2021-2022年二年級數(shù)學(xué) 奧數(shù)講座 七座橋問題

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1、2021-2022年二年級數(shù)學(xué) 奧數(shù)講座 七座橋問題二百五十年前，有一個問題曾出現(xiàn)在普通人的生活中，向人們的智力挑戰(zhàn)，使得很多人冥思苦想。在相當(dāng)長的一段時間里，很多人都想解決它，但他們都失敗了。今天，我們小學(xué)生也要大膽地研究研究它。這個問題叫做“七座橋問題”。當(dāng)時，德國有個城市叫哥尼斯堡。城中有條河，河中有個島，河上架有七座橋，這些橋把陸地和小島連接起來，這樣就給人們提供了一個游玩的好去處（見下圖）。俗話說，“人是萬物之靈”，他們就是在游玩時候想出了這樣一個問題：如果在陸地上可以隨便走，而對每座橋只許通過一次，那么一個人要連續(xù)地走完這七座橋怎么個走法？好動腦筋的小朋友請先不要接著往下讀，你也試

2、一試，走一走。你是怎樣試的呢？你不可能真到哥尼斯堡城去，像當(dāng)年的游人那樣親自步行過橋上島。因為你并沒有離開自己的教室，你坐在教室里，在你的面前沒有河流，沒有小島，也沒有橋，但在你面前卻有一張圖！可是，這又是一張什么樣的圖呢？圖上并沒河流、小島和小橋的原樣，只是用一些線條來代表它們，但卻明白無誤地顯示出了它們之間的位置關(guān)系和連接方式?？梢哉f，這是一張為了做數(shù)學(xué)而舍棄了許多無關(guān)的真實內(nèi)容而抽象出來的“數(shù)學(xué)圖”。這樣的抽象過程非常重要，這種抽象思維對于學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)來講非常重要。也許你是用鉛筆尖在圖上畫來畫去進行試驗的吧！好！你做得很好！為什么這樣說呢？因為當(dāng)你這樣做的時候，就發(fā)揮了自己的想像力：你在無意

3、中把自己想像成了一個小筆尖。你把小筆尖在七橋圖上畫來畫去，想像成了你自身的經(jīng)歷，有位教育家曾說“強烈而活躍的想像是偉大智慧不可缺少的屬性”。看來你并不缺少這種想像力！讓我們再好好地想一想，剛才你把小筆尖在七橋圖上畫來畫去，想像成你自己過橋的親身經(jīng)歷，這不就是把過橋問題和一筆畫問題聯(lián)系在一起了嗎？用一句數(shù)學(xué)上常用的話說，這就是把實際生活中的問題轉(zhuǎn)化成了數(shù)學(xué)問題，下面的圖把這種轉(zhuǎn)化過程詳細地畫了出來。在下頁左圖中把陸地想像成了幾大塊。這對過橋問題并不產(chǎn)生影響。在下頁右圖中進一步把陸地塊縮小，同時改用線段代表小橋，這也不改變過橋問題的實質(zhì)。在下面左圖中，進一步把陸地和島都用小圓圈代表，這已是“幾何圖

4、形”了，但還是顯得復(fù)雜。在下面右圖中，圓進一步縮成了點。這樣它變成了只由點和線構(gòu)成的最簡單的幾何圖形了。經(jīng)過上面這樣的一番簡化，七橋問題的確就變成了上右圖（即為第五講習(xí)題1中的圖（9）是不是能一筆畫成的問題了。很容易看出圖中共有4個奇點，由上一講得到的判定法則可知，它不能一筆畫成，因而人們根本不能一次連續(xù)不斷地走過七座橋。這樣七橋問題就得到了圓滿的解決。這種解法是大數(shù)學(xué)家歐拉找到的。這種簡化也就是一種抽象過程。所謂“抽象”就是在解決實際問題的過程中，舍棄與問題無關(guān)的方方面面。而只抓住那個能體現(xiàn)問題實質(zhì)的東西。就像在七橋問題中，陸地和島的大小、橋的寬窄和長短都是與問題無關(guān)的東西。最后，再把解決七

5、橋問題的要點總結(jié)一下：把陸地和島縮小畫成點，把橋畫成線，這樣就把原圖變成了簡單的幾何圖形了。如果這種由點和線組成的圖形是一筆畫，人就能一次通過所有的橋；如果這種圖形不能一筆畫成，人就不能一次通過所有的橋。由前述判定法則可知，有0個奇點或2個奇點的圖形是一筆畫，超過兩個奇點時，圖形就不能一筆畫出來。模仿這種思路，也能解決類似好多問題。附送：2021-2022年二年級數(shù)學(xué) 奧數(shù)講座 仔細審題解數(shù)學(xué)題很關(guān)鍵的一步是審題。如果把題目看錯了，或是把題意理解錯了，那樣解題肯定是得不出正確的答案來的。什么叫審題？扼要地講，審題就是要弄清楚：未知數(shù)是什么？已知數(shù)是什么？條件是什么？有一種類型的數(shù)學(xué)題叫“機智題

6、”。在這一講要通過解這種題體會如何審題。例1 樹上有5只小鳥，飛起了1只，還剩幾只？樹上有5只小鳥，“叭”地一聲，獵人用槍打下來1只，樹上還剩幾只？解：5-1=4（只），樹上還剩4只小鳥。對這一問，如果你還像上面那樣算就錯了。正確地算法應(yīng)該是：5-1-4=0（只）為什么呢？聽到“叭”地一聲響，其他4只會被嚇飛的，這叫“隱含的條件”，在題目中雖沒有明確地說出來，解題時卻要考慮到。例2 要把一個籃子里的5個蘋果分給5個孩子，使每人得到1個蘋果，但籃子里還要留下一個蘋果，你能分嗎？解：能。最后一個蘋果留在籃子里不拿出來，把它們一同送給一個孩子。這是因為“籃子里留下一個蘋果和每個孩子分得一個蘋果”這兩

7、個條件并不矛盾（見圖123）。例3 兩個父親和兩個兒子一起上山捕獵，每人都捉到了一只野兔。拿回去后數(shù)一數(shù)一共有兔3只。為什么？解：“兩個父親和兩個兒子”實際上只是3個人：爺爺、爸爸和孩子?！鞍职帧边@個人既是父親又是兒子。再數(shù)有幾個爸爸幾個兒子時，把他算了兩次。這是數(shù)數(shù)與計數(shù)時必須注意的（見圖124）。例4 一個小島上住著說謊的和說真話的兩種人。說謊人句句謊話，說真話的人句句是實話。假想某一天你去小島探險，碰到了島上的三個人A、B和C?；ハ嘟徽勚校羞@樣一段對話：A說：B和C兩人都說謊；B說：我沒有說謊；C說：B確實在說謊。小朋友，你能知道他們?nèi)齻€人中，有幾個人說謊，有幾個人說真話嗎？解：這是并

8、不難的一道邏輯推理問題。怎樣解答這個問題呢？有的人一定會列成下面形式的表格，想由此把所有的可能情況都判斷出來，認(rèn)為這樣就可以得到答案了。人 說謊 說真話A _ _B _ _C _ _但是，如果你也真的這樣做的話，你是無論如果得不出答案的，因為從這道題目所給出的條件中根本無法判斷出某一個人是說謊還是說真話。你這樣解題，說明你把解題的目標(biāo)（未知數(shù)）改變了。請你再看一下，題目問的是什么？題目并沒有問“誰說謊，誰說真話”？而是在問“幾個人說謊，幾個人說真話？”正確的答案是不難得到的：因為B和C兩人說的話正好相反，所以一定有一個人說謊，另一個人說真話；由此又可知道，他們兩人不可能都說謊，所以A必定說謊。

9、于是可知3個人有2個人說謊，有一個人說真話。例5 如圖125，三根火柴棍可以組成一個等邊三角形，再加三根火柴棍，請你組成同樣大小的四個等邊三角形。解：請你先不要繼續(xù)往下看，自己想一想能不能用六根火柴棍組成四個同樣大小的等邊三角形？通常，很多人在解這題時，往往自己給自己多加了一個限制條件：“在平面上組成等邊三角形”。但是，仔細看看，原題并沒有限制你在平面上解題。由于給自己多加了一個條件，他們的思想就會被限制在平面上解題，那就無論如何也解不出來。這也是把題意理解錯了的一種情況。但是，如圖126所示，只要把思維從平面擴大到立體空間，你就能輕而易舉找到問題的答案。例6 一筆畫出由四條線段連接而成的折線把九個點串起來，你能做到嗎？（見圖127）。解：先不要往下看，你先畫畫試試。你可能會畫出類似于下面的各種各樣的折線來，但你很快會發(fā)現(xiàn)，它們都不是符合題目要求的答案（見圖128）?？偨Y(jié)一下畫過的折線的特點，顯然這些線段都沒有超出這9個點所決定的正方形。再仔細看看已知條件，問題里并沒有這一條限制，畫線段的時候沒有不讓你超出這個正方形。明白了這點，就不難得到正確的答案了（見圖129）?；叵胍幌麻_始的想法也是屬于把題意理解錯了的情況，但是這種錯誤是很不容易被自己發(fā)現(xiàn)的。只有在解題的過程中，通過對自己的失敗的解法加以總結(jié)，再與題目中所給出的已知條件加以對照，才有可能發(fā)現(xiàn)自己“不自覺”的錯誤想法。