第三章 剛體力學習題解答.docx

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1、第三章習題解答3.13 某發(fā)動機飛輪在時間間隔t內(nèi)的角位移為0 = atbP-ctG : radj.s).求t時刻的角速度和角加速度。解：=隼=。+3b/-4c/3/=騫=64一 12c3.14 桑塔納汽車時速為166km/h,車輪滾動半徑為0.26m,發(fā)動機轉速與驅動輪轉速 比為0.909,問發(fā)動機轉速為每分多少轉？解：設車輪半徑為R=0.26m,發(fā)動機轉速為n1,驅動輪轉速為n2,汽車速度為 v=166km/ho顯然，汽車前進的速度就是驅動輪邊緣的線速度，v = 2/r Rh2 = 2萬 Rn、 0.909 ,所以：O題3-15圖n, =。鬻:靄產(chǎn)=9.24 x 104 rev/? = 1

2、.54x 10 J*ev/min3.15如題315圖所示，質量為加的空心圓柱體,質量均勻分布, 其內(nèi)外半徑為門和-2,求對通過其中心軸的轉動慣量。解：設圓柱體長為，密度為P，那么半徑為r,厚為dr的薄圓筒的質 量dm為：dm = 對其軸線的轉動慣量力2為di（）o = r2dm = hp2 冗山r21100r = hp ,24/./dr =團（6 - ）3.17如題317圖所示，一半圓形細桿,半徑為三，質量為求對過細桿一.端兒*軸的轉動慣量。解：如下圖，圓形細桿對過O軸且垂直于圓形細桿所在平 面的軸的轉動慣量為mR?,根據(jù)垂直軸定理人=/、+和問題1題3.17圖的對稱性知：圓形細桿對過打軸的轉

3、動慣量為LmR2,由轉2動慣量的可加性可求得：半圓形細桿對過細桿二端軸的轉動慣量為：口23.18在質量為M,半徑為R的勻質圓盤上挖出半徑為I的兩個圓孔，圓孔中心在半徑R的中點，求剩余局部對過大圓盤中心且與盤面垂直的軸線的轉動慣量。解：大圓盤對過圓盤中心。且與盤面垂直的軸線（以下簡稱。 軸）的轉動慣量為/“河川由于對稱放置，兩個小圓盤對。軸的轉動慣量相 等，設為r,圓盤質量的面密度=m分廢，根據(jù)平行軸定理，/= 一皿2）M + （皿2）（2 =冬+1M/r=i-ir=MR2 -Mr-Mr2 =M(R2-r2-2r4/R2)3.19 轉動系統(tǒng)的轉動慣量為I=8.0kgm2,轉速為s=41.9rad

4、/s,兩制動閘瓦對輪的壓 力都為392N,閘瓦與輪緣間的摩擦系數(shù)為0.4,輪半徑為r=0.4m, 間從開始制動到靜止需多長時間？解：由轉動定理：M = Ia,習題3-19a = = 2* 絲邛 2x.4 = 15.68%/s18.0制動過程可視為勻減速轉動，a =Ar = （ol a = 41.9/15.68 = 2.67s3.20 一輕繩繞于r=0.2m的飛輪邊緣，以恒力F=98N拉繩，如題3-20圖（a）飛輪的轉動慣量2,軸承無摩擦。求(1)飛輪的角加速度。繩子拉下5m時，飛輪的角速度和動能。(3)如把重量P=98N的物體掛在繩端，如題3-20圖（b）所示，再求上面的結果。解（1）由轉動定

5、理得：M r F 0.2x98 1Q 9 . _2 a - - = 39.2rad sI I 0.5題3-20圖（2）由定軸轉動剛體的動能定理得：A = Ek =-Icer = F/? =490J(0 =0.52x490 j T =44.27 racbs（3）物體受力如下圖:aPT=marV = Ja解方程組并代入數(shù)據(jù)得:a = ra T = T設挖去兩個小圓盤后，剩余局部對。軸的轉動慣量為r98x9,8x0.2PN + Jg 98x0.22=2.7Srad -s2 2g 2= -Jco2 =-*0.5*33.152 =274.7J223.21現(xiàn)在用阿特伍德機測滑輪轉動慣量。用輕線且盡可能潤滑

6、輪軸。兩端懸掛重物 質量各為mi=0.46kg, m2=0.5kg,滑輪半徑為0.05m。自靜止始，釋放重物后并測得0.5s 內(nèi)m2下降了 0.75m?；嗈D動慣量是多少？ 解：隔離012、mi及滑輪，受力及運動情況如6 r T圖所示。對m2、mi分別應用牛頓第二定律：一 / ipL ri-iam2g-T2 = m2a (1);刀-mg = mxa (2)對滑輪應用轉動定理:(T2-T)R = /J3 = la/R (3)質點m2作勻加速直線運動，由運動學公式：y = ar ,:.a = 2ylt2 =2x0.75/5.02 =QMm/s2由 、可求得 乙一(=( -叫)g - (機2 +叫)

7、。，代入(3)中，可求得I =(m2+mi)R2,代入數(shù)據(jù):I = (0.04x9.8/0.06 - 0.96) x 0.052 = 1.39x 10-2Agw23.22 質量為m,半徑為三的均勻圓盤在水平面上繞中心軸轉動，如題3-22圖所示。盤與 水平面的動摩擦因數(shù)為二，圓盤的初角速度為g,問到停止轉動，圓盤共轉了多少圈？解：I=-mR2 如圖斯,示：dm = 2兀ordrM = jdM = -r/jgdm =rdr -由轉動定律:dco dO dOdtT dco =J co de得：；mR2 f cod co =A。2)mgR . dG8g積分得:所以從角速度為。到停止轉動，圓盤共轉了網(wǎng)匯

8、圈。 16%/g3.23 如下圖，彈簧的倔強系數(shù)k=2N/m,可視為圓盤的滑輪 半徑r=0.05m,質量w/=80g,設彈簧和繩的質量可不計,繩 不可伸長，繩與滑輪間無相對滑動，運動中阻力不計，求1kg 質量的物體從靜止開始（這時彈簧不伸長）落下1米時，速 度的大小等于多少（g取lOm/s?）解：以地球、物體、彈簧、滑輪為系統(tǒng)，其能量守恒物 體地桌面處為重力勢能的零點，彈簧的原長為彈性勢能的零點,那么有:一7 v2 +-J(o2 + - kx2 -m.gh = 02221712Lv = rco J - - mr x = h2解方程得J等得代入數(shù)據(jù)計算得：v=1.48m/s o 即物體卜.落0.

9、5m的速度為1.48m/s3.24如題3-24圖所示，均質矩形薄板繞豎直邊轉動,初始角速度為4， 轉動時受到空氣的阻力。阻力垂直于板面，每一小面積所受阻力的大 小與其面積及速度平方的乘積成正比，比例常數(shù)為ko試計算經(jīng)過多 少時間，薄板角速度減為原來的一半，設薄板豎直邊長為b,寬為a, 薄板質量為m0 解；如下圖，取圖示的陰影局部為研究對象題3-24圖v = xco df = kvdS = kx?（S bdxdM = Xdf = karbx3dxaa1=dM = ka)1bx3dx = -karbaA004.rdcD ,. d（o 41f 41 d（o 4J 4mdtM kcohaj kba c

10、o kba co0 3kba%所以經(jīng)過T的時間，薄板角速度減為原來的一半。3kbeT o3-25 一個質量為半徑為R并以角速度。旋轉的飛輪（可看作勻質圓盤），在某一瞬間突破口然彳T一片質量為，的碎片從輪_ 的邊緣上飛出，見題3-25圖。假定碎片脫離飛輪時的瞬時速度一WU方向正好豎直可上，Qy（1）問它能上升多高？（2）求余下局部的角速度、角動量和轉動動能。題3-25圖解：（1）碎片以的初速度豎直向上運動。上升的高度：=生=竺2g 2g（2）余下局部的角速度仍為s角動量 L = Jeo = （M m）R2co轉動動能 Ek=-（-M-m）R2co23.26 兩滑冰運發(fā)動，在相距1.5？的兩平行線

11、上相向而行。兩人質量分別為mA=60kg, mn=70kg,他們的速率分別為VA=7m.s, vti=6m.sl,當二者最接近時，便拉起手來，開始繞質心作圓運動，并保持二者的距離為1.5m。求該瞬時:（1）系統(tǒng)對通過質心的豎直軸的總角動量;（2）系統(tǒng)的角速度;（3）兩人拉手前、后的總動能。這一過程中能量是否守恒？mB x c解：如下圖，/八60x1.59, 一 921（1） x =mI-x = .j = mm+ m 60 + 70 1313 26L = mAvA(l-x) + tnBvBx = 60x7x21/26 + 70x6x9/13 = 6.30xl02kgm2 sx(2) L = Je

12、o a)c，代入數(shù)據(jù)求得：2=8.67%TsT_ _C_ cJc mBx2 + mA(l-x)2（3）以地面為參考系。拉手前的總動能：以=，后+；7溫，代入數(shù)據(jù)得4=2730人拉手后的總動能：包括兩個局部：（1）系統(tǒng)相對于質心的動能（2）系統(tǒng)隨質心平動的動 能vc =0m/tvA + mBvB _ 70x6-60x770 + 60% =；/ =27301動能不變，總能量守恒（因為兩人之間的距離不變，所以兩人之間的拉力不做功, 故總動能守恒，但這個拉力的沖量不為0,所以總動量不守恒）。3.27 均勻細棒長為I,質量為小，以與棒長方向相垂直的速度用在光滑 水平面內(nèi)平動時，與前方一固定的光滑支點。發(fā)

13、生完全非彈性碰撞，碰 撞點位于離棒中心一方4處，如題3-27圖所示，求棒在碰撞后的瞬時繞過。點垂直于桿所在平面的軸轉動的角速度4 O解：如下圖：碰撞前后系統(tǒng)對點O的角動量守恒。題3-27圖碰撞前后：=?/4碰撞前后:ml212UJ由 A = 4 可求得：。（）=1八。，?題3-28圖3.28 如題3-28圖所示，一質量為m的小球由一繩索系著,以角 速度so在無摩擦的水平面上，作半徑為/-0的圓周運動.如果在 繩的另一端作用一豎直向下的拉力，使小球作半徑為山的圓 周運動.試求：（1）小球新的角速度；（2）拉力所作的功. 解：如下圖，小球對桌面上的小孔的角動量守恒（1）初態(tài)始角動量 口=喏豌；終態(tài)

14、始角動量 4=，%由A =4求得：3 = 4gI11（2）拉力作功：W =3.29 質量為0.50 kg,長為0.40 m的均勻細棒，可繞垂直于棒的一 筆 端的水平軸轉動.如將此棒放在水平位置，然后任其落下，如題3-29 圖所示，求：（1）當棒轉過60。時的角加速度和角速度；（2）下11 落到豎直位置時的動能；（3）下落到豎直位置時的角速度.解：設桿長為/,質量為加題3-29圖(1)由同轉動定理有:代入數(shù)據(jù)可求得：a = 18.3即&/$由剛體定軸轉動的動能定理得：mg-cosO = -ml2co23。二產(chǎn)片 ,代入數(shù)據(jù)得：/= 7.978/w/sT (也可以用轉動 定理求得角加速度再積分求得

15、角速度)(2)由剛體定軸轉動的動能定理得：W = Ek Ek = mgh = 0.5x9.8x0.2 = 0.98J,.、 f2E I2x0.98- o c_1(3) 69 = Ai= = 8.573rat/ sV J x0,5x0.423-30如題3-30圖所示，A與B兩飛輪的軸桿由摩擦嚙合器連接，A輪的轉動慣量J = 10.0 kg-m2 ,開始時B輪靜止，A輪以0=600 rmin的轉速轉動，然后使A與B連 接，因而B輪得到加速而A輪減速，直到兩輪的轉速都等于 =200min”為止.求：(1)B輪的轉動慣量；(2)在嚙合過程中損失的機械能.解：研究對象：A、B系統(tǒng)在銜接過程中, 對軸無外

16、力矩作用，故有Z =常矢= (/ + J2)69 =+ J2G2即： j, =4色二那么代入數(shù)據(jù)可求得：j, = 20kg M一02題 3-3()圖(2) Ek = i (J + J2 -1 (J, + J2) y2 代入數(shù)據(jù)可求得：=-1.32x104J,負號表示動能損失(減少)。3.31質量為m長為/的勻質桿，其B端放在桌上，A端用手支住，使桿成水平。突然釋放A端，在此瞬時，求：桿質 :心的加速度，桿B端所受的力。-廠解：以支點B為轉軸，應用轉動定理：1mg = jml2j3 ：. 0 =看,質心加速度4=。 =逾,方向向大題331圖卜O設桿B端受的力為N,對桿應用質心運動定理：N、,=0,Nx mg = -mac, Nx = m(g-ac) = mg/4N = mg/4,方向向上。