五年高考真題高考數(shù)學(xué) 復(fù)習(xí) 第五章 第二節(jié) 平面向量的數(shù)量積及其應(yīng)用 理全國(guó)通用

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1、第二節(jié)第二節(jié)平面向量的數(shù)量積及其應(yīng)用平面向量的數(shù)量積及其應(yīng)用考點(diǎn)一向量的數(shù)量積1(20 xx山東，4)已知菱形ABCD的邊長(zhǎng)為a，ABC60 ，則BDCD()A32a2B34a2C.34a2D.32a2解析如圖所示，由題意，得BCa，CDa，BCD120.BD2BC2CD22BCCDcos 120a2a22aa12 3a2，BD 3a.BDCD|BD|CD|cos 303a23232a2.答案D2(20 xx安徽，8)ABC是邊長(zhǎng)為 2 的等邊三角形，已知向量a a，b b滿足AB2a a，AC2a ab b，則下列結(jié)論正確的是()A|b b|1Ba ab bCa ab b1D(4a ab b

2、)BC解析由于ABC是邊長(zhǎng)為 2 的等邊三角形；(ABAC)(ABAC)0，即(ABAC)CB0，(4a ab b)CB，即(4a ab b)BC，故選 D.答案D3(20 xx四川，7)設(shè)四邊形ABCD為平行四邊形，|AB|6，|AD|4，若點(diǎn)M，N滿足BM3MC，DN2NC，則AMNM()A20B.15C9D6解析AMAB34AD，NMCMCN14AD13AB，AMNM14(4AB3AD)112(4AB3AD)148(16AB29AD2)148(1662942)9，選 C.答案C4(20 xx福建，9)已知ABAC，|AB|1t，|AC|t，若點(diǎn)P是ABC所在平面內(nèi)的一點(diǎn)，且APAB|AB

3、|4AC|AC|，則PBPC的最大值等于()A13B15C19D21解析建立如圖所示坐標(biāo)系，則B1t，0，C(0，t)，AB1t，0，AC(0，t)，APAB|AB|4AC|AC|t1t，04t(0，t)(1，4)，P(1，4)，PBPC1t1，4(1，t4)171t4t1721t4t13，故選 A.答案A5 (20 xx新課標(biāo)全國(guó)， 3)設(shè)向量a a，b b滿足|a ab b| 10， |a ab b| 6， 則a ab b()A1B2C3D5解析由向量的數(shù)量積運(yùn)算可知，|a ab b| 10，(a ab b)210，a a2b b22a ab b10，同理a a2b b22a ab b6，

4、得 4a ab b4，a ab b1.答案A6(20 xx大綱全國(guó)，4)若向量a a、b b滿足：|a a|1，(a ab b)a a，(2a ab b)b b，則|b b|()A2B. 2C1D.22解析由題意得（a ab b）a aa a2a ab b0，（2a ab b）b b2a ab bb b202a a2b b20，即2|a a|2|b b|20，又|a a|1，|b b| 2.故選 B.答案B7(20 xx北京，10)已知向量a a，b b滿足|a a|1，b b(2，1)，且a ab b0(R R)，則|_.解析|a a|1，可令a a(cos，sin)，a ab b0，cos

5、20，sin10，即cos2，sin1，由 sin2cos21 得25，得| 5.答案58(20 xx江西，14)已知單位向量e e1與e e2的夾角為，且 cos13，向量a a3e e12e e2與b b3e e1e e2的夾角為，則 cos_.解析因?yàn)閍 a2(3e e12e e2)29232cos49，所以|a a|3，b b2(3e e1e e2)29231cos18，所以|b b|2 2，a ab b(3e e12e e2)(3e e1e e2)9e e219e e1e e22e e2299111328，所以 cosa ab b|a a|b b|832 22 23.答案2 239(

6、20 xx山東，15)已知向量AB與AC的夾角為 120，且|AB|3，|AC|2，若APABAC，且APBC，則實(shí)數(shù)的值為_解析APABAC，APBC，又BCACAB，(ACAB)(ACAB)0.AC2ABACABACAB20，即 4(1)3212 90，即 7120，712.答案71210(20 xx北京，13)已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為 1，點(diǎn)E是AB邊上的動(dòng)點(diǎn)，則DECB的值為_；DEDC的最大值為_解析如圖建立直角坐標(biāo)系，則D(0，0)，A(0，1)，B(1，1)，C(1，0)設(shè)E(x，1)，那么DE(x，1)，CB(0，1)，DECB1.DC(1，0)，DEDCx.正方形的邊長(zhǎng)為

7、1，x的最大值為 1，故DEDC的最大值為 1.答案11考點(diǎn)二平面向量的長(zhǎng)度與角度問題1(20 xx重慶，6)若非零向量a a，b b滿足|a a|2 23|b b|，且(a ab b)(3a a2b b)，則a a與b b的夾角為()A.4B.2C.34D解析由題意(a ab b)(3a a2b b)3a a2 2a ab b2b b20，即 3|a a|2|a a|b b|cos2|b b|20，所以 32 2322 23cos20，cos22，4，選 A.答案A2(20 xx陜西，7)對(duì)任意向量a a，b b，下列關(guān)系式中不恒成立的是()A|a ab b|a a|b b|B|a ab b

8、|a a|b b|C(a ab b)2|a ab b|2D(a ab b)(a ab b)a a2b b2解析對(duì)于 A，由|a ab b|a a|b b|cos |a a|b b|恒成立；對(duì)于 B，當(dāng)a a，b b均為非零向量且方向相反時(shí)不成立；對(duì)于 C、D 容易判斷恒成立故選 B.答案B3.(20 xx天津，8)已知菱形ABCD的邊長(zhǎng)為 2，BAD120，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在邊BC，DC上，BEBC，DFDC.若AEAF1，CECF23，則()A.12B.23C.56D.712解析如圖所示， 以菱形ABCD的兩條對(duì)角線所在直線為坐標(biāo)軸，建立平面直角坐標(biāo)系xOy，不妨設(shè)A(0，1)，B( 3，0)，

9、C(0，1)，D( 3，0)，由題意得CE(1)CB( 3 3，1)，CF(1)CD( 3 3，1)因?yàn)镃ECF23，所以 3(1)(1)(1)(1)23，即(1)(1)13.因?yàn)锳EACCE( 3 3，1)AFACCF( 3 3，1)，又AEAF1，所以(1)(1)2.由（1） （1）13，（1） （1）2，整理得56.選 C.答案C4(20 xx遼寧，10)若a a，b b，c c均為單位向量，且a ab b0，(a ac c)(b bc c)0，則|a ab bc c|的最大值為()A. 21B1C. 2D2解析設(shè)a a(1，0)，b b(0，1)，c c(x，y)，則x2y21，a a

10、c c(1x，y)，b bc c(x，1y)，則(a ac c)(b bc c)(1x)(x)(y)(1y)x2y2xy1xy0，即xy1.又a ab bc c(1x，1y)，|a ab bc c| （1x）2（1y）2 （x1）2（y1）2|a ab bc c| （x1）2（y1）2x2y22x2y2 32（xy） 32（xy），由xy1，|a ab bc c| 321，最大值為 1.答案B5(20 xx天津，14)在等腰梯形ABCD中，已知ABDC，AB2，BC1，ABC60，動(dòng)點(diǎn)E和F分別在線段BC和DC上，且BEBC，DF19DC，則|AE|AF|的最小值為_解析在梯形ABCD中，AB

11、2，BC1，ABC60，可得DC1，AEABBC，AFAD19DC，AEAF(ABBC)(AD19DC)ABADAB19DCBCADBC19DC21cos 602191cos 6019cos 1202921718229217182918，當(dāng)且僅當(dāng)292，即23時(shí)，取得最小值為2918.答案29186(20 xx湖北，11)設(shè)向量a a(3，3)，b b(1，1)若(a ab b)(a ab b)，則實(shí)數(shù)_.解析(a ab b)(a ab b)(a ab b)(a ab b)a a22b b20182203.答案37(20 xx江蘇，12)如圖，在平行四邊形ABCD中，已知AB8，AD5，CP3

12、PD，APBP2，則ABAD的值是_解析因?yàn)锳PADDPAD14AB，BPBCCPAD34AB，所以APBP(AD14AB)(AD34AB)|AD|2316|AB|212ADAB2，將AB8，AD5 代入解得ABAD22.答案228(20 xx浙江，17)設(shè)e e1 1，e e2 2為單位向量，非零向量b bxe e1ye e2，x，yR R.若e e1 1，e e2 2的夾角為6，則|x|b b|的最大值等于_解析|b b|2(xe e1 1ye e2)2x2y22xye e1 1e e2 2x2y2 3xy.|x|b b|x|x2y2 3xy，當(dāng)x0 時(shí)，|x|b b|0；當(dāng)x0 時(shí)，|x

13、|b b|1yx23yx11yx322142.答案29(20 xx新課標(biāo)全國(guó)，13)已知兩個(gè)單位向量a a，b b的夾角為 60，c cta a(1t)b b.若b bc c0，則t_.解析b bc c0，b bta a(1t)b b0，ta ab b(1t)b b20，又|a|a|b|b|1 1，a a，b b60，12t1t0，t2.答案210(20 xx新課標(biāo)全國(guó)，13)已知向量a a，b b夾角為 45，且|a a|1，|2a ab b| 10，則|b b|_.解析|2a ab b| 10(2a ab b)2104|b b|24|b b|cos 4510|b b|32或|b b| 2(

14、舍去)答案3 2考點(diǎn)三數(shù)量積的綜合應(yīng)用1(20 xx浙江，7)設(shè)ABC，P0是邊AB上一定點(diǎn)，滿足P0B14AB，且對(duì)于邊AB上任一點(diǎn)P，恒有PBPCP0BP0C，則()AABC90BBAC90CABACDACBC解析設(shè)AB4，以AB所在直線為x軸，線段AB的中垂線為y軸，則A(2，0)，B(2，0)，則P0(1，0)，設(shè)C(a，b)，P(x，0)，PB(2x，0)，PC(ax，b)，P0B(1，0)，P0C(a1，b)，則PBPCP0BP0C(2x)(ax)a1 恒成立，即x2(2a)xa10 恒成立，(2a)24(a1)a20 恒成立，a0，即點(diǎn)C在線段AB的中垂線上，ACBC，選 D.答

15、案D2(20 xx廣東，8)對(duì)任意兩個(gè)非零的平面向量和，定義 .若平面向量a a，b b滿足|a|a|b|b|0，a a與b b的夾角0，4 ， 且a ab b和b ba a都在集合n2|nZ Z中，則a ab b()A.12B1C.32D.52解析由定義知a ab ba ab bb bb b|a|b|a|b|cos|b b|2|a|a|b|b|cos.b ba ab ba aa aa a|b|a|b|a|cos|a a|2|b b|a a|cos.a ab b，b ba an2|nZ Z.設(shè)a ab bm2，b ba an2(m，nZ Z)則|a a|b b|cosm2，|b|b|a|a|c

16、osn2，兩式相乘，得 cos2mn4.又0，4 ，cos22，1，cos212，1，mn4cos2(2，4)又m，nZ Z，m0，n0，mn，m3，n1，abm232.答案C3(20 xx浙江，15)已知e e1，e e2是空間單位向量，e e1e e212，若空間向量b b滿足b be e12，b be e252，且對(duì)于任意x，yR R，|b b(xe e1yeye2)|b b(x0e e1y0e e2)|1(x0，y0R R)，則x0_，y0_，|b b|_.解析e e1e e2|e e1|e e2|cose e1，e e212，e e1，e e23.不妨設(shè)e e112，32，0，e e

17、2(1，0，0)，b b(m，n，t)由題意知b be e112m32n2，b be e2m52，解得n32，m52，b b52，32，t.b b(xe e1ye e2)5212xy，3232x，t，|b b(xe e1ye e2)|252x2y23232x2t2x2xyy24x5yt27xy42234(y2)2t2.由題意知，當(dāng)xx01，yy02 時(shí)，xy42234(y2)2t2取到最小值此時(shí)t21，故|b b|522322t22 2.答案122 24(20 xx廣東，16)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知向量m m22，22 ，n n(sinx，cosx)，x0，2 .(1)若m mn n，求 tanx的值(2)若m m與n n的夾角為3，求x的值解(1)因?yàn)閙 m22，22 ，n n(sinx，cosx)，m mn n.所以m mn n0，即22sinx22cosx0，所以 sinxcosx，所以 tanx1.(2)因?yàn)閨m m|n n|1，所以m mn ncos312，即22sinx22cosx12，所以 sinx4 12，因?yàn)?0 x2，所以4x44，所以x46，即x512.