中值定理與導數(shù)的應用

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1、第三章中值定理與導數(shù)的應用【字體：大 中 小】【打印】 第一節(jié)中值定理中值定理是一元微分學的理論基礎，在這個基礎上，將使微分學在更廣的范圍內應用，這也是研究生考試的重點之一大綱內容與要求 理解并使用羅爾定理，拉格朗日定理及泰勒定理，了解并使用柯西定理。考點分析 由于中值定理都有一個共同特點，它們都是在這樣或那樣的條件下，得出在指定的區(qū)間內至少存在一點，使得我們研究的函數(shù)在這點具有這樣或那樣的性質，因此我們的重點應放在掌握每個中值本身特點上，學會分析問題的基本方法和掌握這類問題（定理）的基本解題技巧。一、羅爾定理（請列出羅爾定理）如果函數(shù)f（x）滿足（1）在閉區(qū)間a,b上連續(xù)；（2）在開區(qū)間（a

2、,b）內可導；（3）在區(qū)間端點處的函數(shù)值相等，即f（a）=f（b）,那么在（a,b）內至少有一點，使得考點一 通過對羅爾定理的分析，我們可以得到這樣的推廣即在上有n階導數(shù)，在n+1個點上函數(shù)值相等，則至少存在一點使【例1證明題】若函數(shù)f（x）在（a,b）內具有二階導數(shù)且其中證明：在 內至少有一點使得【答疑編號911030101：針對該題提問】分析：f（x）在x1,x2, x2,x3上滿足羅爾定理條件，因此存在f（1）=0, f（2）=0 在1,2上對于f（x）再用羅爾定理，即有f”（）=0證明：f（x）在（a,b）上有二階導數(shù)，因此f（x）,f（x）都存在且連續(xù)，又有f（x1）= f（x2）=

3、f（x3）因此f（x）在x1, x2 , x2, x3上滿足羅爾定理條件故,使f（1）=0 f（2）=0于是f（x）在1,2上滿足羅爾定理條件故使得f（）=0【例2證明題】（07年數(shù)學一（19）題）設函數(shù),在a,b上連續(xù)，在（a,b）內具有二階導數(shù)，且存在相等的最大值， 證明：存在使得【答疑編號911030102：針對該題提問】分析：證明f”（）= g”（），即證f”（）- g”（）=0考慮函數(shù)（x）=f（x）-g（x）,也就是證明”（）=0根據(jù)已知（a）= （b）=0,那么由推廣的羅爾定理只要再找到一點（a,b）, 使（）=0即得結論。證明：考慮函數(shù)（x）=f（x）-g（x）,由于f（x）,

4、g（x）在（a,b）內有二階導數(shù),從而（x）,存在且連續(xù).又f（x）,g（x）在a,b連續(xù)，從而（x）在a,b連續(xù)。從而（x）在a,b連續(xù)，且（a）= （b）=0由于f（x）,g（x）有相同的最大值，設此值為M即有使f（x1）=M使f（x2）=M于是 （x1）= f（x1） -g（x1）=M- g（x1）0（x2）= f（x2） -g（x2）=f（x2）-M0若（x1）=0（或（x2）=0）則取=x1（或取=x2）有（）=0 （a,b）若（x1）0, （x2）0 故F（）=0由于f（x）在0, 連續(xù)，則F（x）在0, 可導，在0, ，, 上對F（x）用羅爾定理,則,使F（1）=F（2）=0，也

5、就是f（1）=f（2）=0.【例4證明題】（95年考題）設函數(shù)f（x）和g（x）在a,b上存在二階導數(shù)，并且g（x）0f（a）=f（b）=g（a）=g（b）=0 試證（1）在開區(qū)間（a,b）內g（x）0（2）在開區(qū)間（a,b）內 至少存在一點使【答疑編號911030201：針對該題提問】（1）分析：一般象這種出題方式通常采用反證法，假設在（a,b）內g（x）有零點，由已知g（a）=g（b）=0.則g（x）有三個零點,又g（x）存在.因此由推廣的羅爾定理,將存在 ,使g（）=0與g（x）0矛盾.證明: 用反證法 假設使g（c）=0由于g（x）在a,b上存在二階導數(shù),因此在a,b上g（x）與g（x

6、）都連續(xù)可導,又g（a）=g（c）=g（b）=0.于是在a,c,c,b上對g（x）用羅爾定理.,使g（1）=0 , g（2）=0又在1 ,2上對g（x）用羅爾定理使g（）=0 與 g”（x）0矛盾,故在（a,b）內g（x）0（2）分析:證明即證f（）g”（）- f”（）g（）=0也就是f（x）g”（x）- f”（x）g（x）在（a,b）內有零點.由已知只知道二階導存在,并沒有說二階導連續(xù),因此無法用連續(xù)函數(shù)的零點存在定理,我們考慮找它的原函數(shù),把函數(shù)的零點存在問題,轉化為它的原函數(shù)存在導數(shù)為零的點的問題,現(xiàn)在的問題是找f（x）g”（x）- f”（x）g （x）的原函數(shù),如果觀察力強,我們可直接

7、找到.f（x）g”（x）- f”（x）g （x）= f（x）g （x）- f（x）g （x）如果觀察不出來,我們可通過積分求出原函數(shù).也就是: 證明: f（x）g”（x）- f”（x）g（x）有原函數(shù)（x）=f（x）g（x）- f（x）g（x）由已知（x）在a,b可導,且（a）=（b）=0由羅爾定理.,使（）=0即f（）g”（）- f”（）g（）=0由（1）知g（）0,于是有二.拉格朗日定理（請列出拉格朗日定理兩個理論）如果函數(shù)f（x）滿足（1）在閉區(qū)間a,b上連續(xù)；（2）在開區(qū)間（a,b）內可導，那么在（a,b）內至少有一點（ab）,使等式f（b）-f（a）=f（）（b-a）成立拉格朗日定理

8、在微分學中占有重要地位，我們具體分析拉格朗日定理以弦找切線，有了弦就一定有和它平行的切線?？键c三 如果要證明f（）=K或f（）0等可考慮層區(qū)間a,b內找斜率具有相應特點的位。 【例5證明題】設f（x）在0,1連續(xù)，在（0,1）可導.f（0）=f（1）=0 . 證明至少存在一點（0,1），使f（）=1【答疑編號911030202：針對該題提問】分析：我們應該在0,1內找斜率是1的弦如果弦的一個端取原點，另一點取在曲線上哪一點可保證弦的斜率是1呢？直接找這樣的點，實際是辦不到的，因為滿足連續(xù)可導過這三點的曲線有無數(shù)多，我們換個思路，作過原點斜率是1的直線y=x如果它與y=f（x）有交點，那么這個交

9、點，就是我們要找的點，要證明y=f（x）與y=x有交點可通過證明f（x）-x有零點。證明：考慮函數(shù)=f（x）-x由于f（x）在連續(xù)且. 由零點存在定理使即由于f（x）在0,c連續(xù). 在（0,c）可導由拉格朗日定理,使注意：證完以后，也可利用對用羅爾定理使也有【例6證明題】（08年數(shù)學二，（20）（1）證明積分中值定理：若函數(shù)在閉區(qū)間a,b上連續(xù)，則至少存在一點使得 【答疑編號911030203：針對該題提問】（2）若函數(shù)具有二階導數(shù)，且滿足,則至少存在一點使得 【答疑編號911030204：針對該題提問】（1）從略（2）分析：這種題目一般是用（1）的結論，去考慮（2）的證明。在（2）已知中有定

10、積分于是由積分中值定理得證明可看成具有導數(shù)小于零的點。根據(jù)在x=1,2,點的關系，可看到。（1）0, （2）0 于是對（x）則存在斜率小于零的弦證明（2）由積分中值定理由于有二階導數(shù)故，連續(xù)可導在1,2和上對用拉格朗日定理于是使 使 在上對用拉格朗日定理使【例7證明題】設函數(shù)f（x）在閉區(qū)間0,1上連續(xù)，在開區(qū)間（0,1）內可導,且f（0）=f（1）=1,證明:對任何0K1的常數(shù)K,存在（0,1）使f（）=-K【答疑編號911030205：針對該題提問】分析:我們尋找斜率是-K的弦,由于0K1則-1-Ka0,f（x）在a,b上連續(xù),在（a,b）內可導,證明使得【答疑編號911030301：針對

11、該題提問】分析：我們先對等式進行了變形我們看到函數(shù)為所在區(qū)間為a,b證明:考慮函數(shù)由已知可得在 a,b連續(xù)，在（a,b）可導。由拉格朗日定理，使得即有注意：由于將換成x，得，求其原函數(shù)可取原函數(shù)考點五在用拉格朗日定理證明等式的時，等式中若出現(xiàn),時，一般將會含有和的項分別放在等式兩邊。一般用兩次拉格朗日定理或用兩次柯西定理，也可將兩個中值定理結合起來用，可根據(jù)具體題目來定：我們要確定對哪個函數(shù)，在哪個區(qū)上用中值定理。由于等式兩端是f（）和g（x）。常見情況含有的式了為將換成x即是我們要確定的函數(shù)【例9證明題】（98年考研題）設函數(shù)f（x）在a,b上連續(xù)，在（a,b）內可導，且f（a）=f（b）=

12、1,試證使得【答疑編號911030302：針對該題提問】分析：將,分別放在等號兩端,將換成x將換成x證明：考慮函數(shù) 由已知可得F（x）在a,b連續(xù)，在（a.b）可導，由拉格朗日定理，使由于f（a）=f（b）=1,于是有等式左端正好是函數(shù)在區(qū)間a,b端點處函數(shù)值的差與自變量差之比.考慮函數(shù)則在a,b上滿足拉格朗日定理條件,則,使于是得也就是考點六 證明中值點的唯一性。在拉格朗日定理中,我們只知道至少有一個介于a,b之間,至于它的具體位置或的個數(shù),我們并不知道.它的另外形式或我們只知道01.的具體值及是否唯一我們也不知道.但如果我們增加條件比如f（x）嚴格單調,那么的唯一性是可以得到的.因為嚴格單

13、調函數(shù)的函數(shù)值與自變量是一一對應的.【例10證明題】（2001年數(shù)學一試題）設y=f（x）在（-1,1）內具有二階連續(xù)導數(shù)且f（x） 0,試證:（1）對于（-1,1）內的任一x0, 存在唯一的,使成立.【答疑編號911030303：針對該題提問】（2）【答疑編號911030304：針對該題提問】（1）分析:題中的式子即為f（x）在區(qū)間0,x上的拉格朗日公式,由于x是（-1,1）中任意不為零的點.回此當x變支時,區(qū)間內的中值點也在變動,也就是是與x有關的.故寫成,的唯一性可由f（x）的嚴格單調性得到.證明:由已知對,f（x）在以（0,x）為端點的區(qū)間上滿足拉格朗日中值定理條件,介于0,x,使.由

14、于f（x）連續(xù)且f（x）0,因此f（x）在（-1,1）內不變號,于是f（x）在（-1,1）內嚴格單調,故唯一.（2）分析:我們要求Q（x）在時的極限,應有Q（x）的表達式.我們對f（x）在0,x上用拉格朗日定理得到f（x）中的值點Q（x）x如果我們對f（x）在0,上用拉格朗日定理,端點的差即為.證明:由于f（x）存在且連續(xù),因此f（x）連續(xù).對f（x）在0,為端點的區(qū)間上用拉格朗日定理,存在介于0,之間,使，在0與之間.代入題（1）中式子,得三、柯西定理如果函數(shù)f（x）及g（x）滿足（1）在閉區(qū)間a,b上連續(xù)；（2）在開區(qū)間（a,b）內可導；（3）對任一x（a,b）,g（x）0,那么在（a,b

15、）內至少有一點，使等式考點七用柯西定理證明等式.我們分析柯西定理公式等式兩端分子分母具有對稱性.我們在用柯西定理證明等式時,主要是確定兩個函數(shù)及它們所在區(qū)間.首先我們將欲證明的等式含有的項放在等式一邊,其余的項放在等式另一邊,并把等號兩端分子分母按柯西公式的形式變成對稱的,即能得到解決所需的函數(shù)及所在區(qū)間.【例11證明題】若函數(shù)f（x）在0,1可導,則必存在一點,使【答疑編號911030401：針對該題提問】分析:我們將等式變形,將含有的項放在等式一邊將等式兩端按柯西公式化為分子分母對稱形式由看到它是arctanx在點的導數(shù)值,而arctanx在1和0的函數(shù)值正好是和0.證明:f（x）和g（x

16、）=arctanx在0,1可導,且。由于柯西定理使得即即考點八證明在（a,b）內含有,的等式時,一般要用兩次中值定理,特別是拉格朗日定理和柯西定理.有時是綜合運用這兩個中值定理,要根據(jù)具體題目選擇適合的方法.我們首先要將欲證明的等式中,將含和分別放在等式的兩端.根據(jù)具體情況在等式一端用一次適合的中值定理,再對等式的另一端用一次中值定理.【例12證明題】設函數(shù)f（x）在a,b,連續(xù),在（a,b）內可導,且f（x）0.試證存在使得【答疑編號911030402：針對該題提問】分析:我們首先將等式中的,分開等式右端為f（x）的導數(shù)與的導數(shù)在的值.如果對f（x）,在a,b上用柯西定理有再對f（x）用拉格

17、朗日定理即可.證明:f（x）,在a,b連續(xù),在（a,b）可導,且,由于柯西定理,使對于f（x）在a,b上用拉格朗日定理,使于是有由于f（x）0,即得【例13證明題】設函數(shù)f（x）,g（x）在a,b上連續(xù),且g（b）=g（a）=1,在（a,b）內f（x）, g（x）可導,且g（x）+ g（x）0,f（x）0. 證明:,使【答疑編號911030403：針對該題提問】分析:將,分開等號左邊分子,分母分別是f（x）,在點的導數(shù).等號右邊分子,分母分別是f（x）,ex在點的導數(shù).由于已知中有g（b）=g（a）=1.我們先對等號左邊的兩函數(shù)f（x）,用柯西定理.這樣便于化簡.證明: f（x）,在a,b連續(xù)

18、,在（a,b）可導.由柯西定理,使由于g（b）=g（a）=1,上式左端即為再在a,b上對f（x）,用柯西定理.有于是得由于f（x） 0有四、泰勒定理（1）假設函數(shù)f（x）在含有x0的開區(qū)間（a,b）內具有直到n階的導數(shù)，則有此公式稱為帶有佩亞諾型余項的泰勒公式。（2）假設函數(shù)f（x）在含有x0的開區(qū)間（a,b）內具有直到（n+1）階的導數(shù)，則對于x（a,b）,有其中，是x0與x之間的某個值，此公式稱為帶有拉格朗日型余項的泰勒公式。拉格朗日定理的常用形式是f（x）=f（x0）+f（）（x- x0） x與x0之間,它建立了函數(shù)變量與自變量及一階導數(shù)之間的關系.泰勒定理是微分中值定理的高階形式.它建

19、立了函數(shù)改變量與自變量與各階導數(shù)的關系.我們常用泰勒公式來討論與高階導數(shù)關系的問題.考點九首先要選擇在哪一點展開, 一般題目中出現(xiàn)的一特殊點.如函數(shù)值為零的點,導數(shù)值為零的點或題目中出現(xiàn)的一些特殊點常被選擇x0在將f（x）在x0點展開后,根據(jù)題目需要，經(jīng)常將x取某些特殊值.如區(qū)間端點等,得到兩個等式,然后將它相加或相減所得到我們需要的部分.【例14證明題】設在1,+上處,有f（x）0,且f（1）=2, f（1）=-30.證明:在（1,+）內方程f（x）=0僅有一個實根.【答疑編號911030404：針對該題提問】分析:我們根據(jù)已知條件可作出y=f（x）的大致圖形, f（x）0，我們只要找到一點

20、C1,f（c）0,即可得根的存在性。由于在x0=1點，知道函數(shù)值與一階導數(shù)值，故考慮用泰勒公式，將f（x）在x0=1點展開。證明：把f（x）在x0=1處展成一階泰勒公式 我們的目的是找到一點C，使f（c）0，我們怎么知道x取什么值時，等式右端小于零呢。由于有，我們無法解出x，使等式右端小于零。我們可通過放大的方法，將去掉而得出x。由于于是f（x）2-3（x-1）=5-3x,令5-3x0，得，則f（c）0,由已知得f（x）在1,c連續(xù)。由零點存在定理可知存在使f（）=0。即方程f（x）=0 在（1,+）內有實根。由于f（x）0,，因此f（x）單調減，于是當x1時，f（x）f（1）=-30,可知f

21、（x）在1,+）嚴格單調減少，因此f（x）只有x=一個零點。則方程f（x）=0只有x=一個實根?！纠?5證明題】：96年考研題設f（x）在0，1上具有二階導數(shù)，且滿足條件|f（x）|a, |f（x）|b，其中a,b都是非導數(shù)，C是（0，1）內任意一點，證明【答疑編號911030405：針對該題提問】分析：由于在條件結論中出現(xiàn)了f（x）,f（x）, f（x）,我們考慮用泰勒公式將它們聯(lián)系起來,而證明的結論中有f（c）,因此考慮在x=c點展開.證明: f（x）在0,1有二階導數(shù),對任意的x（0,1）將f（x）在C點展成泰勒公式。, 在c,x之間我們的目的是得到f（c）的表達式,因此將x=0和x=1

22、代入上式得:（1）（2）（2）-（1）,得到:即，命題得證。第二節(jié)導數(shù)的應用一、函數(shù)極值,最值及其求法（設函數(shù)f（x）在點，如果對于去心鄰域內的任一x，有，那么就稱是函數(shù)的一個極大值或極小值。函數(shù)的極大值與極小值統(tǒng)稱為函數(shù)的極值。必要條件：設函數(shù)f（x）在處可導，且在處取得極值，那么.第一充分條件：設函數(shù)f（x）在處連續(xù)，且在的某去心鄰域內可導，若在兩側的導數(shù)異號，那么f（x）在處存在極值；若在 兩側的導數(shù)同號，則f（x）在處沒有極值。第二充分條件：設函數(shù)f（x）在處有二階導，且，那么當當 注意:1.根據(jù)極值的定義,可看出極值是局部性質。2.極值是對連續(xù)函數(shù)的內點引入的概念,對區(qū)間端點,或不連

23、續(xù)的內點是不考慮的。我們顯然不能說f（0）=1是極大值 3.f（x）的極值點只能在駐點或不可導點取得4.最值是整體概念.5.對于f（x）在區(qū)間a,b上的最值點,可做如下考慮因此僅駐點、不可導點和端點是可能最值點。比較以上各點的函數(shù)值，最大（?。┑募礊樽畲螅ㄐ。┲?6.如果函數(shù)在a,b上單調,則兩個端點的函數(shù)值f（a）和f（b）,一個為最大值,一個為最小值.7.如果一個函數(shù)在區(qū)間內可導,且有唯一駐點,在該點取極大（?。┲?則該極大（小）值即為函數(shù)在區(qū)間內最大（?。┲? 8.由于函數(shù)的單調性總是和研究其它問題聯(lián)系在一起,特別是極值問題和不等式問題,我們應記住由一階導f（x）的符號來判斷函數(shù)的增減性

24、. 【例15證明題】證函數(shù)f（x）對一切x（-,+ ）滿足方程（x-1）f（x）+2（x-1） f（x）3=1-e1-x證明:（1）若f（x）在點x=a（a1）取得極值,它必是極小值.【答疑編號911030501：針對該題提問】（2）若f（x）在點x=1取得極值,它是極大值還是極小值【答疑編號911030502：針對該題提問】（1）分析:由題設f（x）有一階和二階導數(shù),因此x=a一定是駐點,即f（x）0,即得結論.證明:由題設f（x）有一階和二階導數(shù),又f（a）是極值,故f（a）=0將x=a, f（a）=0代入原方程,得:如a1,則e1-a1,有f（a）0如a1,則e1-a1,有f（a）0總之

25、,a1時, f（a）0因此, f（a）是極小值. （2）分析:如（1）分析x=1是駐點,即f（1）=0,我們需要確定f（1）的符號,由于方程中有（x-1）f（x）,因此不能像（1）中那樣直接將x=1代入方程,由于f（x）存在,因此f（x）是連續(xù)的,我們轉而考慮f（x）在x=1的極限 證明:由于f（1）是極值,所以f（1）=0又由于f（x）存在,所以f（x）連續(xù)由原方程因為由極限的保號性,在x=1的領域內f（x）0,于是在x=1附近f（x）單調性增加,由于f（1）=0,因此在x=1附近,x1時, f（x） f（1）=0x1時, f（x） f（1）=0故f（1）是極小值. 【例17解答題】證函數(shù)f

26、（x）在（-,+ ）內二階可導,且f（x）0,又 （1）求f（0）, f（0） 【答疑編號911030503：針對該題提問】（2）試證:在（0, + ）內函數(shù)是單調增加的【答疑編號911030504：針對該題提問】（3）試證:在（-,+ ）內f（x）x【答疑編號911030505：針對該題提問】分析:從f（x）0可知,f（x）的圖案是凹的,當我們解決了（1）中的問題之后,可大致確定f（x）的形狀位置（1）解:由于f（x）存在,故f（x）, f（x）都是連續(xù)的,由 （2）分析：有了（1）及函數(shù)是凹的,我們大致可確定f（x）的形狀和位置.即: 是否有幾何意義呢?由可看出,g（x）代表原點和（x ,

27、 f（x）點的割線斜率,直觀上看隨X的增大,斜率確實增大,我們用g（x）的符號來確定增減性.證明: 在x0時,我們只需確定xf（x）-f（x）0記H（x）=xf（x）-f（x）H（x）=f（x）+xf（x）-f（x）=xf（x）0（x0）于是H（x）在 單調增加當x0時,H（x）H（0）=0故g（x）0,因此g（x）在內單調增加 （3）分析:由于f（x）是凹的,y=x是過原點的切線,因此f（x）x,這也是凹函數(shù)的一個特征,我們來證明f（x）-x0證明:考慮函數(shù)F（x）=f（x）-x, F（x）=f（x）-1 F（x）=f（x）0,因此F（x）在內單調增加因F（0）=f（0）-1=0, 所以當x

28、0時,F（x）f（x）=0,于是F（x）在單調增加,所以F（x） F（0）=0當x0時, F（x）f（0）=0,于是F（x）在內單調減少,所以F（x）F（0）=0,總之在內F（x）0,即有f（x）x. 【例18解答題】（04年數(shù)學二考題） （1） 證明f（x）是以為周期的周期函數(shù)【答疑編號911030601：針對該題提問】（2） 求f（x）的值域【答疑編號911030602：針對該題提問】（1）分析:只需證明f（x+）=f（x）,由f（x）的已知條件直接計算f（x+）即可 （2）分析:因為f（x）以為周期,故只需需討論f（x）在0,上的值域,只要找到f（x）在0, 上的最大最小值,就可以了.解

29、:由于f（x）以為周期,我們只討論f（x）在0,上的值域即可,由于|sint|在連續(xù),從而f（x）可導.比較以上兩點及端點的函數(shù)值因此f（x）在0,上的最大值為 ,最小值為 ,故f（x）的值域為 二、函數(shù)的凹凸性與拐點 （1）函數(shù)曲線凸凹性與拐點的概念：若在某區(qū)間內，曲線位于其上任意一點的切線的上方，則稱曲線在該區(qū)間內是凹的，記為；若在某區(qū)間內，曲線位于其上任意一點的切線的下方，則稱曲線在該區(qū)間內凸的，記為。連續(xù)曲線上凹與凸的分界點，稱為曲線的拐點。（2）函數(shù)曲線凹凸性的判別法：若在區(qū)間（a，b）內，則曲線y=f（x）在該區(qū)間內凹；若在區(qū)間（a，b）內，則曲線y=f（x）在該區(qū)間內凸。（3）關

30、于拐點:1.連接曲線上凹凸的分界點稱為曲線的拐點.2.必要條件:設f（x）在,內存在二階導數(shù),看是拐點,則必有3.函數(shù)曲線的拐點只能在使f（x）等于零的點或f（x）不存在的點取得.4.判別法方法一:f（x）在的某鄰域內連續(xù)二階可導可以不存在,如果在的左右兩側f（x）符號相反,則是曲線y=f（x）的拐點.方法二:設f（x）在的某領域內三階可導,且,而f ,則是拐點. 考點十確定曲線的凹凸區(qū)間與拐點的步驟1.確定函數(shù)連續(xù)區(qū)間2.求f（x）,確定使f（x）為零的點及f（x）不存在的點.3.將上述點按由小到大將定義域分成若干子區(qū)間,確定每個子區(qū)間f（x）的符號,用以判斷曲線的凹凸和求得拐點. 【例19

31、填空題】（08年數(shù)學二考題）曲線的拐點坐標為_。【答疑編號911030603：針對該題提問】分析： 在連續(xù)X=-1時，y =0.且在x=0,y不存在在x-1兩側y異號，故（-1，-6）為拐點在x=0兩側y不變號，故（0，0）不是拐點因此拐點坐標（-1，-6） 【例20選擇題】（00年數(shù)學二考題）設函數(shù)f（x）滿足關系式：,且 ,則（A）f（0）是f（x）的極大值（B）f（0）是f（x）的極小值（C）點（0，f（0）是曲線y=f（x）的拐點（D）f（0）不是f（x）的極值,點（0,0）也不是曲線y=f（x）的拐點【答疑編號911030604：針對該題提問】分析:由,知x=0是駐點,將x=0,f（

32、0）=0代入關系式,得,我們考察與在x=0兩側是否變號.在本題中不易做到,我們求三階導數(shù),由于等式 的右端可導,故左端可導,即存在,從而可知（0,f（0）是曲線拐點,故選（C） 【例21選擇題】（06年數(shù)學一考題）設函數(shù)y=f（x）具有二階導數(shù)，且,為自變量x在點x0處的增量，與dy分別為點x0處對應的增量與微分，如果，則：【答疑編號911030605：針對該題提問】分析：（1）由所給條件可知f（x）單調上升且是凹的由 ,dy的幾何意義如圖,可知,故選（A）或由凹函數(shù)的性質曲線在切線之上,故有即故選A 三、漸近線1.漸近線的概念當曲線C上動點P沿曲線C無限遠移的，若動點P到某直線L的距離無限趨

33、近于零，稱直線L是曲線C的漸近線.2.漸近線的求法（1）鉛直漸近線:若或則直線x=a是由線y=f（x）的鉛直漸近線（一般出現(xiàn)在x=a無窮型間斷點）（2）水平漸近線:若或則直線y=b是曲線y=f（x）的水平漸近線（3）斜漸近線:若又存在則直線y=ax+b是曲線y=f（x）的斜漸近線3.幾點說明（1）上的連續(xù)函數(shù)無鉛直漸近線.（2）鉛直漸近線可沒有,可有有限條,可有無限條.（3）水平和斜漸近線可沒有,可有一條,至多兩條.考點十一.求漸近線應根據(jù)漸近線的求法,依次考察曲線是否存在鉛直,水平,斜漸近線,關鍵是正確的求出極限.【例21填空題】（05數(shù)學一 考題）曲線的斜漸近線方程為_【答疑編號91103

34、0701：針對該題提問】【例22選擇題】（07數(shù)學一考題）曲線y=1/x+ln（1+ex）漸近線條數(shù)為（A）0（B）1（C）2（D）3【答疑編號911030702：針對該題提問】分析：曲線只有一個間斷點x=0【例23選擇題】（94年考題）曲線的漸近線條數(shù)為（A）1條（B）2條（C）3條（D）4條 【答疑編號911030703：針對該題提問】分析： 函數(shù)有三個間斷點x=-1,0,2因此x=2不是鉛直漸近線同樣可求得x=-1也不是鉛直漸近線因此時，是水平漸近線故選（B）四、不等試的證明考點十二利用函數(shù)的單調性或拉格朗日公式證不等式1.當不等式兩端包含自變量x,將不等式各項移到不等式一端,使另一端為

35、零.設一端的函數(shù)為F（x）,即證明F（x）0或者（0）（1）求F（x）判斷導數(shù)符號,利用單調性證明.（2）如F（x）符號難以判定,則可繼續(xù)求F（x）,或較高階的導數(shù).最終確定出F（x）的符號.2.如果不等式兩端均為常數(shù)且包含區(qū)間端點a和b,可將a,b中較大的數(shù)改寫為 x,用1中的方法證明出F（x）0或者（0）, 取x=b,即是欲證的不等式.3.利用最值證不等式.實際也是利用單調性,有兩個單調區(qū)間若Fmin=0 則有F（x）0.若Fmax=0 則有F（x）04.若不等式中有f（b）-f（a）的項可考慮用拉格朗日定理.若f（x）有界,即mf（x）M則m（b-a）f（b）-f（a）=f（）（b-a）

36、M（b-a）（ba） 【例24證明題】（04年數(shù)學一考題）設eabe2,證明【答疑編號911030704：針對該題提問】分析：即證這符合拉格朗日定理的形式在a,b上連續(xù)可導，由拉格朗日定理使 我們證明時考慮函數(shù) ,（xe）因此在單調減于是即因此即 證明2 考慮函數(shù)我們利用單調性來證明因此f（x）在單調下降于是當時.從而f（x）在單調增當時f（x）f（a）=0特別當x=b時f（b）0 即 【例25證明題】（06年數(shù)學二考題）證明：當0ab時Bsinb+2cosb+basina+2cosa+a【答疑編號911030801：針對該題提問】分析：這是一個對稱的形式，如果設f（x）=xsinx+2cos

37、x+x則上式為f（b）-f（a）0符合拉格朗日定理形式或證明f（x）0則f（x）單調增，有f（b）f（a）證明1.設f（x）=xsinx+2cosx+x. x 0, f（x）=sinx+xcosx-2sinx+=xcosx-sinx+f（x）=cosx-xsinx-cosx=-xsinx0 ,x （0, ） 從而f（x）在0, 單調減，從而f（x）f（）=0, x （0, ） 于是f（x）在0, 單調增從而當0ab時,f（b）f（a）即bsinb+2cosb+basina+2cosa+a 證明2.設f（x）=xsinx+2cosx+x, x 0, f（x）在a,b上滿足拉格朗日定理條件，有f（

38、b）-f（a）=f（）（b-a） =（cos-sin+）（b-a）我們證明 cos-sin+0設 g（x）=xcosx-sinx+ x0, g（x）=-xsinx0 x （0, ）故g（x）在0, 單調減從而g（）g（）=0即cos-sin+0于是f（b）-f（a）0即 bsinb+2cosb+basina+2cosa+a 【例26證明題】（99年考研題）試證：當x0時. （x2-1）lnx（x-1）2【答疑編號911030802：針對該題提問】分析：設f（x）= （x2-1）lnx-（x-1）2 我們證明x0時.f（x） 0證明：考慮函數(shù)f（x）= （x2-1）lnx-（x-1）2 f（1）

39、=0 由于f（1）=0,f”（1）=20可知f（1）是極小值，如果f（1）是最小值，我們即可得到f（x） f（1）=0可知f”（x）在x=1取極小值 因此有f”（x） f”（1）=20 （x0）于是 x0時,f（x） 單調增由于f（1）=0.于是當0x1時 f（x）f（1）=0當x1時 f（x）f（1）=0由此可知 x0時,x=1是f（x）的最小值點。因此f（x） f（1）=0 （x0）即有（x2-1）lnx（x-1）2 考點十三 證明函數(shù)不等式若題中有二階以上的導數(shù)，而且用單調性證明有困難時可考慮用泰勒公式 【例27證明題】設f（x）在a,b上連續(xù)在（a,b）內二階可導，若f（a）=f（b）

40、=0則在（a,b）內至少有一點 使【答疑編號911030803：針對該題提問】分析：將函數(shù)值與二階導數(shù)值聯(lián)系起來，我們考慮用泰勒公式可將f（x）分別在a,b展開證明：將f（x）展為泰勒展式 由于f（a）=f（b）=0 得 五、函數(shù)的零點與方程的根f（x）的零點問題，直接方法是用連續(xù)函數(shù)的零點存在定理，方程根的存在性或兩曲線的交點都可轉化為函數(shù)的零點問題，零點的唯一性可由函數(shù)的單調性確定。 1.確定方程的根，可將各項移到等號一邊，另一邊為零設等號一邊為函數(shù)F（x），通過F（x）的零點來確定方程的根。2.如果要確定方程根的個數(shù)，可對F（x）求導，求出F（x）的駐點 和不可導點，用這些點把定義域分成

41、若干子區(qū)間，也就是F（x）的單調區(qū)間，計算每個單調子區(qū)間端點函數(shù)值，若端點函數(shù)值異號，則F（x）在該區(qū)間內有唯一零點。若端點函數(shù)值同號，則F（x）在該區(qū)間內沒有零點。3.如果是在開區(qū)間（a,b）內討論，我們對零點存在定理，可做如下推廣：設函數(shù)F（x）在（a,b）內嚴格單調連續(xù)，若則F（x）在（a,b）內有唯一零點 【例29解答題】（03年數(shù)學二考題）討論曲線y=4lnx+k與y=4x+ln4x的交點個數(shù)?！敬鹨删幪?11030804：針對該題提問】分析：問題等價于討論兩曲線的差即（ln4x+4x）-（4lnx+k）有幾個零點因此x=1是f（x）在（0,+）內的最小值點當f（1）0 即k4時 f（x）f（1）0. f（x）無零點當f（1）=0,即k=4時 f（x）f（1）=0，f（x）有唯一零點當f（1）0即k4時因此f（x）在（0,1）及內各有唯一零點于是當k4時，兩曲線無交點,當k=4時，兩曲線有一個交點，當k4時，兩曲線有兩個交點。