全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題及解析 蘇教版16

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1、1996年全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)合競(jìng)賽試卷第一試(10月13日上午8：009：20)一、選擇題(本題滿分36分，每題6分)1 把圓x2+(y1)2=1與橢圓9x2+(y+1)2=9的公共點(diǎn)，用線段連接起來(lái)所得到的圖形為( ) (A)線段 (B)不等邊三角形 (C)等邊三角形 (D)四邊形2 等比數(shù)列an的首項(xiàng)a1=1536,公比q=,用n表示它的前n項(xiàng)之積。則n(nN*)最大的是( ) (A)9 (B)11 (C)12 (D)133 存在整數(shù)n,使+是整數(shù)的質(zhì)數(shù)p( ) (A)不存在 (B)只有一個(gè) (C)多于一個(gè),但為有限個(gè) (D)有無(wú)窮多個(gè)4 設(shè)x(，0),以下三個(gè)數(shù)1=cos(sinx),2=s

2、in(cosx),3=cos(x+1)的大小關(guān)系是( ) (A)321 (B)132 (C)312 (D)2315 如果在區(qū)間1,2上函數(shù)f(x)=x2+px+q與g(x)=x+在同一點(diǎn)取相同的最小值，那么f(x)在該區(qū)間上的最大值是( ) (A) 4+ (B) 4+ (C) 1+ (D)以上答案都不對(duì)6 高為8的圓臺(tái)內(nèi)有一個(gè)半徑為2 的球O1，球心O1在圓臺(tái)的軸上，球O1與圓臺(tái)的上底面、側(cè)面都相切，圓臺(tái)內(nèi)可再放入一個(gè)半徑為3的球O2，使得球O2與球O1、圓臺(tái)的下底面及側(cè)面都只有一個(gè)公共點(diǎn)，除球O2，圓臺(tái)內(nèi)最多還能放入半徑為3的球的個(gè)數(shù)是( ) (A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4二

3、、填空題(本題滿分54分，每小題9分)1 集合x|1log10，xN*的真子集的個(gè)數(shù)是 2 復(fù)平面上，非零復(fù)數(shù)z1，z2在以i為圓心，1為半徑的圓上，z2的實(shí)部為零，z1的輻角主值為，則z2=_3 曲線C的極坐標(biāo)方程是=1+cos，點(diǎn)A的極坐標(biāo)是(2,0)，曲線C在它所在的平面內(nèi)繞A旋轉(zhuǎn)一周，則它掃過(guò)的圖形的面積是_4 已知將給定的兩個(gè)全等的正三棱錐的底面粘在一起，恰得到一個(gè)所有二面角都相等的六面體，并且該六面體的最短棱的長(zhǎng)為2，則最遠(yuǎn)的兩頂點(diǎn)間的距離是_5 從給定的六種不同顏色中選用若干種顏色，將一個(gè)正方體的六個(gè)面染色，每 面恰染一種顏色，每?jī)蓚€(gè)具有公共棱的面染成不同的顏色。則不同的染色方法

4、共有_種(注：如果我們對(duì)兩個(gè)相同的正方體染色后，可以通過(guò)適當(dāng)?shù)姆D(zhuǎn)，使得兩個(gè)正方體的上、下、左、右、前、后六個(gè)對(duì)應(yīng)面的染色都相同，那么，我們就說(shuō)這兩個(gè)正方體的染色方案相同)6 在直角坐標(biāo)平面，以(199,0)為圓心，199為半徑的圓周上整點(diǎn)(即橫、縱坐標(biāo)皆為整數(shù)的點(diǎn))的個(gè)數(shù)為_(kāi)第二試一、（本題滿分25分）設(shè)數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn=2an1（n=1，2，），數(shù)列bn 滿足b1=3，bk+1=ak+bk(k=1，2，)求數(shù)列bn 的前n項(xiàng)和二、（本題滿分25分）求實(shí)數(shù)a的取值范圍，使得對(duì)任意實(shí)數(shù)x和任意0，恒有 （x+3+2sincos)2+(x+asin+acos)2 三、（本題滿分35分）如圖

5、，圓O1和圓O2與ABC的三邊所在的三條直線都相切，E、F、G、H為切點(diǎn)，并且EG、FH的延長(zhǎng)線交于P點(diǎn)。求證直線PA與BC垂直。EFABCGHPO1。O2四、（本題滿分35分）有n(n6)個(gè)人聚會(huì)，已知：（1）每人至少同其中個(gè)人互相認(rèn)識(shí)；（2）對(duì)于其中任意個(gè)人，或者其中有2 人相識(shí)，或者余下的人中有2人相識(shí)證明：這n個(gè)人中必有三人兩兩認(rèn)識(shí)1996年全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽解答第一試一、選擇題(本題滿分36分，每題6分)1 把圓x2+(y1)2=1與橢圓9x2+(y+1)2=9的公共點(diǎn)，用線段連接起來(lái)所得到的圖形為( ) (A)線段 (B)不等邊三角形 (C)等邊三角形 (D)四邊形解：99(y1)2

6、=9(y+1)2，8y220y+8=0，y=2或，相應(yīng)的，x=0，或x=此三點(diǎn)連成一個(gè)正三角形選C2 等比數(shù)列an的首項(xiàng)a1=1536,公比q=，用n表示它的前n項(xiàng)之積。則n(nN*)最大的是( ) (A)9 (B)11 (C)12 (D)13解：n=1536n()，故110作商比較：又，=15363()66361，=1536()78661故選C3 存在整數(shù)n,使+是整數(shù)的質(zhì)數(shù)( ) (A)不存在 (B)只有一個(gè) (C)多于一個(gè),但為有限個(gè) (D)有無(wú)窮多個(gè)解：如果p為奇質(zhì)數(shù)，p=2k+1，則存在n=k2(kN+)，使+=2k+1故選D4 設(shè)x(,0)，以下三個(gè)數(shù)1=cos(sinx),2=s

7、in(cosx),3=cos(x+1)的大小關(guān)系是( ) (A)321 (B)132 (C)312 (D)230，2=sin(cos|x|)0，3=cos(1|x|)0，排除B、D sin|x|+ cos|x|=sin(|x|+)，于是cos|x|sin|x|， sin(cos|x|)cos(sin|x|)，故21，選A又解：取x=，則1=cos，2=sin，3=cos0由于25 如果在區(qū)間1,2上函數(shù)f(x)=x2+px+q與g(x)=x+在同一點(diǎn)取相同的最小值，那么f(x)在該區(qū)間上的最大值是( ) (A) 4+ (B) 4+ (C) 1+ (D)以上答案都不對(duì)解：g(x)= x+=x+x

8、+3=當(dāng)且僅當(dāng)x=即x=時(shí)g(x)取得最小值=，=，p=2，q=+由于10707，即O2HO390，即此圓上還可再放下2個(gè)滿足要求的點(diǎn)故選B二、填空題(本題滿分54分，每小題9分)1 集合x|1log10，xN*的真子集的個(gè)數(shù)是 解 由已知，得logx1011lgx210x100故該集合有90個(gè)元素其真子集有290-1個(gè)2 復(fù)平面上，非零復(fù)數(shù)z1，z2在以i為圓心，1為半徑的圓上，z2的實(shí)部為零，z1的輻角主值為，則z2=_解：z1滿足|zi|=1；argz1=，得z1=+i，=cos()+isin()設(shè)z2的輻角為(06，即k1，k2中至少有一個(gè)2，不妨設(shè)k12，現(xiàn)任取B中與c連線的一點(diǎn)b1，由于b1與B中其余各點(diǎn)均未連線，若b1與A中的所有與c連線的點(diǎn)均未連線，則b1連線數(shù)2+k1k1k1，矛盾，故b1至少與此k1個(gè)點(diǎn)中的一點(diǎn)連線故證