數(shù)學(xué) 第二章 函數(shù) 1 生活中的變量關(guān)系 北師大版必修1

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1、 1依賴關(guān)系和函數(shù)關(guān)系依賴關(guān)系和函數(shù)關(guān)系在某變化過程中有兩個變量，如果其中一個變量的值發(fā)生在某變化過程中有兩個變量，如果其中一個變量的值發(fā)生了變化，另一個變量的值也會隨之發(fā)生變化，那么就稱這兩個了變化，另一個變量的值也會隨之發(fā)生變化，那么就稱這兩個變量具有依賴關(guān)系如果變量變量具有依賴關(guān)系如果變量x，y具有依賴關(guān)系，對于其中一具有依賴關(guān)系，對于其中一個變量個變量x的每一個值，另一個變量的每一個值，另一個變量y都有都有 的值時，那的值時，那么稱變量么稱變量y是變量是變量x的函數(shù)，即這兩個變量之間具有函數(shù)關(guān)系的函數(shù)，即這兩個變量之間具有函數(shù)關(guān)系唯一確定唯一確定 核心必知核心必知 2非依賴關(guān)系非依賴關(guān)

2、系在某變化過程中有兩個變量，如果其中一個變量的值發(fā)生在某變化過程中有兩個變量，如果其中一個變量的值發(fā)生了變化，另一個變量的值不受任何影響，那么就稱這兩個變量了變化，另一個變量的值不受任何影響，那么就稱這兩個變量具有非依賴關(guān)系具有非依賴關(guān)系 1人的身高和年齡之間的關(guān)系是函數(shù)關(guān)系嗎？人的身高和年齡之間的關(guān)系是函數(shù)關(guān)系嗎？ 2兩個具有依賴關(guān)系的變量一定具有函數(shù)關(guān)系嗎？兩個具有依賴關(guān)系的變量一定具有函數(shù)關(guān)系嗎？提示：人的身高和年齡之間有一定的依賴關(guān)系，但這種關(guān)系并不是函數(shù)關(guān)系，因人的身高并不單純由人的年齡而定，還受環(huán)境、飲食等條件的影響提示：不一定只有滿足對于其中一個變量的每一個值，另一個變量都有唯一

3、確定的值時，才稱它們之間有函數(shù)關(guān)系 問題思考問題思考 1. 下列各組中兩個變量之間是否存在依賴關(guān)系？其中哪下列各組中兩個變量之間是否存在依賴關(guān)系？其中哪些是函數(shù)關(guān)系？些是函數(shù)關(guān)系？ 球的體積和它的半徑；球的體積和它的半徑； 速度不變的情況下，汽車行駛的路程與行駛時間；速度不變的情況下，汽車行駛的路程與行駛時間； 家庭收入愈多，其消費支出也有增長的趨勢；家庭收入愈多，其消費支出也有增長的趨勢； 正三角形的面積和它的邊長正三角形的面積和它的邊長判斷兩個變量有無依賴關(guān)系，主要看其中一個變量變化判斷兩個變量有無依賴關(guān)系，主要看其中一個變量變化時，是否會導(dǎo)致另一個變量隨之變化而判斷兩個具有依賴時，是否會

4、導(dǎo)致另一個變量隨之變化而判斷兩個具有依賴關(guān)系的變量是否具有函數(shù)關(guān)系，關(guān)鍵是看兩個變量之間的關(guān)關(guān)系的變量是否具有函數(shù)關(guān)系，關(guān)鍵是看兩個變量之間的關(guān)系是否具有確定性，即考察對于一個變量的每一個值，另一系是否具有確定性，即考察對于一個變量的每一個值，另一變量是否都有唯一確定的值與之對應(yīng)變量是否都有唯一確定的值與之對應(yīng) 1下列過程中，各變量之間是否存在依賴關(guān)系？若存下列過程中，各變量之間是否存在依賴關(guān)系？若存在依賴關(guān)系，則其中哪些是函數(shù)關(guān)系？在依賴關(guān)系，則其中哪些是函數(shù)關(guān)系？ (1)將保溫瓶中的熱水倒入茶杯中緩慢冷卻，并將一溫度將保溫瓶中的熱水倒入茶杯中緩慢冷卻，并將一溫度計放入茶杯中，每隔一段時間，

5、觀察溫度計示數(shù)的變化，冷計放入茶杯中，每隔一段時間，觀察溫度計示數(shù)的變化，冷卻時間與溫度計示數(shù)的關(guān)系；卻時間與溫度計示數(shù)的關(guān)系； (2)家庭的食品支出與電視價格之間的關(guān)系；家庭的食品支出與電視價格之間的關(guān)系； (3)在高速公路上行駛的汽車所走的路程與時間的關(guān)系在高速公路上行駛的汽車所走的路程與時間的關(guān)系解：解：(1)冷卻時間與溫度計示數(shù)具有依賴關(guān)系，根據(jù)函數(shù)定冷卻時間與溫度計示數(shù)具有依賴關(guān)系，根據(jù)函數(shù)定義知，二者之間是函數(shù)關(guān)系；義知，二者之間是函數(shù)關(guān)系；(2)家庭的食品支出與電視價格之間沒有依賴關(guān)系；家庭的食品支出與電視價格之間沒有依賴關(guān)系；(3)在高速公路上行駛的汽車所走的路程與時間這兩個變

6、量在高速公路上行駛的汽車所走的路程與時間這兩個變量存在依賴關(guān)系，且具有確定性，是函數(shù)關(guān)系存在依賴關(guān)系，且具有確定性，是函數(shù)關(guān)系綜上可知，綜上可知，(1)(3)中的變量間具有依賴關(guān)系，且是函數(shù)關(guān)中的變量間具有依賴關(guān)系，且是函數(shù)關(guān)系；系；(2)中兩個變量不存在依賴關(guān)系中兩個變量不存在依賴關(guān)系 2. 如圖所示為某市一天如圖所示為某市一天24小時內(nèi)的氣溫變化圖小時內(nèi)的氣溫變化圖 (1)上午上午8時的氣溫是多少？全天的最高、最低氣溫分別時的氣溫是多少？全天的最高、最低氣溫分別是多少？是多少？ (2)大約在什么時刻，氣溫為大約在什么時刻，氣溫為0 ？ (3)大約在什么時刻內(nèi)，氣溫在大約在什么時刻內(nèi)，氣溫在

7、0 以上？兩個變量有什以上？兩個變量有什么特點，它們具有怎樣的對應(yīng)關(guān)系？么特點，它們具有怎樣的對應(yīng)關(guān)系？ 嘗試解答嘗試解答(1)上午上午8時氣溫是時氣溫是0 ，全天最高氣溫大約，全天最高氣溫大約是是9 ，在，在14時達到，全天最低氣溫大約是時達到，全天最低氣溫大約是2 ，在，在4時達時達到到 (2)大約在大約在8時和時和22時，氣溫為時，氣溫為0 . (3)在在8時到時到22時之間，氣溫在時之間，氣溫在0 以上，變量以上，變量0t24，變，變量量29，由于圖像是連續(xù)的，可知它們之間具有隨著時，由于圖像是連續(xù)的，可知它們之間具有隨著時間的增加，氣溫先降再升再降的變化趨勢，所以間的增加，氣溫先降再

8、升再降的變化趨勢，所以與與t具有依具有依賴關(guān)系，也具有函數(shù)關(guān)系賴關(guān)系，也具有函數(shù)關(guān)系 對于這類問題，求解的關(guān)鍵是充分利用圖像所反映的關(guān)對于這類問題，求解的關(guān)鍵是充分利用圖像所反映的關(guān)系使其與生活中兩個變量之間的變化情況相吻合，以達到用系使其與生活中兩個變量之間的變化情況相吻合，以達到用圖的目的圖的目的 2一天，亮亮發(fā)燒了，早晨他燒得很厲害，吃過藥后一天，亮亮發(fā)燒了，早晨他燒得很厲害，吃過藥后感覺好多了，中午時的體溫基本正常，但是下午他的體溫又感覺好多了，中午時的體溫基本正常，但是下午他的體溫又開始上升，晚上體溫漸漸下降直到半夜亮亮才感覺身上不那開始上升，晚上體溫漸漸下降直到半夜亮亮才感覺身上不

9、那么發(fā)燙了下列各圖中能基本上反映出亮亮這一天么發(fā)燙了下列各圖中能基本上反映出亮亮這一天(0時時24時時)體溫的變化情況的是體溫的變化情況的是()解析：選 C從亮亮的體溫變化，可以看出圖像應(yīng)為：早晨 37 以上 降上午37 (中午)升下午37 以上降晚上37 (半夜)，結(jié)合圖像知，只有 C 項符合 3. 口香糖的生產(chǎn)已有很長的歷史，咀嚼口香糖有很多益處，口香糖的生產(chǎn)已有很長的歷史，咀嚼口香糖有很多益處，但其殘留物也會帶來污染，為了研究口香糖的黏附力與溫度的關(guān)但其殘留物也會帶來污染，為了研究口香糖的黏附力與溫度的關(guān)系，一位同學(xué)通過實驗，測定了不同溫度下除去糖分的口香糖與系，一位同學(xué)通過實驗，測定了

10、不同溫度下除去糖分的口香糖與瓷磚地面的黏附力，得到了如下表所示的一組數(shù)據(jù)瓷磚地面的黏附力，得到了如下表所示的一組數(shù)據(jù)： 次序項目12345678溫度()1525303537404550黏附力(N) 2.0 3.1 3.3 3.6 4.6 4.0 2.5 1.4嘗試解答嘗試解答(1)(2)實驗結(jié)論：隨著溫度的實驗結(jié)論：隨著溫度的升高，口香糖的黏附力先增大后升高，口香糖的黏附力先增大后減小；當(dāng)溫度在減?。划?dāng)溫度在37 時，口香時，口香糖的黏附力最大糖的黏附力最大 (1)請根據(jù)上述數(shù)據(jù)，繪制出口香糖黏附力請根據(jù)上述數(shù)據(jù)，繪制出口香糖黏附力F隨溫度隨溫度t變化的變化的圖像；圖像； (2)根據(jù)上述數(shù)據(jù)以

11、及得到的圖像，你能得到怎樣的實驗結(jié)根據(jù)上述數(shù)據(jù)以及得到的圖像，你能得到怎樣的實驗結(jié)論呢？論呢？ 對于這類通過表格來反映兩個變量之間關(guān)系的問題，求解對于這類通過表格來反映兩個變量之間關(guān)系的問題，求解時需根據(jù)表中兩個變量對應(yīng)數(shù)據(jù)，分析其變化情況，即可做出時需根據(jù)表中兩個變量對應(yīng)數(shù)據(jù)，分析其變化情況，即可做出判斷判斷 3從市場中了解到，飾用從市場中了解到，飾用K金的含金量如下表：金的含金量如下表： 飾用飾用K金的金的K數(shù)與含金量之間是數(shù)與含金量之間是 _關(guān)系，關(guān)系，K數(shù)越大含金量數(shù)越大含金量_K數(shù)數(shù)含金量含金量%）24K9922K91.721K87.518K7514K58.512K5010K41.6

12、69K37.58K33.346K25解析：通過表格可以得出解析：通過表格可以得出K金的金的K數(shù)數(shù)與含金量之間是函數(shù)關(guān)系，且與含金量之間是函數(shù)關(guān)系，且K數(shù)越大含數(shù)越大含金量越高金量越高答案：函數(shù)越高答案：函數(shù)越高 4一高為一高為H、滿缸水量為、滿缸水量為V的魚缸截面如圖所示，其底部破的魚缸截面如圖所示，其底部破了一個小洞，滿缸水從洞中流出若魚缸水深為了一個小洞，滿缸水從洞中流出若魚缸水深為h時的水的體積時的水的體積為為v，則函數(shù)，則函數(shù)vf(h)的大致圖象可能是圖中的的大致圖象可能是圖中的() 巧思巧思通過魚缸的形狀反映的通過魚缸的形狀反映的V隨隨h增大的速度變化判斷增大的速度變化判斷 妙解妙解

13、通過魚缸的形狀反映的兩個變量通過魚缸的形狀反映的兩個變量h h與與V V的變化的變化情況知，水的體積隨著情況知，水的體積隨著h h的減小，先減少得慢，后減少得的減小，先減少得慢，后減少得快，又減少得慢快，又減少得慢 答案答案B1下列說法不正確的是下列說法不正確的是()A圓的周長與其直徑的比值是常量圓的周長與其直徑的比值是常量B任意四邊形的內(nèi)角和的度數(shù)是常量任意四邊形的內(nèi)角和的度數(shù)是常量C發(fā)射升空的火箭高度與發(fā)射的時間之間是函數(shù)關(guān)系發(fā)射升空的火箭高度與發(fā)射的時間之間是函數(shù)關(guān)系D某商品的廣告費用與銷售量之間是函數(shù)關(guān)系某商品的廣告費用與銷售量之間是函數(shù)關(guān)系 解析：選解析：選DA、B、C中說法均正確，

14、而中說法均正確，而D中，廣告費用中，廣告費用與銷售量之間關(guān)系不確定，故不是函數(shù)關(guān)系與銷售量之間關(guān)系不確定，故不是函數(shù)關(guān)系2下列各量間不存在依賴關(guān)系的是下列各量間不存在依賴關(guān)系的是()A扇形的圓心角與它的面積扇形的圓心角與它的面積B某人的體重與其飲食情況某人的體重與其飲食情況C水稻的畝產(chǎn)量與施肥量水稻的畝產(chǎn)量與施肥量D某人的衣著與視力某人的衣著與視力答案：答案：D3一人騎著車一路勻速行駛，只是在途中遇到一次交通一人騎著車一路勻速行駛，只是在途中遇到一次交通堵塞，耽擱了一些時間；圖中與這件事正好吻合的圖像是堵塞，耽擱了一些時間；圖中與這件事正好吻合的圖像是(其其中中x軸表示時間，軸表示時間，y軸表

15、示路程軸表示路程)()解析：選解析：選A開始一段時間路程逐漸增大，增大的速度開始一段時間路程逐漸增大，增大的速度相同，圖像是一直線段，耽擱的時間段路程不變，圖像與相同，圖像是一直線段，耽擱的時間段路程不變，圖像與x軸軸平行，然后行駛路程在原來的基礎(chǔ)上又增大，由圖像知選平行，然后行駛路程在原來的基礎(chǔ)上又增大，由圖像知選A.4給出下列關(guān)系：給出下列關(guān)系：人的年齡與他人的年齡與他(她她)擁有的財富之間的關(guān)系；擁有的財富之間的關(guān)系；拋物線上的點與該點坐標(biāo)之間的關(guān)系；拋物線上的點與該點坐標(biāo)之間的關(guān)系；橘子的產(chǎn)量與氣候之間的關(guān)系；橘子的產(chǎn)量與氣候之間的關(guān)系；某同學(xué)在某同學(xué)在6次考試中的數(shù)學(xué)成績與他的考試號

16、之間的關(guān)系次考試中的數(shù)學(xué)成績與他的考試號之間的關(guān)系其中不是函數(shù)關(guān)系的有其中不是函數(shù)關(guān)系的有_解析：由已知關(guān)系判斷得，中關(guān)系不確定故不是解析：由已知關(guān)系判斷得，中關(guān)系不確定故不是函數(shù)關(guān)系，只有是函數(shù)關(guān)系函數(shù)關(guān)系，只有是函數(shù)關(guān)系答案：答案：5下列關(guān)系不是函數(shù)關(guān)系的是下列關(guān)系不是函數(shù)關(guān)系的是_(填序號填序號)乘坐出租車時，所付車費與乘車距離的關(guān)系；乘坐出租車時，所付車費與乘車距離的關(guān)系；某同學(xué)學(xué)習(xí)時間與其學(xué)習(xí)成績的關(guān)系；某同學(xué)學(xué)習(xí)時間與其學(xué)習(xí)成績的關(guān)系；人的睡眠質(zhì)量與身體狀況的關(guān)系人的睡眠質(zhì)量與身體狀況的關(guān)系解析：對于，所付車費與乘車距離是一種確定性關(guān)系，解析：對于，所付車費與乘車距離是一種確定性關(guān)

17、系，是函數(shù)關(guān)系；而對于，中的兩個變量是非確定性關(guān)系，是函數(shù)關(guān)系；而對于，中的兩個變量是非確定性關(guān)系，不是函數(shù)關(guān)系不是函數(shù)關(guān)系答案：答案： 6通過研究一組學(xué)生的學(xué)習(xí)行為，心理學(xué)家發(fā)現(xiàn)在課通過研究一組學(xué)生的學(xué)習(xí)行為，心理學(xué)家發(fā)現(xiàn)在課堂上學(xué)生接受一個概念的堂上學(xué)生接受一個概念的能力與教師在引入概念之能力與教師在引入概念之前提出和描述問題的時間前提出和描述問題的時間有關(guān)剛開始階段學(xué)生接有關(guān)剛開始階段學(xué)生接受能力漸增，但隨著時間延長，由于學(xué)生的注意力開始分受能力漸增，但隨著時間延長，由于學(xué)生的注意力開始分散，因此接受能力開始下降分析結(jié)果表明學(xué)生接受概念散，因此接受能力開始下降分析結(jié)果表明學(xué)生接受概念能力能力g(x)與提出和描述問題所用時間與提出和描述問題所用時間x的圖像如圖：的圖像如圖： 問：自提出問題和描述問題開始多長時間時，學(xué)生接問：自提出問題和描述問題開始多長時間時，學(xué)生接受概念的能力最強？受概念的能力最強？解：由圖像可知，當(dāng)解：由圖像可知，當(dāng)x13時，曲線達到最高點，即學(xué)時，曲線達到最高點，即學(xué)生的接受能力最強生的接受能力最強