2021-2022年二年級(jí)數(shù)學(xué) 奧數(shù)講座 七座橋問(wèn)題

2021-2022年二年級(jí)數(shù)學(xué) 奧數(shù)講座 七座橋問(wèn)題二百五十年前，有一個(gè)問(wèn)題曾出現(xiàn)在普通人的生活中，向人們的智力挑戰(zhàn)，使得很多人冥思苦想。在相當(dāng)長(zhǎng)的一段時(shí)間里，很多人都想解決它，但他們都失敗了。今天，我們小學(xué)生也要大膽地研究研究它。這個(gè)問(wèn)題叫做“七座橋問(wèn)題”。當(dāng)時(shí)，德國(guó)有個(gè)城市叫哥尼斯堡。城中有條河，河中有個(gè)島，河上架有七座橋，這些橋把陸地和小島連接起來(lái)，這樣就給人們提供了一個(gè)游玩的好去處（見(jiàn)下圖）。俗話說(shuō)，“人是萬(wàn)物之靈”，他們就是在游玩時(shí)候想出了這樣一個(gè)問(wèn)題：如果在陸地上可以隨便走，而對(duì)每座橋只許通過(guò)一次，那么一個(gè)人要連續(xù)地走完這七座橋怎么個(gè)走法？好動(dòng)腦筋的小朋友請(qǐng)先不要接著往下讀，你也試一試，走一走。你是怎樣試的呢？你不可能真到哥尼斯堡城去，像當(dāng)年的游人那樣親自步行過(guò)橋上島。因?yàn)槟悴](méi)有離開(kāi)自己的教室，你坐在教室里，在你的面前沒(méi)有河流，沒(méi)有小島，也沒(méi)有橋，但在你面前卻有一張圖！可是，這又是一張什么樣的圖呢？圖上并沒(méi)河流、小島和小橋的原樣，只是用一些線條來(lái)代表它們，但卻明白無(wú)誤地顯示出了它們之間的位置關(guān)系和連接方式?？梢哉f(shuō)，這是一張為了做數(shù)學(xué)而舍棄了許多無(wú)關(guān)的真實(shí)內(nèi)容而抽象出來(lái)的“數(shù)學(xué)圖”。這樣的抽象過(guò)程非常重要，這種抽象思維對(duì)于學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)來(lái)講非常重要。也許你是用鉛筆尖在圖上畫(huà)來(lái)畫(huà)去進(jìn)行試驗(yàn)的吧！好！你做得很好！為什么這樣說(shuō)呢？因?yàn)楫?dāng)你這樣做的時(shí)候，就發(fā)揮了自己的想像力：你在無(wú)意中把自己想像成了一個(gè)小筆尖。你把小筆尖在七橋圖上畫(huà)來(lái)畫(huà)去，想像成了你自身的經(jīng)歷，有位教育家曾說(shuō)“強(qiáng)烈而活躍的想像是偉大智慧不可缺少的屬性”?？磥?lái)你并不缺少這種想像力！讓我們?cè)俸煤玫叵胍幌?，剛才你把小筆尖在七橋圖上畫(huà)來(lái)畫(huà)去，想像成你自己過(guò)橋的親身經(jīng)歷，這不就是把過(guò)橋問(wèn)題和一筆畫(huà)問(wèn)題聯(lián)系在一起了嗎？用一句數(shù)學(xué)上常用的話說(shuō)，這就是把實(shí)際生活中的問(wèn)題轉(zhuǎn)化成了數(shù)學(xué)問(wèn)題，下面的圖把這種轉(zhuǎn)化過(guò)程詳細(xì)地畫(huà)了出來(lái)。在下頁(yè)左圖中把陸地想像成了幾大塊。這對(duì)過(guò)橋問(wèn)題并不產(chǎn)生影響。在下頁(yè)右圖中進(jìn)一步把陸地塊縮小，同時(shí)改用線段代表小橋，這也不改變過(guò)橋問(wèn)題的實(shí)質(zhì)。在下面左圖中，進(jìn)一步把陸地和島都用小圓圈代表，這已是“幾何圖形”了，但還是顯得復(fù)雜。在下面右圖中，圓進(jìn)一步縮成了點(diǎn)。這樣它變成了只由點(diǎn)和線構(gòu)成的最簡(jiǎn)單的幾何圖形了。經(jīng)過(guò)上面這樣的一番簡(jiǎn)化，七橋問(wèn)題的確就變成了上右圖（即為第五講習(xí)題1中的圖（9）是不是能一筆畫(huà)成的問(wèn)題了。很容易看出圖中共有4個(gè)奇點(diǎn)，由上一講得到的判定法則可知，它不能一筆畫(huà)成，因而人們根本不能一次連續(xù)不斷地走過(guò)七座橋。這樣七橋問(wèn)題就得到了圓滿的解決。這種解法是大數(shù)學(xué)家歐拉找到的。這種簡(jiǎn)化也就是一種抽象過(guò)程。所謂“抽象”就是在解決實(shí)際問(wèn)題的過(guò)程中，舍棄與問(wèn)題無(wú)關(guān)的方方面面。而只抓住那個(gè)能體現(xiàn)問(wèn)題實(shí)質(zhì)的東西。就像在七橋問(wèn)題中，陸地和島的大小、橋的寬窄和長(zhǎng)短都是與問(wèn)題無(wú)關(guān)的東西。最后，再把解決七橋問(wèn)題的要點(diǎn)總結(jié)一下：把陸地和島縮小畫(huà)成點(diǎn)，把橋畫(huà)成線，這樣就把原圖變成了簡(jiǎn)單的幾何圖形了。如果這種由點(diǎn)和線組成的圖形是一筆畫(huà)，人就能一次通過(guò)所有的橋；如果這種圖形不能一筆畫(huà)成，人就不能一次通過(guò)所有的橋。由前述判定法則可知，有0個(gè)奇點(diǎn)或2個(gè)奇點(diǎn)的圖形是一筆畫(huà)，超過(guò)兩個(gè)奇點(diǎn)時(shí)，圖形就不能一筆畫(huà)出來(lái)。模仿這種思路，也能解決類似好多問(wèn)題。附送：2021-2022年二年級(jí)數(shù)學(xué) 奧數(shù)講座 仔細(xì)審題解數(shù)學(xué)題很關(guān)鍵的一步是審題。如果把題目看錯(cuò)了，或是把題意理解錯(cuò)了，那樣解題肯定是得不出正確的答案來(lái)的。什么叫審題？扼要地講，審題就是要弄清楚：未知數(shù)是什么？已知數(shù)是什么？條件是什么？有一種類型的數(shù)學(xué)題叫“機(jī)智題”。在這一講要通過(guò)解這種題體會(huì)如何審題。例1 樹(shù)上有5只小鳥(niǎo)，飛起了1只，還剩幾只？樹(shù)上有5只小鳥(niǎo)，“叭”地一聲，獵人用槍打下來(lái)1只，樹(shù)上還剩幾只？解：5-1=4（只），樹(shù)上還剩4只小鳥(niǎo)。對(duì)這一問(wèn)，如果你還像上面那樣算就錯(cuò)了。正確地算法應(yīng)該是：5-1-4=0（只）為什么呢？聽(tīng)到“叭”地一聲響，其他4只會(huì)被嚇飛的，這叫“隱含的條件”，在題目中雖沒(méi)有明確地說(shuō)出來(lái)，解題時(shí)卻要考慮到。例2 要把一個(gè)籃子里的5個(gè)蘋果分給5個(gè)孩子，使每人得到1個(gè)蘋果，但籃子里還要留下一個(gè)蘋果，你能分嗎？解：能。最后一個(gè)蘋果留在籃子里不拿出來(lái)，把它們一同送給一個(gè)孩子。這是因?yàn)椤盎@子里留下一個(gè)蘋果和每個(gè)孩子分得一個(gè)蘋果”這兩個(gè)條件并不矛盾（見(jiàn)圖123）。例3 兩個(gè)父親和兩個(gè)兒子一起上山捕獵，每人都捉到了一只野兔。拿回去后數(shù)一數(shù)一共有兔3只。為什么？解：“兩個(gè)父親和兩個(gè)兒子”實(shí)際上只是3個(gè)人：爺爺、爸爸和孩子?！鞍职帧边@個(gè)人既是父親又是兒子。再數(shù)有幾個(gè)爸爸幾個(gè)兒子時(shí)，把他算了兩次。這是數(shù)數(shù)與計(jì)數(shù)時(shí)必須注意的（見(jiàn)圖124）。例4 一個(gè)小島上住著說(shuō)謊的和說(shuō)真話的兩種人。說(shuō)謊人句句謊話，說(shuō)真話的人句句是實(shí)話。假想某一天你去小島探險(xiǎn)，碰到了島上的三個(gè)人A、B和C?；ハ嘟徽勚?，有這樣一段對(duì)話：A說(shuō)：B和C兩人都說(shuō)謊；B說(shuō)：我沒(méi)有說(shuō)謊；C說(shuō)：B確實(shí)在說(shuō)謊。小朋友，你能知道他們?nèi)齻€(gè)人中，有幾個(gè)人說(shuō)謊，有幾個(gè)人說(shuō)真話嗎？解：這是并不難的一道邏輯推理問(wèn)題。怎樣解答這個(gè)問(wèn)題呢？有的人一定會(huì)列成下面形式的表格，想由此把所有的可能情況都判斷出來(lái)，認(rèn)為這樣就可以得到答案了。人 說(shuō)謊 說(shuō)真話A _ _B _ _C _ _但是，如果你也真的這樣做的話，你是無(wú)論如果得不出答案的，因?yàn)閺倪@道題目所給出的條件中根本無(wú)法判斷出某一個(gè)人是說(shuō)謊還是說(shuō)真話。你這樣解題，說(shuō)明你把解題的目標(biāo)（未知數(shù)）改變了。請(qǐng)你再看一下，題目問(wèn)的是什么？題目并沒(méi)有問(wèn)“誰(shuí)說(shuō)謊，誰(shuí)說(shuō)真話”？而是在問(wèn)“幾個(gè)人說(shuō)謊，幾個(gè)人說(shuō)真話？”正確的答案是不難得到的：因?yàn)锽和C兩人說(shuō)的話正好相反，所以一定有一個(gè)人說(shuō)謊，另一個(gè)人說(shuō)真話；由此又可知道，他們兩人不可能都說(shuō)謊，所以A必定說(shuō)謊。于是可知3個(gè)人有2個(gè)人說(shuō)謊，有一個(gè)人說(shuō)真話。例5 如圖125，三根火柴棍可以組成一個(gè)等邊三角形，再加三根火柴棍，請(qǐng)你組成同樣大小的四個(gè)等邊三角形。解：請(qǐng)你先不要繼續(xù)往下看，自己想一想能不能用六根火柴棍組成四個(gè)同樣大小的等邊三角形？通常，很多人在解這題時(shí)，往往自己給自己多加了一個(gè)限制條件：“在平面上組成等邊三角形”。但是，仔細(xì)看看，原題并沒(méi)有限制你在平面上解題。由于給自己多加了一個(gè)條件，他們的思想就會(huì)被限制在平面上解題，那就無(wú)論如何也解不出來(lái)。這也是把題意理解錯(cuò)了的一種情況。但是，如圖126所示，只要把思維從平面擴(kuò)大到立體空間，你就能輕而易舉找到問(wèn)題的答案。例6 一筆畫(huà)出由四條線段連接而成的折線把九個(gè)點(diǎn)串起來(lái)，你能做到嗎？（見(jiàn)圖127）。解：先不要往下看，你先畫(huà)畫(huà)試試。你可能會(huì)畫(huà)出類似于下面的各種各樣的折線來(lái)，但你很快會(huì)發(fā)現(xiàn)，它們都不是符合題目要求的答案（見(jiàn)圖128）?？偨Y(jié)一下畫(huà)過(guò)的折線的特點(diǎn)，顯然這些線段都沒(méi)有超出這9個(gè)點(diǎn)所決定的正方形。再仔細(xì)看看已知條件，問(wèn)題里并沒(méi)有這一條限制，畫(huà)線段的時(shí)候沒(méi)有不讓你超出這個(gè)正方形。明白了這點(diǎn)，就不難得到正確的答案了（見(jiàn)圖129）?；叵胍幌麻_(kāi)始的想法也是屬于把題意理解錯(cuò)了的情況，但是這種錯(cuò)誤是很不容易被自己發(fā)現(xiàn)的。只有在解題的過(guò)程中，通過(guò)對(duì)自己的失敗的解法加以總結(jié)，再與題目中所給出的已知條件加以對(duì)照，才有可能發(fā)現(xiàn)自己“不自覺(jué)”的錯(cuò)誤想法。