新編浙江高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)練習(xí):專題限時(shí)集訓(xùn)9 空間中的平行與垂直關(guān)系 Word版含答案

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1、 專題限時(shí)集訓(xùn)(九)空間中的平行與垂直關(guān)系 (對(duì)應(yīng)學(xué)生用書第133頁(yè)) 建議A、B組各用時(shí):45分鐘A組高考達(dá)標(biāo)一、選擇題1設(shè)l,m是兩條不同的直線,是一個(gè)平面,則下列命題正確的是()A若lm,m,則lB若l,lm,則mC若l,m,則lmD若l,m,則lmBA中,根據(jù)線面垂直的判定定理,只有垂直平面內(nèi)兩條相交直線才行,故A不正確;B中,由線面垂直的性質(zhì)可知,平行線中的一條垂直于這個(gè)平面,則另一條也垂直這個(gè)平面,故B正確;C中,l,m可能平行也可能異面,故C不正確;D中,平行于同一平面的兩直線可能平行,異面,相交,故D不正確,故選B.2設(shè)m,n是兩條不同的直線,是兩個(gè)不同的平面,給出下列四個(gè)命題

2、:若mn,m,則n;若m,m,則;若mn,m,則n;若m,m,則.其中真命題的個(gè)數(shù)為() 【導(dǎo)學(xué)號(hào):68334110】A1B2C3D4A對(duì)于,由直線與平面垂直的判定定理易知其正確;對(duì)于,平面與可能平行或相交,故錯(cuò)誤;對(duì)于,直線n可能平行于平面,也可能在平面內(nèi),故錯(cuò)誤;對(duì)于,由兩平面平行的判定定理易得平面與平行,故錯(cuò)誤綜上所述,正確命題的個(gè)數(shù)為1,故選A.3如圖912所示,直線PA垂直于O所在的平面,ABC內(nèi)接于O,且AB為O的直徑,點(diǎn)M為線段PB的中點(diǎn)現(xiàn)有結(jié)論:BCPC;OM平面APC;點(diǎn)B到平面PAC的距離等于線段BC的長(zhǎng)其中正確的是()圖912ABCDB對(duì)于,PA平面ABC,PABC.AB

3、為O的直徑,BCAC.又PAACA,BC平面PAC,又PC平面PAC,BCPC.對(duì)于,點(diǎn)M為線段PB的中點(diǎn),OMPA.PA平面PAC,OM平面PAC,OM平面PAC.對(duì)于,由知BC平面PAC,線段BC的長(zhǎng)即是點(diǎn)B到平面PAC的距離,故都正確4已知,是兩個(gè)不同的平面,有下列三個(gè)條件:存在一個(gè)平面,;存在一條直線a,a,a;存在兩條垂直的直線a,b,a,b.其中,所有能成為“”的充要條件的序號(hào)是()ABCDD對(duì)于,存在一個(gè)平面,則,反之也成立,即“存在一個(gè)平面,”是“”的充要條件,所以對(duì),可排除B,C.對(duì)于,存在兩條垂直的直線a,b,則直線a,b所成的角為90,因?yàn)閍,b,所以,所成的角為90,

4、即,反之也成立,即“存在兩條垂直的直線a,b,a,b”是“”的充要條件,所以對(duì),可排除A,選D.5在三棱錐PABC中,已知PA底面ABC,ABBC,E,F(xiàn)分別是線段PB,PC上的動(dòng)點(diǎn),則下列說法錯(cuò)誤的是()圖913A當(dāng)AEPB時(shí),AEF一定為直角三角形B當(dāng)AFPC時(shí),AEF一定為直角三角形C當(dāng)EF平面ABC時(shí),AEF一定為直角三角形D當(dāng)PC平面AEF時(shí),AEF一定為直角三角形B因?yàn)锳P平面ABC,所以APBC,又ABBC,且PA和AB是平面PAB上兩條相交直線,則BC平面PAB,BCAE.當(dāng)AEPB時(shí),AE平面PBC,則AEEF,AEF一定是直角三角形,A正確;當(dāng)EF平面ABC時(shí),EF在平面P

5、BC上,平面PBC與平面ABC相交于BC,則EFBC,則EFAE,AEF一定是直角三角形,C正確;當(dāng)PC平面AEF時(shí),AEPC,又AEBC,則AE平面PBC,AEEF,AEF一定是直角三角形,D正確;B中結(jié)論無法證明,故選B.二、填空題6已知P為ABC所在平面外一點(diǎn),且PA,PB,PC兩兩垂直,則下列命題:PABC;PBAC;PCAB;ABBC.其中正確命題的個(gè)數(shù)是_. 【導(dǎo)學(xué)號(hào):68334111】3如圖所示,PAPC,PAPB,PCPBP,PA平面PBC.又BC平面PBC,PABC.同理PBAC,PCAB,但AB不一定垂直于BC.7在三棱錐CABD中(如圖914),ABD與CBD是全等的等腰

6、直角三角形,O是斜邊BD的中點(diǎn),AB4,二面角ABDC的大小為60,并給出下面結(jié)論:ACBD;ADCO;AOC為正三角形;cos ADC;四面體ABCD的外接球表面積為32.其中真命題是_(填序號(hào))圖914由題意知BDCO,BDAO,則BD平面AOC,從而BDAC,故正確;根據(jù)二面角ABDC的大小為60,可得AOC60,又直線AD在平面AOC的射影為AO,從而AD與CO不垂直,故錯(cuò)誤;根據(jù)AOC60,AOCO可得AOC為正三角形,故正確;在ADC中 ,ADCD4,ACCO2,由余弦定理得cos ADC,故錯(cuò)誤;由題意知,四面體ABCD的外接球的球心為O,半徑為2,則外接球的表面積為S4(2)2

7、32,故正確8正方體ABCDA1B1C1D1中,E為線段B1D1上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),則下列結(jié)論中正確的是_(填序號(hào))ACBE;B1E平面ABCD;三棱錐EABC的體積為定值;直線B1E直線BC1.因?yàn)锳C平面BDD1B1,故,正確;記正方體的體積為V,則VEABCV為定值,故正確;B1E與BC1不垂直,故錯(cuò)誤三、解答題9如圖915,在四棱錐PABCD中,PC平面ABCD,ABDC,DCAC.圖915(1)求證:DC平面PAC.(2)求證:平面PAB平面PAC.(3)設(shè)點(diǎn)E為AB的中點(diǎn),在棱PB上是否存在點(diǎn)F,使得PA平面CEF?說明理由解(1)證明:因?yàn)镻C平面ABCD,所以PCDC. 2分又因?yàn)镈

8、CAC,且PCACC,所以DC平面PAC.4分(2)證明:因?yàn)锳BDC,DCAC,所以ABAC.因?yàn)镻C平面ABCD,所以PCAB.又因?yàn)镻CACC,所以AB平面PAC.8分又AB平面PAB,所以平面PAB平面PAC.9分(3)棱PB上存在點(diǎn)F,使得PA平面CEF.12分理由如下:取PB的中點(diǎn)F,連接EF,CE,CF.又因?yàn)镋為AB的中點(diǎn),所以EFPA.又因?yàn)镻A平面CEF,且EF平面CEF,所以PA平面CEF.15分10(20xx紹興稽陽(yáng)聯(lián)誼學(xué)校高三4月聯(lián)考)如圖916,四邊形ABCD為梯形,ABCD,C60,點(diǎn)E在CD上,ABCE,BFBD,BDBC.現(xiàn)將ADE沿AE折成如圖2APE位置,

9、使得二面角PAEC的大小為.圖916(1)求PB的長(zhǎng)度;(2)求證:PB平面ABCE;(3)求直線CE與平面APE所成角的正弦值 【導(dǎo)學(xué)號(hào):68334112】解(1)因?yàn)锳B平行且等于EC,所以四邊形ABCE是平行四邊形,所以BCAE,又因?yàn)锽DBC,所以BDAE,所以AEFB,AEFP,即PFB為二面角PAEC的平面角.3分又BF,PF2,由余弦定理得BP2BF2PF22BFPFcosBFP9,所以BP3.5分(2)證明:BF,PF2,BP3,滿足勾股定理,所以BFPB.又因?yàn)锽FAE,PFAE,BFPFF,所以AE平面PFB,所以AEPB.7分又BFAEF,則PB平面ABCE.9分(3)法

10、一:作BNPF于點(diǎn)N,連接AN,由(2)可知,AE平面BFP,所以平面BFP平面APE,又平面BFP平面APEPF,所以BN平面APE,12分所以BAN是直線AB與平面APE所成的角在RtFBP中,BNBFsin,sinNAB.13分所以直線AB與平面APE所成角的正弦值為,即直線CE與平面APE所成角的正弦值為.15分法二:由于BF,BP,BC兩兩互相垂直,如圖,建立空間直角坐標(biāo)系,則B(0,0,0),C(3,0,0),A(1,0),E(2,0),P(0,0,3),則(3,0,0),(1,3),12分設(shè)平面APE的法向量為n(x,y,z),則即取z1,則n(0,1),13分設(shè)直線CE與平面A

11、PE所成的角為,(1,0),則sin |cosn,|,即直線EC與平面APE所成角的正弦值為.15分 B組名校沖刺一、選擇題1已知三棱柱ABCA1B1C1的所有棱長(zhǎng)相等,若AA1B1AA1C160,則異面直線A1C與AB1所成角的余弦值是() 【導(dǎo)學(xué)號(hào):68334113】圖917A.B.C.D.A將三棱柱補(bǔ)上一個(gè)相同的三棱柱構(gòu)成一個(gè)四棱柱,如圖所示,易知圖中A1CD1為所求角因?yàn)槿庵乃欣忾L(zhǎng)均相等,不妨設(shè)為1,則根據(jù)此三棱柱的性質(zhì)有A1D1A1C,CD11,則由余弦定理得cosA1CD1,故選A.2如圖918,四邊形ABCD中,ADBC,ADAB,BCD45,BAD90,將ADB沿BD折起

12、,使平面ABD平面BCD,構(gòu)成三棱錐ABCD.則在三棱錐ABCD中,下列命題正確的是()圖918A平面ABD平面ABCB平面ADC平面BDCC平面ABC平面BDCD平面ADC平面ABCD在四邊形ABCD中,ADBC,ADAB,BCD45,BAD90,BDCD.又平面ABD平面BCD,且平面ABD平面BCDBD,CD平面ABD,則CDAB.又ADAB,ADCDD,AB平面ADC,又AB平面ABC,平面ABC平面ADC,故選D.3如圖919,在正方形ABCD中,E,F(xiàn)分別是BC,CD的中點(diǎn),沿AE,AF,EF把正方形折成一個(gè)四面體,使B,C,D三點(diǎn)重合,重合后的點(diǎn)記為P,P點(diǎn)在AEF內(nèi)的射影為O,

13、則下列說法正確的是()圖919AO是AEF的垂心BO是AEF的內(nèi)心CO是AEF的外心DO是AEF的重心A由題意可知PA,PE,PF兩兩垂直,PA平面PEF,從而PAEF,而PO平面AEF,則POEF.POPAP,EF平面PAO,EFAO,同理可知AEFO,AFEO,O為AEF的垂心故選A.4如圖920,小于90的二面角l中,Ol,A,B,且AOB為鈍角,AOB是AOB在內(nèi)的射影,則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是()圖920AAOB為鈍角BAOBAOBCAOBAOAD考慮將圖形特殊化,即可將此圖形置于正方體中,正方體的一個(gè)對(duì)角面與底面分別為條件中的平面,如圖所示,O為所在棱的中點(diǎn),A,B為所在面對(duì)角線上的一個(gè)

14、三等分點(diǎn),A,B分別為A,B在平面上的射影設(shè)正方體棱長(zhǎng)為3,則OAOB,OAOB,AABB1,則由余弦定理得cosAOB,cosAOBAOB,所以A,B正確;又cosAOAcosBOB,所以AOABOB知AOB,所以AOBAOA,BOBAOBAOA,所以C正確,D錯(cuò)誤,故選D.二、填空題5如圖921,正方形BCDE的邊長(zhǎng)為a,已知ABBC,將ABE沿邊BE折起,折起后A點(diǎn)在平面BCDE上的射影為D點(diǎn),關(guān)于翻折后的幾何體有如下描述:圖921AB與DE所成角的正切值是;ABCE;VBACEa3;平面ABC平面ACD.其中正確的有_(填序號(hào))作出折疊后的幾何體直觀圖如圖所示:ABBCa,BEa,AE

15、a.ADa,ACa.在ABC中,cosABC.sinABC.tan ABC.BCDE,ABC是異面直線AB,DE所成的角,故正確連接BD,CE,則CEBD,又AD平面BCDE,CE平面BCDE,CEAD.又BDADD,BD平面ABD,AD平面ABD,CE平面ABD.又AB平面ABD,CEAB,故錯(cuò)誤VBACEVABCESBCEADa2a,故正確AD平面BCDE,BC平面BCDE,BCAD.又BCCD,CDADD,CD,AD平面ACD,BC平面ACD.BC平面ABC,平面ABC平面ACD,故正確故答案為.6(20xx金麗衢十二校高三第二次聯(lián)考)已知ABC中,C90,tan A,M為AB的中點(diǎn)現(xiàn)將

16、ACM沿CM折成三棱錐PCBM.當(dāng)二面角PCMB大小為60時(shí),_.圖922作PECM于點(diǎn)E,BFCM交CM的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F,連接AE,則AECF,且PE與BF所成銳角等于二面角PCMB的大小,即為60.不妨設(shè)AC1,則由tanBAC,ACB90,得BC,AB,則由M是AB的中點(diǎn),知MBMC,則sinBCFsinABC,|sinBCF,|2|22,則由,得|2()2|2|2|22|cos 602cos 601,PB1,故.三、解答題7端午節(jié)即將到來,為了做好端午節(jié)商場(chǎng)促銷活動(dòng),某商場(chǎng)打算將進(jìn)行促銷活動(dòng)的禮品盒重新設(shè)計(jì)方案如下:將一塊邊長(zhǎng)為10的正方形紙片ABCD剪去四個(gè)全等的等腰三角形:SEE,S

17、FF,SGG,SHH,再將剩下的陰影部分折成一個(gè)四棱錐形狀的包裝盒SEFGH,其中A,B,C,D重合于點(diǎn)O,E與E重合,F(xiàn)與F重合,G與G重合,H與H重合(如圖923所示)圖923(1)求證:平面SEG平面SFH;(2)當(dāng)AE時(shí),求二面角ESHF的余弦值解(1)證明:折后A,B,C,D重合于一點(diǎn)O,拼接成底面EFGH的四個(gè)直角三角形必為全等的等腰直角三角形,底面DFGH是正方形,EGFH,EOOG.2分連接SO,由題意知SESG,EGSO.4分又SO,F(xiàn)H平面SFH,SOFHO,EG平面SFH.又EG平面SEG,平面SEG平面SFH.6分(2)過O作OMSH交SH于M點(diǎn),連接EM,EO平面SF

18、H,SH平面SFH,EOSH,SH平面EMO,EMO為二面角ESHF的平面角.8分當(dāng)AE時(shí),在原平面圖形中,可求得SE.在RtSOE中,可求得SO5.10分RtSHO中,OH,SO5,SH,OM,12分RtEMO中,EM,cosEMO.14分所求二面角的余弦值為.15分8(20xx蕭山中學(xué)高三5月仿真考試)如圖924,已知矩形ABCD中,AB4,AD3,現(xiàn)將DAC沿著對(duì)角線AC向上翻折到PAC位置,此時(shí)PAPB.圖924(1)求證:平面PAB平面ABC;(2)求直線AB與平面PAC所成角的正弦值 【導(dǎo)學(xué)號(hào):68334114】解(1)證明:因?yàn)镻APB,PAPC,PBPCP,所以PA平面PBC,

19、3分所以PABC,又BCAB,ABAPA,所以BC平面PAB,5分又BC平面ABC,所以平面PAB平面ABC.7分(2)法一:如圖,作BDPC于點(diǎn)D,連接AD,由(1)知PA平面PBC,所以PABD,而BDPC,PAPCP,所以BD平面PAC,所以BAD為直線AB與平面PAC所成的角,10分在RtPBC中,BC3,PC4,PB,所以BD13分,又AB4,在RtADB中,sinBAD,所以直線AB與平面PAC所成角的正弦值為.15分法二:由(1)知平面PAB平面ABC,所以在平面PAB內(nèi),過點(diǎn)P作PEAB于點(diǎn)E,則PE平面ABC,9分如圖,以B為坐標(biāo)原點(diǎn),建立空間直角坐標(biāo)系(z軸與直線PE平行),在RtPBC中,BC3,PC4,PB,在RtAPB中,AP3,AB4,PE,BE,可知A(0,4,0),B(0,0,0),C(3,0,0),P,12分(3,4,0),則易得平面PAC的一個(gè)法向量為m,(0,4,0),所以cos,m,故直線AB與平面PAC所成角的正弦值為.15分

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