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1、專題升級訓練 數(shù)形結合思想 (時間:60分鐘滿分:100分)一、選擇題(本大題共6小題,每小題6分,共36分)1.若實數(shù)x,y滿足等式(x-2)2+y2=3,那么的最大值為() A.B.C.D.2.設x,y滿足約束條件若z=的最小值為,則a的值為()A.1B.3C.4D.123.已知直線l1:4x-3y+6=0和直線l2:x=-1,拋物線y2=4x上一動點P到直線l1和直線l2的距離之和的最小值是()A.2B.3C.D.4.已知函數(shù)f(x)=x3-x2-x,則f(-a2)與f(4)的大小關系為()A.f(-a2)f(4)來源:B.f(-a2)f(4)C.f(-a2)f(4)D.f(-a2)與f
2、(4)的大小關系不確定5.設ab0)的焦距為2c,以點O為圓心,a為半徑作圓M.若過點P作圓M的兩條切線互相垂直,則該橢圓的離心率為.9.函數(shù)f()=的最大值為.三、解答題(本大題共3小題,共46分.解答應寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟)10.(本小題滿分15分)已知關于x的方程(m+3)x2-4mx+2m-1=0的兩根異號,且負根的絕對值比正根大,求實數(shù)m的取值范圍.11.(本小題滿分15分)已知A(1,1)為橢圓=1內(nèi)一點,F1為橢圓左焦點,P為橢圓上一動點,求|PF1|+|PA|的最大值和最小值.來源:12.(本小題滿分16分)已知平面向量a=,b=,且存在實數(shù)x,y,使得m=a
3、+(x2-3)b,n=-ya+xb且mn.(1)求y=f(x)的關系式;(2)已知kR,討論關于x的方程f(x)-k=0的實根個數(shù).#一、選擇題(本大題共6小題,每小題6分,共36分)1.D解析:設k=,即y=kx,如圖所示,kOB=tanOOB=,kOA=-tanOOA=-=-,且kOAkkOB,來源:kmax=.2.A解析:=1+,而表示點(x,y)與(-1,-1)連線的斜率,易知a0,作出可行域如圖所示,由題知的最小值是,即a=1,來源:選A.3.A解析:記拋物線y2=4x的焦點為F,則F(1,0),注意到直線l2:x=-1是拋物線y2=4x的準線,于是拋物線y2=4x上的動點P到直線l
4、2的距離等于|PF|,問題即轉(zhuǎn)化為求拋物線y2=4x上的動點P到直線l1:4x-3y+6=0的距離與它到焦點F(1,0)的距離之和的最小值,結合圖形,可知,該最小值等于焦點F(1,0)到直線l1:4x-3y+6=0的距離,即等于=2,故選A.4.A解析:f(x)=x3-x2-x,f(x)=x2-2x-.由f(x)=(3x-7)(x+1)=0得x=-1或x=.當x-1時,f(x)為增函數(shù);當-1x時,f(x)為增函數(shù),計算可得f(-1)=f(4)=2,f(0)=0,又-a20,由圖象可知f(-a2)f(4).5.C解析:由ab,y=(x-a)2(x-b)知x(-,a)a(a,b)b(b,+)y-
5、0-0+故選C.6.B解析:由約束條件作出其可行域如圖所示:由圖可知當直線x=m經(jīng)過函數(shù)y=2x的圖象與直線x+y-3=0的交點P時取得最大值,即得2x=3-x,即x=1=m.二、填空題(本大題共3小題,每小題6分,共18分)7.(-,-31,+)解析:數(shù)形結合法.由kPA=-3,kPB=1,如圖得直線l的斜率k的取值范圍是(-,-31,+).8.解析:設切點為A,B,如圖所示,切線PA,PB互相垂直,又半徑OA垂直于AP,所以OPA為等腰直角三角形.可得a=,所以e=.9.1解析:可以與兩點連線的斜率聯(lián)系起來,它實際上是點P(cos ,sin )與點A(-,0)連線的斜率,而點P(cos ,
6、sin )在單位圓上移動,問題變?yōu)?求單位圓上的點與A(-,0)連線斜率的最大值.如圖,顯然,當P點移動到B點(此時,AB與圓相切)時,AP的斜率最大,最大值為tanBAO=1.三、解答題(本大題共3小題,共46分.解答應寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟)10.解:法一:設方程(m+3)x2-4mx+2m-1=0的兩根分別為x1,x2,由題意知由解得-3m0.即實數(shù)m的取值范圍是m|-3m0.解法二:設f(x)=(m+3)x2-4mx+2m-1.由題意知解得-3m0.即實數(shù)m的取值范圍為m|-3m0.11.解:由=1可知a=3,b=,c=2,左焦點F1(-2,0),右焦點F2(2,0).
7、由橢圓定義,|PF1|=2a-|PF2|=6-|PF2|,|PF1|+|PA|=6-|PF2|+|PA|=6+|PA|-|PF2|.如圖,由|PA|-|PF2|AF2|=,知-|PA|-|PF2|.當P在AF2的延長線上的P2處時,取右“=”;當P在AF2的反向延長線的P1處時,取左“=”,即|PA|-|PF2|的最大、最小值分別為,-.于是|PF1|+|PA|的最大值是6+,最小值是6-.12.解:(1)ab=0,|a|=,|b|=1.因為mn,所以mn=0,即a+(x2-3)b(-ya+xb)=0,化簡整理得y=x3-x,即f(x)=x3-x.(2)方程f(x)-k=0實根個數(shù)由兩函數(shù)y=f(x),y=k的圖象交點個數(shù)確定.由f(x)=x2-1=(x-1)(x+1)知:f(x)在(-,-1)及(1,+)上為增函數(shù),在(-1,1)上為減函數(shù),極大值f(-1)=,極小值f(1)=-.作y=f(x)和y=k的圖象如圖,知當k時,兩圖象有一個交點,原方程有一個實根;當k=時,原方程有兩個實根;當-k時,原方程有三個實根.
專題九 第2講 數(shù)形結合思想
