第三章 剛體力學(xué)習(xí)題解答.docx

第三章習(xí)題解答3.13 某發(fā)動(dòng)機(jī)飛輪在時(shí)間間隔t內(nèi)的角位移為0 = atbP-ctG : radj'.s).求t時(shí)刻的角速度和角加速度。解：=隼=。+3b/-4c/3/=騫=64一 12c3.14 桑塔納汽車時(shí)速為166km/h,車輪滾動(dòng)半徑為0.26m,發(fā)動(dòng)機(jī)轉(zhuǎn)速與驅(qū)動(dòng)輪轉(zhuǎn)速 比為0.909,問發(fā)動(dòng)機(jī)轉(zhuǎn)速為每分多少轉(zhuǎn)？解：設(shè)車輪半徑為R=0.26m,發(fā)動(dòng)機(jī)轉(zhuǎn)速為n1,驅(qū)動(dòng)輪轉(zhuǎn)速為n2,汽車速度為 v=166km/ho顯然，汽車前進(jìn)的速度就是驅(qū)動(dòng)輪邊緣的線速度，v = 2/r Rh2 = 2萬(wàn) Rn、 0.909 ,所以：O'題3-15圖n, =。鬻:靄產(chǎn)=9.24 x 104 rev/? = 1.54x 10 J*ev/min3.15如題315圖所示，質(zhì)量為加的空心圓柱體,質(zhì)量均勻分布, 其內(nèi)外半徑為門和-2,求對(duì)通過其中心軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。解：設(shè)圓柱體長(zhǎng)為，密度為P，那么半徑為r,厚為dr的薄圓筒的質(zhì) 量dm為：dm = 對(duì)其軸線的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量力2為di（）o = r2dm = hp2 冗山r21100r = hp ,24/./dr =團(tuán)（6 - ）3.17如題317圖所示，一半圓形細(xì)桿,半徑為三，質(zhì)量為求對(duì)過細(xì)桿一.端兒*軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。解：如下圖，圓形細(xì)桿對(duì)過O軸且垂直于圓形細(xì)桿所在平 面的軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為mR?,根據(jù)垂直軸定理人=/、+'和問題1題3.17圖的對(duì)稱性知：圓形細(xì)桿對(duì)過打軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為L(zhǎng)mR2,由轉(zhuǎn)2動(dòng)慣量的可加性可求得：半圓形細(xì)桿對(duì)過細(xì)桿二端"軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為：口23.18在質(zhì)量為M,半徑為R的勻質(zhì)圓盤上挖出半徑為I的兩個(gè)圓孔，圓孔中心在半徑R的中點(diǎn)，求剩余局部對(duì)過大圓盤中心且與盤面垂直的軸線的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。解：大圓盤對(duì)過圓盤中心。且與盤面垂直的軸線（以下簡(jiǎn)稱。 軸）的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為/“河川由于對(duì)稱放置，兩個(gè)小圓盤對(duì)。軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量相 等，設(shè)為r,圓盤質(zhì)量的面密度=m分廢，根據(jù)平行軸定理，/'= 一皿2）M + （皿2）（2 =冬+1M/r=i-ir=MR2 -Mr'-Mr2 =M(R2-r2-2r4/R2)3.19 轉(zhuǎn)動(dòng)系統(tǒng)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為I=8.0kgm2,轉(zhuǎn)速為s=41.9rad/s,兩制動(dòng)閘瓦對(duì)輪的壓 力都為392N,閘瓦與輪緣間的摩擦系數(shù)為0.4,輪半徑為r=0.4m, 間從開始制動(dòng)到靜止需多長(zhǎng)時(shí)間？解：由轉(zhuǎn)動(dòng)定理：M = Ia,習(xí)題3-19a = ±= 2*° 絲邛 2x°.4 = 15.68%/s18.0'制動(dòng)過程可視為勻減速轉(zhuǎn)動(dòng)，a =Ar = （ol a = 41.9/15.68 = 2.67s3.20 一輕繩繞于r=0.2m的飛輪邊緣，以恒力F=98N拉繩，如題3-20圖（a）飛輪的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量2,軸承無(wú)摩擦。求(1)飛輪的角加速度。繩子拉下5m時(shí)，飛輪的角速度和動(dòng)能。(3)如把重量P=98N的物體掛在繩端，如題3-20圖（b）所示，再求上面的結(jié)果。解（1）由轉(zhuǎn)動(dòng)定理得：M r F 0.2x98 1Q 9 . _2 a - - = 39.2rad sI I 0.5題3-20圖（2）由定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體的動(dòng)能定理得：A = Ek =-Icer = F/? =490J(0 =0.52x490 j T =44.27 racbs（3）物體受力如下圖:aPT=marV = Ja解方程組并代入數(shù)據(jù)得:a = ra T = T'設(shè)挖去兩個(gè)小圓盤后，剩余局部對(duì)。軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為r98x9,8x0.2PN + Jg 98x0.22=2.7Srad -s2 2g 2= -Jco2 =-*0.5*33.152 =274.7J223.21現(xiàn)在用阿特伍德機(jī)測(cè)滑輪轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。用輕線且盡可能潤(rùn)滑輪軸。兩端懸掛重物 質(zhì)量各為mi=0.46kg, m2=0.5kg,滑輪半徑為0.05m。自靜止始，釋放重物后并測(cè)得0.5s 內(nèi)m2下降了 0.75m。滑輪轉(zhuǎn)動(dòng)慣量是多少？ 解：隔離012、mi及滑輪，受力及運(yùn)動(dòng)情況如6 r T圖所示。對(duì)m2、mi分別應(yīng)用牛頓第二定律：一 / ipL ri-iam2g-T2 = m2a (1);刀-mg = mxa (2)對(duì)滑輪應(yīng)用轉(zhuǎn)動(dòng)定理:(T2-T)R = /J3 = la/R (3)質(zhì)點(diǎn)m2作勻加速直線運(yùn)動(dòng)，由運(yùn)動(dòng)學(xué)公式：y = ar ,:.a = 2ylt2 =2x0.75/5.02 =QMm/s2由 、可求得 乙一(=( -叫)g - (機(jī)2 +叫)。，代入(3)中，可求得I =(m2+mi)R2,代入數(shù)據(jù):I = (0.04x9.8/0.06 - 0.96) x 0.052 = 1.39x 10-2Agw23.22 質(zhì)量為m,半徑為三的均勻圓盤在水平面上繞中心軸轉(zhuǎn)動(dòng)，如題3-22圖所示。盤與 水平面的動(dòng)摩擦因數(shù)為二，圓盤的初角速度為g,問到停止轉(zhuǎn)動(dòng)，圓盤共轉(zhuǎn)了多少圈？解：I=-mR2 如圖斯,示：dm = 2兀ordrM = jdM = -r/jgdm =rdr -由轉(zhuǎn)動(dòng)定律:dco dO dOdtT dco =J co de得：；mR2 f cod co =A。2)mgR . dG8g積分得:所以從角速度為。到停止轉(zhuǎn)動(dòng)，圓盤共轉(zhuǎn)了網(wǎng)匯圈。 16%/g3.23 如下圖，彈簧的倔強(qiáng)系數(shù)k=2N/m,可視為圓盤的滑輪 半徑r=0.05m,質(zhì)量w/=80g,設(shè)彈簧和繩的質(zhì)量可不計(jì),繩 不可伸長(zhǎng)，繩與滑輪間無(wú)相對(duì)滑動(dòng)，運(yùn)動(dòng)中阻力不計(jì)，求1kg 質(zhì)量的物體從靜止開始（這時(shí)彈簧不伸長(zhǎng)）落下1米時(shí)，速 度的大小等于多少（g取lOm/s?）解：以地球、物體、彈簧、滑輪為系統(tǒng)，其能量守恒物 體地桌面處為重力勢(shì)能的零點(diǎn)，彈簧的原長(zhǎng)為彈性勢(shì)能的零點(diǎn),那么有:一7 v2 +-J(o2 + - kx2 -m.gh = 02221712Lv = rco J - - mr x = h2解方程得J等得代入數(shù)據(jù)計(jì)算得：v=1.48m/s o 即物體卜.落0.5m的速度為1.48m/s3.24如題3-24圖所示，均質(zhì)矩形薄板繞豎直邊轉(zhuǎn)動(dòng),初始角速度為4， 轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)受到空氣的阻力。阻力垂直于板面，每一小面積所受阻力的大 小與其面積及速度平方的乘積成正比，比例常數(shù)為ko試計(jì)算經(jīng)過多 少時(shí)間，薄板角速度減為原來的一半，設(shè)薄板豎直邊長(zhǎng)為b,寬為a, 薄板質(zhì)量為m0 解；如下圖，取圖示的陰影局部為研究對(duì)象題3-24圖v = xco df = kv'dS = kx?（S bdxdM = X'df = karbx3dxaa1=dM = ka)1bx3dx = -karbaA004.rdcD ,. d（o 41f 41 d（o 4J 4mdtM kcohaj kba co kba co0 3kba%所以經(jīng)過T的時(shí)間，薄板角速度減為原來的一半。3kbeT o3-25 一個(gè)質(zhì)量為半徑為R并以角速度。旋轉(zhuǎn)的飛輪（可看作勻質(zhì)圓盤），在某一瞬間突破口然彳T一片質(zhì)量為，的碎片從輪_ °的邊緣上飛出，見題3-25圖。假定碎片脫離飛輪時(shí)的瞬時(shí)速度一WU方向正好豎直可上，Qy（1）問它能上升多高？（2）求余下局部的角速度、角動(dòng)量和轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能。題3-25圖解：（1）碎片以的初速度豎直向上運(yùn)動(dòng)。上升的高度：=生=竺2g 2g（2）余下局部的角速度仍為s角動(dòng)量 L = Jeo = （M m）R2co轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能 Ek=-（-M-m）R2co23.26 兩滑冰運(yùn)發(fā)動(dòng)，在相距1.5？的兩平行線上相向而行。兩人質(zhì)量分別為mA=60kg, mn=70kg,他們的速率分別為VA=7m.s", vti=6m.sl,當(dāng)二者最接近時(shí)，便拉起手來，開始繞質(zhì)心作圓運(yùn)動(dòng)，并保持二者的距離為1.5m。求該瞬時(shí):（1）系統(tǒng)對(duì)通過質(zhì)心的豎直軸的總角動(dòng)量;（2）系統(tǒng)的角速度;（3）兩人拉手前、后的總動(dòng)能。這一過程中能量是否守恒？mB x c解：如下圖，/八60x1.59, 一 921（1） x =mI-x = .j = mm+ m § 60 + 70 1313 26L = mAvA(l-x) + tnBvBx = 60x7x21/26 + 70x6x9/13 = 6.30xl02kgm2 sx(2) L = Jeo a)c，代入數(shù)據(jù)求得：2=8.67%TsT_ _C_ cJc mBx2 + mA(l-x)2（3）以地面為參考系。拉手前的總動(dòng)能：以=，后+；7溫，代入數(shù)據(jù)得4=2730人拉手后的總動(dòng)能：包括兩個(gè)局部：（1）系統(tǒng)相對(duì)于質(zhì)心的動(dòng)能（2）系統(tǒng)隨質(zhì)心平動(dòng)的動(dòng) 能vc =0m/tvA + mBvB _ 70x6-60x770 + 60% =；/ =27301動(dòng)能不變，總能量守恒（因?yàn)閮扇酥g的距離不變，所以兩人之間的拉力不做功, 故總動(dòng)能守恒，但這個(gè)拉力的沖量不為0,所以總動(dòng)量不守恒）。3.27 均勻細(xì)棒長(zhǎng)為I,質(zhì)量為小，以與棒長(zhǎng)方向相垂直的速度用在光滑 水平面內(nèi)平動(dòng)時(shí)，與前方一固定的光滑支點(diǎn)。發(fā)生完全非彈性碰撞，碰 撞點(diǎn)位于離棒中心一方4處，如題3-27圖所示，求棒在碰撞后的瞬時(shí)繞過。點(diǎn)垂直于桿所在平面的軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度4 O解：如下圖：碰撞前后系統(tǒng)對(duì)點(diǎn)O的角動(dòng)量守恒。題3-27圖碰撞前后：=?/4碰撞前后:ml212UJ由 A = 4 可求得：。（）=1八。"，?題3-28圖3.28 如題3-28圖所示，一質(zhì)量為m的小球由一繩索系著,以角 速度so在無(wú)摩擦的水平面上，作半徑為/-0的圓周運(yùn)動(dòng).如果在 繩的另一端作用一豎直向下的拉力，使小球作半徑為山的圓 周運(yùn)動(dòng).試求：（1）小球新的角速度；（2）拉力所作的功. 解：如下圖，小球?qū)ψ烂嫔系男】椎慕莿?dòng)量守恒（1）初態(tài)始角動(dòng)量 口=喏豌；終態(tài)始角動(dòng)量 4=，%由A =4求得：3 = 4gI11（2）拉力作功：W =3.29 質(zhì)量為0.50 kg,長(zhǎng)為0.40 m的均勻細(xì)棒，可繞垂直于棒的一 筆 端的水平軸轉(zhuǎn)動(dòng).如將此棒放在水平位置，然后任其落下，如題3-29 圖所示，求：（1）當(dāng)棒轉(zhuǎn)過60。時(shí)的角加速度和角速度；（2）下11 落到豎直位置時(shí)的動(dòng)能；（3）下落到豎直位置時(shí)的角速度.解：設(shè)桿長(zhǎng)為/,質(zhì)量為加題3-29圖(1)由同轉(zhuǎn)動(dòng)定理有:代入數(shù)據(jù)可求得：a = 18.3即&/$"由剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)能定理得：mg-cosO = -ml2co23。二產(chǎn)片 ,代入數(shù)據(jù)得：/= 7.978/w/sT (也可以用轉(zhuǎn)動(dòng) 定理求得角加速度再積分求得角速度)(2)由剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)能定理得：W = Ek Ek = mgh = 0.5x9.8x0.2 = 0.98J,.、 f2E I2x0.98- o c_1(3) 69 = Ai= "= 8.573rat/ sV J x0,5x0.423-30如題3-30圖所示，A與B兩飛輪的軸桿由摩擦嚙合器連接，A輪的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量J = 10.0 kg-m2 ,開始時(shí)B輪靜止，A輪以0=600 rmin"的轉(zhuǎn)速轉(zhuǎn)動(dòng)，然后使A與B連 接，因而B輪得到加速而A輪減速，直到兩輪的轉(zhuǎn)速都等于 =200min”為止.求：(1)B輪的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量；(2)在嚙合過程中損失的機(jī)械能.解：研究對(duì)象：A、B系統(tǒng)在銜接過程中, 對(duì)軸無(wú)外力矩作用，故有Z =常矢=> (</ + J2)69 =+ J2G2即： j, =4£色二那么代入數(shù)據(jù)可求得：j, = 20kg M°一02題 3-3()圖(2) Ek = i (J + J2<y- > -1 (J, + J2) <y2 代入數(shù)據(jù)可求得：=-1.32x104J,負(fù)號(hào)表示動(dòng)能損失(減少)。3.31質(zhì)量為m長(zhǎng)為/的勻質(zhì)桿，其B端放在桌上，A端用手支住，使桿成水平。突然釋放A端，在此瞬時(shí)，求：桿質(zhì) :心的加速度，桿B端所受的力。-廠解：以支點(diǎn)B為轉(zhuǎn)軸，應(yīng)用轉(zhuǎn)動(dòng)定理：1mg = jml2j3 ：. 0 =看,質(zhì)心加速度4=。± =逾,方向向大題331圖卜O設(shè)桿B端受的力為N,對(duì)桿應(yīng)用質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理：N、,=0,Nx mg = -mac, Nx = m(g-ac) = mg/4N = mg/4,方向向上。