高考數(shù)學(xué)理一輪資源庫(kù)第十章 第3講拋物線

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1、 精品資料第3講 拋物線一、填空題1拋物線yax2的準(zhǔn)線方程是y2，則a_.解析拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2y，由條件得2，a.答案2直線yx3與拋物線y24x交于A、B兩點(diǎn)，過(guò)A、B兩點(diǎn)向拋物線的準(zhǔn)線作垂線，垂足分別為P、Q，則梯形APQB的面積為_(kāi)解析 由題不妨設(shè)A在第一象限，聯(lián)立yx3和y24x可得A(9,6)，B(1，2)，而拋物線的準(zhǔn)線方程是x1，所以AP10，QB2，PQ8，故S梯形APQB(APQB)·PQ48.答案 483直線4kx4yk0與拋物線y2x交于A、B兩點(diǎn)，若|AB|4，則弦AB的中點(diǎn)到直線x0的距離等于_解析 直線4kx4yk0，即yk(x)，即直線4kx4y

2、k0過(guò)拋物線y2x的焦點(diǎn).設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則|AB|x1x24，故x1x2，則弦AB的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)是，所以弦AB的中點(diǎn)到直線x0的距離是.答案 4已知拋物線y22px(p>0)，過(guò)點(diǎn)E(m,0)(m0)的直線交拋物線于點(diǎn)M、N，交y軸于點(diǎn)P，若，則_.解析 由題意知，為定值，因此可以取E，此時(shí)將直線MN化為特殊直線yx，此時(shí)點(diǎn)P，設(shè)點(diǎn)M(x1，y1)、N(x2，y2)，則由得x23px0，所以x1x23p，x1x2.由，得x1，x2，則，所以1.答案 15已知拋物線C：y24x的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線為l，過(guò)拋物線C上的點(diǎn)A作準(zhǔn)線l的垂線，垂足為M，若AMF與AOF(其中O

3、為坐標(biāo)原點(diǎn))的面積之比為31，則點(diǎn)A的坐標(biāo)為_(kāi)解析 如圖所示，由題意，可得OF1，由拋物線的定義，得AFAM，來(lái)源:AMF與AOF(其中O為坐標(biāo)原點(diǎn))的面積之比為31，3，AFAM3，設(shè)A，13，解得y0±2.2，點(diǎn)A的坐標(biāo)是(2，±2)答案 (2，±2)6設(shè)F為拋物線y24x的焦點(diǎn)，A，B，C為該拋物線上三點(diǎn)，若0，則|_.解析 設(shè)A(x1，y1)、B(x2，y2)、C(x3，y3)，又F(1,0)由0知(x11)(x21)(x31)0，即x1x2x33，|x1x2x3p6.答案 6來(lái)源:數(shù)理化網(wǎng)7設(shè)拋物線y22px(p>0)的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線為l，點(diǎn)A(0

4、,2)，連接FA交拋物線于點(diǎn)B，過(guò)B作l的垂線，垂足為M，若AMMF，則p的值為_(kāi)解析 由拋物線定義可知BMBF，又由平面幾何知識(shí)得BMBA，所以點(diǎn)B為AF的中點(diǎn)，又B在拋物線上，所以122p×，即p22，又p>0，故p.答案 8. 如圖，過(guò)拋物線y22px(p>0)的焦點(diǎn)F的直線l交拋物線于點(diǎn)A、B，交其準(zhǔn)線于點(diǎn)C，若|BC|2|BF|，且|AF|3，則此拋物線的方程為_(kāi)解析作AM，BN垂直于準(zhǔn)線，準(zhǔn)線與x軸交點(diǎn)為E，設(shè)|BF|t，則|BC|2t.則可得，即，解得t1.又，即，P.拋物線方程為y23x.答案y23x9已知拋物線y22px(p0)的焦點(diǎn)為F，F(xiàn)關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)

5、稱(chēng)點(diǎn)為P，過(guò)F作x軸的垂線交拋物線于M、N兩點(diǎn)，有下列四個(gè)命題：PMN必為直角三角形；PMN不一定為直角三角形；直線PM必與拋物線相切；直線PM不一定與拋物線相切其中正確的命題是_(填序號(hào))解析因?yàn)镻FMFNF，故FPMFMP，F(xiàn)PNFNP，從而可知MPN90°，故正確，錯(cuò)誤：令直線PM的方程為yx，代入拋物線方程可得y22pyp20，0，所以直線PM與拋物線相切，故正確，錯(cuò)誤答案10已知拋物線y28x的焦點(diǎn)為F，拋物線的準(zhǔn)線與x軸的交點(diǎn)為K，點(diǎn)A在拋物線上且AKAF，則AFK的面積為_(kāi)解析如圖，過(guò)點(diǎn)A作ABl于點(diǎn)B(l為準(zhǔn)線)，則由拋物線的定義，得ABAF.因?yàn)锳KAF，所以AKA

6、B，所以AKFAKB45°，設(shè)A(2t2,4t)，由K(2,0)，得1，得t1，所以SAKF×4×48.答案8二、解答題11如圖，已知中心在原點(diǎn)O、焦點(diǎn)在x軸上的橢圓T過(guò)點(diǎn)M(2,1)，離心率為；拋物線C頂點(diǎn)在原點(diǎn)，對(duì)稱(chēng)軸為x軸且過(guò)點(diǎn)M.(1)當(dāng)直線l0經(jīng)過(guò)橢圓T的左焦點(diǎn)且平行于OM時(shí)，求直線l0的方程；(2)若斜率為的直線l不過(guò)點(diǎn)M，與拋物線C交于A、B兩個(gè)不同的點(diǎn)，求證：直線MA，MB與x軸總圍成等腰三角形解(1)由e，可設(shè)橢圓T方程為1，將M(2,1)代入可得b22，橢圓T的方程為1.因此左焦點(diǎn)為(，0)，斜率kl0kOM，直線l0的方程為y(x)，即yx.

7、(2)拋物線C的方程為y2x.設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，直線MA，MB的斜率分別為k1，k2，則k1，k2，kAB，y1y22.k1k20，直線MA，MB與x軸總圍成等腰三角形12. 如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，焦點(diǎn)為F(1,0)，過(guò)拋物線在x軸上方的不同兩點(diǎn)A、B作拋物線的切線AC、BD，與x軸分別交于C、D兩點(diǎn)，且AC與BD交于點(diǎn)M，直線AD與BC交于點(diǎn)N.(1)求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)求證：MNx軸；(3)若直線MN與x軸的交點(diǎn)恰為F(1,0)，求證：直線AB過(guò)定點(diǎn)解(1)設(shè)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為y22px(p>0)，由題意，得1，即p2.拋物線的

8、標(biāo)準(zhǔn)方程為y24x.(2)設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，且y1>0，y2>0.由y24x(y>0)，得y2，y.切線AC的方程為yy1(xx1)，即yy1(xx1)整理，得yy12(xx1)，且C點(diǎn)坐標(biāo)為(x1,0)同理得切線BD的方程為yy22(xx2)，且D點(diǎn)坐標(biāo)為(x2,0)由消去y，得xM.又直線AD的方程為y(xx2)，直線BC的方程為y(xx1)由消去y，得xN.xMxN，即MNx軸(3)由題意，設(shè)M(1，y0)，代入(2)中的，得y0y12(1x1)，y0y22(1x2)，A(x1，y1)，B(x2，y2)都滿足方程y0y2(1x)直線AB的方程為y0y

9、2(1x)故直線AB過(guò)定點(diǎn)(1,0).13設(shè)M、N為拋物線C：yx2上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)M、N分別作拋物線C的切線l1、l2，與x軸分別交于A、B兩點(diǎn)，且l1與l2相交于點(diǎn)P，若AB1.(1)求點(diǎn)P的軌跡方程；(2)求證：MNP的面積為一個(gè)定值，并求出這個(gè)定值解 (1)設(shè)M(m，m2)，N(n，n2)，則依題意知，切線l1，l2的方程分別為y2mxm2，y2xn2，則A，B，設(shè)P(x，y)，由，得，因?yàn)锳B1，所以|nm|2，即(mn)24mn4，將代入上式得：yx21，點(diǎn)P的軌跡方程為yx21.(2)證明：設(shè)直線MN的方程為ykxb(b>0)聯(lián)立方程，消去y得x2kxb0，所以mnk，mn

10、b，點(diǎn)P到直線MN的距離來(lái)源:d，MN|mn|，SMNPd·MN·|mn|·(mn)2·|mn|2.即MNP的面積為定值2.14拋物線y24x的焦點(diǎn)為F，A(x1，y1)，B(x2，y2)(x1>x2，y1>0，y2<0)在拋物線上，且存在實(shí)數(shù)，使0，|.(1)求直線AB的方程；(2)求AOB的外接圓的方程解 (1)拋物線y24x的準(zhǔn)線方程為x1.0，A，B，F(xiàn)三點(diǎn)共線由拋物線的定義，得|x1x22.設(shè)直線AB：yk(x1)，而k，x1>x2，y1>0，y2<0，k>0.由得k2x22(k22)xk20.|x1x222.k2.從而k，故直線AB的方程為y(x1)，即4x3y40.(2)由求得A(4,4)，B.設(shè)AOB的外接圓方程為x2y2DxEyF0，則解得故AOB的外接圓的方程為x2y2xy0.