高考數(shù)學復習:第八章 :第六節(jié)雙曲線演練知能檢測

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1、 第六節(jié)雙 曲 線 全盤鞏固1已知雙曲線C:1的焦距為10,點P(2,1)在C的漸近線上,則C的方程為()來源:A.1 B.1C.1 D.1解析:選A因為雙曲線的焦距為10,所以c5.又因為P(2,1)在漸近線上,且漸近線方程為yx,所以1,即a2b.又因為c2a2b25b225,所以b25,a220.即雙曲線方程為1.2(2013·福建高考)雙曲線x2y21的頂點到其漸近線的距離等于()A. B. C1 D.解析:選B雙曲線x2y21的頂點為(1,0),(1,0),漸近線方程為xy0和xy0,由對稱性不妨求點(1,0)到直線xy0的距離,其距離為.3已知雙曲線1的右焦點為(3,0)

2、,則該雙曲線的離心率等于()A. B. C. D.解析:選C因為雙曲線1的右焦點為(3,0),所以c3,又b25,所以a2c2b2954.即a2.所以雙曲線的離心率e.來源:4(2014·惠州模擬)已知雙曲線1與直線y2x有交點,則雙曲線離心率的取值范圍為()A(1,) B(1,C(,) D,)解析:選C雙曲線的一條漸近線方程為yx,則由題意得>2.來源:e >.5已知雙曲線1(b>0)的左,右焦點分別是F1,F(xiàn)2,其一條漸近線方程為yx,點P(,y0)在雙曲線上則·()A12 B2 C0 D4解析:選C由漸近線方程為yx知雙曲線是等軸雙曲線,不妨設雙曲線

3、方程是x2y22,于是F1,F(xiàn)2坐標分別是(2,0)和(2,0),且P(,1)或P(,1)由雙曲線的對稱性,不妨取P(,1),則(2,1),(2,1)所以·(2,1)·(2,1)(2)·(2)10.6(2014·杭州模擬)設F1,F(xiàn)2分別是雙曲線C:1(a0,b0)的左、右焦點,以F1F2為直徑的圓與雙曲線C在第二象限的交點為P,若雙曲線C的離心率為5,則cosPF2F1()A.B.C.D.解析:選C據(jù)題意可知PF1PF2,設|PF1|n,|PF2|m,又由雙曲線定義知mn2a;由勾股定理得m2n24c2;又由離心率e5,三式聯(lián)立解得m8a,故cosPF

4、2F1.7(2013·江蘇高考)雙曲線1的兩條漸近線的方程為_解析:因為雙曲線1的兩條漸近線方程為0,化簡得y±x.答案:y±x8(2013·陜西高考)雙曲線1的離心率為,則m等于_解析:依題意知m>0,則e211,解得m9.答案:99(2014·麗水模擬)已知雙曲線x2y21,點F1,F(xiàn)2為其兩個焦點,點P為雙曲線上一點,若PF1PF2,則|PF1|PF2|的值為_解析:不妨設點P在雙曲線的右支上且F1,F(xiàn)2分別為左、右焦點,因為PF1PF2,所以(2)2|PF1|2|PF2|2,又因為|PF1|PF2|2,所以(|PF1|PF2|)2

5、4,可得2|PF1|·|PF2|4,則(|PF1|PF2|)2|PF1|2|PF2|22|PF1|·|PF2|12,所以|PF1|PF2|2.答案:210已知雙曲線的中心在原點,焦點F1,F(xiàn)2在坐標軸上,離心率為,且過點(4,)(1)求雙曲線的方程;(2)若點M(3,m)在雙曲線上,求證:·0;(3)求F1MF2的面積解:(1)e,可設雙曲線方程為x2y2(0)過點P(4,),1610,即6.雙曲線方程為x2y26.(2)證明:由(1)可知,雙曲線中ab,c2,F(xiàn)1(2,0),F(xiàn)2(2,0),kMF1,kMF2,kMF1·kMF2.點M(3,m)在雙曲線

6、上,9m26,m23.故kMF1·kMF21,MF1MF2.·0.(3)F1MF2的底|F1F2|4,F(xiàn)1MF2的邊F1F2上的高h|m|,SF1MF2·|F1F2|·|m|6.11(2014·湛江模擬)已知雙曲線1(a>0,b>0)的右焦點為F(c,0)(1)若雙曲線的一條漸近線方程為yx且c2,求雙曲線的方程;(2)以原點O為圓心,c為半徑作圓,該圓與雙曲線在第一象限的交點為A,過A作圓的切線,斜率為,求雙曲線的離心率解:(1)雙曲線的漸近線為y±x,ab,c2a2b22a24,a2b22,雙曲線方程為1.(2)設點A

7、的坐標為(x0,y0),直線AO的斜率滿足·()1,x0y0,依題意,圓的方程為x2y2c2,來源:數(shù)理化網(wǎng)將代入圓的方程得3yyc2,即y0c,x0c,點A的坐標為,來源:代入雙曲線方程得1,即b2c2a2c2a2b2,又a2b2c2,將b2c2a2代入式,整理得c42a2c2a40,348240,(3e22)(e22)0,e>1,e,雙曲線的離心率為.12設雙曲線1的兩個焦點分別為F1,F(xiàn)2,離心率為2.(1)求此雙曲線的漸近線l1,l2的方程;(2)若A,B分別為l1,l2上的點,且2|AB|5|F1F2|,求線段AB的中點M的軌跡方程,并說明軌跡是什么曲線解:(1)e2

8、,c24a2.c2a23,a1,c2.雙曲線方程為y21,漸近線方程為y±x.(2)設A(x1,y1),B(x2,y2),AB的中點M(x,y)2|AB|5|F1F2|,|AB|F1F2|×2c10.10.又y1x1,y2x2,2xx1x2,2yy1y2,y1y2(x1x2),y1y2(x1x2), 10,3(2y)2(2x)2100,即1.則M的軌跡是中心在原點,焦點在x軸上,長軸長為10,短軸長為的橢圓沖擊名校1已知P是雙曲線1(a>0,b>0)上的點,F(xiàn)1,F(xiàn)2是其焦點,雙曲線的離心率是,且·0,若PF1F2的面積為9,則ab的值為()A5 B6

9、 C7 D8解析:選C由·0,得,設|m,|n,不妨設m>n,則m2n24c2,mn2a,mn9,解得b3,ab7.2過雙曲線1(a>0,b>0)的右頂點A作斜率為1的直線,該直線與雙曲線的兩條漸近線的交點分別為B,C,若A,B,C三點的橫坐標成等比數(shù)列,則雙曲線的離心率為()A. B. C. D.解析:選C由題知A點坐標為(a,0),過A且斜率為1的直線方程為yxa,由得C,由得B.A,B,C三點橫坐標成等比數(shù)列,即b3a,e .高頻滾動已知直線xky30所經(jīng)過的定點F恰好是橢圓C的一個焦點,且橢圓C上的點到點F的最大距離為8.(1)求橢圓C的標準方程;(2)已知

10、圓O:x2y21,直線l:mxny1,試證:當點P(m,n)在橢圓C上運動時,直線l與圓O恒相交,并求直線l被圓O所截得的弦長L的取值范圍解:(1)直線xky30經(jīng)過定點F(3,0),即點F(3,0)是橢圓C的一個焦點設橢圓C的方程為1(a>b>0),因為橢圓C上的點到點F的最大距離為8,所以a38,即a5.所以b2523216.所以橢圓C的方程為1.(2)因為點P(m,n)在橢圓C上,所以1,即n216(0m225)所以原點到直線l:mxny1的距離d<1.所以直線l:mxny1與圓O:x2y21恒相交L24(r2d2)4.因為0m225,所以L.即直線l被圓O所截得的弦長L的取值范圍為.

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