬于一道難題． 　 24．（1）已知一個圓錐母線長為4，母線與高成45角，求圓錐的底面周長． （2）已知直線l與平面α成φ，平面α外的點A在直線l上，點B在平面α上，且AB與直線l成θ， ①若φ=60，θ=45，求點B的軌跡； ②若任意給定φ和θ，研究點B的軌跡，寫出你的結(jié)論，并說明理由． 考點： 圓錐曲線的軌跡問題；旋轉(zhuǎn)體（圓柱、圓錐、圓臺）．菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有 專題： 綜合題；壓軸題． 分析： （1）由圓錐的母線長為4，母線與高成45角，知高和底面半徑與母線構(gòu)成一個等腰直角三角形，由勾股定理可知底面半徑為2，由圓周公式2πR可算出底面周長． （2）①設(shè)l∩α=C，點A在平面α上的射影為點O．建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)|AC|=a，有A（0，0，asin60），C（0，﹣acos60）．設(shè)B（x，y，0），則=（0，﹣acos60，﹣asin60）．=（x，y，﹣asin60）．所以．又由|?cos45，知﹣acos60?y+a2sin60=a，平方整理得，由此知點B的軌跡． ②設(shè)l∩α=C，點A在平面α上的射影為點O．如圖建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)|AC|=a，有A（0，0，asinφ），C（0，﹣acosφ），（0＜φ＜）．設(shè)B（x，y，0），則（6分）=（0，﹣acosφ，﹣asinφ）．=（x，y，﹣asinφ）．所以φ．由|?cosθ=a??cosθ．知cos2θ?x2+（cos2θ﹣cos2φ）y2+a2ysinφsin2φ+a2sin2φ（cos2θ﹣sin2φ）=0．故當(dāng)φ=時，點B的軌跡為圓；當(dāng)θ＜φ＜時，點B的軌跡為橢圓；當(dāng)θ=φ＜時，點B的軌跡為拋物線；當(dāng)θ＞φ時，點B的軌跡為雙曲線． 解答： 解：（1）∵圓錐的母線長為4，母線與高成45角， 高和底面半徑與母線構(gòu)成一個等腰直角三角形， 即高和底面半徑長度一樣， 則由勾股定理可知底面半徑為2， 則由圓周公式2πR可算出底面周長4π； （2分） （2）①設(shè)l∩α=C，點A在平面α上的射影為點O．如圖建立空間直角坐標(biāo)系， 設(shè)|AC|=a，有A（0，0，asin60），C（0，﹣acos60）． 設(shè)B（x，y，0），則=（0，﹣acos60，﹣asin60）． =（x，y，﹣asin60）． ∴． 又∵|?cos45=a?． ∴﹣acos60?y+a2sin60=a． （11分） 平方整理得cos245?x2+（cos245﹣cos260）y2+a2ysin60sin120+a2sin260（cos245﹣sin260）=0． 即， ∴點B的軌跡橢圓； （4分） ②設(shè)l∩α=C，點A在平面α上的射影為點O．如圖建立空間直角坐標(biāo)系， 設(shè)|AC|=a，有A（0，0，asinφ），C（0，﹣acosφ），（0＜φ＜）．設(shè)B（x，y，0），則（6分）=（0，﹣acosφ，﹣asinφ）． =（x，y，﹣asinφ）． ∴φ． 又∵|?cosθ=a??cosθ． ∴﹣acosφ?y+a2sinφ=a． （11分） 平方整理得cos2θ?x2+（cos2θ﹣cos2φ）y2+a2ysinφsin2φ+a2sin2φ（cos2θ﹣sin2φ）=0． i．當(dāng)cos2θ﹣cos2φ=0，即θ=φ時，上式為拋物線方程； ii．當(dāng)cos2θ﹣cos2φ＞0，即θ＜φ時，上式為橢圓方程； iii．當(dāng)cos2θ﹣cos2φ＜0，即θ＞φ時，上式為雙曲線方程．（14分） 故當(dāng)φ=時，點B的軌跡為圓； 當(dāng)θ＜φ＜時，點B的軌跡為橢圓； 當(dāng)θ=φ＜時，點B的軌跡為拋物線； 當(dāng)θ＞φ時，點B的軌跡為雙曲線． （16分） 點評： 第（1）題考查圓錐的性質(zhì)和應(yīng)用，是基礎(chǔ)題，解題時要認真審題，仔細解答． 第（2）題考查圓錐曲線的軌跡的求法和判斷，對數(shù)學(xué)思維的要求比較高，要求學(xué)生理解“存在”、“恒成立”，以及運用一般與特殊的關(guān)系進行否定，本題有一定的探索性．綜合性強，難度大，易出錯． 　 25．已知橢圓C的中心在原點，一個焦點，且長軸長與短軸長的比是． （1）求橢圓C的方程； （2）若橢圓C在第一象限的一點P的橫坐標(biāo)為1，過點P作傾斜角互補的兩條不同的直線PA，PB分別交橢圓C于另外兩點A，B，求證：直線AB的斜率為定值； （3）求△PAB面積的最大值． 考點： 橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；直線的斜率；直線與圓錐曲線的綜合問題．菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有 專題： 壓軸題． 分析： （1）待定系數(shù)法求橢圓的方程． （2）設(shè)出A、B坐標(biāo)，利用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，求出A、B橫坐標(biāo)之差，縱坐標(biāo)之差，從而求出AB斜率． （3）設(shè)出AB直線方程，與橢圓方程聯(lián)立，運用根與系數(shù)的關(guān)系求AB長度，計算P到AB的距離，計算△PAB面積， 使用基本不等式求最大值． 解答： 解：（Ⅰ）設(shè)橢圓C的方程為． 由題意，解得a2=4，b2=2． 所以，橢圓C的方程為．故點P（1，） （Ⅱ）由題意知，兩直線PA，PB的斜率必存在，設(shè)PB的斜率為k， 則PB的直線方程為． 由 得，． 設(shè)A（xA，yA），B（xB，yB），則，同理可得． 則，． 所以直線AB的斜率為定值． （Ⅲ）設(shè)AB的直線方程為，由得 ． 由，得m2＜8．此時，． 由橢圓的方程可得點P（1，），根據(jù)點到直線的距離公式可得P到AB的距離為， 由兩點間的距離公式可得 =， 故 == =≤=． 因為m2=4使判別式大于零，所以當(dāng)且僅當(dāng)m=2時取等號，所以△PAB面積的最大值為． 點評： 直線與圓錐曲線的綜合問題，注意應(yīng)用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，式子的化簡變形，是解題的難點和關(guān)鍵． 　 26．已知點B（0，1），A，C為橢圓上的兩點，△ABC是以B為直角頂點的直角三角形． （I）當(dāng)a=4時，求線段BC的中垂線l在x軸上截距的取值范圍． （II）△ABC能否為等腰三角形？若能，這樣的三角形有幾個？ 考點： 直線與圓錐曲線的綜合問題；橢圓的簡單性質(zhì)．菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有 專題： 綜合題；壓軸題；圓錐曲線中的最值與范圍問題． 分析： （I）依題意，可知橢圓的方程為：+y2=1，設(shè)C（4cosθ，sinθ），可求得直線l的方程為y=﹣x++，令y=0得x==cosθ（cosθ≠0），利用余弦cosθ的有界性即可求得線段BC的中垂線l在x軸上截距的取值范圍； （II）當(dāng)?shù)妊苯侨切蜛BC的兩條腰AB與BC不關(guān)于y軸對稱時，設(shè)出AB的方程為y=kx+1（k＞0），BC的方程為y=﹣x+1，利用直線與方程與橢圓方程聯(lián)立，利用等腰直角三角形ABC中的兩腰|AB|=|BC|，借助基本不等式即可求得a的取值范圍；同理可求兩條腰AB與BC關(guān)于y軸對稱時a的取值范圍． 解答： 解：（I）∵a=4， ∴橢圓的方程為：+y2=1，故B（0，1）， 設(shè)C（4cosθ，sinθ）， 則BC的中點M（2cosθ，）， ∵BC的斜率kBC=， ∴線段BC的中垂線l的斜率k=﹣=﹣， ∴直線l的方程為：y﹣=﹣（x﹣2cosθ）， ∴y=﹣x++， 令y=0得：x==cosθ（cosθ≠0） ∵﹣1≤cosθ≤1且cosθ≠0， ∴﹣≤x=cosθ≤且x≠0， ∴線段BC的中垂線l在x軸上截距的取值范圍為[﹣，0）∪（0，]． （II）當(dāng)?shù)妊苯侨切蜛BC的兩條腰AB與BC不關(guān)于y軸對稱時，作圖如右， 設(shè)此時過B（0，1）的AB的方程為y=kx+1（k＞0），則BC的方程為y=﹣x+1， 由得：（a2k2+1）x2+2a2kx=0， 設(shè)該方程兩根為x1，x2，則x1+x2=﹣，x1x2=0， 則|AB|= =|x1﹣x2|? =? =?||， 同理可求，|BC|=?||=?||， ∵|AB|=|BC|， ∴?||=?||， 約分后整理得：k3﹣a2k2+a2k﹣1=0， 即a2k（k﹣1）=（k﹣1）（k2+k+1）， 當(dāng)k=1時，AB的方程為y=x+1，BC的方程為y=﹣x+1，此時兩直線關(guān)于y軸對稱，與所設(shè)不符，故k≠1； ∴a2==k++1≥3（當(dāng)且僅當(dāng)k=1時取等號），又k≠1， ∴a2＞3， ∴a＞，即當(dāng)a＞時，如圖的不關(guān)于y軸對稱等腰直角三角形ABC存在， 又不關(guān)于y軸對稱的還有另一個，關(guān)于y軸對稱的必有一個， 因此，當(dāng)a＞時，以B為直角頂點的等腰三角ABC共三個． 當(dāng)1＜a≤時，以B為直角頂點的等腰三角ABC只有一個，此時兩腰關(guān)于y軸對稱． 點評： 本題考查橢圓的性質(zhì)，著重考查橢圓的參數(shù)方程的應(yīng)用，考查直線的點斜式、截距的綜合應(yīng)用，突出考查直線與圓錐曲線的位置關(guān)系，考查轉(zhuǎn)化思想、方程思想、分類討論思想的綜合應(yīng)用，考查邏輯思維、創(chuàng)新思維、綜合運算能力，屬于難題． 　 27．如圖，P是拋物線C：x2=2y上一點，F(xiàn)為拋物線的焦點，直線l過點P且與拋物線交于另一點Q，已知P（x1，y1），Q（x2，y2）． （1）若l經(jīng)過點F，求弦長|PQ|的最小值； （2）設(shè)直線l：y=kx+b（k≠0，b≠0）與x軸交于點S，與y軸交于點T ①求證： ②求的取值范圍． 考點： 直線與圓錐曲線的綜合問題．菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有 專題： 綜合題；壓軸題． 分析： （1）由拋物線的方程求出拋物線的焦點，寫出過焦點的直線l的方程，和拋物線方程聯(lián)立后化為關(guān)于x的一元二次方程，利用根與系數(shù)關(guān)系求出P，Q的橫坐標(biāo)的和，借助于拋物線的定義把弦長|PQ|轉(zhuǎn)化為兩點橫坐標(biāo)的代數(shù)式，利用不等式求弦長|PQ|的最小值； （2）①分別過P，Q作PP′⊥x軸，QQ′⊥x軸，利用平行線截線段成比例定理把要證的等式的左邊轉(zhuǎn)化為直線在y軸上的截距與點的縱坐標(biāo)的比，從而得到要證得結(jié)論； ②聯(lián)立，消去x，得y2﹣2（k2+b）y+b2=0，利用根與系數(shù)關(guān)系得到P，Q兩點的縱坐標(biāo)的和與積，結(jié)合基本不等式代入①后得到結(jié)論，或利用分類討論的方法求解的取值范圍． 解答： （1）解：∵F為拋物線的焦點，∴ 設(shè)直線， 聯(lián)立，得x2﹣2kx﹣1=0（﹡） 則|PQ|=． 由（﹡）得x1+x2=2k，帶入上式得|PQ|=2k2+2≥2，當(dāng)僅當(dāng)k=0時|PQ|的最小值為2； （2）證明：如圖， ①分別過P，Q作PP′⊥x軸，QQ′⊥x軸，垂足分別為P′，Q′， 則 ②聯(lián)立，消去x，得y2﹣2（k2+b）y+b2=0（﹟） 則． （方法1） 而 而y1，y2可取一切不相等的正數(shù)∴的取值范圍為（2，+∞）． （方法2） 當(dāng)b＞0時，上式=； 當(dāng)b＜0時，上式=． 由（﹟）式△＞0得k2+2b＞0即k2＞﹣2b 于是 綜上，的取值范圍為（2，+∞）． 點評： 本題考查了直線與圓錐曲線的綜合題，考查了數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法和分類討論的數(shù)學(xué)思想方法，直線與圓錐曲線關(guān)系問題，常采用直線與曲線聯(lián)立，根據(jù)方程的根與系數(shù)的關(guān)系求解，這是處理這類問題的最為常用的方法，但圓錐曲線的特點是計算量比較大，要求考生具備較強的運算推理的能力，是難題． 　 28．過點F（0，1）作直線l與拋物線x2=4y相交于兩點A、B，圓C：x2+（y+1）2=1 （1）若拋物線在點B處的切線恰好與圓C相切，求直線l的方程； （2）過點A、B分別作圓C的切線BD、AE，試求|AB|2﹣|AE|2﹣|BD|2的取值范圍． 考點： 圓與圓錐曲線的綜合．菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有 專題： 計算題；綜合題；壓軸題． 分析： （1）先求拋物線過點B的切線方程，利用點B處的切線恰好與圓C相切及點B在拋物線即可求得點B坐標(biāo)，從而可求直線方程； （2）由已知，直線l的斜率存在，則設(shè)直線l的方程為：y=kx+1，與x2=4y聯(lián)立，再分別表示出各線段長，即可求得|AB|2﹣|AE|2﹣|BD|2