高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí) 17-18版 第7章 第36課 數(shù)列求和

第36課 數(shù)列求和最新考綱內(nèi)容要求ABC數(shù)列求和數(shù)列求和的常用方法1公式法直接利用等差數(shù)列、等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式求和(1)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式：Snna1d；(2)等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式：Sn2分組轉(zhuǎn)化法把數(shù)列的每一項(xiàng)分成兩項(xiàng)或幾項(xiàng)，使其轉(zhuǎn)化為幾個(gè)等差、等比數(shù)列，再求解3裂項(xiàng)相消法(1)把數(shù)列的通項(xiàng)拆成兩項(xiàng)之差，在求和時(shí)中間的一些項(xiàng)可以相互抵消，從而求得其和(2)裂項(xiàng)時(shí)常用的三種變形：；.4錯(cuò)位相減法如果一個(gè)數(shù)列的各項(xiàng)是由一個(gè)等差數(shù)列和一個(gè)等比數(shù)列的對(duì)應(yīng)項(xiàng)之積構(gòu)成的，這個(gè)數(shù)列的前n項(xiàng)和可用錯(cuò)位相減法求解5倒序相加法如果一個(gè)數(shù)列an的前n項(xiàng)中與首末兩端等“距離”的兩項(xiàng)的和相等或等于同一個(gè)常數(shù)，那么求這個(gè)數(shù)列的前n項(xiàng)和即可用倒序相加法求解6并項(xiàng)求和法一個(gè)數(shù)列的前n項(xiàng)和中，可兩兩結(jié)合求解，則稱之為并項(xiàng)求和形如an(1)nf(n)類型，可采用兩項(xiàng)合并求解例如，Sn10029929829722212(10099)(9897)(21)5 050.1(思考辨析)判斷下列結(jié)論的正誤(正確的打“”，錯(cuò)誤的打“×”)(1)如果數(shù)列an為等比數(shù)列，且公比不等于1，則其前n項(xiàng)和Sn.()(2)當(dāng)n2時(shí)，.()(3)求Sna2a23a3nan之和時(shí)只要把上式等號(hào)兩邊同時(shí)乘以a即可根據(jù)錯(cuò)位相減法求得()(4)如果數(shù)列an是周期為k(k為大于1的正整數(shù))的周期數(shù)列，那么SkmmSk.()答案(1)(2)(3)×(4)2(教材改編)數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，若an，則S5等于_。an，S5a1a2a51.3若數(shù)列an的通項(xiàng)公式為an2n2n1，則數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn_.2n12n2Sn2n12n2.4(2017·南京模擬)數(shù)列an的通項(xiàng)公式是an(1)n(2n1)，則該數(shù)列的前100項(xiàng)之和為_(kāi)100由題意可知，S1001357197199(13)(57)(197199)2222×50100.53·214·225·23(n2)·2n_.4設(shè)S3×4×5×(n2)×，則S3×4×5×(n2)×.兩式相減得S3×.S334.分組轉(zhuǎn)化求和(2016·北京高考)已知an是等差數(shù)列，bn是等比數(shù)列，且b23，b39，a1b1，a14b4.(1)求an的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)cnanbn，求數(shù)列cn的前n項(xiàng)和解(1)設(shè)等比數(shù)列bn的公比為q，則q3，所以b11，b4b3q27，所以bn3n1(n1,2,3，)設(shè)等差數(shù)列an的公差為d.因?yàn)閍1b11，a14b427，所以113d27，即d2.所以an2n1(n1,2,3，)(2)由(1)知an2n1，bn3n1.因此cnanbn2n13n1.從而數(shù)列cn的前n項(xiàng)和Sn13(2n1)133n1n2.規(guī)律方法分組轉(zhuǎn)化法求和的常見(jiàn)類型(1)若an bn±cn，且bn，cn為等差或等比數(shù)列，則可采用分組求和法求an的前n項(xiàng)和(2)通項(xiàng)公式為an的數(shù)列，其中數(shù)列bn，cn是等比數(shù)列或等差數(shù)列，可采用分組求和法求和易錯(cuò)警示：注意在含有字母的數(shù)列中對(duì)字母的分類討論變式訓(xùn)練1(2016·浙江高考)設(shè)數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，已知S24，an12Sn1，nN.(1)求通項(xiàng)公式an；(2)求數(shù)列|ann2|的前n項(xiàng)和解(1)由題意得則又當(dāng)n2時(shí)，由an1an(2Sn1)(2Sn11)2an，得an13an，所以數(shù)列an的通項(xiàng)公式為an3n1，nN.(2)設(shè)bn|3n1n2|，nN，則b12，b21.當(dāng)n3時(shí)，由于3n1>n2，故bn3n1n2，n3.設(shè)數(shù)列bn的前n項(xiàng)和為T(mén)n，則T12，T23，當(dāng)n3時(shí)，Tn3，所以Tn裂項(xiàng)相消法求和若An和Bn分別表示數(shù)列an和bn的前n項(xiàng)的和，對(duì)任意正整數(shù)n，an2(n1)，3AnBn4n.(1)求數(shù)列bn的通項(xiàng)公式；(2)記cn，求cn的前n項(xiàng)和Sn. 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：62172195】解(1)由于an2(n1)，an為等差數(shù)列，且a14.Ann23n，Bn3An4n3(n23n)4n3n25n，當(dāng)n1時(shí)，b1B18，當(dāng)n2時(shí)，bnBnBn13n25n3(n1)25(n1)6n2.由于b18適合上式，bn6n2.(2)由(1)知cn，Sn.規(guī)律方法1.裂項(xiàng)相消法求和就是將數(shù)列中的每一項(xiàng)裂成兩項(xiàng)或多項(xiàng)，使這些裂開(kāi)的項(xiàng)出現(xiàn)有規(guī)律的相互抵消，要注意消去了哪些項(xiàng)，保留了哪些項(xiàng)，從而達(dá)到求和的目的2消項(xiàng)規(guī)律：消項(xiàng)后前邊剩幾項(xiàng)，后邊就剩幾項(xiàng)，前邊剩第幾項(xiàng)，后邊就剩倒數(shù)第幾項(xiàng)變式訓(xùn)練2Sn為數(shù)列an的前n項(xiàng)和已知an0，a2an4Sn3.(1)求an的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)bn，求數(shù)列bn的前n項(xiàng)和解(1)由a2an4Sn3，可知a2an14Sn13.，得aa2(an1an)4an1，即2(an1an)aa(an1an)(an1an)由an>0，得an1an2.又a2a14a13，解得a11(舍去)或a13.所以an是首項(xiàng)為3，公差為2的等差數(shù)列，通項(xiàng)公式為an2n1.(2)由an2n1可知bn.設(shè)數(shù)列bn的前n項(xiàng)和為T(mén)n，則Tnb1b2bn.錯(cuò)位相減法求和(2016·山東高考)已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn3n28n，bn是等差數(shù)列，且anbnbn1.(1)求數(shù)列bn的通項(xiàng)公式；(2)令cn，求數(shù)列cn的前n項(xiàng)和Tn.解(1)由題意知當(dāng)n2時(shí)，anSnSn16n5.當(dāng)n1時(shí)，a1S111，符合上式所以an6n5.設(shè)數(shù)列bn的公差為d.由即解得所以bn3n1.(2)由(1)知cn3(n1)·2n1.又Tnc1c2cn，得Tn3×2×223×23(n1)×2n1，2Tn3×2×233×24(n1)×2n2，兩式作差，得Tn3×2×2223242n1(n1)×2n23×3n·2n2，所以Tn3n·2n2.規(guī)律方法1.如果數(shù)列an是等差數(shù)列，bn是等比數(shù)列，求數(shù)列an·bn的前n項(xiàng)和時(shí)，可采用錯(cuò)位相減法求和，一般是和式兩邊同乘以等比數(shù)列bn的公比，若bn的公比為參數(shù)，應(yīng)分公比等于1和不等于1兩種情況討論2在書(shū)寫(xiě)“Sn”與“qSn”的表達(dá)式時(shí)應(yīng)特別注意將兩式“錯(cuò)項(xiàng)對(duì)齊”，即公比q的同次冪項(xiàng)相減，轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列求和變式訓(xùn)練3已知等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn滿足S36，S515.(1)求an的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)bn，求數(shù)列bn的前n項(xiàng)和Tn. 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：62172196】解(1)設(shè)等差數(shù)列an的公差為d，首項(xiàng)為a1.S36，S515，即解得an的通項(xiàng)公式為an a1(n1)d1(n1)×1n.(2)由(1)得bn，Tn，式兩邊同乘， 得Tn，得Tn1，Tn2.思想與方法解決非等差、等比數(shù)列的求和，主要有兩種思路：(1)轉(zhuǎn)化的思想，即將一般數(shù)列設(shè)法轉(zhuǎn)化為等差或等比數(shù)列，這一思想方法往往通過(guò)通項(xiàng)分解或錯(cuò)位相減來(lái)完成(2)不能轉(zhuǎn)化為等差或等比數(shù)列的數(shù)列，往往通過(guò)裂項(xiàng)相消法、倒序相加法等來(lái)求和易錯(cuò)與防范1直接應(yīng)用公式求和時(shí)，要注意公式的應(yīng)用范圍，如當(dāng)?shù)缺葦?shù)列公比為參數(shù)(字母)時(shí)，應(yīng)對(duì)其公比是否為1進(jìn)行討論2利用裂項(xiàng)相消法求和的注意事項(xiàng)：(1)抵消后并不一定只剩下第一項(xiàng)和最后一項(xiàng)，也有可能前面剩兩項(xiàng)，后面也剩兩項(xiàng)(2)將通項(xiàng)裂項(xiàng)后，有時(shí)需要調(diào)整前面的系數(shù)，使裂開(kāi)的兩項(xiàng)之差與系數(shù)之積與原通項(xiàng)相等如：若an是等差數(shù)列，則，.課時(shí)分層訓(xùn)練(三十六)A組基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)(建議用時(shí)：30分鐘)一、填空題1數(shù)列1，3，5，7，(2n1)，的前n項(xiàng)和Sn的值等于_n21該數(shù)列的通項(xiàng)公式為an(2n1)，則Sn135(2n1)n21.2在數(shù)列an中，an1an2，Sn為an的前n項(xiàng)和若S1050，則數(shù)列anan1的前10項(xiàng)和為_(kāi)120anan1的前10項(xiàng)和為a1a2a2a3a10a112(a1a2a10)a11a12S1010×2120.3中國(guó)古代數(shù)學(xué)著作算法統(tǒng)宗中有這樣一個(gè)問(wèn)題：“三百七十八里關(guān)，初行健步不為難，次日腳痛減一半，六朝才得到其關(guān)，要見(jiàn)次日行里數(shù)，請(qǐng)公仔細(xì)算相還”其意思為：有一個(gè)人走378里路，第一天健步行走，從第二天起腳痛每天走的路程為前一天的一半，走了6天后到達(dá)目的地，請(qǐng)問(wèn)第二天走了_里96由題意，知每天所走路程形成以a1為首項(xiàng)，公比為的等比數(shù)列，則378，解得a1192，則a296，即第二天走了96里4已知數(shù)列5,6,1，5，該數(shù)列的特點(diǎn)是從第二項(xiàng)起，每一項(xiàng)都等于它的前后兩項(xiàng)之和，則這個(gè)數(shù)列的前16項(xiàng)之和S16等于_. 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：62172197】7根據(jù)題意這個(gè)數(shù)列的前8項(xiàng)分別為5,6,1，5，6，1,5,6，發(fā)現(xiàn)從第7項(xiàng)起，數(shù)字重復(fù)出現(xiàn)，所以此數(shù)列為周期數(shù)列，且周期為6，前6項(xiàng)和為561(5)(6)(1)0.又因?yàn)?62×64，所以這個(gè)數(shù)列的前16項(xiàng)之和S162×077.5已知函數(shù)f(x)xa的圖象過(guò)點(diǎn)(4,2)，令an，nN，記數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，則S2 017_.1由f(4)2得4a2，解得a，則f(x)x.an，S2 017a1a2a3a2 017()()()()1.6設(shè)數(shù)列an 的前n項(xiàng)和為Sn，且ansin，nN，則S2 016_.0ansin，nN，顯然每連續(xù)四項(xiàng)的和為0.S2 016S4×5040.7對(duì)于數(shù)列an，定義數(shù)列an1an為數(shù)列an的“差數(shù)列”，若a12，an的“差數(shù)列”的通項(xiàng)公式為2n，則數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn_. 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：62172198】2n 12an1an2n，an(anan1)(an1an2)(a2a1)a12n12n2222222n222n.Sn2n12.8設(shè)數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，若a212，Snkn21(nN)，則數(shù)列的前n項(xiàng)和為_(kāi)令n1得a1S1k1，令n2得S24k1a1a2k112，解得k4，所以Sn4n21，則數(shù)列的前n項(xiàng)和為.9(2017·南通三模)設(shè)數(shù)列an滿足a11，(1an1)(1an)1(nN)，則(akak1)的值為_(kāi)(1an1)(1an)1，anan1anan1，1.又a11，1，是首項(xiàng)為1，公差為1的等差數(shù)列，1(n1)×1n.an.ak·ak1，(akak1)a1a2a2a3a100a10111.10(2017·蘇州模擬)已知an是等差數(shù)列，a515，a1010，記數(shù)列an的第n項(xiàng)到第n5項(xiàng)的和為T(mén)n，則|Tn|取得最小值時(shí)的n的值為_(kāi)5或6由a515，a1010，得d5，則ana5(n5)×(5)405n，an5405(n5)155n，Tn16530n.當(dāng)|Tn|0時(shí)，n，又nN故當(dāng)n5或6時(shí)，|Tn|取得最小值二、解答題11已知數(shù)列an滿足a11，(n1)an(n1)an1(n2，nN)(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式an；(2)設(shè)數(shù)列an 的前n項(xiàng)和為Sn，證明：Sn<2. 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：62172199】解(1)當(dāng)n2時(shí)，由(n1)an(n1)an1，得，.將上述式子相乘得.又a11，an.(2)證明：an2，Sn222，Sn<2.12(2016·全國(guó)卷)Sn為等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和，且a11，S728.記bnlg an，其中x表示不超過(guò)x的最大整數(shù)，如0.90，lg 991.(1)求b1，b11，b101；(2)求數(shù)列bn的前1 000項(xiàng)和解(1)設(shè)an的公差為d，據(jù)已知有721d28，解得d1.所以an的通項(xiàng)公式為ann.b1lg 10，b11lg 111，b101lg 1012.(2)因?yàn)閎n所以數(shù)列bn的前1 000項(xiàng)和為1×902×9003×11 893.B組能力提升(建議用時(shí)：15分鐘)1已知數(shù)列an中，a12，a2nan1，a2n1nan，則an的前100項(xiàng)和為_(kāi)1 289由a12，a2nan1，a2n1nan，得a2na2n1n1，a1(a2a3)(a4a5)(a98a99)223501 276，a1001a501(1a25)2(12a12)14(1a6)13(1a3)12(1a1)13，a1a2a1001 276131 289.2已知等比數(shù)列an的各項(xiàng)都為正數(shù)，且當(dāng)n3時(shí)，a4a2n4102n，則數(shù)列l(wèi)g a1,2lg a2,22lg a3,23lg a4，2n1lg an，的前n項(xiàng)和Sn_.(n1)·2n1等比數(shù)列an的各項(xiàng)都為正數(shù)，且當(dāng)n3時(shí)，a4a2n4102n，a102n，即an10n，2n1lg an2n1lg 10nn·2n1，Sn12×23×22n·2n1，2Sn1×22×223×23n·2n，得Sn12222n1n·2n2n1n·2n(1n)·2n1，Sn(n1)·2n1.3設(shè)Sn是數(shù)列an的前n項(xiàng)和，已知a13，an12Sn3(nN)(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；(2)令bn(2n1)an，求數(shù)列bn的前n項(xiàng)和Tn.解(1)當(dāng)n2時(shí)，由an12Sn3得an2Sn13，兩式相減，得an1an2Sn2Sn12an，an13an，3.當(dāng)n1時(shí)，a13，a22S132a139，則3.數(shù)列an是以a13為首項(xiàng)，公比為3的等比數(shù)列an3×3n13n.(2)法一：由(1)得bn(2n1)an(2n1)·3n，Tn1×33×325×33(2n1)·3n，3Tn1×323×335×34(2n1)·3n1，得2Tn1×32×322×332×3n(2n1)·3n132×(32333n)(2n1)·3n132×(2n1)·3n16(2n2)·3n1.Tn(n1)·3n13.法二：由(1)得bn(2n1)an(2n1)·3n.(2n1)·3n(n1)·3n1(n2)·3n，Tnb1b2b3bn(03)(330)(2×3433)(n1)·3n1(n2)·3n(n1)·3n13.4(2017·無(wú)錫期中)已知數(shù)列an，bn是正項(xiàng)數(shù)列，an為等差數(shù)列，bn為等比數(shù)列，bn的前n項(xiàng)和為Sn(nN)，且a1b11，a2b21，a3b32.(1)求數(shù)列an，bn的通項(xiàng)公式；(2)令cn，求數(shù)列cn的前n項(xiàng)和Sn；(3)設(shè)dn，若dnm恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍解(1)設(shè)公差為d，公比為q，由已知得a1b11，dq,2dq23，解之得：dq3，an3n2.又因bn>0，故bn3n1.(2)Sn，所以cn2，Tn22.(3)dn，dn1dn.當(dāng)n1,2時(shí)，dn<dn1，當(dāng)n3，nN時(shí)，dn>dn1，又因?yàn)閐1，d2，d3，d4，所以m的取值范圍為.