新版高考數(shù)學(xué)文二輪復(fù)習(xí)教師用書:第1部分 重點(diǎn)強(qiáng)化專題 專題4 突破點(diǎn)10 空間中的平行與垂直關(guān)系 Word版含答案

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1、 1 1突破點(diǎn)10空間中的平行與垂直關(guān)系核心知識(shí)提煉提煉1 異面直線的性質(zhì)(1)異面直線不具有傳遞性注意不能把異面直線誤解為分別在兩個(gè)不同平面內(nèi)的兩條直線或平面內(nèi)的一條直線與平面外的一條直線(2)異面直線所成角的范圍是,所以空間中兩條直線垂直可能為異面垂直或相交垂直(3)求異面直線所成角的一般步驟為:找出(或作出)適合題設(shè)的角用平移法;求轉(zhuǎn)化為在三角形中求解;結(jié)論由所求得的角或其補(bǔ)角即為所求.提煉2 平面與平面平行的常用性質(zhì)(1)夾在兩個(gè)平行平面之間的平行線段長度相等(2)經(jīng)過平面外一點(diǎn)有且只有一個(gè)平面與已知平面平行(3)如果兩個(gè)平面分別平行于第三個(gè)平面,那么這兩個(gè)平面互相平行(4)兩個(gè)平面平

2、行,則其中一個(gè)平面內(nèi)的任意一條直線平行于另一個(gè)平面.提煉3 證明線面位置關(guān)系的方法(1)證明線線平行的方法:三角形的中位線等平面幾何中的性質(zhì);線面平行的性質(zhì)定理;面面平行的性質(zhì)定理;線面垂直的性質(zhì)定理(2)證明線面平行的方法:尋找線線平行,利用線面平行的判定定理;尋找面面平行,利用面面平行的性質(zhì)(3)證明線面垂直的方法:線面垂直的定義,需要說明直線與平面內(nèi)的所有直線都垂直;線面垂直的判定定理;面面垂直的性質(zhì)定理(4)證明面面垂直的方法:定義法,即證明兩個(gè)平面所成的二面角為直二面角;面面垂直的判定定理,即證明一個(gè)平面經(jīng)過另一個(gè)平面的一條垂線高考真題回訪回訪1異面直線所成的角1(20xx全國卷)如

3、圖,在下列四個(gè)正方體中,A,B為正方體的兩個(gè)頂點(diǎn),M,N,Q為所在棱的中點(diǎn),則在這四個(gè)正方體中,直線AB與平面MNQ不平行的是()AA項(xiàng),作如圖所示的輔助線,其中D為BC的中點(diǎn),則QDAB.QD平面MNQQ,QD與平面MNQ相交,直線AB與平面MNQ相交B項(xiàng),作如圖所示的輔助線,則ABCD,CDMQ,ABMQ.又AB平面MNQ,MQ平面MNQ,AB平面MNQ.C項(xiàng),作如圖所示的輔助線,則ABCD,CDMQ,ABMQ.又AB平面MNQ,MQ平面MNQ,AB平面MNQ.D項(xiàng),作如圖所示的輔助線,則ABCD,CDNQ,ABNQ.又AB平面MNQ,NQ平面MNQ,AB平面MNQ.故選A.2(20xx全

4、國卷)平面過正方體ABCDA1B1C1D1的頂點(diǎn)A,平面CB1D1,平面ABCDm,平面ABB1A1n,則m,n所成角的正弦值為()A.BC. D.A設(shè)平面CB1D1平面ABCDm1.平面平面CB1D1,m1m.又平面ABCD平面A1B1C1D1,且平面CB1D1平面A1B1C1D1B1D1,B1D1m1.B1D1m.平面ABB1A1平面DCC1D1,且平面CB1D1平面DCC1D1CD1,同理可證CD1n.因此直線m與n所成的角即直線B1D1與CD1所成的角在正方體ABCDA1B1C1D1中,CB1D1是正三角形,故直線B1D1與CD1所成角為60,其正弦值為.回訪2線面位置關(guān)系的性質(zhì)與判斷

5、3(20xx全國卷)已知m,n為異面直線,m平面,n平面.直線l滿足lm,ln,l,l,則()A且lB且lC與相交,且交線垂直于lD與相交,且交線平行于lD根據(jù)所給的已知條件作圖,如圖所示由圖可知與相交,且交線平行于l,故選D.4(20xx全國卷),是兩個(gè)平面,m,n是兩條直線,有下列四個(gè)命題:如果mn,m,n,那么.如果m,n,那么mn.如果,m,那么m.如果mn,那么m與所成的角和n與所成的角相等其中正確的命題有_(填寫所有正確命題的編號(hào))對(duì)于,可以平行,也可以相交但不垂直,故錯(cuò)誤對(duì)于,由線面平行的性質(zhì)定理知存在直線l,nl,又m,所以ml,所以mn,故正確對(duì)于,因?yàn)椋?,沒有公共點(diǎn)又m

6、,所以m,沒有公共點(diǎn),由線面平行的定義可知m,故正確對(duì)于,因?yàn)閙n,所以m與所成的角和n與所成的角相等因?yàn)?,所以n與所成的角和n與所成的角相等,所以m與所成的角和n與所成的角相等,故正確熱點(diǎn)題型1空間位置關(guān)系的判斷與證明題型分析:空間中平行與垂直關(guān)系的判斷與證明是高考常規(guī)的命題形式,此類題目綜合體現(xiàn)了相關(guān)判定定理和性質(zhì)定理的應(yīng)用,同時(shí)也考查了學(xué)生的空間想象能力及轉(zhuǎn)化與化歸的思想【例1】(1)(20xx全國卷)在正方體ABCDA1B1C1D1中,E為棱CD的中點(diǎn),則()AA1EDC1BA1EBDCA1EBC1 DA1EACC法一:如圖,A1E在平面ABCD上的投影為AE,而AE不與AC,BD垂直

7、,B,D錯(cuò);A1E在平面BCC1B1上的投影為B1C,且B1CBC1,A1EBC1,故C正確;(證明:由條件易知,BC1B1C,BC1CE,又CEB1CC,BC1平面CEA1B1.又A1E平面CEA1B1,A1EBC1)A1E在平面DCC1D1上的投影為D1E,而D1E不與DC1垂直,故A錯(cuò)故選C.法二:(空間向量法)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,設(shè)正方體的棱長為1,則A(1,0,0),B(1,1,0),C(0,1,0),D(0,0,0),A1(1,0,1),C1(0,1,1),E,(0,1,1),(1,1,0),(1,0,1),(1,1,0),0,0,0,0,A1EBC1.故選C.(2)(2

8、0xx全國卷)如圖101,在四棱錐PABCD中,ABCD,且BAPCDP90.證明:平面PAB平面PAD;若PAPDABDC,APD90,且四棱錐PABCD的體積為,求該四棱錐的側(cè)面積圖101解證明:由已知BAPCDP90,得ABAP,CDPD1分由于ABCD,故ABPD,從而AB平面PAD.3分又AB平面PAB,所以平面PAB平面PAD4分如圖,取AD的中點(diǎn)E,連接PE,則PEAD.由知,AB平面PAD,故ABPE,ABAD,可得PE平面ABCD6分設(shè)ABx,則由已知可得ADx,PEx.故四棱錐PABCD的體積VPABCDABADPEx3.由題設(shè)得x3,故x28分從而結(jié)合已知可得PAPDAB

9、DC2,ADBC2,PBPC210分可得四棱錐PABCD的側(cè)面積為PAPDPAABPDDCBC2sin 606212分方法指津在解答空間中線線、線面和面面的位置關(guān)系問題時(shí),我們可以從線、面的概念、定理出發(fā),學(xué)會(huì)找特例、反例和構(gòu)建幾何模型判斷兩直線是異面直線是難點(diǎn),我們可以依據(jù)定義來判定,也可以依據(jù)定理(過平面外一點(diǎn)與平面內(nèi)一點(diǎn)的直線,和平面內(nèi)不經(jīng)過該點(diǎn)的直線是異面直線)判定而反證法是證明兩直線異面的有效方法提醒:判斷直線和平面的位置關(guān)系中往往易忽視直線在平面內(nèi),而面面位置關(guān)系中易忽視兩個(gè)平面平行此類問題可以結(jié)合長方體中的線面關(guān)系找出假命題中的反例變式訓(xùn)練1 (1)(20xx石家莊二模)設(shè)m,n

10、是兩條不同的直線,是三個(gè)不同的平面,給出下列四個(gè)命題:若m,n,則mn;若,m,則m;若n,mn,則m,m;若,則.其中真命題的個(gè)數(shù)為() 【導(dǎo)學(xué)號(hào):04024094】A0B1C2D3B若m,n,則m,n可能平行或異面,錯(cuò)誤;若,則,又m,則m,正確;若n,mn,則m或m或m或m,錯(cuò)誤;若,則,可能平行或相交,錯(cuò)誤,故選B.(2)(20xx全國卷)如圖102,四棱錐PABCD中,側(cè)面PAD為等邊三角形且垂直于底面ABCD,ABBCAD,BADABC90.圖102證明:直線BC平面PAD;若PCD的面積為2,求四棱錐PABCD的體積解證明:在平面ABCD內(nèi),因?yàn)锽ADABC90,所以BCAD.又

11、BC平面PAD,AD平面PAD,故BC平面PAD.如圖,取AD的中點(diǎn)M,連接PM,CM.由ABBCAD及BCAD,ABC90得四邊形ABCM為正方形,則CMAD.因?yàn)閭?cè)面PAD為等邊三角形且垂直于底面ABCD,平面PAD平面ABCDAD,所以PMAD,PM底面ABCD.因?yàn)镃M底面ABCD,所以PMCM.設(shè)BCx,則CMx,CDx,PMx,PCPD2x.如圖,取CD的中點(diǎn)N,連接PN,則PNCD,所以PNx.因?yàn)镻CD的面積為2,所以xx2.解得x2(舍去)或x2.于是ABBC2,AD4,PM2.所以四棱錐PABCD的體積V24.熱點(diǎn)題型2平面圖形的翻折問題題型分析:(1)解決翻折問題的關(guān)鍵是

12、搞清翻折前后圖形中線面位置關(guān)系和度量關(guān)系的變化情況(2)找出其中變化的量和沒有變化的量,一般地翻折后還在同一個(gè)平面上的性質(zhì)不發(fā)生變化,不在同一個(gè)平面上的性質(zhì)發(fā)生變化【例2】(20xx全國卷)如圖103,菱形ABCD的對(duì)角線AC與BD交于點(diǎn)O,點(diǎn)E,F(xiàn)分別在AD,CD上,AECF,EF交BD于點(diǎn)H.將DEF沿EF折到DEF的位置圖103(1)證明:ACHD;(2)若AB5,AC6,AE,OD2,求五棱錐DABCFE的體積解 (1)證明:由已知得ACBD,ADCD1分又由AECF得,故ACEF2分由此得EFHD,故EFHD,所以ACHD.3分(2)由EFAC得4分由AB5,AC6得DOBO4.所以

13、OH1,DHDH3.5分于是OD2OH2(2)2129DH2,故ODOH6分由(1)知ACHD,又ACBD,BDHDH,所以AC平面BHD,于是ACOD8分又由ODOH,ACOHO,所以O(shè)D平面ABC.又由得EF10分五邊形ABCFE的面積S683.11分所以五棱錐DABCFE的體積V212分方法指津翻折問題的注意事項(xiàng)1畫好兩圖:翻折之前的平面圖形與翻折之后形成的幾何體的直觀圖2把握關(guān)系:即比較翻折前后的圖形,準(zhǔn)確把握平面圖形翻折前后的線線關(guān)系,哪些平行與垂直的關(guān)系不變,哪些平行與垂直的關(guān)系發(fā)生變化,這是準(zhǔn)確把握幾何體結(jié)構(gòu)特征,進(jìn)行空間線面關(guān)系邏輯推理的基礎(chǔ)3準(zhǔn)確定量:即根據(jù)平面圖形翻折的要求

14、,把平面圖形中的相關(guān)數(shù)量轉(zhuǎn)化為空間幾何體的數(shù)字特征,這是準(zhǔn)確進(jìn)行計(jì)算的基礎(chǔ)變式訓(xùn)練2如圖104,高為1的等腰梯形ABCD中,AMCDAB1,M為AB的三等分點(diǎn),現(xiàn)將AMD沿MD折起,使平面AMD平面MBCD,連接AB,AC.(1)在AB邊上是否存在點(diǎn)P,使AD平面MPC,請(qǐng)說明理由;(2)當(dāng)點(diǎn)P為AB邊中點(diǎn)時(shí),求點(diǎn)B到平面MPC的距離【導(dǎo)學(xué)號(hào):04024095】圖104解 (1)當(dāng)APAB時(shí),有AD平面MPC.理由如下:連接BD交MC于點(diǎn)N,連接NP2分在梯形MBCD中,DCMB,.在ADB中,ADPN4分AD平面MPC,PN平面MPC,AD平面MPC6分(2)平面AMD平面MBCD,平面AMD平面MBCDDM,由題易知,在AMD中,AMDM,AM平面MBCD,又P為AB中點(diǎn),VPMBCSMBC21.9分在MPC中,MPAB,MC,PC,SMPC.11分點(diǎn)B到平面MPC的距離為12分

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