新版高考數(shù)學一輪復習學案訓練課件: 第8章 平面解析幾何 第5節(jié) 橢圓學案 文 北師大版

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1、 1 1第五節(jié)橢圓考綱傳真1.了解橢圓的實際背景,了解橢圓在刻畫現(xiàn)實世界和解決實際問題中的作用.2.掌握橢圓的定義、幾何圖形、標準方程及簡單性質(zhì)(范圍、對稱性、頂點、離心率).3.理解數(shù)形結合思想.4.了解橢圓的簡單應用(對應學生用書第120頁) 基礎知識填充1橢圓的定義(1)平面內(nèi)與兩個定點F1,F(xiàn)2的距離的和等于常數(shù)(大于|F1F2|)的點的集合叫做橢圓這兩個定點叫做橢圓的焦點,兩焦點間的距離叫做橢圓的焦距(2)集合PM|MF1|MF2|2a,|F1F2|2c,其中a,c為常數(shù)且a0,c0.若ac,則集合P為橢圓;若ac,則集合P為線段;若ac,則集合P為空集2橢圓的標準方程和幾何性質(zhì)標準

2、方程1(ab0)1(ab0)圖形性質(zhì)范圍axabybbxbaya對稱性對稱軸:坐標軸;對稱中心:原點頂點A1(a,0),A2(a,0),B1(0,b),B2(0,b)A1(0,a),A2(0,a),B1(b,0),B2(b,0)軸長軸A1A2的長為2a;短軸B1B2的長為2b焦距|F1F2|2c離心率e(0,1)a,b,c的關系a2b2c2知識拓展1點P(x0,y0)和橢圓的關系(1)點P(x0,y0)在橢圓內(nèi)1.(2)點P(x0,y0)在橢圓上1.(3)點P(x0,y0)在橢圓外1.2焦點三角形橢圓1(ab0)上一點P(x0,y0)與兩焦點構成的焦點三角形F1PF2中,若F1PF2,則SF1

3、PF2|PF1|PF2|sin b2b2tan 3過焦點垂直于長軸的弦長橢圓過焦點垂直于長軸的半弦長為.基本能力自測1(思考辨析)判斷下列結論的正誤(正確的打“”,錯誤的打“”)(1)平面內(nèi)與兩個定點F1,F(xiàn)2的距離之和等于常數(shù)的點的集合是橢圓()(2)橢圓上一點P與兩焦點F1,F(xiàn)2構成PF1F2的周長為2a2c(其中a為橢圓的長半軸長,c為橢圓的半焦距)()(3)橢圓的離心率e越大,橢圓就越圓()(4)橢圓既是軸對稱圖形,又是中心對稱圖形()答案(1)(2)(3)(4)2(教材改編)已知中心在原點的橢圓C的右焦點為F(1,0),離心率等于,則C的方程是()A1B1C1D1D橢圓的焦點在x軸上

4、,c1.又離心率為,故a2,b2a2c2413,故橢圓的方程為1.3(20xx廣東高考)已知橢圓1(m0)的左焦點為F1(4,0),則m()A2B3 C4D9B由左焦點為F1(4,0)知c4.又a5,25m216,解得m3或3.又m0,故m3.4(20xx全國卷)直線l經(jīng)過橢圓的一個頂點和一個焦點,若橢圓中心到l的距離為其短軸長的,則該橢圓的離心率為()AB CDB如圖,|OB|為橢圓中心到l的距離,則|OA|OF|AF|OB|,即bca,所以e.5橢圓1的左焦點為F,直線xm與橢圓相交于點A,B,當FAB的周長最大時,F(xiàn)AB的面積是_3直線xm過右焦點(1,0)時,F(xiàn)AB的周長最大,由橢圓定

5、義知,其周長為4a8,即a2,此時,|AB|23,SFAB233.(對應學生用書第121頁)橢圓的定義與標準方程 (1)如圖851所示,一圓形紙片的圓心為O,F(xiàn)是圓內(nèi)一定點,M是圓周上一動點,把紙片折疊使M與F重合,然后抹平紙片,折痕為CD,設CD與OM交于點P,則點P的軌跡是()圖851A橢圓B雙曲線C拋物線D圓(2)已知橢圓的中心在原點,以坐標軸為對稱軸,且經(jīng)過兩點P1(,1),P2(,),則橢圓的方程為_. 【導學號:00090290】(3)設F1,F(xiàn)2分別是橢圓E:x21(0b|OF|.P點的軌跡是以O,F(xiàn)為焦點的橢圓(2)設橢圓方程為mx2ny21(m0,n0且mn)橢圓經(jīng)過點P1,

6、P2,點P1,P2的坐標適合橢圓方程則兩式聯(lián)立,解得所求橢圓方程為1.(3)不妨設點A在第一象限,設半焦距為c,則F1(c,0),F(xiàn)2(c,0)AF2x軸,則A(c,b2)(其中c21b2,0b|F1F2|這一條件(2)當涉及到焦點三角形有關的計算或證明時,常利用勾股定理、正(余)弦定理、橢圓定義,但一定要注意|PF1|PF2|與|PF1|PF2|的整體代換2求橢圓標準方程的基本方法是待定系數(shù)法,具體過程是先定位,再定量,即首先確定焦點所在的位置,然后再根據(jù)條件建立關于a,b的方程組,若焦點位置不確定,可把橢圓方程設為Ax2By21(A0,B0,AB)的形式變式訓練1(1)與圓C1:(x3)2

7、y21外切,且與圓C2:(x3)2y281內(nèi)切的動圓圓心P的軌跡方程為_(2)已知F1,F(xiàn)2是橢圓C:1(ab0)的兩個焦點,P為橢圓C上的一點,且F1PF260,SPF1F23,則b_.(3)已知F1(1,0),F(xiàn)2(1,0)是橢圓C的兩個焦點,過F2且垂直于x軸的直線交C于A,B兩點,且|AB|3,則C的方程為_. 【導學號:00090291】(1)1(2)3(3)1(1)設動圓的半徑為r,圓心為P(x,y),則有|PC1|r1,|PC2|9r.所以|PC1|PC2|10|C1C2|,即P在以C1(3,0),C2(3,0)為焦點,長軸長為10的橢圓上,得點P的軌跡方程為1.(2)由題意得|

8、PF1|PF2|2a,又F1PF260,所以|PF1|2|PF2|22|PF1|PF2|cos 60|F1F2|2,所以(|PF1|PF2|)23|PF1|PF2|4c2,所以3|PF1|PF2|4a24c24b2,所以|PF1|PF2|b2,所以SPF1F2|PF1|PF2|sin 60b2b23,所以b3.(3)依題意,設橢圓C:1(ab0)過點F2(1,0)且垂直于x軸的直線被曲線C截得弦長|AB|3,點A必在橢圓上,1.又由c1,得1b2a2.由聯(lián)立,得b23,a24.故所求橢圓C的方程為1.橢圓的幾何性質(zhì)(1)(20xx泉州質(zhì)檢)已知橢圓1的長軸在x軸上,焦距為4,則m等于()A8B

9、7C6D5(2)(20xx江蘇高考)如圖852,在平面直角坐標系xOy中,F(xiàn)是橢圓1(ab0)的右焦點,直線y與橢圓交于B,C兩點,且BFC90,則該橢圓的離心率是 _.圖852(1)A(2)(1)橢圓1的長軸在x軸上,解得6m10.焦距為4,c2m210m4,解得m8.(2)將y代入橢圓的標準方程,得1,所以xa,故B,C.又因為F(c,0),所以,.因為BFC90,所以0,所以20,即c2a2b20,將b2a2c2代入并化簡,得a2c2,所以e2,所以e(負值舍去)規(guī)律方法1.與橢圓幾何性質(zhì)有關的問題要結合圖形進行分析2求橢圓離心率的主要方法有:(1)直接求出a,c的值,利用離心率公式直接

10、求解(2)列出含有a,b,c的齊次方程(或不等式),借助于b2a2c2消去b,轉化為含有e的方程(或不等式)求解 變式訓練2(1)已知橢圓1的離心率為,則k的值為()A21B21C或21D或21(2)過橢圓1(ab0)的左焦點F1作x軸的垂線交橢圓于點P,F(xiàn)2為橢圓的右焦點,若F1PF260,則橢圓的離心率為()【導學號:00090292】A BCD(3)(20xx全國卷)已知橢圓C:1(ab0)的左、右頂點分別為A1,A2,且以線段A1A2為直徑的圓與直線bxay2ab0相切,則C的離心率為()A BCD (1)D(2)B(3)A(1)當94k0,即5k4時,a3,c29(4k)5k,解得k

11、.當94k,即k5時,a,c2k5,解得k21,所以k的值為或21.(2)由題意,可設P.因為在RtPF1F2中,|PF1|,|F1F2|2c,F(xiàn)1PF260,所以.又因為b2a2c2,所以c22aca20,即e22e0,解得e或e,又因為e(0,1),所以e.(3)由題意知以A1A2為直徑的圓的圓心坐標為(0,0),半徑為A又直線bxay2ab0與圓相切,圓心到直線的距離da,解得ab,e.故選A直線與橢圓的位置關系角度1由位置關系研究橢圓的方程與性質(zhì)已知橢圓E:1(ab0)的半焦距為c,原點O到經(jīng)過兩點(c,0),(0,b)的直線的距離為.圖853(1)求橢圓E的離心率;(2)如圖853,

12、AB是圓M:(x2)2(y1)2的一條直徑,若橢圓E經(jīng)過A,B兩點,求橢圓E的方程解(1)過點(c,0),(0,b)的直線方程為bxcybc0,則原點O到該直線的距離d,3分由dc,得a2b2 ,解得離心率.5分(2)由(1)知,橢圓E的方程為x24y24b2.依題意,圓心M(2,1)是線段AB的中點,且|AB|.易知,AB與x軸不垂直,設其方程為yk(x2)1,代入得(14k2)x28k(2k1)x4(2k1)24b20.8分設A(x1,y1),B(x2,y2),則x1x2,x1x2.由x1x24,得4,解得k.從而x1x282b2.10分于是|AB|x1x2|.由|AB|,得,解得b23.

13、故橢圓E的方程為1.12分角度2由位置關系研究直線的性質(zhì)(20xx全國卷)已知橢圓C:1(ab0)的離心率為,點(2,)在C上(1)求C的方程(2)直線l不過原點O且不平行于坐標軸,l與C有兩個交點A,B,線段AB的中點為M.證明:直線OM的斜率與直線l的斜率的乘積為定值解(1)由題意有,1,解得a28,b24.3分所以C的方程為1.5分(2)證明:設直線l:ykxb(k0,b0),A(x1,y1),B(x2,y2),M(xM,yM).7分將ykxb代入1,得(2k21)x24kbx2b280.9分故xM,yMkxMb.于是直線OM的斜率kOM,即kOMk.所以直線OM的斜率與直線l的斜率的乘積為定值.12分規(guī)律方法1.解決直線與橢圓的位置關系的相關問題,其常規(guī)思路是先把直線方程與橢圓方程聯(lián)立,消元、化簡,然后應用根與系數(shù)的關系建立方程解決相關問題涉及弦中點的問題常常用“點差法”解決,往往會更簡單2設直線與橢圓的交點坐標為A(x1,y1),B(x2,y2),則|AB|(k為直線斜率)

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