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1、第1章 隨機(jī)事件及其概率1排列組合 2關(guān)系運(yùn)算A(BC)=(AB)C A(BC)=(AB)C (AB)C=(AC)(BC) (AB)C=(AC)(BC) ，3幾何概型v （1）S是直線上的某個線段,長度為l(S),A是S的一個子集，則落在A中的概率為：P(A)=l(A)/l(S)。v （2）S是平面上的某個區(qū)域,面積為u(S), 則落在A中的概率為：P(A)=u(A)/u(S)。v （3）S是空間上的某個立體,體積為v(S), 則落在A中的概率為：P(A)=v(A)/v(S)。 甲乙兩人相約在7點(diǎn)到8點(diǎn)之間在某地會面，先到者等候另一人20分鐘，過時就離開。如果每個人可在指定的任一小時內(nèi)任意時刻
2、到達(dá)，試計(jì)算二人能夠會面的概率。根據(jù)題意，這是一個幾何概型問題，于是解：4加法公式P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB) 當(dāng)P(AB)0時，P(A+B)=P(A)+P(B)5減法公式P(A-B)=P(A)-P(AB) 當(dāng)BA時，P(A-B)=P(A)-P(B) 當(dāng)A=時，P()=1- P(B)6條件概率事件B在事件A發(fā)生條件下發(fā)生的條件概率為 。7乘法公式 P(ABC)P(A)P(B|A)P(C|AB) P(AB)08獨(dú)立性兩個事件的獨(dú)立性設(shè)事件、滿足，則稱事件、是相互獨(dú)立的。若事件、相互獨(dú)立，且，則有若事件、相互獨(dú)立，則可得到與、與、與也都相互獨(dú)立。必然事件和不可能事件與任何事件都相互
3、獨(dú)立. 與任何事件都互斥。多個事件的獨(dú)立性設(shè)ABC是三個事件，如果滿足兩兩獨(dú)立的條件，P(AB)=P(A)P(B)；P(BC)=P(B)P(C)；P(CA)=P(C)P(A)并且同時滿足P(ABC)=P(A)P(B)P(C)那么A、B、C相互獨(dú)立。 對于n個事件類似。9伯努利概型概率P(A)=p , 發(fā)P()=1-p=q，用表示重伯努利試驗(yàn)中出現(xiàn)次的概率，。 第二章 隨機(jī)變量及其分布1離散型隨機(jī)變量 P(X=xk)=pk，k=1,2,， （1）， （2）2連續(xù)型隨機(jī)變量概率密度 (1) ;(2) 。3分布函數(shù) 1 ； 2、單調(diào)不減性：若x1x2, 則F(x1)F(x2)； 3 ， ； 4 右連
4、續(xù)性： 對于離散型隨機(jī)變量，； 對于連續(xù)型隨機(jī)變量， 二項(xiàng)分布， 當(dāng)時，就是（0-1）分布：P(X=1)=p, P(X=0)=q泊松分布或者P()：，泊松分布為二項(xiàng)分布的極限分布（np=，n）。超幾何分布隨機(jī)變量X服從參數(shù)為n,N,M的超幾何分布，記為H(n,N,M)。幾何分布，其中p0，q=1-p。(k次試驗(yàn)，前k-1次失敗，第k次成功)隨機(jī)變量X服從參數(shù)為p的幾何分布，記為G(p)。均勻分布 axb axbXU(a，b)： 其他，0， xb。當(dāng)ax1x2b時，X落在區(qū)間（）內(nèi)的概率為。指數(shù)分布 , 0, , , x2)二維隨機(jī)變量的數(shù)字特征期望 函數(shù)的期望方差協(xié)方差cov(X,Y)=E(X
5、Y)-E(X)E(Y).， D（X）= cov(X,Y)= ; D（Y）=。Cov (X, Y)=cov (Y, X) cov(aX,bY)=ab cov(X,Y) cov(X1+X2, Y)=cov(X1,Y)+cov(X2,Y)X與Y的相關(guān)系數(shù)(標(biāo)準(zhǔn)協(xié)方差):=X的標(biāo)準(zhǔn)化變量:即“隨機(jī)變量與期望之差除以均方差”若記則E(X*)=0， D(X*)=1|1，當(dāng)|=1時，稱X與Y完全相關(guān)：1. 若隨機(jī)變量X與Y相互獨(dú)立，則；反之不真。2. 若（X，Y）N（），則X與Y相互獨(dú)立的充要條件是X和Y不相關(guān)。完全相關(guān)而當(dāng)時，稱X與Y不相關(guān)。以下五個命題是等價的： cov(X,Y)=0 E(XY)=E(X
6、)E(Y)D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2Cov(X,Y) D(X-Y)=D(X)+D(Y)-2Cov(X,Y).矩1、A =E(X )為X的k階原點(diǎn)矩（k階矩）(k=1,2,)，數(shù)學(xué)期望E(X)即為X的一階原點(diǎn)矩；2、B =EX-E(X) 為X的k階中心矩(k=1,2,)，方差D(X)即為X的二階中心矩。3、=E(X Y )為X、Y的k+l階混合原點(diǎn)矩(k,l=1,2)。4、為隨機(jī)變量的k+l階混合中心矩(k,l=1,2,)。協(xié)方差矩陣CC=(C ) =第五章 大數(shù)定律和中心極限定理大數(shù)定律切比雪夫若X1，X2，具有相同的數(shù)學(xué)期望E（XI）=，則伯努利當(dāng)試驗(yàn)次數(shù)n很大時，事件A發(fā)生的頻率
7、與概率有較大判別的可能性很小辛欽中心極限定理 列維林德伯格/獨(dú)立同分布的中心極限棣莫弗拉普拉斯隨機(jī)變量X1，X2，相互獨(dú)立，服從同一分布，且具有相同的數(shù)學(xué)期望和方差：二項(xiàng)定理若當(dāng)，則 超幾何分布的極限分布為二項(xiàng)分布。泊松定理若當(dāng)，則 其中k=0，1，2，n，。第六章 樣本及抽樣分布數(shù)理統(tǒng)計(jì)的基本概念所研究的對象的全體稱為總體,總體的每一個基本單位稱為個體.設(shè)總體X的分布為F(x)，則樣本(X1,X2,Xn)的聯(lián)合分布為從總體X中抽出若干個個體稱為樣本，一般記為(X1,X2,Xn)。n稱為樣本容量。當(dāng)總體X是離散型時，其分布律為樣本的聯(lián)合分布律為當(dāng)總體X是連續(xù)型時， Xf(x)，則樣本的聯(lián)合密度
8、為（）為樣本函數(shù)，其中為一個連續(xù)函數(shù)。若中不包含未知參數(shù)，則（）為一個統(tǒng)計(jì)量。常見統(tǒng)計(jì)量及其性質(zhì)樣本均值 樣本方差 樣本標(biāo)準(zhǔn)差樣本k階原點(diǎn)矩 樣本k階中心矩 ，,其中為二階中心矩。正態(tài)分布設(shè)為來自正態(tài)總體的一個樣本，則樣本函數(shù)t分布 定義 若XN(0, 1)，Yc2(n)，X與Y獨(dú)立，則t(n)稱為自由度為n的t分布。p3、(1) t分布表構(gòu)成(P296)： Pt(n)=p(2) Pt(n) tp(n)=p，tp(n)為水平p的上側(cè)分位數(shù)(1) f(t)關(guān)于t=0(縱軸)對稱；(2) f(t)的極限為N(0,1)的密度函數(shù)，即 =。樣本函數(shù) 其中t(n-1)表示自由度為n-1的t分布。設(shè)n個相
9、互獨(dú)立的 X1,X2,Xn，XiN(0,1)，則 稱為自由度為n的c2分布。（1）求解：(2) c2分布的可加性X1,X2 相互獨(dú)立，則X1+X2 c2(n1+n2)p(1)構(gòu)成 Pc2(n)=p，已知n,p可查表(P298)求得;水平為的上側(cè)分位數(shù)分位點(diǎn)(2)。樣本函數(shù)其中表示自由度為n-1的分布。F分布 若Xc2(n1)，Yc2(n2) ，X,Y獨(dú)立，則 稱為第一自由度為n1 ，第二自由度為n2的F分布，其概率密度為F分布表(P294)及有關(guān)計(jì)算(1)構(gòu)成：PF(n1,n2)=p(2)有關(guān)計(jì)算PF(n1,n2)=p =Fp(n1,n2)性質(zhì)：樣本函數(shù) 其中表示第一自由度為，第二自由度為的F
10、分布。正態(tài)總體的抽樣分布定理4、(雙正態(tài)總體的抽樣分布)設(shè)(X1,X2,Xn1)是N(1,12)的樣本，(Y1,Y2,Yn2)是N(2,22)的樣本，且相互獨(dú)立，S12，S22是樣本方差，則(1)(2) 稱為混合樣本方差。1.若 則2.設(shè)(X1,X2,Xn)是正態(tài)總體N(,2)的樣本，則(1)與S2獨(dú)立(2)(3) 3.設(shè)(X1,X2,Xn)是正態(tài)總體N(,2)的樣本，則第七章 參數(shù)估計(jì)（1）點(diǎn)估計(jì)(用某個函數(shù)值作為總體未知函數(shù)的估計(jì)值)矩估計(jì)極大似然估計(jì)樣本的k階原點(diǎn)矩為 這樣，我們按照“當(dāng)參數(shù)等于其估計(jì)量時，總體矩等于相應(yīng)的樣本矩”的原則建立方程，即有樣本的似然函數(shù),簡記為Ln. 為樣本的
11、似然函數(shù)。最大似然估計(jì)量。 估計(jì)量的評選標(biāo)準(zhǔn)無偏性若E （）=，則稱 為的無偏估計(jì)量。 E（）=E（X）， E（S2）=D（X）有效性若，則稱有效。一致性設(shè)是的一串估計(jì)量，如果對于任意的正數(shù)，都有 則稱為的一致估計(jì)量（或相合估計(jì)量）。若為的無偏估計(jì)，且則為的一致估計(jì)。只要總體的E(X)和D(X)存在，一切樣本矩和樣本矩的連續(xù)函數(shù)都是相應(yīng)總體的一致估計(jì)量。區(qū)間估計(jì)(對未知參數(shù)給出一個范圍，并給出在一定的可靠度下使這個范圍包含未知參數(shù)的真值)置信區(qū)間和置信度設(shè)總體X含有一個待估的未知參數(shù)。如果我們從樣本出發(fā)，找出兩個統(tǒng)計(jì)量與，使得區(qū)間以的概率包含這個待估參數(shù)，即那么稱區(qū)間為的置信區(qū)間，為該區(qū)間的置
12、信度（或置信水平）。單正態(tài)總體的期望和方差的區(qū)間估計(jì)設(shè)為總體的一個樣本，在置信度為下，我們來確定的置信區(qū)間。具體步驟如下：（i）選擇樣本函數(shù)；（ii）由置信度，查表找分位數(shù)；（iii）導(dǎo)出置信區(qū)間。已知方差，估計(jì)均值（i）選擇樣本函數(shù)(ii) 查表找分位數(shù)（iii）導(dǎo)出置信區(qū)間未知方差，估計(jì)均值（i）選擇樣本函數(shù)(ii)查表找分位數(shù)（iii）導(dǎo)出置信區(qū)間方差的區(qū)間估計(jì)（i）選擇樣本函數(shù)（ii）查表找分位數(shù)（iii）導(dǎo)出的置信區(qū)間第八章 假設(shè)檢驗(yàn)基本步驟1）提出零假設(shè)H0（2）選擇統(tǒng)計(jì)量K（3）對于檢驗(yàn)水平查表找分位數(shù)（4）由樣本值計(jì)算統(tǒng)計(jì)量之值K；將進(jìn)行比較，作出判斷：當(dāng)時否定H0，否則認(rèn)為H0相容。第一類錯誤(棄真錯誤)當(dāng)H0為真時，作出拒絕H0的判斷, 記=P拒絕H0| H0真；第二類錯誤(取偽錯誤)當(dāng)H0不真時，作出接受H0的判斷, =P接受H0| H0假單正態(tài)總體均值和方差的假設(shè)檢驗(yàn)條件零假設(shè)統(tǒng)計(jì)量對應(yīng)樣本函數(shù)分布否定域已知N（0，1）未知未知
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