高等數(shù)學(xué)備課教案：第一章 函數(shù)、極限與連續(xù) 第四節(jié)函數(shù)的極限

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1、第四節(jié) 函數(shù)的極限數(shù)列可看作自變量為正整數(shù)n的函數(shù): , 數(shù)列的極限為，即：當(dāng)自變量取正整數(shù)且無(wú)限增大時(shí)，對(duì)應(yīng)的函數(shù)值無(wú)限接近數(shù). 若將數(shù)列極限概念中自變量和函數(shù)值的特殊性撇開，可以由此引出函數(shù)極限的一般概念：在自變量的某個(gè)變化過(guò)程中，如果對(duì)應(yīng)的函數(shù)值無(wú)限接近于某個(gè)確定的數(shù)，則就稱為在該變化過(guò)程中函數(shù)的極限. 顯然，極限是與自變量的變化過(guò)程緊密相關(guān)，自變量的變化過(guò)程不同，函數(shù)的極限就有不同的表現(xiàn)形式. 本節(jié)分下列兩種情況來(lái)討論： 1、自變量趨于無(wú)窮大時(shí)函數(shù)的極限； 2、自變量趨于有限值時(shí)函數(shù)的極限.分布圖示 自變量趨向無(wú)窮大時(shí)函數(shù)的極限 例1 例2例3 自變量趨向有限值時(shí)函數(shù)的極限 例4 例5

2、 例6 例7 左右極限 例8 例9 例10 例11 函數(shù)極限的性質(zhì) 子序列收斂性 函數(shù)極限與數(shù)列極限的關(guān)系 內(nèi)容小結(jié) 課堂練習(xí) 習(xí)題 1- 4 返回內(nèi)容要點(diǎn) 一、自變量趨于無(wú)窮大時(shí)函數(shù)的極限 二、自變量趨于有限值時(shí)函數(shù)的極限 三、左右極限的概念 四、函數(shù)極限的性質(zhì)：唯一性 有界性 保號(hào)性 五、子序列的收斂性例題選講自變量趨于無(wú)窮大時(shí)函數(shù)的極限例1 (E01) 證明 證 因?yàn)橛谑强扇t當(dāng)時(shí),恒有故證畢.例2 (E02) 用極限定義證明 證 對(duì)于任意給定的要使只要即就可以了.因此，對(duì)于任意給定的取則當(dāng)時(shí)，恒成立.所以注: 同理可證：當(dāng)時(shí)，而當(dāng)時(shí)，例3 證明 證 由，現(xiàn)在，令于是，若取則當(dāng)時(shí)，就有即

3、證畢.自變量趨于有限值時(shí)函數(shù)的極限例4 (E03) 設(shè)，問(wèn)等于多少時(shí)，有：當(dāng)時(shí)，?解 欲使，即 從而 , 即當(dāng)時(shí)，有：當(dāng)時(shí)，（如圖）.例5(E04) (1) 證明 (為常數(shù)）.證 任給任取當(dāng)時(shí)，恒成立，例5 (2) 證明證 任給取當(dāng)時(shí)，成立，例6 (E05) 證明 .證 函數(shù)在點(diǎn)處沒(méi)有定義,任給要使只要取則當(dāng)時(shí),就有例7 (E06) 證明: 當(dāng)時(shí), .證 任給要使只要且取則當(dāng)時(shí),就有子序列的收斂性例8 驗(yàn)證不存在.證 左右極限存在但不相等. 不存在.左右極限的概念例9 (E07) 設(shè) 求 .解 因?yàn)榧从兴圆淮嬖?例10 設(shè)求.解 是函數(shù)的分段點(diǎn)，如下圖.例11 (E08) 設(shè) 求 解 在處沒(méi)有定義，而故不存在.課堂練習(xí)1. 判別下列極限是否存在, 如果存在求出其值. (1) (2); (3).2. 若 且問(wèn): 能否保證有的結(jié)論? 試舉例說(shuō)明.