湖南省醴陵二中高一數(shù)學(xué) 正弦定理、余弦定理課件

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1、正弦定理、余弦定理正弦定理、余弦定理教學(xué)目標(biāo)：教學(xué)目標(biāo)：（一）知識(shí)目標(biāo)（一）知識(shí)目標(biāo)：正弦定理.余弦定理（二）能力目標(biāo)（二）能力目標(biāo)： 1.了解向量知識(shí)的應(yīng)用2.掌握正弦、余弦定理的推導(dǎo)過程；3.利用正弦、余弦定理證明簡(jiǎn)單三角形；4.利用正弦、余弦定理求解些三角形邊角問題.教學(xué)重點(diǎn)：教學(xué)重點(diǎn)：正弦、余弦定理的證明和應(yīng)用正弦、余弦定理的正弦、余弦定理的證明和應(yīng)用正弦、余弦定理的證明和應(yīng)用證明和應(yīng)用教學(xué)難點(diǎn)：教學(xué)難點(diǎn)：1.向量知識(shí)在證明正弦、余弦定理時(shí)的應(yīng)用；向量知識(shí)在證明正弦、余弦定理時(shí)的應(yīng)用；2.正弦、余弦定理在解三角形式的應(yīng)用思路正弦、余弦定理在解三角形式的應(yīng)用思路.正弦定理、余弦定理正弦定

2、理、余弦定理回憶一下直角三角形的邊角關(guān)系回憶一下直角三角形的邊角關(guān)系? ABCcba222cba Abatan 90BAAcasin Bcbsin 兩等式間有聯(lián)系嗎？?jī)傻仁介g有聯(lián)系嗎？cBbAa sinsinCcBbAasinsinsin 即正弦定理，定理對(duì)任意三角形均成立即正弦定理，定理對(duì)任意三角形均成立利用向量如何在三角形的邊長(zhǎng)與三角函數(shù)建立聯(lián)系？利用向量如何在三角形的邊長(zhǎng)與三角函數(shù)建立聯(lián)系？向量的數(shù)量積向量的數(shù)量積 ， 為向量為向量a 與與b 的夾角的夾角 cos|baba 如何構(gòu)造向量及等式？如何構(gòu)造向量及等式？jACB在銳角在銳角 中，中，過過A作單位向量作單位向量j 垂直于垂直于

3、， ACABC 則有則有j 與與 的夾角為的夾角為 ， j 與與 的夾角為的夾角為 . 等式等式A 90CBC 90ABCBAC ABABjCBACj )()90cos()90cos(90cosAABjCCBjACj AcCasinsin 即即CcAasinsin 同理，過同理，過C作單位向量作單位向量j 垂直于垂直于 ，可得，可得CBCcBbsinsin CcBbAasinsinsin 在鈍角三角形中，怎樣將三角形的邊用向量表示？怎樣引在鈍角三角形中，怎樣將三角形的邊用向量表示？怎樣引入單位向量？怎樣取數(shù)量積？入單位向量？怎樣取數(shù)量積？在鈍角在鈍角 中，中，過過A作單位向量作單位向量j 垂直

4、于垂直于 ， ACABC 90 AAB則有則有j 與與 的夾角為的夾角為 ， j 與與 的夾角為的夾角為 . CBC 90同樣可證得：同樣可證得：CcBbAasinsinsin ACBj 正弦定理正弦定理 在一個(gè)三角形中，各邊和它所對(duì)角的正弦的比在一個(gè)三角形中，各邊和它所對(duì)角的正弦的比相等，即相等，即CcBbAasinsinsin 正弦定理可以解什么類型的三角形問題？正弦定理可以解什么類型的三角形問題？ 已知兩角和任意一邊，可以求出其他兩邊和一角；已知兩已知兩角和任意一邊，可以求出其他兩邊和一角；已知兩邊和其中一邊的對(duì)角，可以求出三角形的其他的邊和角邊和其中一邊的對(duì)角，可以求出三角形的其他的邊

5、和角.若若 ABC為任意三角形，已知角為任意三角形，已知角C，BC=a,CA=b,求證：求證：Cabbaccos2222證明：證明：CBACABbcABCa)()(CBACCBACABABCBCBCBACACAC2 0 02 22 22 2 A AB B= = A AC C+ + 2 2 A AC C C CB B c co os s( (1 18 80 0- - C C) )+ + C CB B2 22 22 2 c c= = a a + + b b - - 2 2a ab bc co os sC CCBAabc a2=b2+c2-2bccosA b2=c2+a2-2cacosB c2=a2

6、+b2-2abcosC三角形任何一邊的平方等于其他三角形任何一邊的平方等于其他兩邊平方的和減去這兩邊與它們兩邊平方的和減去這兩邊與它們夾角的余弦的積的兩倍。夾角的余弦的積的兩倍。例題講解例題講解 例例1 在在 中，已知中，已知 ，求，求b（保（保留兩個(gè)有效數(shù)字）留兩個(gè)有效數(shù)字）. . ABC 30,45,10CAc解：解： 且且CcBbsinsin 105)(180CAB1930sin105sin10sinsin CBcb例例2 在在 中，已知中，已知 ，求，求 .ABC 45, 24, 4BbaA解：由解：由 BbAasinsin 得得 21sinsin bBaA 在在 中中 ABC ba

7、A 為銳角為銳角 30A 例例3 在在 中，中， ，求，求 的面積的面積S ABC )13(2,60,45 aCBABC 解：解： 75)(180CBA由正弦定理得由正弦定理得 4426)22)(13(2sinsin ABab326)23(4)13(221sin21 CabSABC 例例4 4已知已知ABCABC的三內(nèi)角的三內(nèi)角A A、B B、C C成等差，而成等差，而A A、B B、C C三內(nèi)角三內(nèi)角的對(duì)邊的對(duì)邊a a、b b、c c成等比，試證明：成等比，試證明：ABCABC為正三角形。為正三角形。證明：證明： AA、B B、C C成等差，成等差，2B=A+C2B=A+C，又又A+B+C=

8、180A+B+C=180o o，B=60B=60o o，A+C=120A+C=120o oaa、b b、c c成等比，成等比，b b2 2=ac=ac又由余弦定理得：又由余弦定理得：60cos2cos222222accaBaccab ,22accaac 0)(2 ca即即，a=c又又B=60B=60o o，ABCABC是正三角形。是正三角形。練習(xí)：練習(xí)：（1）在）在 中，一定成立的等式是（中，一定成立的等式是（ ） ABC BbAaAsinsin. BbAaBcoscos. AbBaCsinsin. AbBaDcoscos. C（2）在）在 中，若中，若 ，則，則 是是( ) A等腰三角形等腰

9、三角形 B等腰直角三角形等腰直角三角形 C直角三角形直角三角形 D等邊三有形等邊三有形2cos2cos2cosCcBbAa ABC ABCD（3）在任一）在任一 中，求證：中，求證： ABC 0)sin(sin)sin(sin)sin(sin BAcACbCBa證明：由于正弦定理：令證明：由于正弦定理：令 CkcBkBAkasin,sin,sin 左邊左邊 代入左邊得：代入左邊得： )sinsinsinsinsinsinBCACAB CBCABAksinsinsinsinsin(sin 等式成立等式成立.023242xxba是方程、銳角三角形中，邊CBABA，求角，求角）（滿足滿足、的兩根，角的兩根，角03sin2 的面積。的面積。的長(zhǎng)度及的長(zhǎng)度及的度數(shù)，邊的度數(shù)，邊ABCc 解：解：23sin03sin2 ）（，）（BABA為銳角三角形為銳角三角形ABC oBA120 oC60 的兩根的兩根是方程是方程、邊邊02322 xxba232 abba，Cabbaccos2222 abba32 ）（6612 6 c2323221sin21 CabSABC