高考數學復習 17-18版 附加題部分 第3章 選修4－1 第70課 直線與圓的位置關系

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1、第70課 直線與圓的位置關系最新考綱內容要求ABC圓的切線的判定與性質定理圓周角定理，弦切角定理相交弦定理，割線定理，切割線定理圓內接四邊形的判定與性質定理1圓周角與圓心角定理(1)圓心角定理：圓心角的度數等于其所對弧的度數(2)圓周角定理：圓周角的度數等于其所對弧的度數的一半推論1：同弧(或等弧)所對的圓周角相等同圓或等圓中，相等的圓周角所對的弧相等推論2：半圓(或直徑)所對的圓周角等于90.反之，90的圓周角所對的弧為半圓(或弦為直徑)2圓的切線的性質及判定定理(1)判定定理：過半徑外端且與這條半徑垂直的直線是圓的切線(2)性質定理：圓的切線垂直于經過切點的半徑推論1：經過圓心且與切線垂直

2、的直線必經過切點推論2：經過切點且與切線垂直的直線必經過圓心3切線長定理從圓外一點引圓的兩條切線，切線長相等4弦切角定理弦切角的度數等于其所夾弧的度數的一半5與圓有關的比例線段定理名稱基本圖形條件結論應用相交弦定理弦AB，CD相交于圓內點P(1)PAPBPCPD；(2)ACPBDP(1)在PA，PB，PC，PD四線段中知三求一；(2)求弦長及角割線定理PAB，PCD是O的割線(1)PAPBPDPC；(2)PACPDB(1)求線段PA，PB，PC，PD；(2)應用相似求AC，BD切割線定理PA切O于A，PBC是O的割線(1)PA2PBPC；(2)PABPCA(1)已知PA，PB，PC知二可求一；

3、(2)求解AB，AC切線長定理PA，PB是O的切線(1)PAPB；(2)OPAOPB(1)證明線段相等，已知PA求PB；(2)求角6.圓內接四邊形的性質與判定定理(1)性質定理：圓內接四邊形的對角互補(2)判定定理：如果四邊形的對角互補，則此四邊形內接于圓1(思考辨析)判斷下列說法的正誤(正確的打“”，錯誤的打“”)(1)相等的圓周角所對的弧也相等()(2)任意一個四邊形、三角形都有外接圓()(3)等腰梯形一定有外接圓()(4)弦切角所夾弧的度數等于弦切角的度數()答案(1)(2)(3)(4)2(教材改編)如圖701，在圓O中，M，N是弦AB的三等分點，弦CD，CE分別經過點M，N，若CM2，

4、MD4，CN3，則線段NE的長為_圖701由題意可設AMMNNBx，由圓的相交弦定理得即解得x2，NE.3(教材改編)如圖702，P為O外一點，過P作O的兩條切線，切點分別為A，B，過PA的中點Q作割線交O于C，D兩點，若QC1，CD3，則PB_.圖7024由切割線定理得QA2QCQD1(13)4，所以QA2，PBPA4.4(2016天津高考)如圖703，AB是圓的直徑，弦CD與AB相交于點E，BE2AE2，BDED，則線段CE的長為_圖703如圖，設圓心為O，連結OD，則OBOD.因為AB是圓的直徑，BE2AE2，所以AE1，OB.又BDED，B為BOD與BDE的公共底角，所以BODBDE，

5、所以，所以BD2BOBE3，所以BDDE.因為AEBECEDE，所以CE.5如圖704，AB是圓O的直徑，C，D是圓O上位于AB異側的兩點，證明：OCBD.圖704證明因為B，C是圓O上的兩點，所以OBOC，故OCBB.又因為C，D是圓O上位于AB異側的兩點故B，D為同弧所對的兩個圓周角所以BD.因此OCBD.圓的切線性質與判定、弦切角定理如圖705，AB是O的直徑，AC是O的切線，BC交O于點E.圖705(1)若D為AC的中點，證明：DE是O的切線；(2)若OACE，求ACB的大小. 【導學號：62172366】解(1)證明：如圖，連結AE，由已知得AEBC，ACAB.在RtAEC中，由已知

6、得DEDC，故DECDCE.連結OE，則OBEOEB.又ACBABC90，所以DECOEB90，故OED90，即DE是O的切線(2)設CE1，AEx.由已知得AB2，BE.由射影定理可得AE2CEBE，即x2，即x4x2120.解得x，所以ACB60.規(guī)律方法1.圓周角定理及其推論與弦切角定理及其推論多用于推出角的關系，從而證明三角形全等或相似，可求線段或角的大小2涉及圓的切線問題時要注意弦切角的轉化；關于圓周上的點，常作直徑(或半徑)或向弦的(弧)兩端作圓周角或弦切角變式訓練1如圖706，AB切O于點B，直線AO交O于D，E兩點，BCDE，垂足為C.(1)證明：CBDDBA；(2)若AD3D

7、C，BC，求O的直徑圖706解(1)證明：因為DE為O直徑，則BEDEDB90.又BCDE，所以CBDEDB90，從而CBDBED.又AB切O于點B，得DBABED，所以CBDDBA.(2)由(1)知BD平分CBA，則3.又BC，從而AB3，所以AC4，所以AD3.由切割線定理得AB2ADAE，即AE6，故DEAEAD3，即O的直徑為3.圓內接四邊形及圓周角定理(2016全國卷)如圖707，在正方形ABCD中，E，G分別在邊DA，DC上(不與端點重合)，且DEDG，過D點作DFCE，垂足為F.(1)證明：B，C，G，F(xiàn)四點共圓；(2)若AB1，E為DA的中點，求四邊形BCGF的面積圖707解(

8、1)證明：因為DFEC，所以DEFCDF，則有GDFDEFFCB，所以DGFCBF，由此可得DGFCBF.因此CGFCBF180，所以B，C，G，F(xiàn)四點共圓(2)由B，C，G，F(xiàn)四點共圓，CGCB知FGFB.連結GB.由G為RtDFC斜邊CD的中點，知GFGC，故RtBCGRtBFG，因此，四邊形BCGF的面積S是GCB面積SGCB的2倍，即S2SGCB21.規(guī)律方法1.判斷四點共圓的步驟(1)觀察幾何圖形，找到一對對角或一外角與其內對角；(2)判斷四邊形的一對對角的和是否為180或判斷四邊形一外角與其內對角是否相等；(3)下結論2解決有關三角形與圓的試題，關鍵是正確處理角與邊之間的關系，通過

9、相應的條件與定理建立有關角之間或邊之間的關系式，進而達到求解的目的變式訓練2(2017蘇州市期中)如圖708，AB是圓O的直徑，弦BD，CA的延長線相交于點E，過E作BA的延長線的垂線，垂足為F.求證：AB2BEBDAEAC.圖708 證明連結AD，BC，AB為圓的直徑，ADB90，又EFAB，AFE90，則A，D，E，F(xiàn)四點共圓，BDBEBABF，又ABCAEF，即ABAFAEAC.BEBDAEACBABFABAFAB(BFAF)AB2.即AB2BEBDAEAC.與圓有關的比例線段如圖709，正方形ABCD的邊長為2，以A為圓心，DA為半徑的圓弧與以BC為直徑的半圓O交于點F，連結BF并延長

10、交CD于點E.(1)求證：E為CD的中點；(2)求EFFB的值. 【導學號：62172367】圖709解(1)證明：由題可知是以A為圓心，DA為半徑作的圓弧，而四邊形ABCD為正方形，ED為圓A的切線，依據切割線定理得ED2EFEB，又圓O以BC為直徑，EC是圓O的切線，同樣依據切割線定理得EC2EFEB，故ECED，E為CD的中點(2)連結CF，BC為圓O的直徑，CFBF，由SBCEBCCEBECF，得CF.在RtBCE中，由射影定理得EFFBCF2.規(guī)律方法解決與圓有關的成比例線段問題的兩種思路：1直接應用相交弦、切割線定理及其推論2當比例式(等積式)中的線段分別在兩個三角形中時，可轉化為

11、證明三角形相似，一般思路為“相似三角形比例式等積式”在證明中有時還要借助中間比來代換，解題時應靈活把握變式訓練3如圖7010，P是O外一點，PA是切線，A為切點，割線PBC與O相交于點B，C，PC2PA，D為PC的中點，AD的延長線交O于點E.證明：(1)BEEC；(2)ADDE2PB2.圖7010證明(1)連結AB，AC，由題設知PAPD，故PADPDA.因為PDADACDCA，PADBADPAB，DCAPAB，所以DACBAE，從而.因此BEEC.(2)由切割線定理得PA2PBPC.因為PAPDDC，所以DC2PB，BDPB.由相交弦定理得ADDEBDDC，所以ADDE2PB2.思想與方法

12、1切點與圓心的連線與圓的切線垂直；過切點且與圓的切線垂直的直線過圓心2證明四點共圓的主要方法(1)圓內接四邊形的判定定理(2)圓內接四邊形判定定理的推論3弦切角定理與圓周角定理是證明角相等的重要依據，解題時應根據需要添加輔助線構造所需要的角易錯與防范1圓內接四邊形的性質易得到相等的角，進而為得到三角形相似創(chuàng)造了條件2與圓有關的比例線段緊緊抓住兩點：(1)切割線定理、相交弦定理；(2)利用圓內接四邊形性質和三角形相似課時分層訓練(十四)A組基礎達標(建議用時：30分鐘)1如圖7011，在ABC中，ABAC，ABC的外接圓O的弦AE交BC于點D.圖7011求證：ABDAEB.證明因為ABAC.所以

13、ABDC.又O是三角形ABC的外接圓，所以EC，從而ABDE.又BAEBAD.故ABDAEB.2(2017泰州模擬)如圖7012，AB和BC分別與圓O相切于點D，C，AC經過圓心O，且BC2OC.圖7012求證：AC2AD. 【導學號：62172368】證明連結OD.因為AB和BC分別與圓O相切于點D，C，所以ADOACB90.又因為AA，所以RtADORtACB，所以.又BC2OC2OD，故AC2AD.3如圖7013，圓O的弦AB，CD相交于點E，過點A作圓O的切線與DC的延長線交于點P，若PA6，AE9，PC3，CEED21，求BE的長圖7013解由切割線定理，得PA2PCPD.因此PD1

14、2.又PC3，所以CDPDPC9.由于CEED21，因此CE6，ED3.由相交弦定理，AEEBCEED，所以BE2.4如圖7014，在O中，相交于點E的兩弦AB，CD的中點分別是M，N，直線MO與直線CD相交于點F.證明：圖7014(1)MENNOM180；(2)FEFNFMFO. 【導學號：62172369】證明(1)如圖所示，因為點M，N分別是弦AB，CD的中點，所以OMAB，ONCD，則OME90，ENO90，因此OMEONE180.又四邊形的內角和等于360，故MENNOM180.(2)由(1)知，點O，M，E，N四點共圓由割線定理，得FEFNFMFO.B組能力提升(建議用時：15分鐘

15、)1如圖7015，設AB為O的任一條不與直線l垂直的直徑，P是O與l的公共點，ACl，BDl，垂足分別為C，D，且PCPD.圖7015(1)求證：l是O的切線；(2)若O的半徑OA5，AC4，求CD的長解(1)證明：連結OP，ACl，BDl，ACBD.又OAOB，PCPD，OPBD，從而OPl.點P在O上，l是O的切線(2)由(1)可得OP(ACBD)，BD2OPAC1046.過點A作AEBD，垂足為E，則BEBDAC642.在RtABE中，AE4，CD4.2(2016全國卷)如圖7016，OAB是等腰三角形，AOB120，以O為圓心，OA為半徑作圓圖7016(1)證明：直線AB與O相切；(2

16、)點C，D在O上，且A，B，C，D四點共圓，證明：ABCD.證明(1)設E是AB的中點，連結OE.因為OAOB，AOB120，所以OEAB，AOE60.在RtAOE中，OEAO，即O到直線AB的距離等于O的半徑，所以直線AB與O相切(2)因為OA2OD，所以O不是A，B，C，D四點所在圓的圓心設O是A，B，C，D四點所在圓的圓心，作直線OO.由已知得O在線段AB的垂直平分線上，又O在線段AB的垂直平分線上，所以OOAB.同理可證，OOCD，所以ABCD.3如圖7017，圓內接四邊形ABCD的邊BC與AD的延長線交于點E，點F在BA的延長線上圖7017(1)若EFCD，證明：EF2FAFB；(2

17、)若EB3EC，EA2ED，求的值解(1)證明：因為四邊形ABCD內接于圓，所以BCDE.又EFCD，所以CDEFEA，因此，BFEA.而F為公共角，所以FAEFEB，于是，即EF2FAFB.(2)由割線定理，得EDEAECEB，即ED2EDEC3EC，所以，即.因為BCDE，CED是公共角，所以ECDEAB，于是，.4(2016全國卷)如圖7018，O中的中點為P，弦PC，PD分別交AB于E，F(xiàn)兩點圖7018(1)若PFB2PCD，求PCD的大??；(2)若EC的垂直平分線與FD的垂直平分線交于點G，證明OGCD.解(1)如圖，連結PB，BC，則BFDPBABPD，PCDPCBBCD.因為，所以PBAPCB.又BPDBCD，所以BFDPCD.又PFBBFD180，PFB2PCD，所以3PCD180，因此PCD60.(2)證明：因為PCDBFD，所以EFDPCD180，由此知C，D，F(xiàn)，E四點共圓，其圓心既在CE的垂直平分線上，又在DF的垂直平分線上，故G就是過C，D，F(xiàn)，E四點的圓的圓心，所以G在CD的垂直平分線上又O也在CD的垂直平分線上，因此OGCD.