新編高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)學(xué)案訓(xùn)練課件: 第3章 三角函數(shù)、解三角形 第7節(jié) 正弦定理和余弦定理學(xué)案 理 北師大版

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1、 第七節(jié)正弦定理和余弦定理考綱傳真(教師用書獨(dú)具)掌握正弦定理、余弦定理,并能解決一些簡單的三角形度量問題(對應(yīng)學(xué)生用書第61頁)基礎(chǔ)知識填充1正弦定理和余弦定理定理正弦定理余弦定理內(nèi)容2R.(R為ABC外接圓半徑)a2b2c22bccos A;b2c2a22cacos B;c2a2b22abcos C變形形式(1)a2Rsin A,b2Rsin B,c2Rsin C;(2)abcsin Asin Bsin C;(3)sin A,sin B,sin Ccos A;cos B;cos C2.在ABC中,已知a、b和A時(shí),解的情況如下:A為銳角A為鈍角或直角圖形關(guān)系式absin Absin Aab

2、abab解的個(gè)數(shù)一解兩解一解一解3.三角形常用面積公式(1)Saha(ha表示邊a上的高);(2)Sabsin Cacsin Bbcsin A;(3)Sr(abc)(r為內(nèi)切圓半徑)知識拓展1在ABC中,ABabsin Asin B2合比定理:2R.3在銳角三角形中AB;若A,則B,C.基本能力自測1(思考辨析)判斷下列結(jié)論的正誤(正確的打“”,錯誤的打“”)(1)在ABC中,若AB,則必有sin Asin B()(2)在ABC中,若b2c2a2,則ABC為銳角三角形()(3)在ABC中,若A60,a4,b4,則B45或135.()(4)在ABC中,.()解析(1)正確ABabsin Asin

3、 B(2)錯誤由cos A0知,A為銳角,但ABC不一定是銳角三角形(3)錯誤由ba知,BA(4)正確利用a2Rsin A,b2Rsin B,c2Rsin C,可知結(jié)論正確答案(1)(2)(3)(4)2在ABC中,a3,b5,sin A,則sin B()ABCD1B根據(jù),有,得sin B.故選B3(20xx全國卷)ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,已知a,c2,cos A,則b()ABC2D3D由余弦定理得5b242b2,解得b3或b(舍去),故選D4在ABC中,a3,b2,cos C,則ABC的面積為_4cos C,0C,sin C,SABCabsin C324.5(教材改編)在

4、ABC中,acos Abcos B,則這個(gè)三角形的形狀為_等腰三角形或直角三角形由正弦定理,得sin Acos Asin Bcos B,即sin 2Asin 2B,所以2A2B或2A2B,即AB或AB,所以這個(gè)三角形為等腰三角形或直角三角形(對應(yīng)學(xué)生用書第62頁)利用正、余弦定理解三角形(20xx廣州綜合測試(二)ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,已知bcos Cbsin Ca.(1)求角B的大??;(2)若BC邊上的高等于a,求cos A的值解(1)因?yàn)閎cos Cbsin Ca,由正弦定理得sin Bcos Csin Bsin Csin A因?yàn)锳BC,所以sin Bcos Csi

5、n Bsin Csin(BC)即sin Bcos Csin Bsin Csin Bcos Ccos Bsin C因?yàn)閟in C0,所以sin Bcos B因?yàn)閏os B0,所以tan B1.因?yàn)锽(0,),所以B.(2)法一:設(shè)BC邊上的高線為AD,則ADa.因?yàn)锽,則BDADa,CDa.所以ACa,ABa.由余弦定理得cosBAC.所以cosBAC的值為.法二:設(shè)BC邊上的高線為AD,則ADa.因?yàn)锽,則BDADa,CDa.所以ACa,ABa.由正弦定理得,則sinBAC.在ABC中,由ABAC,得CB,所以BAC為鈍角所以cosBAC.所以cosBAC的值為.規(guī)律方法1.正弦定理是一個(gè)連比

6、等式,只要知道其比值或等量關(guān)系就可以運(yùn)用正弦定理通過約分達(dá)到解決問題的目的.2.(1)運(yùn)用余弦定理時(shí),要注意整體思想的運(yùn)用.(2)在已知三角形兩邊及其中一邊的對角,求該三角形的其它邊角的問題時(shí),首先必須判斷是否有解,如果有解,是一解還是兩解,注意“大邊對大角”在判定中的應(yīng)用.(3)重視在余弦定理中用均值不等式,實(shí)現(xiàn)a2b2,ab,ab三者的互化.)跟蹤訓(xùn)練(1)(20xx全國卷)ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,若cos A,cos C,a1,則b_.(2)(20xx全國卷)ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,若2bcos Bacos Cccos A,則B_.(1)(2)

7、60(1)在ABC中,cos A,cos C,sin A,sin C,sin Bsin(AC)sin Acos Ccos Asin C.又,b.(2)法一:由2bcos Bacos Cccos A及正弦定理,得2sin Bcos Bsin Acos Csin Ccos A2sin Bcos Bsin(AC)又ABC,ACB2sin Bcos Bsin(B)sin B又sin B0,cos B.B.法二:在ABC中,acos Cccos Ab,條件等式變?yōu)?bcos Bb,cos B.又0B,B.判斷三角形的形狀(1)設(shè)ABC的內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,若bcos Cccos Ba

8、sin A,則ABC的形狀為() 【導(dǎo)學(xué)號:79140131】A銳角三角形B直角三角形C鈍角三角形D不確定(2)在ABC中,角A,B,C的對邊分別為a,b,c,若,(bca)(bca)3bc,則ABC的形狀為()A直角三角形B等腰非等邊三角形C等邊三角形D鈍角三角形(1)B(2)C(1)由已知及正弦定理得sin Bcos Csin Ccos Bsin2A,即sin(BC)sin2A,又sin(BC)sin A,sin A1,A.故選B(2),bc.又(bca)(bca)3bc,b2c2a2bc,cos A.A(0,),A,ABC是等邊三角形(規(guī)律方法判定三角形形狀的兩種常用途徑(1)化角為邊:

9、利用正弦定理、余弦定理化角為邊,通過代數(shù)恒等變換,求出邊與邊之間的關(guān)系進(jìn)行判斷.(2)化邊為角:通過正弦定理和余弦定理,化邊為角,利用三角變換得出三角形內(nèi)角之間的關(guān)系進(jìn)行判斷.易錯警示:無論使用哪種方法,都不要隨意約掉公因式;要移項(xiàng)提取公因式,否則會有漏掉一種情況的可能.跟蹤訓(xùn)練設(shè)ABC的內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,若2sin Acos Bsin C,那么ABC一定是()A直角三角形B等腰三角形C等腰直角三角形D等邊三角形B法一:由已知得2sin Acos Bsin Csin(AB)sin Acos Bcos Asin B,即sin(AB)0,因?yàn)锳B,所以AB法二:由正弦定理得2

10、acos Bc,再由余弦定理得2aca2b2ab.與三角形面積有關(guān)的問題(20xx全國卷)ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,已知sin(AC)8sin2.(1)求cos B;(2)若ac6,ABC的面積為2,求b.解(1)由題設(shè)及ABC得sin B8sin2,故sin B4(1cos B)上式兩邊平方,整理得17cos2B32cos B150,解得cos B1(舍去),或cos B.故cos B.(2)由cos B得sin B,故SABCacsin Bac.又SABC2,則ac.由余弦定理及ac6得b2a2c22accos B(ac)22ac(1cos B)3624.所以b2.規(guī)律

11、方法三角形面積公式的應(yīng)用方法(1)對于面積公式Sabsin Cacsin Bbcsin A,一般是已知哪一個(gè)角就使用哪一個(gè)公式.(2)與面積有關(guān)的問題,一般要用到正弦定理或余弦定理進(jìn)行邊和角的轉(zhuǎn)化,所以解決此類問題通常圍繞某個(gè)已知角,將余弦定理和面積公式都寫出來,尋求突破.跟蹤訓(xùn)練(20xx深圳二調(diào))已知a,b,c分別為ABC三個(gè)內(nèi)角A,B,C的對邊,2basin Bbcos A,c4.(1)求A;(2)若D是BC的中點(diǎn),AD,求ABC的面積. 【導(dǎo)學(xué)號:79140132】解(1)由2basin Bbcos A及正弦定理,又0B,可得2sin Acos A,即有sin1,0A,A,A,A.(2)設(shè)BDCDx,則BC2x,由余弦定理得cosBAC,得4x2b24b16.ADB180ADC,cosADBcosADC0,由余弦定理得0,得2x2b22.聯(lián)立,得b24b120,解得b2(舍負(fù)),SABCbcsinBAC242.

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