山東省濰坊市中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí) 第5章 四邊形與相似 第19講 矩形、菱形、正方形課件

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1、 第五章四邊形與相似第五章四邊形與相似 第第19講矩形、菱形、正方形講矩形、菱形、正方形考點(diǎn)梳理考點(diǎn)梳理過關(guān)過關(guān)考點(diǎn)考點(diǎn)1 1 矩形的性質(zhì)與判定矩形的性質(zhì)與判定 6 6年年5 5考考定義定義有一個(gè)角是直角的平行四邊形叫做矩形性質(zhì)性質(zhì)(1)四個(gè)角都是直角；(2)對(duì)角線互相平分且相等；(3)是軸對(duì)稱圖形，有兩條對(duì)稱軸；(4)是中心對(duì)稱圖形，對(duì)稱中心是對(duì)角線的交點(diǎn)判定判定(1)定義法：有一個(gè)角是直角的平行四邊形是矩形；(2)有三個(gè)角是直角的四邊形是矩形；(3)對(duì)角線相等的平行四邊形是矩形考點(diǎn)考點(diǎn)2 2 菱形的性質(zhì)與判定菱形的性質(zhì)與判定 6 6年年6 6考考定義定義有一組鄰邊相等的平行四邊形叫做菱形性

2、質(zhì)性質(zhì)(1)四條邊都相等；(2)對(duì)角線互相垂直，并且每一條對(duì)角線平分一組對(duì)角判定判定(1)定義法：有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形；(2)對(duì)角線互相垂直的平行四邊形是菱形；(3)四條邊都相等的四邊形是菱形定義定義有一組鄰邊相等的矩形叫做正方形性質(zhì)性質(zhì)(1)四條邊都相等，四個(gè)角都是直角；(2)對(duì)角線相等且互相垂直平分，每條對(duì)角線平分一組對(duì)角；(3)是軸對(duì)稱圖形，兩條對(duì)角線所在的直線，以及過每一組對(duì)邊中點(diǎn)的直線都是它的對(duì)稱軸，共4條；(4)是中心對(duì)稱圖形，對(duì)角線的交點(diǎn)是它的對(duì)稱中心判定判定(1)定義法：有一組鄰邊相等的矩形是正方形；(2)一組鄰邊相等并且有一個(gè)角是直角的平行四邊形是正方形；(3)對(duì)

3、角線互相垂直的矩形是正方形；(4)有一個(gè)角是直角的菱形是正方形；(5)對(duì)角線相等的菱形是正方形考點(diǎn)考點(diǎn)3 正方形的性質(zhì)與判定正方形的性質(zhì)與判定 6 6年年4 4考考典型例題典型例題運(yùn)用運(yùn)用類型類型1 1 矩形的性質(zhì)與判定矩形的性質(zhì)與判定【例1】2017達(dá)州中考如圖，在ABC中，點(diǎn)O是邊AC上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)O作直線EFBC分別交ACB，外角ACD的平分線于點(diǎn)E，F(xiàn).(1)若CE8，CF6，求OC的長(zhǎng)；(2)連接AE，AF.問：當(dāng)點(diǎn)O在邊AC上運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)，四邊形AECF是矩形？并說明理由思路分析 (1)根據(jù)平行線的性質(zhì)以及角平分線的性質(zhì)得出OECOCE，OFCOCF，證出OEOCOF，ECF

4、90，由勾股定理求出EF，即可得出答案；(2)根據(jù)平行四邊形的判定以及矩形的判定即可得出(1)CE平分ACB，CF平分ACD，OCEBCE，OCFDCF.EFBC，OECBCE，OFCDCF.OECOCE，OFCOCF.OEOC，OFOC.OEOF.OCEBCEOCFDCF180 ，ECF90 .(2)當(dāng)點(diǎn)O在邊AC上運(yùn)動(dòng)到AC中點(diǎn)時(shí)，四邊形AECF是矩形理由如下：如圖，連接AE，AF.當(dāng)O為AC的中點(diǎn)時(shí)，AOCO.又EOFO，四邊形AECF是平行四邊形ECF90 ，平行四邊形AECF是矩形技法點(diǎn)撥 矩形的定義既可以作為性質(zhì)，也可以作為判定矩形的性質(zhì)是求證線段或角相等時(shí)常用的知識(shí)點(diǎn)證明一個(gè)四邊

5、形是矩形的方法：(1)先證明它是平行四邊形，再證明它有一個(gè)角是直角；(2)先證明它是平行四邊形，再證明它的對(duì)角線相等；(3)證明有三個(gè)內(nèi)角為90.變式運(yùn)用 1.2017南寧中考如圖，矩形ABCD的對(duì)角線AC，BD相交于點(diǎn)O，點(diǎn)E，F(xiàn)在BD上，BEDF.(1)求證：AECF；(2)若AB6，COD60，求矩形ABCD的面積解：(1)證明：四邊形ABCD是矩形，OAOC，OBOD，ACBD，ABC90 .BEDF，OEOF.AOECOF(SAS)AECF.(2)OAOC，OBOD，ACBD，OAOB.AOBCOD60 ，AOB是等邊三角形OAAB6.AC2OA12.【例2】2017濱州中考如圖，在

6、 ABCD中，以點(diǎn)A為圓心，AB長(zhǎng)為半徑畫弧交AD于點(diǎn)F；再分別以點(diǎn)B，F(xiàn)為圓心，大于 BF的相同長(zhǎng)為半徑畫弧，兩弧交于點(diǎn)P；連接AP并延長(zhǎng)交BC于點(diǎn)E，連接EF，則所得四邊形ABEF是菱形思路分析 (1)要證明四邊形ABEF是菱形，先考慮證明其是平行四邊形，已知BEAF，設(shè)法證明BEAF即可；(2)由于四邊形ABCD為平行四邊形，可將求C轉(zhuǎn)化為求BAD，而菱形的對(duì)角線平分一組對(duì)角，因此可先求DAE的大小類型類型2 2 菱形的性質(zhì)與判定菱形的性質(zhì)與判定21(1)根據(jù)以上尺規(guī)作圖的過程，求證四邊形ABEF是菱形；(2)若菱形ABEF的周長(zhǎng)為16，AE4 ,求C的大小3(1)證明：由作圖過程可知，

7、ABAF，AE平分BAD.BAEEAF.四邊形ABCD為平行四邊形，BCAD.AEBEAF.BAEAEB.ABBE.BEAF.AFBE，四邊形ABEF為平行四邊形又ABAF，四邊形ABEF為菱形(2)如圖，連接BF，交AE于點(diǎn)O.四邊形ABEF為菱形，BF與AE互相垂直平分，BAEFAE.OAF30 .BAF60 .四邊形ABCD為平行四邊形，CBAD60 .技法點(diǎn)撥 菱形的定義既可作為性質(zhì)，也可作為判定證明一個(gè)四邊形是菱形的一般方法：(1)四邊相等；(2)首先證明是平行四邊形，然后證明有一組鄰邊相等；(3)對(duì)角線互相垂直平分；(4)對(duì)角線垂直的平行四邊形變式運(yùn)用 2.2017北京中考如圖，在

8、四邊形ABCD中，BD為一條對(duì)角線，ADBC，AD2BC，ABD90，E為AD的中點(diǎn)，連接BE.(1)求證：四邊形BCDE為菱形(2)連接AC，若AC平分BAD，BC1，求AC的長(zhǎng)解：(1)證明：AD2BC，E為AD的中點(diǎn)，DEBC，ADBC，四邊形BCDE為平行四邊形ABD90 ，AEDE，BEDE.平行四邊形BCDE為菱形(2)如圖，連接AC.ADBC，AC平分BAD，BACDACBCA.ABBC1.AD2BC，AD2.類型類型3 3 正方形的性質(zhì)與判定正方形的性質(zhì)與判定【例3】 2017青島中考已知：如圖，在菱形ABCD中，點(diǎn)E，O，F(xiàn)分別是邊AB，AC，AD的中點(diǎn)，連接CE，CF，OE

9、，OF.(1)求證：BCEDCF；(2)當(dāng)AB與BC滿足什么條件時(shí)，四邊形AEOF為正方形？請(qǐng)說明理由【思路分析】(1)利用SAS證明BCEDCF；(2)先證明四邊形AEOF為菱形，當(dāng)BCAB，得BAD90，再利用有一個(gè)角是90的菱形是正方形證明即可(1)證明：四邊形ABCD為菱形，ABBCCDDA，BD.又E，F(xiàn)分別是AB，AD的中點(diǎn)，BEDF.BCEDCF(SAS)(2)當(dāng)ABBC時(shí)，四邊形AEOF為正方形理由如下：E，O分別是AB，AC的中點(diǎn)，EOBC.又BCAD，OEAD，即OEAF.同理，可證OFAE.四邊形AEOF為平行四邊形由(1)可得AEAF，平行四邊形AEOF為菱形ABBC，

10、BADABC90 .菱形AEOF為正方形技法點(diǎn)撥 證明一個(gè)四邊形是正方形可從以下幾個(gè)方面考慮：(1)“平行四邊形”“一組鄰邊相等”“一個(gè)角為直角”；(2)“矩形”“一組鄰邊相等”；(3)“矩形”“對(duì)角線互相垂直”；(4)“菱形”“一個(gè)角為直角”；(5)“菱形”“對(duì)角線相等”變式運(yùn)用 3.2017杭州中考如圖，在正方形ABCD中，點(diǎn)G在對(duì)角線BD上(不與點(diǎn)B，D重合)，GEDC，GFBC，連接AG.(1)寫出線段AG，GE，GF長(zhǎng)度之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；(2)若正方形ABCD的邊長(zhǎng)為1，AGF105，求線段BG的長(zhǎng)解：(1)結(jié)論：AG2GE2GF2.理由：如圖，連接CG.四邊形ABCD是正

11、方形，A，C關(guān)于對(duì)角線BD對(duì)稱點(diǎn)G在BD上，GAGC.GEDC，GFBC，GECECFCFG90 .四邊形EGFC是矩形CFGE.在RtGFC中，CG2GF2CF2，AG2GF2GE2.(2)如圖，作BNAG于點(diǎn)N，在BN上截取一點(diǎn)M，使得AMBM，設(shè)ANx.AGF105 ，F(xiàn)BGFGBABG45 ，AGB60 .GBN30 .ABMMAB15 .AMN30 .BGBNcos30 六年真題六年真題全練全練命題點(diǎn)命題點(diǎn)1 1 矩形的性質(zhì)與判定矩形的性質(zhì)與判定12017濰坊，18,3分如圖，將一張矩形紙片ABCD的邊BC斜著向AD邊對(duì)折，使點(diǎn)B落在AD上，記為B，折痕為CE；再將CD邊斜向下對(duì)折，

12、使點(diǎn)D落在BC上，記為D，折痕為CG，BD2，BE BC.則矩形紙片ABCD的面積為.311522016濰坊，21(1)，4分鏈接第21講六年真題全練第7題32014濰坊，8,3分鏈接第12講六年真題全練第2題42013濰坊，19(1)，5分鏈接第22講六年真題全練第6題52012濰坊，8,3分鏈接第20講六年真題全練第1題菱形的性質(zhì)與判定是濰坊市中考命題的熱點(diǎn)，近幾年主要以解答題的形式考查，難度適中，一般情況下不單獨(dú)命題，經(jīng)常與相似、平移、旋轉(zhuǎn)的知識(shí)結(jié)合命題62017濰坊，12,3分鏈接第21講六年真題全練第5題72015濰坊，9,3分鏈接第20講六年真題全練第2題82013濰坊，14,3分

13、如圖，ABCD是對(duì)角線互相垂直的四邊形，且OBOD，請(qǐng)你添加一個(gè)適當(dāng)?shù)臈l件 ，使ABCD成為菱形(只需添加一個(gè)即可)命題點(diǎn)命題點(diǎn)2 2 菱形的性質(zhì)與判定菱形的性質(zhì)與判定OAOC或ADBC或ADBC或ABBC92017濰坊，24(1)，5分鏈接專題3最值問題例3.102016濰坊，24,12分如圖，在菱形ABCD中，AB2，BAD60，過點(diǎn)D作DEAB于點(diǎn)E，DFBC于點(diǎn)F.(1)如圖1，連接AC分別交DE，DF于點(diǎn)M，N，求證：MN AC；(2)如圖2，將EDF以點(diǎn)D為旋轉(zhuǎn)中心旋轉(zhuǎn)，其兩邊DE，DF分別與直線AB，BC相交于點(diǎn)G，P，連接GP，當(dāng)DGP的面積等于3 時(shí)，求旋轉(zhuǎn)角的大小并指明旋轉(zhuǎn)

14、方向313解：(1)證明：如圖，連接BD，交AC于點(diǎn)O.在菱形ABCD中，BAD60 ，ADAB，ABD為等邊三角形DEAB，AEBE.(2)ABCD，BAD60 ，ADC120 .又ADECDF30 ，EDF60 .當(dāng)EDF順時(shí)針旋轉(zhuǎn)時(shí)，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，知EDGFDP，GDPEDF60 .112012濰坊，22,10分如圖，已知平行四邊形ABCD，過點(diǎn)A作AMBC于點(diǎn)M，交BD于點(diǎn)E，過點(diǎn)C作CNAD于點(diǎn)N，交BD于點(diǎn)F，連接AF，CE.(1)求證：四邊形AECF為平行四邊形；(2)當(dāng)AECF為菱形，M點(diǎn)為BC的中點(diǎn)時(shí)，求ABAE的值解：(1)證明：AMBC，AMB90 .CNAD，CNA90

15、 .又BCAD，BCN90 .AMBBCN.AECF.AEDCFB.又ADBC，ADECBD，又ADBC，ADECBF(AAS)AECF.四邊形AECF為平行四邊形(2)當(dāng)四邊形AECF為菱形時(shí)，如圖，連接AC交EF于點(diǎn)O，則AC與EF互相垂直平分又BOOD，AC與BD互相垂直平分四邊形ABCD是菱形ABBC.M是BC的中點(diǎn)，AMBC，ABAC，ABC為等邊三角形ABC60 ，CBD30 .猜押預(yù)測(cè) 1.如圖，在邊長(zhǎng)為1的菱形ABCD中，DAB60，連接對(duì)角線AC，以AC為邊作第二個(gè)菱形ACC1D1，使D1AC60，連接AC1，再以AC1為邊作第三個(gè)菱形AC1C2D2，使D2AC160；，按此

16、規(guī)律所作的第2018個(gè)菱形的邊長(zhǎng)為()B得分要領(lǐng) 菱形除具有四條邊都相等、對(duì)角線互相垂直且平分等特有性質(zhì)外，它還具有平行四邊形的所有性質(zhì)判定菱形的方法是多樣的，其基本思路是先判定這個(gè)四邊形為平行四邊形，然后通過有一組鄰邊相等或?qū)蔷€互相垂直判定為菱形，或者直接利用四條邊相等進(jìn)行證明正方形的性質(zhì)是濰坊市中考命題的熱點(diǎn)，近幾年主要以解答題的形式考查，難度較大，一般情況下不單獨(dú)命題，經(jīng)常與相似、旋轉(zhuǎn)、圓的知識(shí)結(jié)合命題122016濰坊，21(1)，4分鏈接第21講六年真題全練第7題132015濰坊，23,12分鏈接第24講六年真題全練第9題142013濰坊，22(2)(3)，7分鏈接第24講六年真題全

17、練第10題命題點(diǎn)命題點(diǎn)3 3 正方形的性質(zhì)正方形的性質(zhì)猜押預(yù)測(cè) 2.如圖1，四邊形ABCD是正方形，點(diǎn)E是AB邊的中點(diǎn)，以AE為邊作正方形AEFG，連接DE，BG.(1)發(fā)現(xiàn)線段DE，BG之間的數(shù)量關(guān)系是_；直線DE，BG之間的位置關(guān)系是_(2)探究如圖2，將正方形AEFG繞點(diǎn)A逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，(1)中的結(jié)論是否仍然成立？若成立，請(qǐng)給出證明；若不成立，請(qǐng)說明理由(3)應(yīng)用如圖3，將正方形AEFG繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)一周，記直線DE與BG的交點(diǎn)為P，若AB4，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)P到CD所在直線距離的最大值和最小值解：(1)DEBGDEBG(2)(1)中的結(jié)論仍然成立證明：如圖，記直線DE與BG的交點(diǎn)為M，DE與AB的交點(diǎn)為N.四邊形ABCD，AEFG是正方形，ADAB，BAD90 .AEAG，EAG90 .DAEBAG.EADGAB(SAS)DEBG，EDAGBA.EDAAND90 ，ANDMNB，GBAMNB90 .DEBG.得分要領(lǐng) 對(duì)于正方形性質(zhì)的有關(guān)計(jì)算問題，一般注意以下知識(shí)的應(yīng)用：(1)四條邊相等，四個(gè)角相等且都為90；(2)對(duì)角線垂直且相等；(3)對(duì)角線平分一組對(duì)角得到45角；(4)邊長(zhǎng)與對(duì)角線的長(zhǎng)度比為12