華理高數(shù)全部復習資料之重積分

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1、第12章 重積分內(nèi)容提要(一)二重積分概念和性質(zhì)1二重積分定義:設(shè)二元函數(shù)定義在有界閉區(qū)域上。將任意劃分成除公共邊界外沒有其它公共部分的個子區(qū)域(),在每個中任取一點(),作和式。令表示各子區(qū)域直徑的最大值,若極限存在,且極限值和區(qū)域的分割方式以及各子區(qū)域中點的取法無關(guān),則稱函數(shù)在區(qū)域上可積,并稱此極限為在區(qū)域上的二重積分,記作,即 其中,稱為被積函數(shù),為被積表達式,為面積元素,、是積分變量,是積分區(qū)域,并稱為積分和式。2二重積分的幾何意義:設(shè)在區(qū)域上連續(xù),當時,二重積分表示以曲面為頂,底面區(qū)域是的曲頂柱體的體積。3性質(zhì)(1)線性性質(zhì)若,在上可積,和為任意常數(shù),則在上可積,且。(2)積分區(qū)域可

2、加性質(zhì)若,且和除邊界外沒有公共部分,則在上可積的充要條件是在和上都可積,且。(3)不等式性質(zhì)設(shè),在上可積,則(i)若,則,特別有 。(ii)若,是的面積,則有。(4)積分中值定理設(shè)為有界閉區(qū)域上的連續(xù)函數(shù),則存在,使得,其中是的面積。(5)對稱區(qū)域上奇偶函數(shù)的積分性質(zhì)設(shè)在有界閉區(qū)域上可積,(i)若關(guān)于軸對稱,則,其中。(ii)若關(guān)于軸對稱,則,其中。(二)二重積分的計算1利用直角坐標系計算二重積分設(shè)在平面有界閉區(qū)域上連續(xù):(i)若,其中、在上連續(xù)。區(qū)域的特點是:穿過內(nèi)與軸平行的直線與的邊界相交不多于兩點,稱為型區(qū)域。則。(ii)若,其中、在上連續(xù)。區(qū)域的特點是:穿過內(nèi)與軸平行的直線與的邊界相交

3、不多于兩點,稱為型區(qū)域。則。如果區(qū)域不滿足以上條件,可以將區(qū)域分成若干個部分區(qū)域,使每個部分區(qū)域滿足以上條件,再利用積分關(guān)于區(qū)域的可加性來計算。2利用極坐標系計算二重積分極坐標與直角坐標的關(guān)系為,極坐標系中的面積元素為。在極坐標系下,二重積分可變?yōu)椋╥)極點在區(qū)域外。區(qū)域在極坐標下可表示為,其中函數(shù)、在區(qū)間上連續(xù),則(ii)極點在區(qū)域邊界上。區(qū)域在極坐標下可表示為,其中函數(shù)在區(qū)間上連續(xù),則(iii)極點在區(qū)域內(nèi)。區(qū)域在極坐標下可表示為,其中在區(qū)間上連續(xù),從而有(三)二重積分的應(yīng)用1曲面面積:設(shè)曲面是由方程給出,在平面上的投影區(qū)域為,且函數(shù)在上有連續(xù)的偏導數(shù)。則曲面的面積為2物理應(yīng)用:設(shè)平面薄片

4、在平面上所占的區(qū)域為,其面密度為。(1) 薄片質(zhì)量:。(2) 一階矩:薄片關(guān)于、軸的一階矩、分別為,(3) 薄片質(zhì)心:,。(4) 薄片關(guān)于、軸和原點的轉(zhuǎn)動慣量分別為:,(四)三重積分的定義設(shè)為空間閉區(qū)域上的有界函數(shù),將任意分成個子域,以表示第個子域的體積。在每一個子域上任取一點,作和式,如果當所有子域直徑中的最大值趨于零時,這和式的極限存在,則稱此極限值為函數(shù)在區(qū)域上的三重積分,記作,即(五) 三重積分的性質(zhì)(1)線性性質(zhì),其中在上可積,為常數(shù)。(2)分域性質(zhì),其中在上可積,且無公共內(nèi)點。(3)若在上可積且,則有(4)估值公式設(shè)在有界閉區(qū)域上的連續(xù)函數(shù),其最大值為,最小值,則上式中表示閉區(qū)域的

5、體積。(5)中值定理設(shè)在有界連通閉區(qū)域上的連續(xù)函數(shù),則,使(六)三重積分的計算(1)在直角坐標系中的計算方法(a)先單后重法若先對積分,則將積分區(qū)域向平面投影,記投影區(qū)域為,可表示為,則類似可以先對y積分或先對x積分。(b)先重后單法將積分區(qū)域向子軸投影得,再用垂直于軸的平面去截積分區(qū)域,得,則有(2)在柱面坐標系中的算法設(shè)若,則(3)在球坐標系中的方法設(shè),若則一(七)三重積分的應(yīng)用(1)體積(2)物體的質(zhì)量若物體所占空間區(qū)域為,密度函數(shù)為,則質(zhì)量(3)質(zhì)心坐標(4)轉(zhuǎn)動慣量復習指導:第12章 重積分學習指導1 掌握二重積分的概念。2 會用聯(lián)立不等式表示平面區(qū)域。3 熟練掌握直角坐標系下二重積

6、分的計算。能按照積分區(qū)域的特征將二重積分轉(zhuǎn)化為二次積分,也能由二次積分的積分限確定二重積分的積分區(qū)域,并進一步變換二次積分的次序。4 會將直角坐標系中簡單曲線的方程改寫為極坐標系下的方程,會確定極坐標系中積分區(qū)域的參數(shù)變化范圍,會在極坐標系下計算簡單區(qū)域的二重積分。5 掌握二重積分的幾何意義,能用二重積分計算平面區(qū)域的面積和空間中簡單立體的體積。6 會用二重積分計算質(zhì)量、質(zhì)心、一階矩和轉(zhuǎn)動慣量等。7 掌握第一型曲面積分的概念,會確定曲面在坐標平面上的投影區(qū)域,會計算簡單曲面上的第一型曲面積分。8對三重積分可以理解為密度函數(shù)為的所占的區(qū)域為的物體的質(zhì)量。理解這一點對三重積分的許多性質(zhì)的理解有極大

7、的幫助。還應(yīng)將三重積分和以前各類積分比較,一方面可以加強理解,另一方面也使同學不易忘記和混淆。三重積分變密度三維空間立體的質(zhì)量定積分dx變密度一維直剛絲的質(zhì)量第一型曲線積分變密度彎曲剛絲的質(zhì)量二重積分變密度二維平面薄片的質(zhì)量第一型曲面積分變密度空間曲面薄片的質(zhì)量9對稱性 當積分區(qū)域關(guān)于面對稱時,若被積函數(shù)關(guān)于為偶函數(shù),即,則 其中為在面之上方的部分 若被積函數(shù)關(guān)于為奇函數(shù), ,即,則 當關(guān)于其他坐標面對稱時有類似結(jié)論。10各類坐標系的選擇(1)當積分區(qū)域是圓柱形或圓錐形區(qū)域,或在某坐標面上的投影是圓域,被積函數(shù)具有的形式,常采用柱坐標系。(2)當積分區(qū)域是與球相關(guān)的區(qū)域,而被積函數(shù)具有的形式時,常采用球坐標。(3)其他如平面或拋物面構(gòu)成的區(qū)域,可選用直角坐標系。9 / 9文檔可自由編輯打印

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