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1、摘要本文共分兩個模型,分別針對放牧的羊數(shù)和每年保留的羊數(shù),夏季要供給冬季的草量進行討論第一個模型,我們以養(yǎng)一種羊的方式,即第一年只養(yǎng)1齡羊,第二年只養(yǎng)2齡羊(小羊在秋季賣出),而到第五年的時候?qū)⑺械?齡羊全賣,第六年又重新循環(huán)。如此再根據(jù)所給的條件來對牧場所能放牧多少羊進行求解第二個模型,在第一個模型的前提下,我們改進第一個模型,因為我們計算出秋季草量過剩而春季不足,而且考慮到鮮草和甘草的轉(zhuǎn)化問題,所以我們提出相應的假設進行求解。最后在第二個模型的基礎(chǔ)上,分別回答題目所提的三個問題。關(guān)鍵詞: 線性規(guī)劃 優(yōu)化 牧場管理一、問題重述有一塊一定面積的草場放牧羊群,管理者要估計草場能放牧多少羊,每年
2、保留多少母羊羔,夏季要貯存多少草供冬季之用.為解決這些問題調(diào)查了如下的背景材料:(1)本地環(huán)境下這一品種草的日生長率為季節(jié) 冬 春 夏 秋日生長率(g/m2) 0 3 7 4(2)羊的繁殖率 通常母羊每年產(chǎn)13只羊羔,5歲后被賣掉。為保持羊群的規(guī)??梢再I進羊羔,或者保留一定數(shù)量的母羊。每只母羊的平均繁殖率為年齡 01 12 23 34 45產(chǎn)羊羔數(shù) 0 1.8 2.4 2.0 1.8(3) 羊的存活率 不同年齡的母羊的自然存活率(指存活一年)為年齡 12 23 34 存活率 0.98 0.95 0.80 (4)草的需求量 母羊和羊羔在各個季節(jié)每天需要的草的數(shù)量(kg)為季節(jié) 冬 春 夏 秋母羊
3、 2.10 2.40 1.15 1.35羊羔 0 1.00 1.65 0二、模型建立與分析針對以上問題,我們對其數(shù)據(jù)進行了分析,并建立了線性規(guī)劃模型,以下是我們的建模過程:(一)、按照以下假設建模:1.1、模型假設:(1) 只考慮羊的數(shù)量,不考慮體重。(2) 母羊只在春季產(chǎn)羊羔,公母羊羔各占一半,當年秋季將全部公羊羔和部分母羊羔賣掉,以保持母羊(每個年齡的)數(shù)量不變。(3) 假設牧場的面積為:A=1000000;1.2、 符號說明:00.5年齡段母羊羔為:x00.51年齡段母羊為:x112年齡段母羊為:x223年齡段母羊為:x334年齡段母羊為:x445年齡段母羊為:x5春季產(chǎn)草量:n1夏季產(chǎn)
4、草量:n2秋季產(chǎn)草量:n3冬季產(chǎn)草量:n4春季羊吃草總量:m1夏季羊吃草總量:m2秋季羊吃草總量:m3冬季羊吃草總量:m41.3、 計算各個年齡段羊的數(shù)量:x2=x1;由12年齡段母羊存活率為0.98可得:x3=0.98x2; 由23年齡段母羊存活率為0.95可得:x4=0.95*x3;由34年齡段母羊存活率為0.80可得:x5=0.80*x4; 每年齡段的母羊所生羊羔數(shù)的總和:x0=1.8*x2+2.4*x3+2.0*x4+1.8*x5;1.4、 計算每季節(jié)的產(chǎn)草量:n1=90*3*A/1000(kg);n2=90*7*A/1000(kg);n3=90*4*A/1000(kg);n4=0(k
5、g);1.5、計算每季節(jié)羊吃草量:m1=(x2+x3+x4+x5)*2.4*90+x0*1*90(kg)m2=(x2+x3+x4+x5)*1.15*90+x0*1.65*90(kg)m3=(x1+x2+x3+x4+x5)*1.35*90(kg)m4=(x1+x2+x3+x4+x5)*2.1*90(kg)1.6、一年下來羊吃的草量不能大于一年草的總產(chǎn)量1.7、 所要求的羊的總數(shù)為:max=x1+x2+x3+x4+x5由上述線性規(guī)劃模型可得出:解得:A=1000000x0=2118x1=288x2=288x3=282x4=268x5=214m1=418052.2752m2=423515.32992
6、m3=162915.7536m4=253424.5056n1=270000n2=630000n3=360000n4=0所以,每年所保留下來的母羊羔為288(x1),此牧場能放牧的羊數(shù)為1340只(x1+x2+x3+x4+x5)。但此模型缺少夏季供給冬季的草量,再加上考慮鮮草向甘草的轉(zhuǎn)化率,因此我們引入模型二。(二)、 在模型一的基礎(chǔ)上,我們加上如下條件:仔細觀察上面模型,可以發(fā)現(xiàn)一個問題,我們不難發(fā)現(xiàn)草的產(chǎn)量每個季節(jié)是不一樣的,尤其冬季草是完全不生長的,所以必須調(diào)節(jié)每季節(jié)的草,于是,我們添加假設:2.1、模型假設:(4)春季秋季生長出的草自給自足(5)冬季所需的草由夏季提供(6)夏季保存到冬季
7、的草重量不變,只剩50%的能量2.2、符號說明:00.5年齡段母羊羔為:x00.51年齡段母羊為:x112年齡段母羊為:x223年齡段母羊為:x334年齡段母羊為:x445年齡段母羊為:x5春季產(chǎn)草量:n1夏季產(chǎn)草量:n2秋季產(chǎn)草量:n3冬季產(chǎn)草量:n4春季羊吃草總量:m1夏季羊吃草總量:m2秋季羊吃草總量:m3冬季羊吃草總量:m4夏季保存給冬季的草的質(zhì)量:t2.3、計算各個年齡段羊的數(shù)量:x2=x1;由12年齡段母羊存活率為0.98可得:x3=0.98x2; 由23年齡段母羊存活率為0.95可得:x4=0.95*x3;由34年齡段母羊存活率為0.80可得:x5=0.80*x4; 每年齡段的母
8、羊所生羊羔數(shù)的總和:x0=1.8*x2+2.4*x3+2.0*x4+1.8*x5;2.4、各季節(jié)羊的吃草量春季羊的吃草量:m1=x0*1*90+(x2+x3+x4+x5)*2.4*90 (kg)夏季羊的吃草量:m2=x0*1.65*90+(x2+x3+x4+x5)*1.15*90 (kg)秋季羊的吃草量:m3=(x1+x2+x3+x4+x5)*1.35*90 (kg)冬季羊的吃草量:m4=2*(x1+x2+x3+x4+x5)*2.1*90 (kg)計算每季節(jié)的產(chǎn)草量:n1=90*3*A/1000(kg);n2=90*7*A/1000(kg);n3=90*4*A/1000(kg);n4=0(kg
9、);春季羊的吃草量不能大于本季節(jié)產(chǎn)草量:m1=n1夏季產(chǎn)草量大于等于夏季羊的吃草量加上留給冬季的草量:m2+t=n2秋季羊的吃草量不能大于本季節(jié)產(chǎn)草量:m3=n3冬季羊的吃草量等于夏季留下來的草量:m4=t通過以上分析可以得到如下max x1+x2+x3+x4+x5解得:x0=1367x1=186x2=186x3=182x4=172x5=137m1=269992.0944m2=273520.31724m3=105216.4242m4=327339.9864n1=270000n2=630000n3=360000n4=0t=327339.9864所以,每年所保留下來的母羊羔為186(x1),此牧場
10、能放牧的羊數(shù)為863(x1+x2+x3+x4+x5)。夏季保存在冬季的草量為:t=327339.9864。由結(jié)果可知春季的產(chǎn)草量為n1=270000kg,羊吃的總草量為:m1=269992.0944kg,所以春季基本上沒什么浪費。夏季的產(chǎn)草量為:n2=630000kg,夏季和冬季羊的總吃草量為:m2+m4=600860.30354kg。浪費了:n2- m2-m4=29139.69636kg秋季的產(chǎn)草量為:n3=360000kg,羊的吃草量為:m3=105216.4242kg。;浪費了:n3-m3=253783.5758kg??梢娎速M了很多,這也是本模型的缺點。冬季羊吃的草由夏季提供、沒什么浪費
11、。 因此,我們引入模型三來解決草量的浪費問題。(三)、模型三:3.1模型假設:在模型二的基礎(chǔ)上假設六刪除;3.2 模型求解:將各個季節(jié)的吃草量與產(chǎn)草量之間的關(guān)系改為:夏季產(chǎn)草量大于等于夏季羊的吃草量:m2=n2秋季吃草量小于等于秋季羊的產(chǎn)草量家上夏季留下來的草量:m3=n3+n2-m2冬季羊的吃草量小于等于秋季留下來的草量:m4=n3+n2-m2-m3春季羊的吃草量不能大于本季節(jié)產(chǎn)草量加上冬季吃剩的草量:m1=n1+n2-m2+n3-m3通過以上分析可以得到如下max x1+x2+x3+x4+x5解得:A=1000000x0=2118x1=288x2=288x3=282x4=268x5=214
12、m1=418052.2752m2=423515.32992m3=162915.7536m4=253424.5056n1=270000n2=630000n3=360000n4=0結(jié)果分析:夏季的時候產(chǎn)草量是n2=630000(kg),吃草量是m2=423515.32992(kg);留下了630000423515.32992206484.67008(kg)草給秋季。秋季的產(chǎn)草量是n3=360000(kg),吃草量是m3=162915.7536(kg);留下了360000+206484.67008-162915.7536403568.91648(kg)草給冬季。冬季的產(chǎn)草量為0,吃草量為m4=253
13、424.5056(kg),留下了403568.91648253424.5056150144.41088(kg)草給春季。春季的產(chǎn)草量為n1=270000(kg),吃草量為m1=418052.2752(kg)。全年下來浪費的草量為150144.41088+270000418052.27522092.13568(kg)。三、三個模型的結(jié)果比較模型一:是把一年看成一個整體來求解得出的結(jié)果不是很符合實際。存在缺陷。因此引入模型二。模型二:在模型一的基礎(chǔ)上改善,把四個季節(jié)都作為約束,從而保證每個季節(jié)的羊都能吃到草,符合實際。情況較好。但模型二浪費很嚴重。對農(nóng)民來說會有很大的損失??紤]到此點,我們引入模型三。模型三:綜合考慮模型一個模型二的所有問題。引入每個季節(jié)剩下的草將會留給下給季節(jié)用。此假設合理,符合實際。得出的結(jié)果,草的浪費比較少。結(jié)果令人滿意。四、參考文獻1、姜啟源 謝金星 等編,數(shù)學模型,第四版,北京:高等教育出版社。2、趙靜 但琦主編 數(shù)學建模與數(shù)學實驗,北京:高等教育出版社,2008.13、楊桂元 黃己立主編 數(shù)學建模,合肥:中國科學技術(shù)大學出版社,2008.811