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1、第十章 圓錐曲線第一節(jié) 橢圓及其性質(zhì)題型115 橢圓的定義與標(biāo)準(zhǔn)方程2013年1（2013廣東文9）已知中心在原點的橢圓的右焦點為，離心率等于，則的方程是A B C D2014年1.（2014大綱文9）已知橢圓C：的左、右焦點為，離心率為，過的直線交C于A，B兩點，若的周長為，則C的方程為（ ）.A B C D2.（2014遼寧文15）已知橢圓：，點與的焦點不重合，若關(guān)于的焦點的對稱點分別為，線段的中點在上，則 .3.（2014遼寧文20）如圖所示，圓的切線與軸正半軸，軸正半軸圍成一個三角形，當(dāng)該三角形面積最小時，切點為.（1）求點的坐標(biāo)；（2）焦點在軸上的橢圓過點，且與直線交于，兩點，若的面
2、積為，求的標(biāo)準(zhǔn)方程.4.（2014天津文18）設(shè)橢圓的左、右焦點分別為，右頂點為，上頂點為.已知.（1）求橢圓的離心率；（2）設(shè)為橢圓上異于其頂點的一點，以線段為直徑的圓經(jīng)過點，經(jīng)過點的直線與該圓相切于點，.求橢圓的方程.5. （2014新課標(biāo)文20） 設(shè)分別是橢圓C：的左、右焦點，是上一點且與軸垂直.直線與的另一個交點為.（1）若直線的斜率為，求的離心率；（2）若直線在軸上的截距為，且，求.2015年1.（2015廣東文8）已知橢圓（）的左焦點為，則（ ）.ABCD1.解析 由左焦點為，可得. 由，即，得.又，所以.故選B.評注 本題考查橢圓的簡單幾何性質(zhì)2016年1.（2016山東文21（
3、1）已知橢圓的長軸長為，焦距為，求橢圓的方程. 1. 解析 設(shè)橢圓的半焦距為，由題意知，所以，所以橢圓的方程為.2.（2016四川文20（1）已知橢圓：的一個焦點與短軸的兩個端點是正三角形的三個頂點，點在橢圓上，求橢圓的方程.2. 解析 由已知得，又橢圓過點，故，解得所以橢圓的方程是3.（2016天津文19（1）設(shè)橢圓（）的右焦點為，右頂點為，已知，其中 為原點，為橢圓的離心率，求橢圓的方程.3.解析 （1）由，即，可得.又，所以，因此，所以橢圓的方程為2017年1.（2017全國1文12）設(shè)，是橢圓長軸的兩個端點，若上存在點滿足，則的取值范圍是（ ）.A. B. C. D.1.解析 因為在上
4、存在點，滿足，所以.當(dāng)點位于短軸端點時，取得最大值. 當(dāng)時，如圖1所示，有，則，所以，解得； 圖1 圖2 當(dāng)時，如圖2示，有，則，所以，解得.綜上可得，的取值范圍是.故選A.評注：先研究“橢圓，是長軸兩端點，位于短軸端點時，最大”這一結(jié)論. 圖3如圖3所示，因為，所以.設(shè)，因為（中點弦的一個結(jié)論），所以（當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立，此時位于短軸端點處）.2.（2017山東卷文21）在平面直角坐標(biāo)系中，橢圓的離心率為，橢圓截直線所得線段的長度為.（1）求橢圓的方程；（2）動直線交橢圓于，兩點，交軸于點.點是點關(guān)于的對稱點，圓的半徑為. 設(shè)為的中點，與圓分別相切于點，求的最小值.2.解析 （1） 由橢
5、圓的離心率為 ，得，又當(dāng)時，得，所以，.因此橢圓方程為.(2) 設(shè)，聯(lián)立方程 ，得，由，得 .且，因此，所以，又，所以，因為，所以.令，故.所以.令 ，所以.當(dāng) 時，從而在上單調(diào)遞增.因此，等號當(dāng)且僅當(dāng)時成立，此時，所以 ，.設(shè)，則 ，所以的最小值為.從而的最小值為，此時直線的斜率為.綜上所述，當(dāng)，時，取得最小值為.題型116 橢圓離心率的值及取值范圍2013年1. （2013四川文9）從橢圓上一點向軸做垂線，垂足恰為左焦點，是橢圓與軸正半軸的交點，是橢圓與軸正半軸的交點，且（是坐標(biāo)原點），則該橢圓的離心率是（ ）.A. B. C. D. 2.（2013江蘇12）在平面直角坐標(biāo)系中，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)
6、方程為，右焦點為，右準(zhǔn)線為，短軸的一個端點為，設(shè)原點到直線的距離為，到的距離為，若，則橢圓的離心率為 .2. (2013福建文15）橢圓的左、右焦點分別為 若直線 與橢圓的一個交點滿足則該橢圓的離心率等于 .3.（2014北京文19）已知橢圓C：.（1）求橢圓C的離心率；（2）設(shè)O為原點，若點A在直線上，點B在橢圓C上，且，求線段AB長度的最小值.F1F2OxyBCA4.（2014江蘇17）如圖所示，在平面直角坐標(biāo)系中，分別是橢圓的左、右焦點，頂點的坐標(biāo)為，連接并延長交橢圓于點，過點作軸的垂線交橢圓于另一點，連接（1）若點的坐標(biāo)為，且，求橢圓的方程；（2）若，求橢圓離心率的值2014年1.（2
7、014江西文14）設(shè)橢圓的左、右焦點為，過作軸的垂線與相交于兩點，與軸相交于點，若，則橢圓的離心率等于 .2. （2014安徽文21）設(shè)，分別是橢圓：的左、右焦點，過點的直線交橢圓于兩點，.（1）若的周長為16，求；（2）若，求橢圓的離心率.2015年1.（2015福建文11）已知橢圓：的右焦點為短軸的一個端點為，直線交橢圓于兩點若，點到直線的距離不小于，則橢圓的離心率的取值范圍是（ ）.ABCD1. 解析 設(shè)左焦點為，連接，則四邊形是平行四邊形，故，所以，所以.設(shè)，則，故.所以，所以橢圓的離心率的取值范圍為.故選A.評注 1. 橢圓的定義和簡單幾何性質(zhì)；2. 點到直線距離公式2.（2015浙
8、江文15）橢圓（）的右焦點關(guān)于直線的對稱點在橢圓上，則橢圓的離心率是 2. 解析 解法一:設(shè)，則，所以，又，所以 ，所以，所以，不妨取，所以中點，代入，得，化簡得或，所以.解法二:取左焦點，則：，所以原點到的距離.又到的距離，由題意知，所以，所以.3.（2015重慶文21）如圖所示，橢圓的左、右焦點分別為，過的直線交橢圓于，兩點，且.（1）若，求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.（2）若，且，試確定橢圓離心率的取值范圍.3. 解析 （1）由橢圓的定義，故.設(shè)橢圓的半焦距為，由已知，因此，即，從而. 故所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（2）由，得.由橢圓的定義，進(jìn)而.于是，解得，故.由勾股定理得，從而，兩邊除以，得.若記，
9、則上式變?yōu)?由，并注意到關(guān)于的單調(diào)性，得，即.進(jìn)而，即.2016年1.（2016全國乙文5）直線經(jīng)過橢圓的一個頂點和一個焦點，若橢圓中心到的距離為其短軸長的，則該橢圓的離心率為（ ）.A. B. C. D.1. B 解析 由等面積法可得，故，從而.故選B.2.（2016江蘇10）如圖所示，在平面直角坐標(biāo)系中，是橢圓的右焦點，直線與橢圓交于兩點，且，則該橢圓的離心率是 .2. 解析 由題意得，直線與橢圓方程聯(lián)立，可得，.由，可得，則，由，可得，則.2017年1.（2017全國3文11）已知橢圓的左、右頂點分別為，且以線段為直徑的圓與直線相切，則的離心率為（ ）.A BCD1.解析 因為直線與圓相
10、切，即，整理得.令，則有，.故選A.評注 本題考查直線與圓的位置關(guān)系，點到直線的距離公式，以及圓錐曲線的離心率公式和圓的方程，考查的知識點比較多，但總的難度不大，屬于跨板塊的綜合類問題，基礎(chǔ)中偏上的學(xué)生一般都能搞定.2.（2017浙江卷2）橢圓的離心率是（ ）.A. B. C. D. 2.解析 由橢圓方程可得，所以，所以，.故選B題型117 橢圓的焦點三角形2014年1.（2014重慶文21）如圖所示，設(shè)橢圓的左、右焦點分別為，點在橢圓上，的面積為.（1） 求該橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2） 是否存在圓心在軸上的圓，使圓在軸的上方與橢圓有兩個交點，且圓在這兩個交點處的兩條切線相互垂直并分別過不同的焦點？若存在，求出圓的方程，若不存在，請說明理由.歡迎訪問“高中試卷網(wǎng)”http:/sj.fjjy.org
第十章第1節(jié) 橢圓及其性質(zhì)
