高考數(shù)學復習 17-18版 第7章 第36課 數(shù)列求和

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1、第36課 數(shù)列求和最新考綱內容要求ABC數(shù)列求和數(shù)列求和的常用方法1公式法直接利用等差數(shù)列、等比數(shù)列的前n項和公式求和(1)等差數(shù)列的前n項和公式：Snna1d；(2)等比數(shù)列的前n項和公式：Sn2分組轉化法把數(shù)列的每一項分成兩項或幾項，使其轉化為幾個等差、等比數(shù)列，再求解3裂項相消法(1)把數(shù)列的通項拆成兩項之差，在求和時中間的一些項可以相互抵消，從而求得其和(2)裂項時常用的三種變形：；.4錯位相減法如果一個數(shù)列的各項是由一個等差數(shù)列和一個等比數(shù)列的對應項之積構成的，這個數(shù)列的前n項和可用錯位相減法求解5倒序相加法如果一個數(shù)列an的前n項中與首末兩端等“距離”的兩項的和相等或等于同一個常數(shù)

2、，那么求這個數(shù)列的前n項和即可用倒序相加法求解6并項求和法一個數(shù)列的前n項和中，可兩兩結合求解，則稱之為并項求和形如an(1)nf(n)類型，可采用兩項合并求解例如，Sn10029929829722212(10099)(9897)(21)5 050.1(思考辨析)判斷下列結論的正誤(正確的打“”，錯誤的打“”)(1)如果數(shù)列an為等比數(shù)列，且公比不等于1，則其前n項和Sn.()(2)當n2時，.()(3)求Sna2a23a3nan之和時只要把上式等號兩邊同時乘以a即可根據錯位相減法求得()(4)如果數(shù)列an是周期為k(k為大于1的正整數(shù))的周期數(shù)列，那么SkmmSk.()答案(1)(2)(3)

3、(4)2(教材改編)數(shù)列an的前n項和為Sn，若an，則S5等于_。an，S5a1a2a51.3若數(shù)列an的通項公式為an2n2n1，則數(shù)列an的前n項和Sn_.2n12n2Sn2n12n2.4(2017南京模擬)數(shù)列an的通項公式是an(1)n(2n1)，則該數(shù)列的前100項之和為_100由題意可知，S1001357197199(13)(57)(197199)222250100.5321422523(n2)2n_.4設S345(n2)，則S345(n2).兩式相減得S3.S334.分組轉化求和(2016北京高考)已知an是等差數(shù)列，bn是等比數(shù)列，且b23，b39，a1b1，a14b4.(1

4、)求an的通項公式；(2)設cnanbn，求數(shù)列cn的前n項和解(1)設等比數(shù)列bn的公比為q，則q3，所以b11，b4b3q27，所以bn3n1(n1,2,3，)設等差數(shù)列an的公差為d.因為a1b11，a14b427，所以113d27，即d2.所以an2n1(n1,2,3，)(2)由(1)知an2n1，bn3n1.因此cnanbn2n13n1.從而數(shù)列cn的前n項和Sn13(2n1)133n1n2.規(guī)律方法分組轉化法求和的常見類型(1)若an bncn，且bn，cn為等差或等比數(shù)列，則可采用分組求和法求an的前n項和(2)通項公式為an的數(shù)列，其中數(shù)列bn，cn是等比數(shù)列或等差數(shù)列，可采用

5、分組求和法求和易錯警示：注意在含有字母的數(shù)列中對字母的分類討論變式訓練1(2016浙江高考)設數(shù)列an的前n項和為Sn，已知S24，an12Sn1，nN.(1)求通項公式an；(2)求數(shù)列|ann2|的前n項和解(1)由題意得則又當n2時，由an1an(2Sn1)(2Sn11)2an，得an13an，所以數(shù)列an的通項公式為an3n1，nN.(2)設bn|3n1n2|，nN，則b12，b21.當n3時，由于3n1n2，故bn3n1n2，n3.設數(shù)列bn的前n項和為Tn，則T12，T23，當n3時，Tn3，所以Tn裂項相消法求和若An和Bn分別表示數(shù)列an和bn的前n項的和，對任意正整數(shù)n，an

6、2(n1)，3AnBn4n.(1)求數(shù)列bn的通項公式；(2)記cn，求cn的前n項和Sn. 【導學號：62172195】解(1)由于an2(n1)，an為等差數(shù)列，且a14.Ann23n，Bn3An4n3(n23n)4n3n25n，當n1時，b1B18，當n2時，bnBnBn13n25n3(n1)25(n1)6n2.由于b18適合上式，bn6n2.(2)由(1)知cn，Sn.規(guī)律方法1.裂項相消法求和就是將數(shù)列中的每一項裂成兩項或多項，使這些裂開的項出現(xiàn)有規(guī)律的相互抵消，要注意消去了哪些項，保留了哪些項，從而達到求和的目的2消項規(guī)律：消項后前邊剩幾項，后邊就剩幾項，前邊剩第幾項，后邊就剩倒數(shù)

7、第幾項變式訓練2Sn為數(shù)列an的前n項和已知an0，a2an4Sn3.(1)求an的通項公式；(2)設bn，求數(shù)列bn的前n項和解(1)由a2an4Sn3，可知a2an14Sn13.，得aa2(an1an)4an1，即2(an1an)aa(an1an)(an1an)由an0，得an1an2.又a2a14a13，解得a11(舍去)或a13.所以an是首項為3，公差為2的等差數(shù)列，通項公式為an2n1.(2)由an2n1可知bn.設數(shù)列bn的前n項和為Tn，則Tnb1b2bn.錯位相減法求和(2016山東高考)已知數(shù)列an的前n項和Sn3n28n，bn是等差數(shù)列，且anbnbn1.(1)求數(shù)列bn

8、的通項公式；(2)令cn，求數(shù)列cn的前n項和Tn.解(1)由題意知當n2時，anSnSn16n5.當n1時，a1S111，符合上式所以an6n5.設數(shù)列bn的公差為d.由即解得所以bn3n1.(2)由(1)知cn3(n1)2n1.又Tnc1c2cn，得Tn3222323(n1)2n1，2Tn3223324(n1)2n2，兩式作差，得Tn322223242n1(n1)2n233n2n2，所以Tn3n2n2.規(guī)律方法1.如果數(shù)列an是等差數(shù)列，bn是等比數(shù)列，求數(shù)列anbn的前n項和時，可采用錯位相減法求和，一般是和式兩邊同乘以等比數(shù)列bn的公比，若bn的公比為參數(shù)，應分公比等于1和不等于1兩種

9、情況討論2在書寫“Sn”與“qSn”的表達式時應特別注意將兩式“錯項對齊”，即公比q的同次冪項相減，轉化為等比數(shù)列求和變式訓練3已知等差數(shù)列an的前n項和Sn滿足S36，S515.(1)求an的通項公式；(2)設bn，求數(shù)列bn的前n項和Tn. 【導學號：62172196】解(1)設等差數(shù)列an的公差為d，首項為a1.S36，S515，即解得an的通項公式為an a1(n1)d1(n1)1n.(2)由(1)得bn，Tn，式兩邊同乘， 得Tn，得Tn1，Tn2.思想與方法解決非等差、等比數(shù)列的求和，主要有兩種思路：(1)轉化的思想，即將一般數(shù)列設法轉化為等差或等比數(shù)列，這一思想方法往往通過通項分

10、解或錯位相減來完成(2)不能轉化為等差或等比數(shù)列的數(shù)列，往往通過裂項相消法、倒序相加法等來求和易錯與防范1直接應用公式求和時，要注意公式的應用范圍，如當?shù)缺葦?shù)列公比為參數(shù)(字母)時，應對其公比是否為1進行討論2利用裂項相消法求和的注意事項：(1)抵消后并不一定只剩下第一項和最后一項，也有可能前面剩兩項，后面也剩兩項(2)將通項裂項后，有時需要調整前面的系數(shù)，使裂開的兩項之差與系數(shù)之積與原通項相等如：若an是等差數(shù)列，則，.課時分層訓練(三十六)A組基礎達標(建議用時：30分鐘)一、填空題1數(shù)列1，3，5，7，(2n1)，的前n項和Sn的值等于_n21該數(shù)列的通項公式為an(2n1)，則Sn13

11、5(2n1)n21.2在數(shù)列an中，an1an2，Sn為an的前n項和若S1050，則數(shù)列anan1的前10項和為_120anan1的前10項和為a1a2a2a3a10a112(a1a2a10)a11a12S10102120.3中國古代數(shù)學著作算法統(tǒng)宗中有這樣一個問題：“三百七十八里關，初行健步不為難，次日腳痛減一半，六朝才得到其關，要見次日行里數(shù)，請公仔細算相還”其意思為：有一個人走378里路，第一天健步行走，從第二天起腳痛每天走的路程為前一天的一半，走了6天后到達目的地，請問第二天走了_里96由題意，知每天所走路程形成以a1為首項，公比為的等比數(shù)列，則378，解得a1192，則a296，即

12、第二天走了96里4已知數(shù)列5,6,1，5，該數(shù)列的特點是從第二項起，每一項都等于它的前后兩項之和，則這個數(shù)列的前16項之和S16等于_. 【導學號：62172197】7根據題意這個數(shù)列的前8項分別為5,6,1，5，6，1,5,6，發(fā)現(xiàn)從第7項起，數(shù)字重復出現(xiàn)，所以此數(shù)列為周期數(shù)列，且周期為6，前6項和為561(5)(6)(1)0.又因為16264，所以這個數(shù)列的前16項之和S162077.5已知函數(shù)f(x)xa的圖象過點(4,2)，令an，nN，記數(shù)列an的前n項和為Sn，則S2 017_.1由f(4)2得4a2，解得a，則f(x)x.an，S2 017a1a2a3a2 017()()()()

13、1.6設數(shù)列an 的前n項和為Sn，且ansin，nN，則S2 016_.0ansin，nN，顯然每連續(xù)四項的和為0.S2 016S45040.7對于數(shù)列an，定義數(shù)列an1an為數(shù)列an的“差數(shù)列”，若a12，an的“差數(shù)列”的通項公式為2n，則數(shù)列an的前n項和Sn_. 【導學號：62172198】2n 12an1an2n，an(anan1)(an1an2)(a2a1)a12n12n2222222n222n.Sn2n12.8設數(shù)列an的前n項和為Sn，若a212，Snkn21(nN)，則數(shù)列的前n項和為_令n1得a1S1k1，令n2得S24k1a1a2k112，解得k4，所以Sn4n21，

14、則數(shù)列的前n項和為.9(2017南通三模)設數(shù)列an滿足a11，(1an1)(1an)1(nN)，則(akak1)的值為_(1an1)(1an)1，anan1anan1，1.又a11，1，是首項為1，公差為1的等差數(shù)列，1(n1)1n.an.akak1，(akak1)a1a2a2a3a100a10111.10(2017蘇州模擬)已知an是等差數(shù)列，a515，a1010，記數(shù)列an的第n項到第n5項的和為Tn，則|Tn|取得最小值時的n的值為_5或6由a515，a1010，得d5，則ana5(n5)(5)405n，an5405(n5)155n，Tn16530n.當|Tn|0時，n，又nN故當n5或6時，|Tn|取得最小值二、解答題11已知數(shù)列an滿足a11，(n1)an(n1)an1(n2，nN)(1)求數(shù)列an的通項公式an；(2)設數(shù)列an 的前n項和為Sn，證明：Sn2. 【導學號：62172199】解(1)當n2時，由(n1)an(n1)an1，得，.將上述式子相乘得.又a11，an.(2)證明：an2，Sn222，Sn0，故bn3n1.(2)Sn，所以cn2，Tn22.(3)dn，dn1dn.當n1,2時，dndn1，又因為d1，d2，d3，d4，所以m的取值范圍為.