第十章第1節(jié) 橢圓及其性質(zhì)

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1、第十章 圓錐曲線第一節(jié) 橢圓及其性質(zhì)題型115 橢圓的定義與標(biāo)準(zhǔn)方程2013年1(2013廣東文9)已知中心在原點的橢圓的右焦點為,離心率等于,則的方程是A B C D2014年1.(2014大綱文9)已知橢圓C:的左、右焦點為,離心率為,過的直線交C于A,B兩點,若的周長為,則C的方程為( ).A B C D2.(2014遼寧文15)已知橢圓:,點與的焦點不重合,若關(guān)于的焦點的對稱點分別為,線段的中點在上,則 .3.(2014遼寧文20)如圖所示,圓的切線與軸正半軸,軸正半軸圍成一個三角形,當(dāng)該三角形面積最小時,切點為.(1)求點的坐標(biāo);(2)焦點在軸上的橢圓過點,且與直線交于,兩點,若的面

2、積為,求的標(biāo)準(zhǔn)方程.4.(2014天津文18)設(shè)橢圓的左、右焦點分別為,右頂點為,上頂點為.已知.(1)求橢圓的離心率;(2)設(shè)為橢圓上異于其頂點的一點,以線段為直徑的圓經(jīng)過點,經(jīng)過點的直線與該圓相切于點,.求橢圓的方程.5. (2014新課標(biāo)文20) 設(shè)分別是橢圓C:的左、右焦點,是上一點且與軸垂直.直線與的另一個交點為.(1)若直線的斜率為,求的離心率;(2)若直線在軸上的截距為,且,求.2015年1.(2015廣東文8)已知橢圓()的左焦點為,則( ).ABCD1.解析 由左焦點為,可得. 由,即,得.又,所以.故選B.評注 本題考查橢圓的簡單幾何性質(zhì)2016年1.(2016山東文21(

3、1)已知橢圓的長軸長為,焦距為,求橢圓的方程. 1. 解析 設(shè)橢圓的半焦距為,由題意知,所以,所以橢圓的方程為.2.(2016四川文20(1)已知橢圓:的一個焦點與短軸的兩個端點是正三角形的三個頂點,點在橢圓上,求橢圓的方程.2. 解析 由已知得,又橢圓過點,故,解得所以橢圓的方程是3.(2016天津文19(1)設(shè)橢圓()的右焦點為,右頂點為,已知,其中 為原點,為橢圓的離心率,求橢圓的方程.3.解析 (1)由,即,可得.又,所以,因此,所以橢圓的方程為2017年1.(2017全國1文12)設(shè),是橢圓長軸的兩個端點,若上存在點滿足,則的取值范圍是( ).A. B. C. D.1.解析 因為在上

4、存在點,滿足,所以.當(dāng)點位于短軸端點時,取得最大值. 當(dāng)時,如圖1所示,有,則,所以,解得; 圖1 圖2 當(dāng)時,如圖2示,有,則,所以,解得.綜上可得,的取值范圍是.故選A.評注:先研究“橢圓,是長軸兩端點,位于短軸端點時,最大”這一結(jié)論. 圖3如圖3所示,因為,所以.設(shè),因為(中點弦的一個結(jié)論),所以(當(dāng)且僅當(dāng),即時等號成立,此時位于短軸端點處).2.(2017山東卷文21)在平面直角坐標(biāo)系中,橢圓的離心率為,橢圓截直線所得線段的長度為.(1)求橢圓的方程;(2)動直線交橢圓于,兩點,交軸于點.點是點關(guān)于的對稱點,圓的半徑為. 設(shè)為的中點,與圓分別相切于點,求的最小值.2.解析 (1) 由橢

5、圓的離心率為 ,得,又當(dāng)時,得,所以,.因此橢圓方程為.(2) 設(shè),聯(lián)立方程 ,得,由,得 .且,因此,所以,又,所以,因為,所以.令,故.所以.令 ,所以.當(dāng) 時,從而在上單調(diào)遞增.因此,等號當(dāng)且僅當(dāng)時成立,此時,所以 ,.設(shè),則 ,所以的最小值為.從而的最小值為,此時直線的斜率為.綜上所述,當(dāng),時,取得最小值為.題型116 橢圓離心率的值及取值范圍2013年1. (2013四川文9)從橢圓上一點向軸做垂線,垂足恰為左焦點,是橢圓與軸正半軸的交點,是橢圓與軸正半軸的交點,且(是坐標(biāo)原點),則該橢圓的離心率是( ).A. B. C. D. 2.(2013江蘇12)在平面直角坐標(biāo)系中,橢圓的標(biāo)準(zhǔn)

6、方程為,右焦點為,右準(zhǔn)線為,短軸的一個端點為,設(shè)原點到直線的距離為,到的距離為,若,則橢圓的離心率為 .2. (2013福建文15)橢圓的左、右焦點分別為 若直線 與橢圓的一個交點滿足則該橢圓的離心率等于 .3.(2014北京文19)已知橢圓C:.(1)求橢圓C的離心率;(2)設(shè)O為原點,若點A在直線上,點B在橢圓C上,且,求線段AB長度的最小值.F1F2OxyBCA4.(2014江蘇17)如圖所示,在平面直角坐標(biāo)系中,分別是橢圓的左、右焦點,頂點的坐標(biāo)為,連接并延長交橢圓于點,過點作軸的垂線交橢圓于另一點,連接(1)若點的坐標(biāo)為,且,求橢圓的方程;(2)若,求橢圓離心率的值2014年1.(2

7、014江西文14)設(shè)橢圓的左、右焦點為,過作軸的垂線與相交于兩點,與軸相交于點,若,則橢圓的離心率等于 .2. (2014安徽文21)設(shè),分別是橢圓:的左、右焦點,過點的直線交橢圓于兩點,.(1)若的周長為16,求;(2)若,求橢圓的離心率.2015年1.(2015福建文11)已知橢圓:的右焦點為短軸的一個端點為,直線交橢圓于兩點若,點到直線的距離不小于,則橢圓的離心率的取值范圍是( ).ABCD1. 解析 設(shè)左焦點為,連接,則四邊形是平行四邊形,故,所以,所以.設(shè),則,故.所以,所以橢圓的離心率的取值范圍為.故選A.評注 1. 橢圓的定義和簡單幾何性質(zhì);2. 點到直線距離公式2.(2015浙

8、江文15)橢圓()的右焦點關(guān)于直線的對稱點在橢圓上,則橢圓的離心率是 2. 解析 解法一:設(shè),則,所以,又,所以 ,所以,所以,不妨取,所以中點,代入,得,化簡得或,所以.解法二:取左焦點,則:,所以原點到的距離.又到的距離,由題意知,所以,所以.3.(2015重慶文21)如圖所示,橢圓的左、右焦點分別為,過的直線交橢圓于,兩點,且.(1)若,求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.(2)若,且,試確定橢圓離心率的取值范圍.3. 解析 (1)由橢圓的定義,故.設(shè)橢圓的半焦距為,由已知,因此,即,從而. 故所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.(2)由,得.由橢圓的定義,進(jìn)而.于是,解得,故.由勾股定理得,從而,兩邊除以,得.若記,

9、則上式變?yōu)?由,并注意到關(guān)于的單調(diào)性,得,即.進(jìn)而,即.2016年1.(2016全國乙文5)直線經(jīng)過橢圓的一個頂點和一個焦點,若橢圓中心到的距離為其短軸長的,則該橢圓的離心率為( ).A. B. C. D.1. B 解析 由等面積法可得,故,從而.故選B.2.(2016江蘇10)如圖所示,在平面直角坐標(biāo)系中,是橢圓的右焦點,直線與橢圓交于兩點,且,則該橢圓的離心率是 .2. 解析 由題意得,直線與橢圓方程聯(lián)立,可得,.由,可得,則,由,可得,則.2017年1.(2017全國3文11)已知橢圓的左、右頂點分別為,且以線段為直徑的圓與直線相切,則的離心率為( ).A BCD1.解析 因為直線與圓相

10、切,即,整理得.令,則有,.故選A.評注 本題考查直線與圓的位置關(guān)系,點到直線的距離公式,以及圓錐曲線的離心率公式和圓的方程,考查的知識點比較多,但總的難度不大,屬于跨板塊的綜合類問題,基礎(chǔ)中偏上的學(xué)生一般都能搞定.2.(2017浙江卷2)橢圓的離心率是( ).A. B. C. D. 2.解析 由橢圓方程可得,所以,所以,.故選B題型117 橢圓的焦點三角形2014年1.(2014重慶文21)如圖所示,設(shè)橢圓的左、右焦點分別為,點在橢圓上,的面積為.(1) 求該橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;(2) 是否存在圓心在軸上的圓,使圓在軸的上方與橢圓有兩個交點,且圓在這兩個交點處的兩條切線相互垂直并分別過不同的焦點?若存在,求出圓的方程,若不存在,請說明理由.歡迎訪問“高中試卷網(wǎng)”http:/sj.fjjy.org

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