《全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題及解析 蘇教版4》由會員分享,可在線閱讀,更多相關(guān)《全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題及解析 蘇教版4(5頁珍藏版)》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。
1、1984年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題第一試1選擇題(本題滿分40分,每小題答對得5分答錯得0分,不答得1分) 集合S=|argZ=,為常數(shù)在復(fù)平面上的圖形是( ) A射線argZ=2 B射線argZ=2 C射線argZ= D上述答案都不對下列四個圖形的陰影部分(不包括邊界)滿足不等式logx(logxy2)0的是( ) 對所有滿足1nm5的m,n,極坐標(biāo)方程=表示的不同雙曲線條數(shù)是( ) A15 B10 C7 D6 方程sinx=lgx的實根個數(shù)是( ) A1 B2 C3 D大于3 若a0,a1,F(xiàn)(x)是一個奇函數(shù),則 G(x)=F(x)( +)是 A奇函數(shù) B偶函數(shù) C不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù) D
2、奇偶性與a的具體數(shù)值有關(guān) 若F()=x,則下列等式中正確的是( ) AF(2x)=2F(x) BF(x)=F() CF(x1)=F(x) DF(F(x)=x 若動點P(x,y)以等角速度在單位圓上逆時針運動,則點Q(2xy,y2x2)的運動方式是 A以角速度在單位圓上順時針運動 B以角速度在單位圓上逆時針運動 C以角速度2在單位圓上順時針運動 D以角速度2在單位圓上逆時針運動 若四面體的一條棱長是x,其余棱長都是1,體積是F(x),則函數(shù)F(x)在其定義域上 A是增函數(shù)但無最大值 B是增函數(shù)且有最大值 C不是增函數(shù)但無最大值 D不是增函數(shù)但有最大值2填充題(本題滿分10分,每小題5分) 如圖,
3、AB是單位圓的直徑,在AB上任取一點D,作DCAB,交圓周于C,若點D的坐標(biāo)為D(x,0),則當(dāng)x 時,線段AD、BD、CD可以構(gòu)成銳角三角形 方程cos=cosx的通解是 ,在(0,24)內(nèi)不相同的解有 個第二試1(本題滿分15分)下列命題是否正確?若正確,請給予證明否則給出反例 若P、Q是直線l同側(cè)的兩個不同點,則必存在兩個不同的圓,通過P、Q且與直線l相切; 若a0,b0,且a1,b1,則logab+logba2 設(shè)A、B是坐標(biāo)平面上的兩個點集,Cr=(x,y)|x2+y2r2,若對任何r0,都有CrACrB,則必有AB2(本題滿分10分)已知兩條異面直線a、b所成的角為,它們的公垂線A
4、A的長度為d,在直線a、b上分別取點E、F,設(shè)AE=m,AF=n,求EF(A在直線a上,A在直線b上)3(本題滿分15分)如圖,在ABC中,P為邊BC上任意一點,PEBA,PFCA,若SABC=1,證明:SBPF、SPCE、SPEAF中至少有一個不小于 (SXYZ表示多邊形XYZ的面積)4(本題滿分15分) 設(shè)an是12+22+32+n2的個位數(shù)字,n=1,2,3,試證:0.a1a2an是有理數(shù)5(本題滿分15分) 設(shè)x1,x2,xn都是正數(shù),求證:+x1+x2+xn1984年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題解答第一試1選擇題(本題滿分40分,每小題答對得5分答錯得0分,不答得1分) 集合S=|argZ=
5、,為常數(shù)在復(fù)平面上的圖形是( ) A射線argZ=2 B射線argZ=2 C射線argZ= D上述答案都不對解:由于argZ0.2),故不存在答案Barg=2,故選D下列四個圖形的陰影部分(不包括邊界)滿足不等式logx(logxy2)0的是( )解:當(dāng)0xy2x0;當(dāng)x1時,得y2x1選D 對所有滿足1nm5的m,n,極坐標(biāo)方程=表示的不同雙曲線條數(shù)是( ) A15 B10 C7 D6解:由e=C,若表示雙曲線,則e1,由C1,可得m、n的不同取值為C=5,C=10,C=4,C=6,C=3,C=2,共有6個不同的值,故選D 方程sinx=lgx的實根個數(shù)是( ) A1 B2 C3 D大于3解
6、:作y=sinx及y=lgx的圖象,當(dāng)x10時,lgx1故二者只在(0,10)內(nèi)可能有交點經(jīng)作圖可知,二者在(0,)內(nèi)有一交點,在(2,3)內(nèi)有一交點選C 若a0,a1,F(xiàn)(x)是一個奇函數(shù),則 G(x)=F(x)(+)是 A奇函數(shù) B偶函數(shù) C不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù) D奇偶性與a的具體數(shù)值有關(guān)解:G(x)=F(x) ,故G(x)=G(x),且G(x)的定義域是F(x)的定義域與x|x0,xR的交集,為以原點為對稱的區(qū)域,故選B 若F()=x,則下列等式中正確的是( ) AF(2x)=2F(x) BF(x)=F() CF(x1)=F(x) DF(F(x)=x解:令t=,得x=,即F(t)=,經(jīng)
7、一一驗證,知F(2x)=2F(x),選A 若動點P(x,y)以等角速度在單位圓上逆時針運動,則點Q(2xy,y2x2)的運動方式是 A以角速度在單位圓上順時針運動 B以角速度在單位圓上逆時針運動 C以角速度2在單位圓上順時針運動 D以角速度2在單位圓上逆時針運動解:令x=cost,y=sint則2xy=sin2t=cos(2t)y2x2=cos2t=sin(2t)顯然2t與t旋轉(zhuǎn)方向相反故選C 若四面體的一條棱長是x,其余棱長都是1,體積是F(x),則函數(shù)F(x)在其定義域上 A是增函數(shù)但無最大值 B是增函數(shù)且有最大值 C不是增函數(shù)但無最大值 D不是增函數(shù)但有最大值解:定義域為0x,當(dāng)x=時,
8、F(x)最大,故選D2填充題(本題滿分10分,每小題5分) 如圖,AB是單位圓的直徑,在AB上任取一點D,作DCAB,交圓周于C,若點D的坐標(biāo)為D(x,0),則當(dāng)x 時,線段AD、BD、CD可以構(gòu)成銳角三角形解:由對稱性,先考慮0xa2,即(1x)(1+x)+(1x)2(1+x)2,解得0x2 2x2 方程cos=cosx的通解是 ,在(0,24)內(nèi)不相同的解有 個解:=2kx,x=k,與x=m當(dāng)0k24時,k=1,2,8;當(dāng)0m0,b0,且a1,b1,則logab+logba2 設(shè)A、B是坐標(biāo)平面上的兩個點集,Cr=(x,y)|x2+y2r2,若對任何r0,都有CrACrB,則必有AB解:若
9、PQl,則只能作出一個圓過P、Q且與直線l相切; 若a1,0b1,則logab+logba2; A=(x,y)|x2+y2r2,B=(x,y)|0x2+y2r2,于是CrACrB恒成立,但不滿足AB2(本題滿分10分)已知兩條異面直線a、b所成的角為,它們的公垂線AA的長度為d,在直線a、b上分別取點E、F,設(shè)AE=m,AF=n,求EF(A在直線a上,A在直線b上)解:EF=(證明見課本)3(本題滿分15分)如圖,在ABC中,P為邊BC上任意一點,PEBA,PFCA,若SABC=1,證明:SBPF、SPCE、SPEAF中至少有一個不小于(SXYZ表示多邊形XYZ的面積)證明:如圖,三等分BC于
10、M、N,若點P在BM上(含點M),則由于PEAB,則CPECBACPCB于是SPCE同理,若P在NC上(含點N),則SBPF若點P在線段MN上連EF,設(shè)=r(r),則=1rSBPF=r2,SPCE=(1r)2 SBPF+SPCE=r2+(1r)2=2r22r+1=2(r)2+2(-)2+=于是SAEPF故命題成立4(本題滿分15分) 設(shè)an是12+22+32+n2的個位數(shù)字,n=1,2,3,試證:0.a1a2an是有理數(shù)解 由于12+22+n2的個位數(shù)字只與1到n的個位數(shù)字的平方和有關(guān),故只要考慮這些數(shù)的個位數(shù)字的平方:但121224,329,426,525,626,729,824,921,020(mod 10) a1=1,a2=5,a3=4,a4=0,a5=5,a6=1,a7=0,a8=4,a9=5,a10=5,a11=6,a12=0,a13=9,a14=5,a15=0,a16=6,a17=5,a18=9,a19=0,a20=0由a20=0知,a20k+r=ar(k,rN,0r19,并記a0=0),即0.a1a2an是一個循環(huán)節(jié)為20位數(shù)的循環(huán)小數(shù),即為有理數(shù)其一個循環(huán)節(jié)為“”5(本題滿分15分) 設(shè)x1,x2,xn都是正數(shù),求證:+x1+x2+xn證明 +x22x1,+x32x2,+x42x3,+x12x1上述各式相加即得