高等數(shù)學(xué)教學(xué)教案§16極限存在準(zhǔn)則兩個(gè)重要極限

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1、六六老師數(shù)學(xué)網(wǎng)專用資料： http:/y66.80.hk qq：745924769 tel：153273761171.6極限存在準(zhǔn)則 兩個(gè)重要極限授課次序06教 學(xué) 基 本 指 標(biāo)教學(xué)課題1.6極限存在準(zhǔn)則 兩個(gè)重要極限教學(xué)方法當(dāng)堂講授，輔以多媒體教學(xué)教學(xué)重點(diǎn)兩個(gè)準(zhǔn)則，兩個(gè)重要極限教學(xué)難點(diǎn)四個(gè)定理的證明參考教材同濟(jì)大學(xué)編高等數(shù)學(xué)（第6版）自編教材高等數(shù)學(xué)習(xí)題課教程作業(yè)布置高等數(shù)學(xué)標(biāo)準(zhǔn)化作業(yè)雙語教學(xué)函數(shù)：function；極限：limit；極限值：limit value ；課堂教學(xué)目標(biāo)1 了解兩個(gè)極限存在的準(zhǔn)則2 掌握兩個(gè)重要極限，明確其成立的條件，并掌握其基本應(yīng)用教學(xué)過程1夾逼準(zhǔn)則（20min

2、），著重介紹兩個(gè)準(zhǔn)則的推導(dǎo)及其聯(lián)系；2應(yīng)用夾逼準(zhǔn)則證明極限（25min）采用多媒體教學(xué)的方式3重要極限的應(yīng)用（10min）4單調(diào)有界準(zhǔn)則（10min）5應(yīng)用單調(diào)有界準(zhǔn)則證明極限并掌握其簡(jiǎn)單應(yīng)用（25min）本 節(jié) 教 學(xué) 設(shè) 計(jì)極限的存在準(zhǔn)則1. 背景知識(shí)與引入方法（1）我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了數(shù)列極限和函數(shù)極限的定義及其基本性質(zhì)。但是，極限定義是驗(yàn)證性的，并沒有給我們提供求出極限的方法。也就是說，要使用極限定義進(jìn)行證明，首先要知道數(shù)列的極限值，然后才能進(jìn)行驗(yàn)證。所以，如果不能設(shè)法觀察出數(shù)列的極限值，我們就將無能為力。極限的四則運(yùn)算法則提供了計(jì)算極限的有理運(yùn)算方法，使我們能夠計(jì)算一些簡(jiǎn)單極限，但事先必須

3、能判斷出極限是否存在，否則運(yùn)算法則無法使用。因此，我們迫切希望知道一些能夠判斷極限是否存在的高效簡(jiǎn)便的方法。為此，本節(jié)介紹極限存在的三個(gè)準(zhǔn)則。（2）通過三個(gè)準(zhǔn)則，我們會(huì)獲得較為豐富的“副產(chǎn)品”，這就是兩個(gè)重要極限。極限運(yùn)算的實(shí)踐告訴我們，僅僅依靠四則運(yùn)算法則，只能解決有理運(yùn)算問題，我們會(huì)感到束手束腳，對(duì)復(fù)雜一些的題目無從下手。因此需要尋找到更有效的方法去計(jì)算其它類型的極限，比如建立起冪函數(shù)與三角函數(shù)、反三角函數(shù)、指數(shù)、對(duì)數(shù)之間的極限關(guān)系，以及五種初等函數(shù)相互之間的極限關(guān)系。兩個(gè)重要極限是導(dǎo)出這些重要基本關(guān)系的出發(fā)點(diǎn)，因此我們才說它們“重要”。（3）極限存在準(zhǔn)則是一個(gè)比較深入的問題。這個(gè)問題的核

4、心是“實(shí)數(shù)連續(xù)性、實(shí)數(shù)完備性”，但這已經(jīng)超出了本課程的范圍。因此，本節(jié)所涉及到的定理并沒有給出嚴(yán)格的數(shù)學(xué)證明。本節(jié)講解方法應(yīng)該從實(shí)際出發(fā)，利用生活常識(shí)、幾何直觀等對(duì)定理的引出背景及結(jié)論進(jìn)行解釋。2. 講解方法一、單調(diào)有界定理對(duì)于數(shù)列，如果數(shù)列的項(xiàng)越來越大，我們說數(shù)列是單調(diào)增加的，如果數(shù)列的項(xiàng)越來越小，我們說數(shù)列是單調(diào)減少的。比如我們看到的世界跳高紀(jì)錄，由于人們總是追求更高更快，世界紀(jì)錄會(huì)不斷被打破，所以，世界記錄總是逐漸增高的，它是一個(gè)單調(diào)上升的數(shù)列。同時(shí)我們也看到另一個(gè)事實(shí)：雖然紀(jì)錄不斷增高，但是常識(shí)告訴我們，它不能超過100米，甚至可以斷言它不會(huì)超過10米、5米、3米。這個(gè)單調(diào)增加的數(shù)列是

5、有上界的。這樣的數(shù)列還有很多，請(qǐng)注意觀察下面的數(shù)列：數(shù)列單調(diào)減少且有下界，零或小于零的任何常數(shù)都是其下界。下界里有個(gè)最大的嗎？有！數(shù)列單調(diào)增加且有上界，1或大于1的任何常數(shù)都是其上界上界里有個(gè)最小的嗎？也有！現(xiàn)在請(qǐng)用一下你的想象力：對(duì)于單調(diào)增加有上界的數(shù)列，它的圖像是數(shù)軸上的一個(gè)點(diǎn)列，點(diǎn)列中的點(diǎn)在數(shù)軸上會(huì)不停的向前走，但是不可能越過它的最小上界a由于數(shù)列有無窮多項(xiàng)，從某一項(xiàng)之后的所有無窮多項(xiàng)都會(huì)密集在a點(diǎn)附近。所以，數(shù)列以a為極限對(duì)單調(diào)減少且有下界的數(shù)列可作類比思考。由此得到一個(gè)事實(shí)：定理1（單調(diào)有界準(zhǔn)則）單調(diào)有界的數(shù)列必有極限說得更明確一點(diǎn)，單調(diào)增加有上界的數(shù)列必有極限；單調(diào)減少有下界的數(shù)列

6、必有極限。由于實(shí)數(shù)理論知識(shí)的欠缺，不對(duì)本定理進(jìn)行證明（將其證明置于擴(kuò)展知識(shí)部分，請(qǐng)參考）。定理1（單調(diào)有界準(zhǔn)則的函數(shù)版） 若為定義在上的單調(diào)有界函數(shù)，則右極限存在若為定義在上的單調(diào)有界函數(shù)，則左極限存在二、夾逼準(zhǔn)則定理（夾逼準(zhǔn)則） 設(shè)數(shù)列，是三個(gè)數(shù)列，且若 則從幾何直觀考慮定理的證明。由于數(shù)列，都收斂于a，因此除了有限項(xiàng)以外，兩個(gè)數(shù)列的其它各項(xiàng)都會(huì)進(jìn)入到a點(diǎn)的鄰域之中又 在、兩個(gè)數(shù)列的夾持下數(shù)列的相應(yīng)項(xiàng)也就無可選擇地進(jìn)入到a點(diǎn)的鄰域之中，所以數(shù)列以a為極限。將這種想法翻譯成語言，就完成了本定理的證明。在應(yīng)用這個(gè)定理進(jìn)行極限計(jì)算時(shí)，要注意通過適當(dāng)放大縮小不等式，尋找合適的、便于計(jì)算的控制數(shù)列，3

7、. 難點(diǎn)及解決方法在應(yīng)用夾逼定理作極限計(jì)算時(shí)，難點(diǎn)在于構(gòu)造夾逼數(shù)列。應(yīng)該引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識(shí)到：（1）夾逼法是處理極限難題的有效方法，當(dāng)計(jì)算出現(xiàn)障礙時(shí)，要能夠想得起這件工具；（2）構(gòu)造夾逼數(shù)列的思路是進(jìn)行適當(dāng)放大縮?。唬?）夾逼數(shù)列首先應(yīng)該滿足上控?cái)?shù)列與下控?cái)?shù)列的極限相同，（4）夾逼數(shù)列要便于計(jì)算。例2和例3從不同角度提供了構(gòu)造夾逼數(shù)列的思路和技巧。求遞推式的極限是另一個(gè)難點(diǎn)。由于這類題目的特色十分明顯，解題思路并不難，例1提供了一種典型的套路：即（1）分析單調(diào)性；（2）分析有界性；（3）根據(jù)單調(diào)有界準(zhǔn)則確認(rèn)極限存在，設(shè)為A；（4）對(duì)遞推式兩端取極限，化作方程解出極限A。另外，由于可以事先“猜”出極限

8、，運(yùn)用極限定義證明也是一條常用的思路。4. 與其他知識(shí)點(diǎn)的關(guān)聯(lián)（1）根據(jù)單調(diào)有界準(zhǔn)則，可以得到重要極限 根據(jù)夾逼準(zhǔn)則，可以得到重要極限 ，（2）柯西收斂準(zhǔn)則可以推廣到其它場(chǎng)合。如：平面點(diǎn)列收斂的Cauchy準(zhǔn)則，維歐式空間中的Cauchy準(zhǔn)則，級(jí)數(shù)收斂的Cauchy準(zhǔn)則。（3）柯西收斂準(zhǔn)則的實(shí)質(zhì)是抽象空間中的“完備性”概念。5. 擴(kuò)展知識(shí)1）單調(diào)有界準(zhǔn)則的證明：證明：教 學(xué) 基 本 內(nèi) 容1. 6極限存在準(zhǔn)則 兩個(gè)重要極限 準(zhǔn)則I 如果數(shù)列xn 、yn及zn滿足下列條件: (1)ynxnzn(n=1, 2, 3, ), (2), , 那么數(shù)列xn 的極限存在, 且. 證明: 因?yàn)? , 根據(jù)數(shù)

9、列極限的定義, e 0, $N 10, 當(dāng)nN 1時(shí), 有|y n-a|0, 當(dāng)nN 2時(shí), 有|z n-a|N 時(shí), 有 |y n-a|e , |z n-a|e 同時(shí)成立, 即 a-eyna+e , a-ez nN 時(shí), 有a-eynx nz na+e , 即 |x n-a|0, $N 0, 當(dāng)nN 時(shí), 有|y n-a|e 及|z n-a|e , 即有 a-eyna+e , a-ez na+e , 由條件(1), 有 a-ey nx nz na+e , 即 |x n-a|M時(shí)有定義, 準(zhǔn)則I 及準(zhǔn)則I 稱為夾逼準(zhǔn)則. 下面根據(jù)準(zhǔn)則I證明第一個(gè)重要極限: . 證明 首先注意到, 函數(shù)對(duì)于一切

10、x0都有定義. 參看附圖: 圖中的圓為單位圓, 因?yàn)?SDAOBS扇形AOBSDAOD , 所以sin xxtan x, 即sin xxtan x. 不等號(hào)各邊都除以sin x, 就有, 或. 注意此不等式當(dāng)-x0時(shí)也成立. 而, 根據(jù)準(zhǔn)則I, . 簡(jiǎn)要證明: 參看附圖, 設(shè)圓心角AOB=x (). 顯然 BC AB AD, 因此 sin x x tan x, 從而 (此不等式當(dāng)x0時(shí)也成立). 因?yàn)? 根據(jù)準(zhǔn)則I, . 應(yīng)注意的問題: 在極限中, 只要a(x)是無窮小, 就有.這是因?yàn)? 令u=a(x), 則u 0, 于是., (a(x)0). 例1. 求. 解: . 例2. 求. 解: =

11、. 準(zhǔn)則II 單調(diào)有界數(shù)列必有極限. 如果數(shù)列x n滿足條件x 1x 2x 3 x nx n+1 ,就稱數(shù)列x n是單調(diào)增加的; 如果數(shù)列x n滿足條件x 1x 2x 3 x nx n+1 ,就稱數(shù)列x n是單調(diào)減少的. 單調(diào)增加和單調(diào)減少數(shù)列統(tǒng)稱為單調(diào)數(shù)列. 如果數(shù)列x n滿足條件x nx n+1, nN+, 在第三節(jié)中曾證明: 收斂的數(shù)列一定有界. 但那時(shí)也曾指出: 有界的數(shù)列不一定收斂. 現(xiàn)在準(zhǔn)則II表明: 如果數(shù)列不僅有界, 并且是單調(diào)的, 那么這數(shù)列的極限必定存在, 也就是這數(shù)列一定收斂. 準(zhǔn)則II的幾何解釋: 單調(diào)增加數(shù)列的點(diǎn)只可能向右一個(gè)方向移動(dòng), 或者無限向右移動(dòng), 或者無限趨

12、近于某一定點(diǎn)A, 而對(duì)有界數(shù)列只可能后者情況發(fā)生. 根據(jù)準(zhǔn)則II, 可以證明極限存在. 設(shè), 現(xiàn)證明數(shù)列xn是單調(diào)有界的. 按牛頓二項(xiàng)公式, 有 , . 比較x n , x n+1的展開式, 可以看出除前兩項(xiàng)外, x n的每項(xiàng)都小于x n+1的對(duì)應(yīng)項(xiàng), 并且x n+1還多了最后一項(xiàng), 其值大于0, 因此 x n x n+1 , 這就是說數(shù)列xn是單調(diào)有界的. 這個(gè)數(shù)列同時(shí)還是有界的. 因?yàn)閤n的展開式中各項(xiàng)括號(hào)內(nèi)的數(shù)用較大的數(shù)1代替, 得 . 根據(jù)準(zhǔn)則II, 數(shù)列xn必有極限. 這個(gè)極限我們用e 來表示. 即. 我們還可以證明. e是個(gè)無理數(shù), 它的值是e=2. 718281828459045 . 指數(shù)函數(shù)y=e x 以及對(duì)數(shù)函數(shù)y=ln x 中的底e 就是這個(gè)常數(shù). 在極限中, 只要a(x)是無窮小, 就有. 這是因?yàn)? 令, 則u , 于是. , (a(x)0). 例3. 求. 解: 令t=-x, 則x 時(shí), t . 于是 . 或 .備注欄教學(xué)后記1. 6極限存在準(zhǔn)則 兩個(gè)重要極限 第 6 頁 共 6 頁