新編高考數(shù)學(xué)理一輪資源庫 第3章學(xué)案14

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1、新編高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)資料學(xué)案14導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的應(yīng)用導(dǎo)學(xué)目標(biāo): 1.了解函數(shù)單調(diào)性和導(dǎo)數(shù)的關(guān)系,能利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,會(huì)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間(多項(xiàng)式函數(shù)一般不超過三次).2.了解函數(shù)在某點(diǎn)取得極值的必要條件和充分條件,會(huì)用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極大值、極小值(多項(xiàng)式函數(shù)一般不超過三次)及最大(最小)值自主梳理1導(dǎo)數(shù)和函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系:(1)對(duì)于函數(shù)yf(x),如果在某區(qū)間上f(x)0,那么f(x)為該區(qū)間上的_;如果在某區(qū)間上f(x)1.(1)討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性;(2)證明:若a1.【答題模板】(1)解f(x)的定義域?yàn)?0,)f(x)xa.3分若a11,即a2時(shí),f(x).故f(x)在(0,)上

2、單調(diào)遞增若a11,故1a2時(shí),則當(dāng)x(a1,1)時(shí),f(x)0,故f(x)在(a1,1)上單調(diào)遞減,在(0,a1),(1,)上單調(diào)遞增若a11,即a2時(shí),同理可得f(x)在(1,a1)上單調(diào)遞減,在(0,1),(a1,)上單調(diào)遞增7分(2)證明考慮函數(shù)g(x)f(x)xx2ax(a1)ln xx.則g(x)x(a1)2(a1)1(1)2.由于1a0,即g(x)在(0,)上單調(diào)遞增,從而當(dāng)x1x20時(shí),有g(shù)(x1)g(x2)0,即f(x1)f(x2)x1x20,故1.12分當(dāng)0x11.綜上,若a1.14分【突破思維障礙】(1)討論函數(shù)的單調(diào)區(qū)間的關(guān)鍵是討論導(dǎo)數(shù)大于0或小于0的不等式的解集,一般就

3、是歸結(jié)為一個(gè)一元二次不等式的解集的討論,在能夠通過因式分解得到導(dǎo)數(shù)等于0的根的情況下,根的大小是分類的標(biāo)準(zhǔn);(2)利用導(dǎo)數(shù)解決不等式問題的主要方法就是構(gòu)造函數(shù),通過函數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)而解決不等式問題1求可導(dǎo)函數(shù)單調(diào)區(qū)間的一般步驟和方法:(1)確定函數(shù)f(x)的定義域;(2)求f(x),令f(x)0,求出它在定義域內(nèi)的一切實(shí)根;(3)把函數(shù)f(x)的間斷點(diǎn)(即f(x)的無定義點(diǎn))的橫坐標(biāo)和上面的各實(shí)數(shù)根按由小到大的順序排列起來,然后用這些點(diǎn)把函數(shù)f(x)的定義區(qū)間分成若干個(gè)小區(qū)間;(4)確定f(x)在各個(gè)開區(qū)間內(nèi)的符號(hào),根據(jù)f(x)的符號(hào)判定函數(shù)f(x)在每個(gè)相應(yīng)小開區(qū)間內(nèi)的增減性2可導(dǎo)函數(shù)極

4、值存在的條件:(1)可導(dǎo)函數(shù)的極值點(diǎn)x0一定滿足f(x0)0,但當(dāng)f(x1)0時(shí),x1不一定是極值點(diǎn)如f(x)x3,f(0)0,但x0不是極值點(diǎn)(2)可導(dǎo)函數(shù)yf(x)在點(diǎn)x0處取得極值的充要條件是f(x0)0,且在x0左側(cè)與右側(cè)f(x)的符號(hào)不同3函數(shù)的最大值、最小值是比較整個(gè)定義區(qū)間的函數(shù)值得出來的,函數(shù)的極值是比較極值點(diǎn)附近的函數(shù)值得出來的函數(shù)的極值可以有多有少,但最值只有一個(gè),極值只能在區(qū)間內(nèi)取得,最值則可以在端點(diǎn)取得,有極值的未必有最值,有最值的未必有極值,極值可能成為最值,最值只要不在端點(diǎn)必定是極值4求函數(shù)的最值以導(dǎo)數(shù)為工具,先找到極值點(diǎn),再求極值和區(qū)間端點(diǎn)函數(shù)值,其中最大的一個(gè)是

5、最大值,最小的一個(gè)是最小值(滿分:90分)一、填空題(每小題6分,共48分)1(2011泰州實(shí)驗(yàn)一模)函數(shù)f(x)xln x的單調(diào)減區(qū)間為_2已知函數(shù)f(x)2x36x2m(m為常數(shù))在2,2上有最大值3,那么此函數(shù)在2,2上的最小值是_3函數(shù)f(x)的定義域?yàn)殚_區(qū)間(a,b),導(dǎo)函數(shù)f(x)在(a,b)內(nèi)的圖象如圖所示,則函數(shù)f(x)在開區(qū)間(a,b)內(nèi)有極小值點(diǎn)的個(gè)數(shù)為_4(2011蘇州模擬)若函數(shù)ya(x3x)在區(qū)間上為減函數(shù),則a的取值范圍為_5設(shè)aR,若函數(shù)yeax3x,xR有大于零的極值點(diǎn),則a的取值范圍為_6(2011聊城一模)若a2,則函數(shù)f(x)x3ax21在區(qū)間(0,2)上

6、有_個(gè)零點(diǎn)7已知函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)f(x)的圖象如圖所示,給出以下結(jié)論:函數(shù)f(x)在(2,1)和(1,2)上是單調(diào)遞增函數(shù);函數(shù)f(x)在(2,0)上是單調(diào)遞增函數(shù),在(0,2)上是單調(diào)遞減函數(shù);函數(shù)f(x)在x1處取得極大值,在x1處取得極小值;函數(shù)f(x)在x0處取得極大值f(0)則正確命題的序號(hào)是_(填上所有正確命題的序號(hào))8已知函數(shù)f(x)x3mx2(m6)x1既存在極大值又存在極小值,則實(shí)數(shù)m的取值范圍為_二、解答題(共42分)9(12分)求函數(shù)f(x)的極值10(14分)(2010秦皇島模擬)已知a為實(shí)數(shù),且函數(shù)f(x)(x24)(xa)(1)求導(dǎo)函數(shù)f(x);(2)若f(1)

7、0,求函數(shù)f(x)在2,2上的最大值、最小值11(16分)已知函數(shù)f(x)x3mx2nx2的圖象過點(diǎn)(1,6),且函數(shù)g(x)f(x)6x的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱(1)求m,n的值及函數(shù)yf(x)的單調(diào)區(qū)間;(2)若a0,求函數(shù)yf(x)在區(qū)間(a1,a1)內(nèi)的極值答案 自主梳理1(1)增函數(shù)減函數(shù)(2)增減2.(1)f(x)0f(x)0f(x)0(2)f(x)0f(x)0極大值極小值3.(1)極值 (2)f(a),f(b)自我檢測(cè)12.(2,)3.3,)4.充要5.18課堂活動(dòng)區(qū)例1解題導(dǎo)引(1)一般地,涉及到函數(shù)(尤其是一些非常規(guī)函數(shù))的單調(diào)性問題,往往可以借助導(dǎo)數(shù)這一重要工具進(jìn)行求解函數(shù)在定義

8、域內(nèi)存在單調(diào)區(qū)間,就是不等式f(x)0或f(x)0,即(x22)ex0,ex0,x220,解得x0,x2(a2)xa0對(duì)x(1,1)都成立,即x2(a2)xa0對(duì)x(1,1)恒成立設(shè)h(x)x2(a2)xa,只需滿足,解得a.(3)若函數(shù)f(x)在R上單調(diào)遞減,則f(x)0對(duì)xR都成立,即x2(a2)xaex0對(duì)xR都成立ex0,x2(a2)xa0對(duì)xR都成立(a2)24a0,即a240,這是不可能的故函數(shù)f(x)不可能在R上單調(diào)遞減若函數(shù)f(x)在R上單調(diào)遞增,則f(x)0對(duì)xR都成立,即x2(a2)xaex0對(duì)xR都成立ex0,x2(a2)xa0對(duì)xR都成立而x2(a2)xa0不可能恒成立

9、,故函數(shù)f(x)不可能在R上單調(diào)遞增綜上可知函數(shù)f(x)不可能是R上的單調(diào)函數(shù)變式遷移1解(1)由題意得f(x)3x22(1a)xa(a2),又,解得b0,a3或a1.(2)由f(x)0,得x1a,x2.又f(x)在(1,1)上不單調(diào),即或解得或所以a的取值范圍為(5,)(,1)例2解題導(dǎo)引本題研究函數(shù)的極值問題利用待定系數(shù)法,由極值點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)值為0,以及極大值、極小值,建立方程組求解判斷函數(shù)極值時(shí)要注意導(dǎo)數(shù)為0的點(diǎn)不一定是極值點(diǎn),所以求極值時(shí)一定要判斷導(dǎo)數(shù)為0的點(diǎn)左側(cè)與右側(cè)的單調(diào)性,然后根據(jù)極值的定義判斷是極大值還是極小值解(1)由題意可知f(x)3ax2b.于是,解得故所求的函數(shù)解析式為f(

10、x)x34x4.(2)由(1)可知f(x)x24(x2)(x2)令f(x)0得x2或x2,當(dāng)x變化時(shí),f(x),f(x)的變化情況如下表所示:x(,2)2(2,2)2(2,)f(x)00f(x)單調(diào)遞增極大值單調(diào)遞減極小值單調(diào)遞增因此,當(dāng)x2時(shí),f(x)有極大值,當(dāng)x2時(shí),f(x)有極小值,所以函數(shù)的大致圖象如圖,故實(shí)數(shù)k的取值范圍為(,)變式遷移2解(1)f(x)2bx1,.解得a,b.(2)f(x)()1.函數(shù)定義域?yàn)?0,),列表x(0,1)1(1,2)2(2,)f(x)00f(x)單調(diào)遞減極小值單調(diào)遞增極大值單調(diào)遞減x1是f(x)的極小值點(diǎn),x2是f(x)的極大值點(diǎn)例3解題導(dǎo)引設(shè)函數(shù)f

11、(x)在a,b上連續(xù),在(a,b)內(nèi)可導(dǎo),求f(x)在a,b上的最大值和最小值的步驟:(1)求函數(shù)yf(x)在(a,b)內(nèi)的極值(2)將函數(shù)yf(x)的各極值與端點(diǎn)處的函數(shù)值f(a)、f(b)比較,其中最大的一個(gè)是最大值,最小的一個(gè)是最小值解(1)由f(x)x3ax2bxc,得f(x)3x22axb,當(dāng)x1時(shí),切線l的斜率為3,可得2ab0;當(dāng)x時(shí),yf(x)有極值,則f0,可得4a3b40.由解得a2,b4,又切點(diǎn)的橫坐標(biāo)為x1,f(1)4.1abc4.c5.(2)由(1),得f(x)x32x24x5,f(x)3x24x4.令f(x)0,得x2或x,f(x)0的解集為,即為f(x)的減區(qū)間3

12、,2)、是函數(shù)的增區(qū)間又f(3)8,f(2)13,f,f(1)4,yf(x)在3,1上的最大值為13,最小值為.變式遷移3解(1)由題意得f(x)3ax22xb.因此g(x)f(x)f(x)ax3(3a1)x2(b2)xb.因?yàn)楹瘮?shù)g(x)是奇函數(shù),所以g(x)g(x),即對(duì)任意實(shí)數(shù)x,有a(x)3(3a1)(x)2(b2)(x)bax3(3a1)x2(b2)xb,從而3a10,b0,解得a,b0,因此f(x)的表達(dá)式為f(x)x3x2.(2)由(1)知g(x)x32x,所以g(x)x22,令g(x)0,解得x1,x2,則當(dāng)x時(shí),g(x)0,從而g(x)在區(qū)間(,),(,)上是減函數(shù);當(dāng)x0,

13、從而g(x)在區(qū)間(,)上是增函數(shù)由前面討論知,g(x)在區(qū)間1,2上的最大值與最小值只能在x1,2時(shí)取得,而g(1),g(),g(2).因此g(x)在區(qū)間1,2上的最大值為g(),最小值為g(2).課后練習(xí)區(qū)1(0,1)2.373.14.(0,)5a0,即a0,得a4,易知f(x)在(0,2)上為減函數(shù),且f(0)10,f(2)4a0,m6或m3.9解f(x)(),由f(x)0得x2,1.(4分)當(dāng)x(,2)時(shí)f(x)0,故x2是函數(shù)的極小值點(diǎn),故f(x)的極小值為f(2);(8分)當(dāng)x(2,1)時(shí)f(x)0,當(dāng)x(1,)時(shí)f(x)0,得x2或x0,故f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是(,0)(2,)

14、;由f(x)0,得0x2, 故f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是(0,2)(8分)(2)由(1)得f(x)3x(x2),令f(x)0,得x0或x2.當(dāng)x變化時(shí),f(x)、f(x)的變化情況如下表:x(,0)0(0,2)2(2,)f(x)00f(x)極大值極小值(12分)由此可得:當(dāng)0a1時(shí),f(x)在(a1,a1)內(nèi)有極大值f(0)2,無極小值;當(dāng)a1時(shí),f(x)在(a1,a1)內(nèi)無極值;當(dāng)1a3時(shí),f(x)在(a1,a1)內(nèi)有極小值f(2)6,無極大值;當(dāng)a3時(shí),f(x)在(a1,a1)內(nèi)無極值(14分)綜上得:當(dāng)0a1時(shí),f(x)有極大值2,無極小值;當(dāng)1a3時(shí),f(x)有極小值6,無極大值;當(dāng)a1或a3時(shí),f(x)無極值(16分)

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