新編高考數(shù)學一輪復習學案訓練課件: 第8章 平面解析幾何 第9節(jié) 第1課時 直線與圓錐曲線的位置關系學案 理 北師大版

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1、 第九節(jié)圓錐曲線的綜合問題考綱傳真(教師用書獨具)1.掌握解決直線與橢圓、拋物線的位置關系的思想方法;2.了解圓錐曲線的簡單應用;3.理解數(shù)形結合的思想(對應學生用書第148頁)基礎知識填充1直線與圓錐曲線的位置關系設直線l:AxByC0,圓錐曲線C:F(x,y)0,由消去y得到關于x的方程ax2bxc0.(1)當a0時,設一元二次方程ax2bxc0的判別式為,則0直線l與圓錐曲線C有兩個公共點;0直線l與圓錐曲線C有一個公共點;0直線l與圓錐曲線C有零個公共點(2)當a0,b0時,即得到一個一元一次方程當C為雙曲線時,l與雙曲線的漸近線平行或重合,它們的公共點有1個或0個當C為拋物線時,l與

2、拋物線的對稱軸平行或重合,它們的公共點有1個2圓錐曲線的弦長公式設斜率為k的直線l與圓錐曲線C相交于A,B兩點,A(x1,y1),B(x2,y2),則|AB|x1x2|.知識拓展過一點的直線與圓錐曲線的位置關系(1)過橢圓外一點總有兩條直線與橢圓相切;過橢圓上一點有且只有一條直線與橢圓相切;過橢圓內一點的直線與橢圓相交(2)過拋物線外一點總有三條直線和拋物線有且只有一個公共點:兩條切線和一條與對稱軸平行或重合的直線;過拋物線上一點總有兩條直線與拋物線有且只有一個公共點:一條切線和一條與對稱軸平行或重合的直線;過拋物線內一點只有一條直線與拋物線有且只有一個公共點:一條與對稱軸平行或重合的直線基本

3、能力自測1(思考辨析)判斷下列結論的正誤(正確的打“”,錯誤的打“”)(1)直線l與橢圓C相切的充要條件是直線l與橢圓C只有一個公共點()(2)直線l與雙曲線C相切的充要條件是直線l與雙曲線C只有一個公共點()(3)過拋物線y22px(p0)焦點的弦中最短弦的弦長是2p.()(4)若拋物線上存在關于直線l對稱的兩點,則l與拋物線有兩個交點()解析(1)對橢圓是個封閉圖形,直線與橢圓只有一個公共點時,一定相切(2)錯當直線l與漸近線平行時,直線與雙曲線只有一個交點,但不相切(3)對可轉化為到準線的距離來證明(3)正確(4)錯當直線l為對稱軸時,l與拋物線有一個交點答案(1)(2)(3)(4)2(

4、教材改編)直線yk(x1)1與橢圓1的位置關系是()A相交B相切C相離D不確定A直線yk(x1)1恒過定點(1,1),又點(1,1)在橢圓內部,故直線與橢圓相交3過點(0,1)作直線,使它與拋物線y24x僅有一個公共點,這樣的直線有()A1條B2條C3條D4條C結合圖形分析可知,滿足題意的直線共有3條:一條過點(0,1)且平行于x軸的直線,兩條過點(0,1)且與拋物線相切的直線4直線yx3與雙曲線1(a0,b0)的交點個數(shù)是()A1B2C1或2D0A因為直線yx3與雙曲線的漸近線yx平行,所以它與雙曲線只有1個交點5過拋物線y28x的焦點F作傾斜角為135的直線,交拋物線于A,B兩點,則弦AB

5、的長為_16設A(x1,y1),B(x2,y2),因為拋物線y28x的焦點為F(2,0),直線AB的傾斜角為135,故直線AB的方程為yx2,代入拋物線方程y28x,得x212x40,則x1x212,x1x24,則|AB|x1x2412416.第1課時直線與圓錐曲線的位置關系(對應學生用書第149頁)直線與圓錐曲線的位置關系(20xx全國卷)設A,B為曲線C:y上兩點,A與B的橫坐標之和為4.(1)求直線AB的斜率;(2)設M為曲線C上一點,C在M處的切線與直線AB平行,且AMBM,求直線AB的方程解(1)設A(x1,y1),B(x2,y2),則x1x2,y1,y2,x1x24,于是直線AB的

6、斜率k1.(2)由 y,得y.設M(x3,y3),由題設知1,解得x32,于是M(2,1)設直線AB的方程為yxm,故線段AB的中點為N(2,2m),|MN|m1|.將yxm代入y得x24x4m0.當16(m1)0,即m1時,x1,222.從而|AB|x1x2|4.由題設知|AB|2|MN|,即42(m1),解得m7.所以直線AB的方程為yx7.規(guī)律方法1.判斷直線與圓錐曲線的位置關系,一般是將直線與圓錐曲線方程聯(lián)立,消去x(或y),判斷該方程組解的個數(shù),方程組有幾組解,直線與圓錐曲線就有幾個交點.但應注意兩點:(1)消元后需要討論含x2(或y2)項的系數(shù)是否為0.(2)重視“判別式”起的限制

7、作用.2.對于選擇題、填空題,要充分利用幾何條件,借助數(shù)形結合的思想方法直觀求解,優(yōu)化解題過程.跟蹤訓練已知直線l:y2xm,橢圓C:1.試問當m取何值時,直線l與橢圓C:(1)有兩個不重合的公共點;(2)有且只有一個公共點解將直線l的方程與橢圓C的方程聯(lián)立,得方程組將代入,整理得9x28mx2m240.方程根的判別式(8m)249(2m24)8m2144.(1)當0,即3m3時,方程有兩個不同的實數(shù)根,可知方程組有兩組不同的實數(shù)解這時直線l與橢圓C有兩個不重合的公共點(2)當0,即m3時,方程有兩個相同的實數(shù)根,可知方程組有兩組相同的實數(shù)解這時直線l與橢圓C有兩個互相重合的公共點,即直線l與

8、橢圓C有且只有一個公共點弦長問題(20xx廣州綜合測試(二)已知雙曲線y21的焦點是橢圓C:1(ab0)的頂點,且橢圓與雙曲線的離心率互為倒數(shù). 【導學號:79140304】(1)設橢圓C的方程;(2)設動點M,N在橢圓C上,且|MN|,記直線MN在y軸上的截距為m,求m的最大值解(1)雙曲線y21的焦點坐標為(,0),離心率為.因為雙曲線y21的焦點是橢圓C:1(ab0)的頂點,且橢圓與雙曲線的離心率互為倒數(shù),所以a,且,解得b1.故橢圓C的方程為y21.(2)因為|MN|2,所以直線MN的斜率存在因為直線MN在y軸上的截距為m,所以可設直線MN的方程為ykxm.代入橢圓的方程y21中,得(

9、16k2)x212kmx6(m21)0.因為(12km)224(16k2)(m21) 24(16k2m2)0,所以m216k2.設M(x1,y1),N(x2,y2),根據根與系數(shù)的關系得x1x2,x1x2則|MN|x1x2|因為|MN|,則.整理得m2.令k21t1,則k2t1.所以m2 .等號成立的條件是t,此時k2,m2滿足m216k2,符合題意故m的最大值為.規(guī)律方法弦長的三種常用計算方法(1)定義法:過圓錐曲線的焦點的弦長問題,利用圓錐曲線的定義,可優(yōu)化解題.(2)點距法:將直線的方程和圓錐曲線的方程聯(lián)立,求出兩交點的坐標,再運用兩點間距離公式求弦長.(3)弦長公式法:它體現(xiàn)了解析幾何

10、中設而不求的思想,其實質是利用兩點之間的距離公式以及一元二次方程根與系數(shù)的關系得到的.易錯警示:直線與圓錐曲線的對稱軸平行或垂直的特殊情況.跟蹤訓練(20xx宜春中學與新余一中聯(lián)考)設橢圓M:1(ab0)的離心率與雙曲線x2y21的離心率互為倒數(shù),且橢圓的長軸長為4.(1)求橢圓M的方程;(2)若直線yx1交橢圓M于A,B兩點,P(1,)為橢圓M上一點,求PAB的面積解(1)由題可知,雙曲線的離心率為,則橢圓的離心率e,由2a4,b2a2c2,得a2,c,b,故橢圓M的方程為1.(2)聯(lián)立方程,得4x22x30,且,所以|AB|x1x2|.又P到直線AB的距離為d,所以SPAB|AB|d.中點

11、弦問題(1)在橢圓1內,通過點M(1,1),且被這點平分的弦所在的直線方程為()【導學號:79140305】Ax4y50Bx4y50C4xy50D4xy50(2)如圖891,已知橢圓y21上兩個不同的點A,B關于直線ymx對稱則實數(shù)m的取值范圍為_(1)A(2)(1)設直線與橢圓的交點為A(x1,y1),B(x2,y2),則由,得0,因為所以,所以所求直線方程為y1(x1),即x4y50.(2)由題意知m0,可設直線AB的方程為yxB由消去y,得x2xb210.因為直線yxb與橢圓y21有兩個不同的交點,所以2b220,將AB中點M代入直線方程ymx,解得b,由得m或m.規(guī)律方法處理中點弦問題的常用方法(1)點差法:即設出弦的兩端點坐標后,代入圓錐曲線方程,并將兩式相減,式中含有x1x2,y1y2,三個未知量,這樣就直接聯(lián)系了中點和直線的斜率,借用中點公式即可求得斜率.(2)根與系數(shù)的關系:即聯(lián)立直線與圓錐曲線的方程,將其轉化為一元二次方程后由根與系數(shù)的關系求解.跟蹤訓練拋物線C的頂點為原點,焦點在x軸上,直線xy0與拋物線C交于A,B兩點若P(1,1)為線段AB的中點,則拋物線C的方程為()Ay2x2By22xCx22yDy22xB設A(x1,y1),B(x2,y2),拋物線方程為y22px,則兩式相減可得2p(y1y2)kAB22,即可得p1,拋物線C的方程為y22x.

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