概率論與數(shù)理統(tǒng)計 公式大全

第1章 隨機事件及其概率1排列組合 2關(guān)系運算A(BC)=(AB)C A(BC)=(AB)C (AB)C=(AC)(BC) (AB)C=(AC)(BC) ，3幾何概型v （1）S是直線上的某個線段,長度為l(S),A是S的一個子集，則落在A中的概率為：P(A)=l(A)/l(S)。v （2）S是平面上的某個區(qū)域,面積為u(S), 則落在A中的概率為：P(A)=u(A)/u(S)。v （3）S是空間上的某個立體,體積為v(S), 則落在A中的概率為：P(A)=v(A)/v(S)。 甲乙兩人相約在7點到8點之間在某地會面，先到者等候另一人20分鐘，過時就離開。如果每個人可在指定的任一小時內(nèi)任意時刻到達，試計算二人能夠會面的概率。根據(jù)題意，這是一個幾何概型問題，于是解：4加法公式P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB) 當P(AB)0時，P(A+B)=P(A)+P(B)5減法公式P(A-B)=P(A)-P(AB) 當BA時，P(A-B)=P(A)-P(B) 當A=時，P()=1- P(B)6條件概率事件B在事件A發(fā)生條件下發(fā)生的條件概率為 。7乘法公式 P(ABC)P(A)P(B|A)P(C|AB) P(AB)>08獨立性兩個事件的獨立性設事件、滿足，則稱事件、是相互獨立的。若事件、相互獨立，且，則有若事件、相互獨立，則可得到與、與、與也都相互獨立。必然事件和不可能事件Ø與任何事件都相互獨立. Ø與任何事件都互斥。多個事件的獨立性設ABC是三個事件，如果滿足兩兩獨立的條件，P(AB)=P(A)P(B)；P(BC)=P(B)P(C)；P(CA)=P(C)P(A)并且同時滿足P(ABC)=P(A)P(B)P(C)那么A、B、C相互獨立。 對于n個事件類似。9伯努利概型概率P(A)=p , 發(fā)P()=1-p=q，用表示重伯努利試驗中出現(xiàn)次的概率，。 第二章 隨機變量及其分布1離散型隨機變量 P(X=xk)=pk，k=1,2,， （1）， （2）2連續(xù)型隨機變量概率密度 (1) ;(2) 。3分布函數(shù) 1 ； 2、單調(diào)不減性：若x1<x2, 則F(x1)£F(x2)； 3 ， ； 4 右連續(xù)性： 對于離散型隨機變量，； 對于連續(xù)型隨機變量， 二項分布， 當時，就是（0-1）分布：P(X=1)=p, P(X=0)=q泊松分布或者P()：，泊松分布為二項分布的極限分布（np=，n）。超幾何分布隨機變量X服從參數(shù)為n,N,M的超幾何分布，記為H(n,N,M)。幾何分布，其中p0，q=1-p。(k次試驗，前k-1次失敗，第k次成功)隨機變量X服從參數(shù)為p的幾何分布，記為G(p)。均勻分布 axb axbXU(a，b)： 其他，0， x<a，  1， x>b。 當ax1<x2b時，X落在區(qū)間（）內(nèi)的概率為。指數(shù)分布 , 0, ,    ,    x<0。積分公式：正態(tài)分布 XN(m, s2); (s越大，曲線越平坦，s越小，曲線越陡峭)XN(0, 1): N(0, 1) X落在以m為中心，3s為半徑的區(qū)間(m-3s, m +3s)內(nèi)的概率相當大(0.9973),落在(m-3s, m +3s)以外的概率可以忽略不計函數(shù)分布離散型連續(xù)型FY (y) P(Y£y)P(g(X) £y) 第三章 二維隨機變量及其分布聯(lián)合分布離散型 YXy1y2Y3P(X=xi)（1）pij0（i,j=1,2,）；（2）x1p11p12p13x2p21p22p23X3P31P32P33P(Y=yj) 1連續(xù)型二維隨機變量的本質(zhì) 聯(lián)合分布函數(shù) 稱為二維隨機向量（X，Y）的分布函數(shù)，或稱為隨機變量X和Y的聯(lián)合分布函數(shù)。（1） （2）F（x,y）分別對x和y是 減的（3）F（x,y）分別對x和y是右連續(xù)的，即（4）（5）對于.離散型與連續(xù)型的關(guān)系 邊緣分布離散型； 。連續(xù)型 條件分布離散型 連續(xù)型； 獨立性一般型F(X,Y)=FX(x)FY(y)離散型 有零不獨立連續(xù)型f(x,y)=fX(x)fY(y) 充要條件：可分離變量正概率密度區(qū)間為矩形二維正態(tài)分布0隨機變量的函數(shù)若X1,X2,Xm,Xm+1,Xn相互獨立， h,g為連續(xù)函數(shù)，則：h（X1，X2,Xm）和g（Xm+1,Xn）相互獨立。特例：若X與Y獨立，則：h（X）和g（Y）獨立。例如：若X與Y獨立，則：3X+1和5Y-2獨立。二維均勻分布其中SD為區(qū)域D的面積，稱（X，Y）服從D上的均勻分布，記為（X，Y）U（D）。若(X，Y)服從矩形區(qū)域ax b,c y d上的均勻分布，則(X，Y)的兩個邊緣分布仍為均勻分布，且分別為二維正態(tài)分布二維正態(tài)分布，（X，Y）N（可以推出 XN（ 但若XN（，(X，Y)未必是二維正態(tài)分布。函數(shù)分布Z=X+Y , 對于連續(xù)型，fZ(z)兩個獨立的正態(tài)分布的和仍為正態(tài)分布（）。卷積公式:M=max(X,Y)，N=min(X,Y)的分布（極值分布）設隨機變量X,Y相互獨立且分布函數(shù)分別為FX(x),FY(y)則M與N的分布函數(shù)分別為分布設n個隨機變量相互獨立，且服從標準正態(tài)分布，可以證明它們的平方和 的分布密度為 我們稱隨機變量W服從自由度為n的分布，記為W，其中 所謂自由度是指獨立正態(tài)隨機變量的個數(shù)，它是隨機變量分布中的一個重要參數(shù)。分布滿足可加性：設 則t分布設X，Y是兩個相互獨立的隨機變量，且可以證明函數(shù) 的概率密度為 我們稱隨機變量T服從自由度為n的t分布，記為Tt(n)。F分布設，且X與Y獨立，可以證明的概率密度函數(shù)為 我們稱隨機變量F服從第一個自由度為n1，第二個自由度為n2的F分布，記為Ff(n1, n2).第四章 隨機變量的數(shù)字特征一維隨機變量的數(shù)字特征離散型連續(xù)型期望(平均值) E(X+Y)=E(X)+E(Y)； E(XY)=E(X) E(Y)，充分條件：X和Y獨立；充要條件：X和Y不相關(guān)。函數(shù)的期望Y=g(X) Y=g(X) 方差，標準差，（1） D(C)=0； D(aX)=a2D(X)； D(aX+b)= a2D(X)； D(X)=E(X2)-E2(X)（2） D(X±Y)=D(X)+D(Y) ±2E(X-E(X)(Y-E(Y)D(X±Y)=D(X)+D(Y)，充分條件：X和Y獨立； 充要條件：X和Y不相關(guān)。 矩k階原點矩k=E(Xk)= k階中心矩=， k=1,2, .k階原點矩k=E(Xk)=k階中心矩= k=1,2, .切比雪夫不等式E（X）=， D（X）=2 :期望E（X）方差D（X）EX（X-1）/備注0-1分布p二項分布npn(n-1)p2泊松分布幾何分布超幾何分布均勻分布指數(shù)分布正態(tài)分布n2nt分布0(n>2)二維隨機變量的數(shù)字特征期望 函數(shù)的期望方差協(xié)方差cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y).， D（X）= cov(X,Y)= ; D（Y）=。Cov (X, Y)=cov (Y, X) cov(aX,bY)=ab cov(X,Y) cov(X1+X2, Y)=cov(X1,Y)+cov(X2,Y)X與Y的相關(guān)系數(shù)(標準協(xié)方差):=X的標準化變量:即“隨機變量與期望之差除以均方差”若記則E(X*)=0， D(X*)=1|1，當|=1時，稱X與Y完全相關(guān)：1. 若隨機變量X與Y相互獨立，則；反之不真。2. 若（X，Y）N（），則X與Y相互獨立的充要條件是X和Y不相關(guān)。完全相關(guān)而當時，稱X與Y不相關(guān)。以下五個命題是等價的： cov(X,Y)=0 E(XY)=E(X)E(Y)D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2Cov(X,Y) D(X-Y)=D(X)+D(Y)-2Cov(X,Y).矩1、A =E(X )為X的k階原點矩（k階矩）(k=1,2,)，數(shù)學期望E(X)即為X的一階原點矩；2、B =EX-E(X) 為X的k階中心矩(k=1,2,)，方差D(X)即為X的二階中心矩。3、=E(X Y )為X、Y的k+l階混合原點矩(k,l=1,2)。4、為隨機變量的k+l階混合中心矩(k,l=1,2,)。協(xié)方差矩陣CC=(C ) =第五章 大數(shù)定律和中心極限定理大數(shù)定律切比雪夫若X1，X2，具有相同的數(shù)學期望E（XI）=，則伯努利當試驗次數(shù)n很大時，事件A發(fā)生的頻率與概率有較大判別的可能性很小辛欽中心極限定理 列維林德伯格/獨立同分布的中心極限棣莫弗拉普拉斯隨機變量X1，X2，相互獨立，服從同一分布，且具有相同的數(shù)學期望和方差：二項定理若當，則 超幾何分布的極限分布為二項分布。泊松定理若當，則 其中k=0，1，2，n，。第六章 樣本及抽樣分布數(shù)理統(tǒng)計的基本概念所研究的對象的全體稱為總體,總體的每一個基本單位稱為個體.設總體X的分布為F(x)，則樣本(X1,X2,Xn)的聯(lián)合分布為從總體X中抽出若干個個體稱為樣本，一般記為(X1,X2,Xn)。n稱為樣本容量。當總體X是離散型時，其分布律為樣本的聯(lián)合分布律為當總體X是連續(xù)型時， Xf(x)，則樣本的聯(lián)合密度為（）為樣本函數(shù)，其中為一個連續(xù)函數(shù)。若中不包含未知參數(shù)，則（）為一個統(tǒng)計量。常見統(tǒng)計量及其性質(zhì)樣本均值 樣本方差 樣本標準差樣本k階原點矩 樣本k階中心矩 ，,其中為二階中心矩。正態(tài)分布設為來自正態(tài)總體的一個樣本，則樣本函數(shù)t分布 定義 若XN(0, 1)，Yc2(n)，X與Y獨立，則t(n)稱為自由度為n的t分布。p3、(1) t分布表構(gòu)成(P296)： Pt(n)>=p(2) Pt(n)> tp(n)=p，tp(n)為水平p的上側(cè)分位數(shù)(1) f(t)關(guān)于t=0(縱軸)對稱；(2) f(t)的極限為N(0,1)的密度函數(shù)，即 =。樣本函數(shù) 其中t(n-1)表示自由度為n-1的t分布。設n個相互獨立的 X1,X2,Xn，XiN(0,1)，則 稱為自由度為n的c2分布。（1）求解：(2) c2分布的可加性X1,X2 相互獨立，則X1+X2 c2(n1+n2)p(1)構(gòu)成 Pc2(n)>=p，已知n,p可查表(P298)求得;水平為的上側(cè)分位數(shù)分位點(2)。樣本函數(shù)其中表示自由度為n-1的分布。F分布 若Xc2(n1)，Yc2(n2) ，X,Y獨立，則 稱為第一自由度為n1 ，第二自由度為n2的F分布，其概率密度為F分布表(P294)及有關(guān)計算(1)構(gòu)成：PF(n1,n2)>=p(2)有關(guān)計算PF(n1,n2)>=p =Fp(n1,n2)性質(zhì)：樣本函數(shù) 其中表示第一自由度為，第二自由度為的F分布。正態(tài)總體的抽樣分布定理4、(雙正態(tài)總體的抽樣分布)設(X1,X2,Xn1)是N(1,12)的樣本，(Y1,Y2,Yn2)是N(2,22)的樣本，且相互獨立，S12，S22是樣本方差，則(1)(2) 稱為混合樣本方差。1.若 則2.設(X1,X2,Xn)是正態(tài)總體N(,2)的樣本，則(1)與S2獨立(2)(3) 3.設(X1,X2,Xn)是正態(tài)總體N(,2)的樣本，則第七章 參數(shù)估計（1）點估計(用某個函數(shù)值作為總體未知函數(shù)的估計值)矩估計極大似然估計樣本的k階原點矩為 這樣，我們按照“當參數(shù)等于其估計量時，總體矩等于相應的樣本矩”的原則建立方程，即有樣本的似然函數(shù),簡記為Ln. 為樣本的似然函數(shù)。最大似然估計量。 估計量的評選標準無偏性若E （）=，則稱 為的無偏估計量。 E（）=E（X）， E（S2）=D（X）有效性若，則稱有效。一致性設是的一串估計量，如果對于任意的正數(shù)，都有 則稱為的一致估計量（或相合估計量）。若為的無偏估計，且則為的一致估計。只要總體的E(X)和D(X)存在，一切樣本矩和樣本矩的連續(xù)函數(shù)都是相應總體的一致估計量。區(qū)間估計(對未知參數(shù)給出一個范圍，并給出在一定的可靠度下使這個范圍包含未知參數(shù)的真值)置信區(qū)間和置信度設總體X含有一個待估的未知參數(shù)。如果我們從樣本出發(fā)，找出兩個統(tǒng)計量與，使得區(qū)間以的概率包含這個待估參數(shù)，即那么稱區(qū)間為的置信區(qū)間，為該區(qū)間的置信度（或置信水平）。單正態(tài)總體的期望和方差的區(qū)間估計設為總體的一個樣本，在置信度為下，我們來確定的置信區(qū)間。具體步驟如下：（i）選擇樣本函數(shù)；（ii）由置信度，查表找分位數(shù)；（iii）導出置信區(qū)間。已知方差，估計均值（i）選擇樣本函數(shù)(ii) 查表找分位數(shù)（iii）導出置信區(qū)間未知方差，估計均值（i）選擇樣本函數(shù)(ii)查表找分位數(shù)（iii）導出置信區(qū)間方差的區(qū)間估計（i）選擇樣本函數(shù)（ii）查表找分位數(shù)（iii）導出的置信區(qū)間第八章 假設檢驗基本步驟1）提出零假設H0（2）選擇統(tǒng)計量K（3）對于檢驗水平查表找分位數(shù)（4）由樣本值計算統(tǒng)計量之值K；將進行比較，作出判斷：當時否定H0，否則認為H0相容。第一類錯誤(棄真錯誤)當H0為真時，作出拒絕H0的判斷, 記=P拒絕H0| H0真；第二類錯誤(取偽錯誤)當H0不真時，作出接受H0的判斷, =P接受H0| H0假單正態(tài)總體均值和方差的假設檢驗條件零假設統(tǒng)計量對應樣本函數(shù)分布否定域已知N（0，1）未知未知