2020數(shù)學(xué)文高考二輪專(zhuān)題復(fù)習(xí)與測(cè)試:第二部分 專(zhuān)題五第3講 圓錐曲線(xiàn)中的熱點(diǎn)問(wèn)題 Word版含解析

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1、A 級(jí)級(jí)基礎(chǔ)通關(guān)基礎(chǔ)通關(guān)一、選擇題一、選擇題1 (2017全國(guó)卷全國(guó)卷改編改編)橢圓橢圓 C:x23y2m1 的焦點(diǎn)在的焦點(diǎn)在 x 軸上軸上, 點(diǎn)點(diǎn) A,B 是長(zhǎng)軸的兩端點(diǎn)是長(zhǎng)軸的兩端點(diǎn),若曲線(xiàn)若曲線(xiàn) C 上存在點(diǎn)上存在點(diǎn) M 滿(mǎn)足滿(mǎn)足AMB120,則實(shí)則實(shí)數(shù)數(shù)m 的取值范圍是的取值范圍是()A(3,)B1,3)C(0, 3)D(0,1解析:解析:依題意,當(dāng)依題意,當(dāng) 0m3 時(shí),焦點(diǎn)在時(shí),焦點(diǎn)在 x 軸上,軸上,要在曲線(xiàn)要在曲線(xiàn) C 上存在點(diǎn)上存在點(diǎn) M 滿(mǎn)足滿(mǎn)足AMB120,則則abtan 60,即,即3m 3,解得,解得 0m1.答案:答案:D2(2019全國(guó)卷全國(guó)卷)雙曲線(xiàn)雙曲線(xiàn) C:

2、x2a2y2b21(a0,b0)的一條漸近的一條漸近線(xiàn)的傾斜角為線(xiàn)的傾斜角為 130,則,則 C 的離心率為的離心率為()A2sin 40B2cos 40C.1sin 50D.1cos 50解析:解析:由題意可得由題意可得batan 130,所以所以 e1b2a2 1tan21301sin2130cos21301|cos 130|1cos 50.答案:答案:D3若點(diǎn)若點(diǎn) P 為拋物線(xiàn)為拋物線(xiàn) y2x2上的動(dòng)點(diǎn)上的動(dòng)點(diǎn),F(xiàn) 為拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)為拋物線(xiàn)的焦點(diǎn),則則|PF|的最小值為的最小值為()A2B.12C.14D.18解析:解析:根據(jù)題意,拋物線(xiàn)根據(jù)題意,拋物線(xiàn) y2x2上,設(shè)上,設(shè) P 到準(zhǔn)線(xiàn)的

3、距離為到準(zhǔn)線(xiàn)的距離為 d,則,則有有|PF|d, 拋物線(xiàn)的方程為拋物線(xiàn)的方程為 y2x2, 即即 x212y, 其準(zhǔn)線(xiàn)方程為其準(zhǔn)線(xiàn)方程為 y18,所以當(dāng)點(diǎn)所以當(dāng)點(diǎn) P 在拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)時(shí),在拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)時(shí),d 有最小值有最小值18,即,即|PF|min18.答案:答案:D4(2019天津卷天津卷)已知拋物線(xiàn)已知拋物線(xiàn) y24x 的焦點(diǎn)為的焦點(diǎn)為 F,準(zhǔn)線(xiàn)為,準(zhǔn)線(xiàn)為 l.若若 l 與與雙曲線(xiàn)雙曲線(xiàn)x2a2y2b21(a0,b0)的兩條漸近線(xiàn)分別交于點(diǎn)的兩條漸近線(xiàn)分別交于點(diǎn) A 和點(diǎn)和點(diǎn) B,且,且|AB|4|OF|(O 為原點(diǎn)為原點(diǎn)),則雙曲線(xiàn)的離心率為,則雙曲線(xiàn)的離心率為()A. 2B. 3C2

4、D. 5解析:解析:由已知易得,拋物線(xiàn)由已知易得,拋物線(xiàn) y24x 的焦點(diǎn)為的焦點(diǎn)為 F(1,0),準(zhǔn)線(xiàn),準(zhǔn)線(xiàn) l:x1,所以,所以|OF|1.又雙曲線(xiàn)的兩條漸近線(xiàn)的方程為又雙曲線(xiàn)的兩條漸近線(xiàn)的方程為 ybax,不妨設(shè)點(diǎn),不妨設(shè)點(diǎn) A1,ba ,B1,ba ,所以,所以|AB|2ba4|OF|4,所以,所以ba2,即,即 b2a,所,所以以b24a2.又因?yàn)橛忠驗(yàn)?c2a2b2,所以,所以 c25a2,所以,所以 eca 5.答案:答案:D5(2019安徽六安一中模擬安徽六安一中模擬)點(diǎn)點(diǎn) P 在橢圓在橢圓 C1:x24y231 上上,C1的的右焦點(diǎn)為右焦點(diǎn)為 F2,點(diǎn)點(diǎn) Q 在圓在圓 C2:

5、x2y26x8y210 上上,則則|PQ|PF2|的最小值為的最小值為()A4 24B44 2C62 5D2 56解析:解析:設(shè)橢圓的左焦點(diǎn)為設(shè)橢圓的左焦點(diǎn)為 F1(1,0)則則|PQ|PF2|PQ|(2a|PF1|)|PQ|PF1|4,故要求故要求|PQ|PF2|的最小值即求的最小值即求|PQ|PF1|的最小值的最小值又圓又圓 C2的半徑的半徑 r2,圓心,圓心 C2(3,4),所以所以(|PQ|PF1|)min|C2F1|r 22(4)222 52.故故|PQ|PF2|的最小值為的最小值為 2 56.答案:答案:D二、填空題二、填空題6已知點(diǎn)已知點(diǎn)(1,2)是雙曲線(xiàn)是雙曲線(xiàn)x2a2y2b2

6、1(a0,b0)上一點(diǎn),則雙曲上一點(diǎn),則雙曲線(xiàn)離心率的取值范圍是線(xiàn)離心率的取值范圍是_解析:解析:由已知得由已知得1a24b21,所以,所以b2a2b24,則則 e2ca21b2a25b2,故,故 e 5.答案:答案:( 5,)7 已知拋物線(xiàn)已知拋物線(xiàn) y24x, 過(guò)焦點(diǎn)過(guò)焦點(diǎn) F 的直線(xiàn)與拋物線(xiàn)交于的直線(xiàn)與拋物線(xiàn)交于 A, B 兩點(diǎn)兩點(diǎn),過(guò)過(guò) A,B 分別作分別作 x 軸軸,y 軸垂線(xiàn)軸垂線(xiàn),垂足分別為垂足分別為 C,D,則則|AC|BD|的最的最小值為小值為_(kāi)解析:解析:不妨設(shè)不妨設(shè) A(x1,y1)(y10),B(x2,y2)(y20)則則|AC|BD|x2y1y224y1.又又 y1y

7、2p24,所以所以|AC|BD|y2244y2(y20)設(shè)設(shè) g(x)x244x,g(x)x382x2,令令 g(x)0,得,得 x2,令令 g(x)0,得,得2x0.所以所以 g(x)在在(,2)上遞減,在上遞減,在(2,0)上遞增上遞增所以當(dāng)所以當(dāng) x2,即,即 y22 時(shí),時(shí),|AC|BD|取最小值為取最小值為 3.答案:答案:38(2019浙江卷浙江卷)已知橢圓已知橢圓x29y251 的左焦點(diǎn)為的左焦點(diǎn)為 F,點(diǎn),點(diǎn) P 在橢圓在橢圓上且在上且在 x 軸的上方若線(xiàn)段軸的上方若線(xiàn)段 PF 的中點(diǎn)在以原點(diǎn)的中點(diǎn)在以原點(diǎn) O 為圓心,為圓心,|OF|為半為半徑的圓上,則直線(xiàn)徑的圓上,則直線(xiàn)

8、PF 的斜率是的斜率是_解析:解析:如圖,左焦點(diǎn)如圖,左焦點(diǎn) F(2,0),右焦點(diǎn),右焦點(diǎn) F(2,0)線(xiàn)段線(xiàn)段 PF 的中點(diǎn)的中點(diǎn) M 在以在以 O(0,0)為圓心,為圓心,2 為半徑的圓上,因?yàn)榘霃降膱A上,因此此OM2.在在FFP 中,中,OM12PF,所以所以 PF4.根據(jù)橢圓的定義,得根據(jù)橢圓的定義,得 PFPF6,所以所以 PF2.又因?yàn)橛忠驗(yàn)?FF4,所以在所以在 RtMFF中,中,tan PFFMFMFFF2MF2MF 15,故直線(xiàn)故直線(xiàn) PF 的斜率是的斜率是 15.答案:答案: 15三、解答題三、解答題9已知曲線(xiàn)已知曲線(xiàn) C:y24x,曲線(xiàn),曲線(xiàn) M:(x1)2y24(x1)

9、,直線(xiàn),直線(xiàn) l與曲線(xiàn)與曲線(xiàn) C 交于交于 A,B 兩點(diǎn),兩點(diǎn),O 為坐標(biāo)原點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)(1)若若OAOB4,求證:直線(xiàn),求證:直線(xiàn) l 恒過(guò)定點(diǎn);恒過(guò)定點(diǎn);(2)若直線(xiàn)若直線(xiàn) l 與曲線(xiàn)與曲線(xiàn) M 相切相切, 求求PAPB(點(diǎn)點(diǎn) P 坐標(biāo)為坐標(biāo)為(1, 0)的最大值的最大值(1)證明:證明:設(shè)設(shè) l:xmyn,A(x1,y1),B(x2,y2)由由xmyn,y24x,得得 y24my4n0.所以所以 y1y24m,y1y24n.所以所以 x1x24m22n,x1x2n2.由由OAOB4,得得 x1x2y1y2n24n4,解得,解得 n2.所以直線(xiàn)所以直線(xiàn) l 方程為方程為 xmy2,所以直線(xiàn)

10、所以直線(xiàn) l 恒過(guò)定點(diǎn)恒過(guò)定點(diǎn)(2,0)(2)解:解:因?yàn)橹本€(xiàn)因?yàn)橹本€(xiàn) l 與曲線(xiàn)與曲線(xiàn) M:(x1)2y24(x1)相切,相切,所以所以|1n|1m22,且,且 n3,整理得整理得 4m2n22n3(n3)又點(diǎn)又點(diǎn) P 坐標(biāo)為坐標(biāo)為(1,0),所以由已知及,所以由已知及,得,得PAPB(x11,y1)(x21,y2)(x11)(x21)y1y2x1x2(x1x2)1y1y2n24m22n14nn24m26n144n.又又 y44n(n3)是減函數(shù),是減函數(shù),所以當(dāng)所以當(dāng) n3 時(shí),時(shí),y44n 取得最大值取得最大值8.故故PAPB的最大值為的最大值為8.10 (2019惠州調(diào)研惠州調(diào)研)已知

11、橢圓已知橢圓 C:y2a2x2b21(ab0)的離心率為的離心率為12,短軸長(zhǎng)為短軸長(zhǎng)為 2 3.(1)求橢圓求橢圓 C 的方程;的方程;(2)設(shè)過(guò)點(diǎn)設(shè)過(guò)點(diǎn) A(0,4)的直線(xiàn)的直線(xiàn) l 與橢圓與橢圓 C 交于交于 M、N 兩點(diǎn)兩點(diǎn),F(xiàn) 是橢圓是橢圓 C的上焦點(diǎn)問(wèn):是否存在直線(xiàn)的上焦點(diǎn)問(wèn):是否存在直線(xiàn) l,使得,使得 SMAFSMNF?若存在,求出?若存在,求出直線(xiàn)直線(xiàn) l 的方程;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由的方程;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由解:解:(1)由題意知由題意知ca12,b 3,且,且 a2b2c2,解之得解之得 a24,b23.所以橢圓所以橢圓 C 的方程為的方程為y24x231.(2)存在理

12、由如下:存在理由如下:由題意可知由題意可知 l 的斜率一定存在,的斜率一定存在,設(shè)設(shè) l 為為 ykx4,M(x1,y1),N(x2,y2),聯(lián)立聯(lián)立ykx4,y24x231,(3k24)x224kx360,所以所以(24k)2144(3k24)0, x1x224k3k24,x1x2363k24,由由 SMAFSMNF,知,知 M 為線(xiàn)段為線(xiàn)段 AN 的中點(diǎn),的中點(diǎn),所以所以 x22x1,將將代入代入得得 x18k3k24;代入代入得得 x21183k24.從而可得從而可得 k2365,且滿(mǎn)足,且滿(mǎn)足式,式,所以所以 k6 55.因此存在直線(xiàn)因此存在直線(xiàn) l 為為 6x 5y4 50 或或 6

13、x 5y4 50 滿(mǎn)足題滿(mǎn)足題意意B 級(jí)級(jí)能力提升能力提升11在平面直角坐標(biāo)系在平面直角坐標(biāo)系 xOy 中中,已知橢圓已知橢圓 C:x2a2y2b21(ab1)過(guò)點(diǎn)過(guò)點(diǎn) P(2,1),且離心率,且離心率 e32.(1)求橢圓求橢圓 C 的方程;的方程;(2)直線(xiàn)直線(xiàn) l 的斜率為的斜率為12,直線(xiàn),直線(xiàn) l 與橢圓與橢圓 C 交于交于 A,B 兩點(diǎn),求兩點(diǎn),求PAB面積的最大值面積的最大值解:解:(1)因?yàn)橐驗(yàn)?e2c2a2a2b2a234,所以,所以 a24b2.又又4a21b21,所以,所以 a28,b22.故所求橢圓故所求橢圓 C 的方程為的方程為x28y221.(2)設(shè)設(shè) l 的方程為

14、的方程為 y12xm,A(x1,y1),B(x2,y2),聯(lián)立聯(lián)立y12xm,x28y221,消去消去 y 得得 x22mx2m240,判別式判別式164m20,即,即 m24.又又 x1x22m,x1x22m24,則則|AB|114(x1x2)24x1x25(4m2),點(diǎn)點(diǎn) P 到直線(xiàn)到直線(xiàn) l 的距離的距離 d|m|1142|m|5.因此因此 SPAB12d|AB|122|m|5 5(4m2) m2(4m2)m2(4m2)22.當(dāng)且僅當(dāng)當(dāng)且僅當(dāng) m22 即即 m 2時(shí)上式等號(hào)成立,時(shí)上式等號(hào)成立,故故PAB 面積的最大值為面積的最大值為 2.12設(shè)橢圓設(shè)橢圓 M:x2a2y2b21(ab0

15、)的左、右焦點(diǎn)分別為的左、右焦點(diǎn)分別為 A(1,0),B(1,0),C 為橢圓為橢圓 M 上的點(diǎn),且上的點(diǎn),且ACB3,SABC33.(1)求橢圓求橢圓 M 的標(biāo)準(zhǔn)方程;的標(biāo)準(zhǔn)方程;(2)設(shè)過(guò)橢圓設(shè)過(guò)橢圓 M 右焦點(diǎn)且斜率為右焦點(diǎn)且斜率為 k 的動(dòng)直線(xiàn)與橢圓的動(dòng)直線(xiàn)與橢圓 M 相交于相交于 E, F兩點(diǎn),探究在兩點(diǎn),探究在 x 軸上是否存在定點(diǎn)軸上是否存在定點(diǎn) D,使得,使得DEDF為定值?若存在,為定值?若存在,試求出定值和點(diǎn)試求出定值和點(diǎn) D 的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由解解: (1)在在ABC 中中, 由余弦定理得由余弦定理得 AB2CA2CB22CACBco

16、sC(CACB)23CACB4.又又 SABC12CACBsin C34CACB33,所以所以 CACB43,代入上式得,代入上式得 CACB2 2,所以橢圓長(zhǎng)軸所以橢圓長(zhǎng)軸 2a2 2,焦距,焦距 2cAB2,所以,所以 b1.所以橢圓所以橢圓 M 的標(biāo)準(zhǔn)方程為的標(biāo)準(zhǔn)方程為x22y21.(2)設(shè)直線(xiàn)方程設(shè)直線(xiàn)方程 yk(x1),E(x1,y1),F(xiàn)(x2,y2),聯(lián)立聯(lián)立x22y21,yk(x1) ,消去消去 y 得得(12k2)x24k2x2k220,8k280,所以所以 x1x24k212k2,x1x22k2212k2.假設(shè)假設(shè) x 軸上存在定點(diǎn)軸上存在定點(diǎn) D(x0,0)使得使得DEDF為定值為定值所以所以DEDF(x1x0,y1)(x2x0,y2)x1x2x0(x1x2)x20y1y2x1x2x0(x1x2)x20k2(x11)(x21)(1k2)x1x2(x0k2)(x1x2)x20k2(2x204x01)k2(x202)12k2要使要使DEDF為定值,則為定值,則DEDF的值與的值與 k 無(wú)關(guān),無(wú)關(guān),所以所以 2x204x012(x202),解得,解得 x054,此時(shí)此時(shí)DEDF716為定值,定點(diǎn)為為定值,定點(diǎn)為54,0.

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