高等數(shù)學(xué)備課教案：第一章 函數(shù)、極限與連續(xù) 第一節(jié)函數(shù)

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1、 微積分是近代數(shù)學(xué)中最偉大的成就,對(duì)它的重要性無(wú)論做怎樣的估計(jì)都不會(huì)過(guò)分. 馮. 諾伊曼注：馮. 諾依曼（John von Neumann，1903-1957，匈牙利人），20世紀(jì)最杰出的數(shù)學(xué)家之一，在純粹數(shù)學(xué)、應(yīng)用數(shù)學(xué)、計(jì)算數(shù)學(xué)等許多分支，從集合論、數(shù)學(xué)基礎(chǔ)到量子理論與算子理論等作多方面，他都作出了重要貢獻(xiàn). 他與經(jīng)濟(jì)學(xué)家合著的博弈論與經(jīng)濟(jì)行為奠定了對(duì)策論的基礎(chǔ)，他發(fā)明的“流程圖”溝通了數(shù)學(xué)語(yǔ)言與計(jì)算機(jī)語(yǔ)言，制造了第一臺(tái)計(jì)算機(jī)，被人稱為“計(jì)算機(jī)之父”.第一章 函數(shù)、極限與連續(xù)函數(shù)是現(xiàn)代數(shù)學(xué)的基本概念之一，是高等數(shù)學(xué)的主要研究對(duì)象. 極限概念是微積分的理論基礎(chǔ)，極限方法是微積分的基本分析方法，

2、因此，掌握、運(yùn)用好極限方法是學(xué)好微積分的關(guān)鍵. 連續(xù)是函數(shù)的一個(gè)重要性態(tài). 本章將介紹函數(shù)、極限與連續(xù)的基本知識(shí)和有關(guān)的基本方法，為今后的學(xué)習(xí)打下必要的基礎(chǔ).第一節(jié) 函數(shù)在現(xiàn)實(shí)世界中，一切事物都在一定的空間中運(yùn)動(dòng)著. 17世紀(jì)初，數(shù)學(xué)首先從對(duì)運(yùn)動(dòng)（如天文、航海問(wèn)題等）的研究中引出了函數(shù)這個(gè)基本概念. 在那以后的二百多年里，這個(gè)概念在幾乎所有的科學(xué)研究工作中占據(jù)了中心位置. 本節(jié)將介紹函數(shù)的概念、函數(shù)關(guān)系的構(gòu)建與函數(shù)的特性.分布圖示 實(shí)數(shù)與區(qū)間 鄰域 函數(shù)概念 例1 例2 例3 例4 例5 函數(shù)的表示法 分段函數(shù)舉例 例6函數(shù)的特性 有界性 例7 單調(diào)性 例9 奇偶性 例10 例11 周期性 例

3、12 例13數(shù)學(xué)建模函數(shù)關(guān)系的建立 例15 例16 例17 例18 內(nèi)容小結(jié) 課堂練習(xí) 習(xí)題 1- 1 返回內(nèi)容要點(diǎn)一、實(shí)數(shù)與區(qū)間實(shí)數(shù)的概念；實(shí)數(shù)的連續(xù)性；有限區(qū)間，無(wú)限區(qū)間。二、鄰域 領(lǐng)域的定義；領(lǐng)域的中心；領(lǐng)域的半徑。三、函數(shù)的概念 函數(shù)是描述變量間相互依賴關(guān)系的一種數(shù)學(xué)模型. 函數(shù)的定義、函數(shù)的圖形、函數(shù)的表示法四、函數(shù)特性函數(shù)的有界性；函數(shù)的單調(diào)性；函數(shù)的奇偶性；函數(shù)的周期性.五、數(shù)學(xué)建模函數(shù)關(guān)系的建立為解決實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題, 首先要將該問(wèn)題量化, 從而建立起該問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型, 即建立函數(shù)關(guān)系；依題意建立函數(shù)關(guān)系；依據(jù)經(jīng)驗(yàn)數(shù)據(jù)建立近似函數(shù)關(guān)系。例題選講函數(shù)舉例例1 函數(shù). 定義域, 值域

4、例2 (E01) 絕對(duì)值函數(shù) 定義域值域注: 常用絕對(duì)值的運(yùn)算性質(zhì): 設(shè)則 或例3 判斷下面函數(shù)是否相同, 并說(shuō)明理由.(1) 與(2) 與. 解 (1) 雖然這兩個(gè)函數(shù)的表現(xiàn)形式不同，但它們的定義域與對(duì)應(yīng)法則均相同，所以這兩個(gè)函數(shù)相同.(2) 雖然它們的自變量與因變量所用的字母不同,但其定義域和對(duì)應(yīng)法則均相同(如圖)，所以這兩個(gè)函數(shù)相同.分段函數(shù)舉例在自變量的不同變化范圍中, 對(duì)應(yīng)法則用不同的表達(dá)方式來(lái)表示的函數(shù), 稱為分段函數(shù).(1)（E02）符號(hào)函數(shù) (2)（E03）取整函數(shù), 其中, 表示不超過(guò)的最大整數(shù).(3)（E04） 狄利克雷函數(shù) (4) 函數(shù)例4 求函數(shù) 的定義域.解 例5 求

5、函數(shù)的定義域.解 要使有意義，顯然要滿足:即 (為整數(shù))所以的定義域?yàn)槔? 設(shè) 求函數(shù)的定義域.解 故函數(shù)的定義域:例7 證明(1) 函數(shù)在上是有界的.（E05）(2) 函數(shù)在上是無(wú)界的.證 (1) 因?yàn)樗?故對(duì)一切都成立. 由上可知題設(shè)函數(shù)在上是有界函數(shù).(2) 對(duì)于無(wú)論怎樣大的總可在內(nèi)找到相應(yīng)的例如取使得所以在上是無(wú)界函數(shù).例9（E06）證明函數(shù)在內(nèi)是單調(diào)增加的函數(shù).證 在內(nèi)任取兩點(diǎn)且則因?yàn)槭莾?nèi)任意兩點(diǎn), 所以又因?yàn)楣剩此栽趦?nèi)是單調(diào)增加的.例10(E07) 判斷函數(shù)的奇偶性.解 由定義知為奇函數(shù).例11 判斷函數(shù) 的奇偶性.解 因?yàn)?故由定義知為偶函數(shù).例12（E08） 設(shè) 求. 并

6、討論其性質(zhì).解 函數(shù)是單值、有界的，偶函數(shù)，但不是單調(diào)函數(shù),是周期函數(shù)，但無(wú)最小正周期.例13（E09）若對(duì)其定義域上的一切, 恒有則稱對(duì)稱于證明: 若對(duì)稱于及 則是以為周期的周期函數(shù).證 由對(duì)稱于及則有 (1) (2)在式(2)中，把換為得由式(1)可見(jiàn),以為周期.例15（E10）某工廠生產(chǎn)某型號(hào)車床, 年產(chǎn)量為a臺(tái), 分若干批進(jìn)行生產(chǎn), 每批生產(chǎn)準(zhǔn)備費(fèi)為b元, 設(shè)產(chǎn)品均勻投入市場(chǎng), 且上一批用完后立即生產(chǎn)下一批, 即平均庫(kù)存量為批量的一半. 設(shè)每年每臺(tái)庫(kù)存費(fèi)為c元. 顯然, 生產(chǎn)批量大則庫(kù)存費(fèi)高; 生產(chǎn)批量少則批數(shù)增多, 因而生產(chǎn)準(zhǔn)備費(fèi)高. 為了選擇最優(yōu)批量, 試求出一年中庫(kù)存費(fèi)與生產(chǎn)準(zhǔn)備

7、費(fèi)的和與批量的函數(shù)關(guān)系.解 設(shè)批量為庫(kù)存量與生產(chǎn)準(zhǔn)備費(fèi)的和為因年產(chǎn)量為所以每年生產(chǎn)的批數(shù)為(設(shè)其為整數(shù))，則生產(chǎn)準(zhǔn)備費(fèi)為因庫(kù)存量為故庫(kù)存費(fèi)為因此可得定義域?yàn)?臺(tái)數(shù))只取定義域中的正整數(shù)因子.例16（E11） 某運(yùn)輸公司規(guī)定貨物的噸公里運(yùn)價(jià)為: 在a公里以內(nèi),每公里k元, 超過(guò)部分公里為元. 求運(yùn)價(jià)m和里程s之間的函數(shù)關(guān)系.解 根據(jù)題意可列出函數(shù)關(guān)系如下:這里運(yùn)價(jià)和里程的函數(shù)關(guān)系是用分段函數(shù)表示的，定義域?yàn)槔?7（E12）為研究某國(guó)標(biāo)準(zhǔn)普通信件(重量不超過(guò)50克)的郵資與時(shí)間的關(guān)系，得到如下數(shù)據(jù)：年份（年）19781981198419851987199119951997200120052008郵

8、資（分）68101315202225293233試構(gòu)建一個(gè)郵資作為時(shí)間函數(shù)的數(shù)學(xué)模型，在檢驗(yàn)了這個(gè)模型是“合理”的之后，用這個(gè)模型來(lái)預(yù)測(cè)一下2012年的郵資.解 （1）先將實(shí)際問(wèn)題量化，確定自變量x和因變量y.為方便計(jì)算，設(shè)起始年1978年為0，并用x表示，用y（單位：分）表示相應(yīng)年份的信件的郵資，得到下表x03679131719232730y68101315202225293233（2）作散點(diǎn)圖，確定變量之間近似函數(shù)關(guān)系.得到下圖觀察得到的散點(diǎn)圖可知，郵資與時(shí)間大致呈線性關(guān)系.設(shè)y與x之間的函數(shù)關(guān)系為，其中為待定常數(shù).（3）求待定常數(shù)項(xiàng). 通過(guò)Excel相關(guān)功能的計(jì)算分別得到的值（詳見(jiàn)附錄）

9、為.從而得到回歸直線為.（4）在散點(diǎn)圖中添加上述回歸直線，見(jiàn)下圖經(jīng)觀察發(fā)現(xiàn)直線模型與散點(diǎn)圖擬合的非常好，說(shuō)明線性模型是合理的.（5）預(yù)測(cè)2012年的郵資，即x=34時(shí)y的取值.由擬合圖可以得到x=34時(shí).即預(yù)測(cè)2012年的郵資約為39分. 實(shí)際上，將x=34代入直線方程可得. 一般地，我們可按以下四個(gè)步驟進(jìn)行回歸分析：（1） 將實(shí)際問(wèn)題量化，確定自變量和因變量；（2） 根據(jù)已知數(shù)據(jù)作散點(diǎn)圖，大致確定擬合數(shù)據(jù)的函數(shù)類型；（3） 通過(guò)軟件（如Excel等）計(jì)算，得到函數(shù)關(guān)系模型；（4） 利用回歸分析建立的近似函數(shù)關(guān)系來(lái)預(yù)測(cè)指定點(diǎn)x處的y值.在例題中，問(wèn)題所給郵資與時(shí)間的數(shù)據(jù)對(duì)之間大致呈線性關(guān)系，并

10、且經(jīng)回歸分析所得到的回歸曲線為一條直線，此類回歸問(wèn)題又稱為線性回歸問(wèn)題，它是最簡(jiǎn)單的回歸分析問(wèn)題，但卻具有廣泛的實(shí)際應(yīng)用價(jià)值，此外，許多更加復(fù)雜的非線性的回歸問(wèn)題，如冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)回歸等都可以通過(guò)適當(dāng)?shù)淖兞刻鎿Q化為線性回歸問(wèn)題來(lái)研究.下面我們就指數(shù)函數(shù)回歸問(wèn)題為以實(shí)例來(lái)說(shuō)明.例18（E13）地高辛是用來(lái)治療心臟病的.醫(yī)生必須開(kāi)出處方用藥量使之能保持血液中地高辛的濃度高于有效水平而不超過(guò)安全用藥水平. 下表中給出了某個(gè)特定病人使用初始劑量0.5（毫克）的地高辛后不同時(shí)間x（天）的血液中剩余地高辛的含量.x012345678y0.50000.3450.2380.1640.1130.07

11、80.0540.0370.026（1）試構(gòu)建血液中地高辛含量和用藥后天數(shù)間的近似函數(shù)關(guān)系；（2）預(yù)測(cè)12天后血液中的地高辛含量.解 （1）根據(jù)所給數(shù)據(jù)作散點(diǎn)圖.由該圖可見(jiàn)，y與x之間大致呈指數(shù)函數(shù)關(guān)系，故設(shè)函數(shù)關(guān)系式為，其中為待定常數(shù).在上式兩端取對(duì)數(shù)，得,令，則指數(shù)函數(shù)轉(zhuǎn)化為線性函數(shù).利用題設(shè)數(shù)據(jù)表進(jìn)一步計(jì)算得到下表.0123456780.50000.3450.2380.1640.1130.0780.0540.0370.026-0.693-1.064-1.435-1.808-2.180-2.55-2.919-3.297-3.650采用與例17類似的步驟，計(jì)算得到再由關(guān)系式,得,從而得到血液中

12、地高辛含量和用藥后天數(shù)間的近似函數(shù)關(guān)系為. 在散點(diǎn)圖中添加上述回歸曲線, 可見(jiàn)該指數(shù)函數(shù)與散點(diǎn)圖擬合得相當(dāng)好, 說(shuō)明指數(shù)模型是合理的.（2）根據(jù)上述函數(shù)關(guān)系, 12天后血液中地高辛的含量約為(毫克). 在數(shù)學(xué)模型的建立及其求解過(guò)程中, 了解以下幾點(diǎn)是重要的: (1) 為描述一種特定現(xiàn)象而建立的數(shù)學(xué)模型是實(shí)際現(xiàn)象的理想化模型, 從而遠(yuǎn)非完全精確的表示.(2) 反映實(shí)際問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型大多是很復(fù)雜的, 從實(shí)際應(yīng)用的角度看, 人們通常不可能也不必要追求數(shù)學(xué)模型的精確解.(3) 掌握優(yōu)秀的數(shù)學(xué)軟件工具并學(xué)會(huì)將其應(yīng)用于解決相關(guān)領(lǐng)域的實(shí)際問(wèn)題成為當(dāng)代大學(xué)生必須具備的一項(xiàng)重要能力.課堂練習(xí)1. 用分段函數(shù)表示函數(shù) 2. 判別函數(shù) 的奇偶性.