中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用

第三章中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用 【字體：大 中 小】【打印】 第一節(jié)中值定理中值定理是一元微分學(xué)的理論基礎(chǔ)，在這個(gè)基礎(chǔ)上，將使微分學(xué)在更廣的范圍內(nèi)應(yīng)用，這也是研究生考試的重點(diǎn)之一大綱內(nèi)容與要求 理解并使用羅爾定理，拉格朗日定理及泰勒定理，了解并使用柯西定理。考點(diǎn)分析 由于中值定理都有一個(gè)共同特點(diǎn)，它們都是在這樣或那樣的條件下，得出在指定的區(qū)間內(nèi)至少存在一點(diǎn)，使得我們研究的函數(shù)在這點(diǎn)具有這樣或那樣的性質(zhì)，因此我們的重點(diǎn)應(yīng)放在掌握每個(gè)中值本身特點(diǎn)上，學(xué)會(huì)分析問(wèn)題的基本方法和掌握這類問(wèn)題（定理）的基本解題技巧。一、羅爾定理（請(qǐng)列出羅爾定理）如果函數(shù)f（x）滿足（1）在閉區(qū)間a,b上連續(xù)；（2）在開區(qū)間（a,b）內(nèi)可導(dǎo)；（3）在區(qū)間端點(diǎn)處的函數(shù)值相等，即f（a）=f（b）,那么在（a,b）內(nèi)至少有一點(diǎn)，使得考點(diǎn)一 通過(guò)對(duì)羅爾定理的分析，我們可以得到這樣的推廣即在上有n階導(dǎo)數(shù)，在n+1個(gè)點(diǎn)上函數(shù)值相等，則至少存在一點(diǎn)使【例1·證明題】若函數(shù)f（x）在（a,b）內(nèi)具有二階導(dǎo)數(shù)且其中證明：在 內(nèi)至少有一點(diǎn)使得【答疑編號(hào)911030101：針對(duì)該題提問(wèn)】分析：f（x）在x1,x2, x2,x3上滿足羅爾定理?xiàng)l件，因此存在f（1）=0, f（2）=0 在1,2上對(duì)于f（x）再用羅爾定理，即有f”（）=0證明：f（x）在（a,b）上有二階導(dǎo)數(shù)，因此f（x）,f（x）都存在且連續(xù)，又有f（x1）= f（x2）=f（x3）因此f（x）在x1, x2 , x2, x3上滿足羅爾定理?xiàng)l件故,使f（1）=0 f（2）=0于是f（x）在1,2上滿足羅爾定理?xiàng)l件故使得f（）=0【例2·證明題】（07年數(shù)學(xué)一（19）題）設(shè)函數(shù),在a,b上連續(xù)，在（a,b）內(nèi)具有二階導(dǎo)數(shù)，且存在相等的最大值， 證明：存在使得【答疑編號(hào)911030102：針對(duì)該題提問(wèn)】分析：證明f”（）= g”（），即證f”（）- g”（）=0考慮函數(shù)（x）=f（x）-g（x）,也就是證明”（）=0根據(jù)已知（a）= （b）=0,那么由推廣的羅爾定理只要再找到一點(diǎn)（a,b）, 使（）=0即得結(jié)論。證明：考慮函數(shù)（x）=f（x）-g（x）,由于f（x）,g（x）在（a,b）內(nèi)有二階導(dǎo)數(shù),從而（x）,存在且連續(xù).又f（x）,g（x）在a,b連續(xù)，從而（x）在a,b連續(xù)。從而（x）在a,b連續(xù)，且（a）= （b）=0由于f（x）,g（x）有相同的最大值，設(shè)此值為M即有使f（x1）=M使f（x2）=M于是 （x1）= f（x1） -g（x1）=M- g（x1）0（x2）= f（x2） -g（x2）=f（x2）-M0若（x1）=0（或（x2）=0）則取=x1（或取=x2）有（）=0 （a,b）若（x1）>0, （x2）<0 則由連續(xù)函數(shù)的零點(diǎn)存在定理。知存在介于 x1, x2之間使（）=0總之不論上以哪種情況，總存在（a,b），使（）=0于是在a, ，,b上對(duì)（x）用羅爾定理則使（）=0即f”（）=g”（）考點(diǎn)二 用羅爾定理證明函數(shù)存在零點(diǎn)。如果不容易找到函數(shù)異號(hào)的，或者要證明的函數(shù)本身不連續(xù)的（這樣肯定是不能用零點(diǎn)定理的），可以考慮用羅爾定理進(jìn)行證明。可考慮用函數(shù)f（x）的原函數(shù)F（x），因F（x）=f（x），由羅爾定理得出F（）=0則有f（）=0【例3·證明題】（2000年考題）設(shè)函數(shù)在上連續(xù)，且，試證：在內(nèi)至少存在兩個(gè)不同的點(diǎn)和使【答疑編號(hào)911030103：針對(duì)該題提問(wèn)】分析：如果用連續(xù)函數(shù)的零點(diǎn)存在定理，要在兩個(gè)區(qū)間上存在異號(hào)函數(shù)值，根據(jù)現(xiàn)有已知條件不易得到，我們可考慮f（x）的原函數(shù),而F（0）=0,F（）=0，因此只要再找到一點(diǎn)（0,） 使F（）=0，用羅爾定理即可得到兩個(gè)導(dǎo)數(shù)為零的點(diǎn)。證明：考慮f（x）的原函數(shù),0x則F（0）=0, 只需在（0, ）內(nèi)再有零點(diǎn)即可.由而Sin>0 故F（）=0由于f（x）在0, 連續(xù)，則F（x）在0, 可導(dǎo)，在0, ，, 上對(duì)F（x）用羅爾定理,則,使F（1）=F（2）=0，也就是f（1）=f（2）=0.【例4·證明題】（95年考題）設(shè)函數(shù)f（x）和g（x）在a,b上存在二階導(dǎo)數(shù)，并且g''（x）0f（a）=f（b）=g（a）=g（b）=0 試證（1）在開區(qū)間（a,b）內(nèi)g（x）0（2）在開區(qū)間（a,b）內(nèi) 至少存在一點(diǎn)使【答疑編號(hào)911030201：針對(duì)該題提問(wèn)】（1）分析：一般象這種出題方式通常采用反證法，假設(shè)在（a,b）內(nèi)g（x）有零點(diǎn)，由已知g（a）=g（b）=0.則g（x）有三個(gè)零點(diǎn),又g''（x）存在.因此由推廣的羅爾定理,將存在 ,使g''（）=0與g''（x）0矛盾.證明: 用反證法 假設(shè)使g（c）=0由于g（x）在a,b上存在二階導(dǎo)數(shù),因此在a,b上g'（x）與g（x）都連續(xù)可導(dǎo),又g（a）=g（c）=g（b）=0.于是在a,c,c,b上對(duì)g（x）用羅爾定理.,使g'（1）=0 , g'（2）=0又在1 ,2上對(duì)g（x）用羅爾定理使g''（）=0 與 g”（x）0矛盾,故在（a,b）內(nèi)g（x）0（2）分析:證明即證f（）g”（）- f”（）g（）=0也就是f（x）g”（x）- f”（x）g（x）在（a,b）內(nèi)有零點(diǎn).由已知只知道二階導(dǎo)存在,并沒(méi)有說(shuō)二階導(dǎo)連續(xù),因此無(wú)法用連續(xù)函數(shù)的零點(diǎn)存在定理,我們考慮找它的原函數(shù),把函數(shù)的零點(diǎn)存在問(wèn)題,轉(zhuǎn)化為它的原函數(shù)存在導(dǎo)數(shù)為零的點(diǎn)的問(wèn)題,現(xiàn)在的問(wèn)題是找f（x）g”（x）- f”（x）g （x）的原函數(shù),如果觀察力強(qiáng),我們可直接找到.f（x）g”（x）- f”（x）g （x）= f（x）g （x）- f（x）g （x）如果觀察不出來(lái),我們可通過(guò)積分求出原函數(shù).也就是: 證明: f（x）g”（x）- f”（x）g（x）有原函數(shù)（x）=f（x）g（x）- f（x）g（x）由已知（x）在a,b可導(dǎo),且（a）=（b）=0由羅爾定理.,使（）=0即f（）g”（）- f”（）g（）=0由（1）知g（）0,于是有二.拉格朗日定理（請(qǐng)列出拉格朗日定理兩個(gè)理論）如果函數(shù)f（x）滿足（1）在閉區(qū)間a,b上連續(xù)；（2）在開區(qū)間（a,b）內(nèi)可導(dǎo)，那么在（a,b）內(nèi)至少有一點(diǎn)（a<<b）,使等式f（b）-f（a）=f（）（b-a）成立拉格朗日定理在微分學(xué)中占有重要地位，我們具體分析拉格朗日定理以弦找切線，有了弦就一定有和它平行的切線?？键c(diǎn)三 如果要證明f（）=K或f（）<0或f（）>0等可考慮層區(qū)間a,b內(nèi)找斜率具有相應(yīng)特點(diǎn)的位。 【例5·證明題】設(shè)f（x）在0,1連續(xù)，在（0,1）可導(dǎo).f（0）=f（1）=0 . 證明至少存在一點(diǎn)（0,1），使f（）=1【答疑編號(hào)911030202：針對(duì)該題提問(wèn)】分析：我們應(yīng)該在0,1內(nèi)找斜率是1的弦如果弦的一個(gè)端取原點(diǎn)，另一點(diǎn)取在曲線上哪一點(diǎn)可保證弦的斜率是1呢？直接找這樣的點(diǎn)，實(shí)際是辦不到的，因?yàn)闈M足連續(xù)可導(dǎo)過(guò)這三點(diǎn)的曲線有無(wú)數(shù)多，我們換個(gè)思路，作過(guò)原點(diǎn)斜率是1的直線y=x如果它與y=f（x）有交點(diǎn)，那么這個(gè)交點(diǎn)，就是我們要找的點(diǎn)，要證明y=f（x）與y=x有交點(diǎn)可通過(guò)證明f（x）-x有零點(diǎn)。證明：考慮函數(shù)=f（x）-x由于f（x）在連續(xù)且. 由零點(diǎn)存在定理使即由于f（x）在0,c連續(xù). 在（0,c）可導(dǎo)由拉格朗日定理,使注意：證完以后，也可利用對(duì)用羅爾定理使也有【例6·證明題】（08年數(shù)學(xué)二，（20）（1）證明積分中值定理：若函數(shù)在閉區(qū)間a,b上連續(xù)，則至少存在一點(diǎn)使得 【答疑編號(hào)911030203：針對(duì)該題提問(wèn)】（2）若函數(shù)具有二階導(dǎo)數(shù)，且滿足,則至少存在一點(diǎn)使得 【答疑編號(hào)911030204：針對(duì)該題提問(wèn)】（1）從略（2）分析：這種題目一般是用（1）的結(jié)論，去考慮（2）的證明。在（2）已知中有定積分于是由積分中值定理得證明可看成具有導(dǎo)數(shù)小于零的點(diǎn)。根據(jù)在x=1,2,點(diǎn)的關(guān)系，可看到。（1）>0, （2）<0 于是對(duì)（x）則存在斜率小于零的弦證明（2）由積分中值定理由于有二階導(dǎo)數(shù)故，連續(xù)可導(dǎo)在1,2和上對(duì)用拉格朗日定理于是使 使 在上對(duì)用拉格朗日定理使【例7·證明題】設(shè)函數(shù)f（x）在閉區(qū)間0,1上連續(xù)，在開區(qū)間（0,1）內(nèi)可導(dǎo),且f（0）=f（1）=1,證明:對(duì)任何0<K<1的常數(shù)K,存在（0,1）使f（）=-K【答疑編號(hào)911030205：針對(duì)該題提問(wèn)】分析:我們尋找斜率是-K的弦,由于0<K<1則-1<-K<0.因此弦的傾角應(yīng)考慮弦的一個(gè)端點(diǎn)取在（0,1）點(diǎn),則過(guò)（0,1）點(diǎn)斜率是-K的直線為y-1=-Kx,即y=-Kx+1有交點(diǎn).也就是證明f（x）-（-Kx+1）有零點(diǎn).證明：考慮函數(shù)=f（x）+kx-1（x）在連續(xù). 由零點(diǎn)存在定理,使又由于對(duì)在0,c上用羅爾定理使即有f（）=-K考點(diǎn)四用拉格朗日定理證明書等到式.由拉格朗日定理的我們要確定函數(shù)f（x）及其所在區(qū)間.首先將欲證明的等式變形.將含有的項(xiàng)放在等式的一邊.將其余的項(xiàng)放在等式的另一邊,并將a,b分開成分母為b-a,分子為b的函數(shù)與a的差.這樣我們就可得到函數(shù)f（x）及區(qū)間端點(diǎn)a,b或?qū)（）中的換為x.求它的原函數(shù)也可得到f（x）.【例8·證明題】設(shè)b>a>0,f（x）在a,b上連續(xù),在（a,b）內(nèi)可導(dǎo),證明使得【答疑編號(hào)911030301：針對(duì)該題提問(wèn)】分析：我們先對(duì)等式進(jìn)行了變形我們看到函數(shù)為所在區(qū)間為a,b證明:考慮函數(shù)由已知可得在 a,b連續(xù)，在（a,b）可導(dǎo)。由拉格朗日定理，使得即有注意：由于將換成x，得，求其原函數(shù)可取原函數(shù)考點(diǎn)五在用拉格朗日定理證明等式的時(shí)，等式中若出現(xiàn),時(shí)，一般將會(huì)含有和的項(xiàng)分別放在等式兩邊。一般用兩次拉格朗日定理或用兩次柯西定理，也可將兩個(gè)中值定理結(jié)合起來(lái)用，可根據(jù)具體題目來(lái)定：我們要確定對(duì)哪個(gè)函數(shù)，在哪個(gè)區(qū)上用中值定理。由于等式兩端是f（）和g（x）。常見(jiàn)情況含有的式了為將換成x即是我們要確定的函數(shù)【例9·證明題】（98年考研題）設(shè)函數(shù)f（x）在a,b上連續(xù)，在（a,b）內(nèi)可導(dǎo)，且f（a）=f（b）=1,試證使得【答疑編號(hào)911030302：針對(duì)該題提問(wèn)】分析：將,分別放在等號(hào)兩端,將換成x將換成x證明：考慮函數(shù) 由已知可得F（x）在a,b連續(xù)，在（a.b）可導(dǎo)，由拉格朗日定理，使由于f（a）=f（b）=1,于是有等式左端正好是函數(shù)在區(qū)間a,b端點(diǎn)處函數(shù)值的差與自變量差之比.考慮函數(shù)則在a,b上滿足拉格朗日定理?xiàng)l件,則,使于是得也就是考點(diǎn)六 證明中值點(diǎn)的唯一性。在拉格朗日定理中,我們只知道至少有一個(gè)介于a,b之間,至于它的具體位置或的個(gè)數(shù),我們并不知道.它的另外形式或我們只知道0<<1.的具體值及是否唯一我們也不知道.但如果我們?cè)黾訔l件比如f（x）嚴(yán)格單調(diào),那么的唯一性是可以得到的.因?yàn)閲?yán)格單調(diào)函數(shù)的函數(shù)值與自變量是一一對(duì)應(yīng)的.【例10·證明題】（2001年數(shù)學(xué)一試題）設(shè)y=f（x）在（-1,1）內(nèi)具有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)且f（x） 0,試證:（1）對(duì)于（-1,1）內(nèi)的任一x0, 存在唯一的,使成立.【答疑編號(hào)911030303：針對(duì)該題提問(wèn)】（2）【答疑編號(hào)911030304：針對(duì)該題提問(wèn)】（1）分析:題中的式子即為f（x）在區(qū)間0,x上的拉格朗日公式,由于x是（-1,1）中任意不為零的點(diǎn).回此當(dāng)x變支時(shí),區(qū)間內(nèi)的中值點(diǎn)也在變動(dòng),也就是是與x有關(guān)的.故寫成,的唯一性可由f（x）的嚴(yán)格單調(diào)性得到.證明:由已知對(duì),f（x）在以（0,x）為端點(diǎn)的區(qū)間上滿足拉格朗日中值定理?xiàng)l件,介于0,x,使.由于f（x）連續(xù)且f（x）0,因此f（x）在（-1,1）內(nèi)不變號(hào),于是f（x）在（-1,1）內(nèi)嚴(yán)格單調(diào),故唯一.（2）分析:我們要求Q（x）在時(shí)的極限,應(yīng)有Q（x）的表達(dá)式.我們對(duì)f（x）在0,x上用拉格朗日定理得到f（x）中的值點(diǎn)Q（x）x如果我們對(duì)f（x）在0,上用拉格朗日定理,端點(diǎn)的差即為.證明:由于f（x）存在且連續(xù),因此f（x）連續(xù).對(duì)f（x）在0,為端點(diǎn)的區(qū)間上用拉格朗日定理,存在介于0,之間,使，在0與之間.代入題（1）中式子,得三、柯西定理如果函數(shù)f（x）及g（x）滿足（1）在閉區(qū)間a,b上連續(xù)；（2）在開區(qū)間（a,b）內(nèi)可導(dǎo)；（3）對(duì)任一x（a,b）,g（x）0,那么在（a,b）內(nèi)至少有一點(diǎn)，使等式考點(diǎn)七用柯西定理證明等式.我們分析柯西定理公式等式兩端分子分母具有對(duì)稱性.我們?cè)谟每挛鞫ɡ碜C明等式時(shí),主要是確定兩個(gè)函數(shù)及它們所在區(qū)間.首先我們將欲證明的等式含有的項(xiàng)放在等式一邊,其余的項(xiàng)放在等式另一邊,并把等號(hào)兩端分子分母按柯西公式的形式變成對(duì)稱的,即能得到解決所需的函數(shù)及所在區(qū)間.【例11·證明題】若函數(shù)f（x）在0,1可導(dǎo),則必存在一點(diǎn),使【答疑編號(hào)911030401：針對(duì)該題提問(wèn)】分析:我們將等式變形,將含有的項(xiàng)放在等式一邊將等式兩端按柯西公式化為分子分母對(duì)稱形式由看到它是arctanx在點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)值,而arctanx在1和0的函數(shù)值正好是和0.證明:f（x）和g（x）=arctanx在0,1可導(dǎo),且。由于柯西定理使得即即考點(diǎn)八證明在（a,b）內(nèi)含有,的等式時(shí),一般要用兩次中值定理,特別是拉格朗日定理和柯西定理.有時(shí)是綜合運(yùn)用這兩個(gè)中值定理,要根據(jù)具體題目選擇適合的方法.我們首先要將欲證明的等式中,將含和分別放在等式的兩端.根據(jù)具體情況在等式一端用一次適合的中值定理,再對(duì)等式的另一端用一次中值定理.【例12·證明題】設(shè)函數(shù)f（x）在a,b,連續(xù),在（a,b）內(nèi)可導(dǎo),且f（x）0.試證存在使得【答疑編號(hào)911030402：針對(duì)該題提問(wèn)】分析:我們首先將等式中的,分開等式右端為f（x）的導(dǎo)數(shù)與的導(dǎo)數(shù)在的值.如果對(duì)f（x）,在a,b上用柯西定理有再對(duì)f（x）用拉格朗日定理即可.證明:f（x）,在a,b連續(xù),在（a,b）可導(dǎo),且,由于柯西定理,使對(duì)于f（x）在a,b上用拉格朗日定理,使于是有由于f'（x）0,即得【例13·證明題】設(shè)函數(shù)f（x）,g（x）在a,b上連續(xù),且g（b）=g（a）=1,在（a,b）內(nèi)f（x）, g（x）可導(dǎo),且g（x）+ g（x）0,f（x）0. 證明:,使【答疑編號(hào)911030403：針對(duì)該題提問(wèn)】分析:將,分開等號(hào)左邊分子,分母分別是f（x）,在點(diǎn)的導(dǎo)數(shù).等號(hào)右邊分子,分母分別是f（x）,ex在點(diǎn)的導(dǎo)數(shù).由于已知中有g(shù)（b）=g（a）=1.我們先對(duì)等號(hào)左邊的兩函數(shù)f（x）,用柯西定理.這樣便于化簡(jiǎn).證明: f（x）,在a,b連續(xù),在（a,b）可導(dǎo).由柯西定理,使由于g（b）=g（a）=1,上式左端即為再在a,b上對(duì)f（x）,用柯西定理.有于是得由于f（x） 0有四、泰勒定理（1）假設(shè)函數(shù)f（x）在含有x0的開區(qū)間（a,b）內(nèi)具有直到n階的導(dǎo)數(shù)，則有此公式稱為帶有佩亞諾型余項(xiàng)的泰勒公式。（2）假設(shè)函數(shù)f（x）在含有x0的開區(qū)間（a,b）內(nèi)具有直到（n+1）階的導(dǎo)數(shù)，則對(duì)于x（a,b）,有其中，是x0與x之間的某個(gè)值，此公式稱為帶有拉格朗日型余項(xiàng)的泰勒公式。拉格朗日定理的常用形式是f（x）=f（x0）+f（）（x- x0） x與x0之間,它建立了函數(shù)變量與自變量及一階導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系.泰勒定理是微分中值定理的高階形式.它建立了函數(shù)改變量與自變量與各階導(dǎo)數(shù)的關(guān)系.我們常用泰勒公式來(lái)討論與高階導(dǎo)數(shù)關(guān)系的問(wèn)題.考點(diǎn)九首先要選擇在哪一點(diǎn)展開, 一般題目中出現(xiàn)的一特殊點(diǎn).如函數(shù)值為零的點(diǎn),導(dǎo)數(shù)值為零的點(diǎn)或題目中出現(xiàn)的一些特殊點(diǎn)常被選擇x0在將f（x）在x0點(diǎn)展開后,根據(jù)題目需要，經(jīng)常將x取某些特殊值.如區(qū)間端點(diǎn)等,得到兩個(gè)等式,然后將它相加或相減所得到我們需要的部分.【例14·證明題】設(shè)在1,+上處,有f（x）0,且f（1）=2, f（1）=-3<0.證明:在（1,+）內(nèi)方程f（x）=0僅有一個(gè)實(shí)根.【答疑編號(hào)911030404：針對(duì)該題提問(wèn)】分析:我們根據(jù)已知條件可作出y=f（x）的大致圖形, f（x）<0, y=f（x）的圖形點(diǎn)是凸的。它過(guò)（1，2）點(diǎn)，且在（1，2）點(diǎn)的切線斜率為-3，而凸函數(shù)在它每一條切線的下方，由直觀圖可看到y(tǒng)=f（x）在區(qū)間（-1, +）單調(diào)減。這可證明根的唯一性。由于f（1）=2>0，我們只要找到一點(diǎn)C>1,f（c）<0,即可得根的存在性。由于在x0=1點(diǎn)，知道函數(shù)值與一階導(dǎo)數(shù)值，故考慮用泰勒公式，將f（x）在x0=1點(diǎn)展開。證明：把f（x）在x0=1處展成一階泰勒公式 我們的目的是找到一點(diǎn)C，使f（c）<0，我們?cè)趺粗纗取什么值時(shí)，等式右端小于零呢。由于有，我們無(wú)法解出x，使等式右端小于零。我們可通過(guò)放大的方法，將去掉而得出x。由于于是f（x）2-3（x-1）=5-3x,令5-3x<0，得，則f（c）<0.又f（1）=2>0,由已知得f（x）在1,c連續(xù)。由零點(diǎn)存在定理可知存在使f（）=0。即方程f（x）=0 在（1,+）內(nèi)有實(shí)根。由于f（x）<0,，因此f（x）單調(diào)減，于是當(dāng)x1時(shí)，f（x）f（1）=-3<0,可知f（x）在1,+）嚴(yán)格單調(diào)減少，因此f（x）只有x=一個(gè)零點(diǎn)。則方程f（x）=0只有x=一個(gè)實(shí)根?！纠?5·證明題】：96年考研題設(shè)f（x）在0，1上具有二階導(dǎo)數(shù)，且滿足條件|f（x）|a, |f"（x）|b，其中a,b都是非導(dǎo)數(shù)，C是（0，1）內(nèi)任意一點(diǎn)，證明【答疑編號(hào)911030405：針對(duì)該題提問(wèn)】分析：由于在條件結(jié)論中出現(xiàn)了f（x）,f（x）, f"（x）,我們考慮用泰勒公式將它們聯(lián)系起來(lái),而證明的結(jié)論中有f（c）,因此考慮在x=c點(diǎn)展開.證明: f（x）在0,1有二階導(dǎo)數(shù),對(duì)任意的x（0,1）將f（x）在C點(diǎn)展成泰勒公式。, 在c,x之間我們的目的是得到f（c）的表達(dá)式,因此將x=0和x=1代入上式得:（1）（2）（2）-（1）,得到:即，命題得證。第二節(jié)導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用一、函數(shù)極值,最值及其求法（設(shè)函數(shù)f（x）在點(diǎn)，如果對(duì)于去心鄰域內(nèi)的任一x，有，那么就稱是函數(shù)的一個(gè)極大值或極小值。函數(shù)的極大值與極小值統(tǒng)稱為函數(shù)的極值。必要條件：設(shè)函數(shù)f（x）在處可導(dǎo)，且在處取得極值，那么.第一充分條件：設(shè)函數(shù)f（x）在處連續(xù)，且在的某去心鄰域內(nèi)可導(dǎo)，若在兩側(cè)的導(dǎo)數(shù)異號(hào)，那么f（x）在處存在極值；若在 兩側(cè)的導(dǎo)數(shù)同號(hào)，則f（x）在處沒(méi)有極值。第二充分條件：設(shè)函數(shù)f（x）在處有二階導(dǎo)，且，那么當(dāng)當(dāng) 注意:1.根據(jù)極值的定義,可看出極值是局部性質(zhì)。2.極值是對(duì)連續(xù)函數(shù)的內(nèi)點(diǎn)引入的概念,對(duì)區(qū)間端點(diǎn),或不連續(xù)的內(nèi)點(diǎn)是不考慮的。我們顯然不能說(shuō)f（0）=1是極大值 3.f（x）的極值點(diǎn)只能在駐點(diǎn)或不可導(dǎo)點(diǎn)取得4.最值是整體概念.5.對(duì)于f（x）在區(qū)間a,b上的最值點(diǎn),可做如下考慮因此僅駐點(diǎn)、不可導(dǎo)點(diǎn)和端點(diǎn)是可能最值點(diǎn)。比較以上各點(diǎn)的函數(shù)值，最大（?。┑募礊樽畲螅ㄐ。┲?6.如果函數(shù)在a,b上單調(diào),則兩個(gè)端點(diǎn)的函數(shù)值f（a）和f（b）,一個(gè)為最大值,一個(gè)為最小值.7.如果一個(gè)函數(shù)在區(qū)間內(nèi)可導(dǎo),且有唯一駐點(diǎn),在該點(diǎn)取極大（?。┲?則該極大（?。┲导礊楹瘮?shù)在區(qū)間內(nèi)最大（?。┲? 8.由于函數(shù)的單調(diào)性總是和研究其它問(wèn)題聯(lián)系在一起,特別是極值問(wèn)題和不等式問(wèn)題,我們應(yīng)記住由一階導(dǎo)f（x）的符號(hào)來(lái)判斷函數(shù)的增減性. 【例15·證明題】證函數(shù)f（x）對(duì)一切x（-,+ ）滿足方程（x-1）f"（x）+2（x-1） f（x）3=1-e1-x證明:（1）若f（x）在點(diǎn)x=a（a1）取得極值,它必是極小值.【答疑編號(hào)911030501：針對(duì)該題提問(wèn)】（2）若f（x）在點(diǎn)x=1取得極值,它是極大值還是極小值【答疑編號(hào)911030502：針對(duì)該題提問(wèn)】（1）分析:由題設(shè)f（x）有一階和二階導(dǎo)數(shù),因此x=a一定是駐點(diǎn),即f（x）0,即得結(jié)論.證明:由題設(shè)f（x）有一階和二階導(dǎo)數(shù),又f（a）是極值,故f（a）=0將x=a, f（a）=0代入原方程,得:如a1,則e1-a1,有f"（a）0如a1,則e1-a1,有f"（a）0總之,a1時(shí), f"（a）0因此, f（a）是極小值. （2）分析:如（1）分析x=1是駐點(diǎn),即f（1）=0,我們需要確定f"（1）的符號(hào),由于方程中有（x-1）f"（x）,因此不能像（1）中那樣直接將x=1代入方程,由于f"（x）存在,因此f（x）是連續(xù)的,我們轉(zhuǎn)而考慮f"（x）在x=1的極限 證明:由于f（1）是極值,所以f（1）=0又由于f"（x）存在,所以f（x）連續(xù)由原方程因?yàn)橛蓸O限的保號(hào)性,在x=1的領(lǐng)域內(nèi)f"（x）0,于是在x=1附近f（x）單調(diào)性增加,由于f（1）=0,因此在x=1附近,x1時(shí), f（x） f（1）=0x1時(shí), f（x） f（1）=0故f（1）是極小值. 【例17·解答題】證函數(shù)f（x）在（-,+ ）內(nèi)二階可導(dǎo),且f"（x）0,又 （1）求f（0）, f（0） 【答疑編號(hào)911030503：針對(duì)該題提問(wèn)】（2）試證:在（0, + ）內(nèi)函數(shù)是單調(diào)增加的【答疑編號(hào)911030504：針對(duì)該題提問(wèn)】（3）試證:在（-,+ ）內(nèi)f（x）x【答疑編號(hào)911030505：針對(duì)該題提問(wèn)】分析:從f"（x）0可知,f（x）的圖案是凹的,當(dāng)我們解決了（1）中的問(wèn)題之后,可大致確定f（x）的形狀位置（1）解:由于f"（x）存在,故f（x）, f（x）都是連續(xù)的,由 （2）分析：有了（1）及函數(shù)是凹的,我們大致可確定f（x）的形狀和位置.即: 是否有幾何意義呢?由可看出,g（x）代表原點(diǎn)和（x , f（x）點(diǎn)的割線斜率,直觀上看隨X的增大,斜率確實(shí)增大,我們用g（x）的符號(hào)來(lái)確定增減性.證明: 在x0時(shí),我們只需確定xf（x）-f（x）0記H（x）=xf（x）-f（x）H（x）=f（x）+xf（x）-f（x）=xf（x）0（x0）于是H（x）在 單調(diào)增加當(dāng)x0時(shí),H（x）H（0）=0故g（x）0,因此g（x）在內(nèi)單調(diào)增加 （3）分析:由于f（x）是凹的,y=x是過(guò)原點(diǎn)的切線,因此f（x）x,這也是凹函數(shù)的一個(gè)特征,我們來(lái)證明f（x）-x0證明:考慮函數(shù)F（x）=f（x）-x, F（x）=f（x）-1 F（x）=f（x）0,因此F（x）在內(nèi)單調(diào)增加因F（0）=f（0）-1=0, 所以當(dāng)x0時(shí),F（x）f（x）=0,于是F（x）在單調(diào)增加,所以F（x） F（0）=0當(dāng)x0時(shí), F（x）f（0）=0,于是F（x）在內(nèi)單調(diào)減少,所以F（x）F（0）=0,總之在內(nèi)F（x）0,即有f（x）x. 【例18·解答題】（04年數(shù)學(xué)二考題） （1） 證明f（x）是以為周期的周期函數(shù)【答疑編號(hào)911030601：針對(duì)該題提問(wèn)】（2） 求f（x）的值域【答疑編號(hào)911030602：針對(duì)該題提問(wèn)】（1）分析:只需證明f（x+）=f（x）,由f（x）的已知條件直接計(jì)算f（x+）即可 （2）分析:因?yàn)閒（x）以為周期,故只需需討論f（x）在0,上的值域,只要找到f（x）在0, 上的最大最小值,就可以了.解:由于f（x）以為周期,我們只討論f（x）在0,上的值域即可,由于|sint|在連續(xù),從而f（x）可導(dǎo).比較以上兩點(diǎn)及端點(diǎn)的函數(shù)值因此f（x）在0,上的最大值為 ,最小值為 ,故f（x）的值域?yàn)?二、函數(shù)的凹凸性與拐點(diǎn) （1）函數(shù)曲線凸凹性與拐點(diǎn)的概念：若在某區(qū)間內(nèi)，曲線位于其上任意一點(diǎn)的切線的上方，則稱曲線在該區(qū)間內(nèi)是凹的，記為；若在某區(qū)間內(nèi)，曲線位于其上任意一點(diǎn)的切線的下方，則稱曲線在該區(qū)間內(nèi)凸的，記為。連續(xù)曲線上凹與凸的分界點(diǎn)，稱為曲線的拐點(diǎn)。（2）函數(shù)曲線凹凸性的判別法：若在區(qū)間（a，b）內(nèi)，則曲線y=f（x）在該區(qū)間內(nèi)凹；若在區(qū)間（a，b）內(nèi)，則曲線y=f（x）在該區(qū)間內(nèi)凸。（3）關(guān)于拐點(diǎn):1.連接曲線上凹凸的分界點(diǎn)稱為曲線的拐點(diǎn).2.必要條件:設(shè)f（x）在,內(nèi)存在二階導(dǎo)數(shù),看是拐點(diǎn),則必有3.函數(shù)曲線的拐點(diǎn)只能在使f（x）等于零的點(diǎn)或f（x）不存在的點(diǎn)取得.4.判別法方法一:f（x）在的某鄰域內(nèi)連續(xù)二階可導(dǎo)可以不存在,如果在的左右兩側(cè)f（x）符號(hào)相反,則是曲線y=f（x）的拐點(diǎn).方法二:設(shè)f（x）在的某領(lǐng)域內(nèi)三階可導(dǎo),且,而f ,則是拐點(diǎn). 考點(diǎn)十確定曲線的凹凸區(qū)間與拐點(diǎn)的步驟1.確定函數(shù)連續(xù)區(qū)間2.求f（x）,確定使f（x）為零的點(diǎn)及f（x）不存在的點(diǎn).3.將上述點(diǎn)按由小到大將定義域分成若干子區(qū)間,確定每個(gè)子區(qū)間f（x）的符號(hào),用以判斷曲線的凹凸和求得拐點(diǎn). 【例19·填空題】（08年數(shù)學(xué)二考題）曲線的拐點(diǎn)坐標(biāo)為_。【答疑編號(hào)911030603：針對(duì)該題提問(wèn)】分析： 在連續(xù)X=-1時(shí)，y =0.且在x=0,y不存在在x-1兩側(cè)y異號(hào)，故（-1，-6）為拐點(diǎn)在x=0兩側(cè)y不變號(hào)，故（0，0）不是拐點(diǎn)因此拐點(diǎn)坐標(biāo)（-1，-6） 【例20·選擇題】（00年數(shù)學(xué)二考題）設(shè)函數(shù)f（x）滿足關(guān)系式：,且 ,則（A）f（0）是f（x）的極大值（B）f（0）是f（x）的極小值（C）點(diǎn)（0，f（0）是曲線y=f（x）的拐點(diǎn)（D）f（0）不是f（x）的極值,點(diǎn)（0,0）也不是曲線y=f（x）的拐點(diǎn)【答疑編號(hào)911030604：針對(duì)該題提問(wèn)】分析:由,知x=0是駐點(diǎn),將x=0,f（0）=0代入關(guān)系式,得,我們考察與在x=0兩側(cè)是否變號(hào).在本題中不易做到,我們求三階導(dǎo)數(shù),由于等式 的右端可導(dǎo),故左端可導(dǎo),即存在,從而可知（0,f（0）是曲線拐點(diǎn),故選（C） 【例21·選擇題】（06年數(shù)學(xué)一考題）設(shè)函數(shù)y=f（x）具有二階導(dǎo)數(shù)，且,為自變量x在點(diǎn)x0處的增量，與dy分別為點(diǎn)x0處對(duì)應(yīng)的增量與微分，如果，則：【答疑編號(hào)911030605：針對(duì)該題提問(wèn)】分析：（1）由所給條件可知f（x）單調(diào)上升且是凹的由 ,dy的幾何意義如圖,可知,故選（A）或由凹函數(shù)的性質(zhì)曲線在切線之上,故有即故選A 三、漸近線1.漸近線的概念當(dāng)曲線C上動(dòng)點(diǎn)P沿曲線C無(wú)限遠(yuǎn)移的，若動(dòng)點(diǎn)P到某直線L的距離無(wú)限趨近于零，稱直線L是曲線C的漸近線.2.漸近線的求法（1）鉛直漸近線:若或則直線x=a是由線y=f（x）的鉛直漸近線（一般出現(xiàn)在x=a無(wú)窮型間斷點(diǎn)）（2）水平漸近線:若或則直線y=b是曲線y=f（x）的水平漸近線（3）斜漸近線:若又存在則直線y=ax+b是曲線y=f（x）的斜漸近線3.幾點(diǎn)說(shuō)明（1）上的連續(xù)函數(shù)無(wú)鉛直漸近線.（2）鉛直漸近線可沒(méi)有,可有有限條,可有無(wú)限條.（3）水平和斜漸近線可沒(méi)有,可有一條,至多兩條.考點(diǎn)十一.求漸近線應(yīng)根據(jù)漸近線的求法,依次考察曲線是否存在鉛直,水平,斜漸近線,關(guān)鍵是正確的求出極限.【例21·填空題】（05數(shù)學(xué)一 考題）曲線的斜漸近線方程為_【答疑編號(hào)911030701：針對(duì)該題提問(wèn)】【例22·選擇題】（07數(shù)學(xué)一考題）曲線y=1/x+ln（1+ex）漸近線條數(shù)為（A）0（B）1（C）2（D）3【答疑編號(hào)911030702：針對(duì)該題提問(wèn)】分析：曲線只有一個(gè)間斷點(diǎn)x=0【例23·選擇題】（94年考題）曲線的漸近線條數(shù)為（A）1條（B）2條（C）3條（D）4條 【答疑編號(hào)911030703：針對(duì)該題提問(wèn)】分析： 函數(shù)有三個(gè)間斷點(diǎn)x=-1,0,2因此x=2不是鉛直漸近線同樣可求得x=-1也不是鉛直漸近線因此時(shí)，是水平漸近線故選（B）四、不等試的證明考點(diǎn)十二利用函數(shù)的單調(diào)性或拉格朗日公式證不等式1.當(dāng)不等式兩端包含自變量x,將不等式各項(xiàng)移到不等式一端,使另一端為零.設(shè)一端的函數(shù)為F（x）,即證明F（x）0或者（0）（1）求F（x）判斷導(dǎo)數(shù)符號(hào),利用單調(diào)性證明.（2）如F（x）符號(hào)難以判定,則可繼續(xù)求F（x）,或較高階的導(dǎo)數(shù).最終確定出F（x）的符號(hào).2.如果不等式兩端均為常數(shù)且包含區(qū)間端點(diǎn)a和b,可將a,b中較大的數(shù)改寫為 x,用1中的方法證明出F（x）0或者（0）, 取x=b,即是欲證的不等式.3.利用最值證不等式.實(shí)際也是利用單調(diào)性,有兩個(gè)單調(diào)區(qū)間若Fmin=0 則有F（x）0.若Fmax=0 則有F（x）04.若不等式中有f（b）-f（a）的項(xiàng)可考慮用拉格朗日定理.若f（x）有界,即mf（x）M則m（b-a）f（b）-f（a）=f（）（b-a）M（b-a）（ba） 【例24·證明題】（04年數(shù)學(xué)一考題）設(shè)eabe2,證明【答疑編號(hào)911030704：針對(duì)該題提問(wèn)】分析：即證這符合拉格朗日定理的形式在a,b上連續(xù)可導(dǎo)，由拉格朗日定理使 我們證明時(shí)考慮函數(shù) ,（xe）因此在單調(diào)減于是即因此即 證明2 考慮函數(shù)我們利用單調(diào)性來(lái)證明因此f（x）在單調(diào)下降于是當(dāng)時(shí).從而f（x）在單調(diào)增當(dāng)時(shí)f（x）f（a）=0特別當(dāng)x=b時(shí)f（b）0 即 【例25·證明題】（06年數(shù)學(xué)二考題）證明：當(dāng)0ab時(shí)Bsinb+2cosb+basina+2cosa+a【答疑編號(hào)911030801：針對(duì)該題提問(wèn)】分析：這是一個(gè)對(duì)稱的形式，如果設(shè)f（x）=xsinx+2cosx+x則上式為f（b）-f（a）0符合拉格朗日定理形式或證明f（x）0則f（x）單調(diào)增，有f（b）f（a）證明1.設(shè)f（x）=xsinx+2cosx+x. x 0, f（x）=sinx+xcosx-2sinx+=xcosx-sinx+f（x）=cosx-xsinx-cosx=-xsinx0 ,x （0, ） 從而f（x）在0, 單調(diào)減，從而f（x）f（）=0, x （0, ） 于是f（x）在0, 單調(diào)增從而當(dāng)0ab時(shí),f（b）f（a）即bsinb+2cosb+basina+2cosa+a 證明2.設(shè)f（x）=xsinx+2cosx+x, x 0, f（x）在a,b上滿足拉格朗日定理?xiàng)l件，有f（b）-f（a）=f（）（b-a） =（cos-sin+）（b-a）我們證明 cos-sin+0設(shè) g（x）=xcosx-sinx+ x0, g（x）=-xsinx0 x （0, ）故g（x）在0, 單調(diào)減從而g（）g（）=0即cos-sin+0于是f（b）-f（a）0即 bsinb+2cosb+basina+2cosa+a 【例26·證明題】（99年考研題）試證：當(dāng)x0時(shí). （x2-1）lnx（x-1）2【答疑編號(hào)911030802：針對(duì)該題提問(wèn)】分析：設(shè)f（x）= （x2-1）lnx-（x-1）2 我們證明x0時(shí).f（x） 0證明：考慮函數(shù)f（x）= （x2-1）lnx-（x-1）2 f（1）=0 由于f（1）=0,f”（1）=20可知f（1）是極小值，如果f（1）是最小值，我們即可得到f（x） f（1）=0可知f”（x）在x=1取極小值 因此有f”（x） f”（1）=20 （x0）于是 x0時(shí),f（x） 單調(diào)增由于f（1）=0.于是當(dāng)0x1時(shí) f（x）f（1）=0當(dāng)x1時(shí) f（x）f（1）=0由此可知 x0時(shí),x=1是f（x）的最小值點(diǎn)。因此f（x） f（1）=0 （x0）即有（x2-1）lnx（x-1）2 考點(diǎn)十三 證明函數(shù)不等式若題中有二階以上的導(dǎo)數(shù)，而且用單調(diào)性證明有困難時(shí)可考慮用泰勒公式 【例27·證明題】設(shè)f（x）在a,b上連續(xù)在（a,b）內(nèi)二階可導(dǎo)，若f（a）=f（b）=0則在（a,b）內(nèi)至少有一點(diǎn) 使【答疑編號(hào)911030803：針對(duì)該題提問(wèn)】分析：將函數(shù)值與二階導(dǎo)數(shù)值聯(lián)系起來(lái)，我們考慮用泰勒公式可將f（x）分別在a,b展開證明：將f（x）展為泰勒展式 由于f（a）=f（b）=0 得 五、函數(shù)的零點(diǎn)與方程的根f（x）的零點(diǎn)問(wèn)題，直接方法是用連續(xù)函數(shù)的零點(diǎn)存在定理，方程根的存在性或兩曲線的交點(diǎn)都可轉(zhuǎn)化為函數(shù)的零點(diǎn)問(wèn)題，零點(diǎn)的唯一性可由函數(shù)的單調(diào)性確定。 1.確定方程的根，可將各項(xiàng)移到等號(hào)一邊，另一邊為零設(shè)等號(hào)一邊為函數(shù)F（x），通過(guò)F（x）的零點(diǎn)來(lái)確定方程的根。2.如果要確定方程根的個(gè)數(shù)，可對(duì)F（x）求導(dǎo)，求出F（x）的駐點(diǎn) 和不可導(dǎo)點(diǎn)，用這些點(diǎn)把定義域分成若干子區(qū)間，也就是F（x）的單調(diào)區(qū)間，計(jì)算每個(gè)單調(diào)子區(qū)間端點(diǎn)函數(shù)值，若端點(diǎn)函數(shù)值異號(hào)，則F（x）在該區(qū)間內(nèi)有唯一零點(diǎn)。若端點(diǎn)函數(shù)值同號(hào)，則F（x）在該區(qū)間內(nèi)沒(méi)有零點(diǎn)。3.如果是在開區(qū)間（a,b）內(nèi)討論，我們對(duì)零點(diǎn)存在定理，可做如下推廣：設(shè)函數(shù)F（x）在（a,b）內(nèi)嚴(yán)格單調(diào)連續(xù)，若則F（x）在（a,b）內(nèi)有唯一零點(diǎn) 【例29·解答題】（03年數(shù)學(xué)二考題）討論曲線y=4lnx+k與y=4x+ln4x的交點(diǎn)個(gè)數(shù)。【答疑編號(hào)911030804：針對(duì)該題提問(wèn)】分析：?jiǎn)栴}等價(jià)于討論兩曲線的差即（ln4x+4x）-（4lnx+k）有幾個(gè)零點(diǎn)因此x=1是f（x）在（0,+）內(nèi)的最小值點(diǎn)當(dāng)f（1）0 即k4時(shí) f（x）f（1）0. f（x）無(wú)零點(diǎn)當(dāng)f（1）=0,即k=4時(shí) f（x）f（1）=0，f（x）有唯一零點(diǎn)當(dāng)f（1）0即k4時(shí)因此f（x）在（0,1）及內(nèi)各有唯一零點(diǎn)于是當(dāng)k4時(shí)，兩曲線無(wú)交點(diǎn),當(dāng)k=4時(shí)，兩曲線有一個(gè)交點(diǎn)，當(dāng)k4時(shí)，兩曲線有兩個(gè)交點(diǎn)。