【學(xué)霸優(yōu)課】數(shù)學(xué)理一輪對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練:82 空間點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系 Word版含解析

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1、1若空間中n個(gè)不同的點(diǎn)兩兩距離都相等,則正整數(shù)n的取值()A至多等于3 B至多等于4C等于5 D大于5答案B解析首先我們知道正三角形的三個(gè)頂點(diǎn)滿足兩兩距離相等,于是可以排除C、D.又注意到正四面體的四個(gè)頂點(diǎn)也滿足兩兩距離相等,于是排除A,故選B.2若l,m是兩條不同的直線,m垂直于平面,則“l(fā)m”是“l(fā)”的()A充分而不必要條件B必要而不充分條件C充分必要條件D既不充分也不必要條件答案B解析由“m且lm”推出“l(fā)或l”,但由“m且l”可推出“l(fā)m”,所以“l(fā)m”是“l(fā)”的必要而不充分條件,故選B.3.已知m,n表示兩條不同直線,表示平面下列說法正確的是()A若m,n,則mnB若m,n,則mnC

2、若m,mn,則nD若m,mn,則n答案B解析A選項(xiàng)m、n也可以相交或異面,C選項(xiàng)也可以n,D選項(xiàng)也可以n或n與斜交根據(jù)線面垂直的性質(zhì)可知選B.4直三棱柱ABCA1B1C1中,BCA90,M,N分別是A1B1,A1C1的中點(diǎn),BCCACC1,則BM與AN所成角的余弦值為()A. B.C. D.答案C解析解法一:取BC的中點(diǎn)Q,連接QN,AQ,易知BMQN,則ANQ即為所求,設(shè)BCCACC12,則AQ,AN,QN,cosANQ,故選C.解法二:如圖,以點(diǎn)C1為坐標(biāo)原點(diǎn),C1B1,C1A1,C1C所在的直線分別為x軸,y軸,z軸,建立空間直角坐標(biāo)系,不妨設(shè)BCCACC11,可知點(diǎn)A(0,1,1),N

3、,B(1,0,1),M.,.cos,.根據(jù)與的夾角及AN與BM所成角的關(guān)系可知,BM與AN所成角的余弦值為.5如圖,在三棱錐ABCD中,ABACBDCD3,ADBC2,點(diǎn)M,N分別為AD,BC的中點(diǎn),則異面直線AN,CM所成的角的余弦值是_答案解析如下圖所示,連接ND,取ND的中點(diǎn)E,連接ME,CE,則MEAN, 則異面直線AN,CM所成的角即為EMC.由題可知CN1,AN2,ME.又CM2,DN2,NE,CE,則cosCME.6. 如圖,四邊形ABCD和ADPQ均為正方形,它們所在的平面互相垂直,動(dòng)點(diǎn)M在線段PQ上,E,F(xiàn)分別為AB,BC的中點(diǎn)設(shè)異面直線EM與AF所成的角為,則cos的最大值

4、為_答案解析取BF的中點(diǎn)N,連接MN,EN,則ENAF,所以直線EN與EM所成的角就是異面直線EM與AF所成的角在EMN中,當(dāng)點(diǎn)M與點(diǎn)P重合時(shí),EMAF,所以當(dāng)點(diǎn)M逐漸趨近于點(diǎn)Q時(shí),直線EN與EM的夾角越來越小,此時(shí)cos越來越大故當(dāng)點(diǎn)M與點(diǎn)Q重合時(shí),cos取最大值設(shè)正方形的邊長為4,連接EQ,NQ,在EQN中,由余弦定理,得cosQEN,所以cos的最大值為.7如圖,四邊形ABCD為菱形,ABC120,E,F(xiàn)是平面ABCD同一側(cè)的兩點(diǎn),BE平面ABCD,DF平面ABCD,BE2DF,AEEC.(1)證明:平面AEC平面AFC;(2)求直線AE與直線CF所成角的余弦值解(1)證明:連接BD,設(shè)

5、BDACG,連接EG,F(xiàn)G,EF.在菱形ABCD中,不妨設(shè)GB1.由ABC120,可得AGGC.由BE平面ABCD,ABBC,可知AEEC.又AEEC,所以EG,且EGAC.在RtEBG中,可得BE,故DF.在RtFDG中,可得FG.在直角梯形BDFE中,由BD2,BE,DF,可得EF.從而EG2FG2EF2,所以EGFG.又ACFGG,可得EG平面AFC.因?yàn)镋G平面AEC,所以平面AEC平面AFC.(2)如圖,以G為坐標(biāo)原點(diǎn),分別以,的方向?yàn)閤軸,y軸正方向,|為單位長,建立空間直角坐標(biāo)系Gxyz.由(1)可得A(0,0),E(1,0,),F(xiàn),C(0,0),所以(1,),.故cos,.所以

6、直線AE與直線CF所成角的余弦值為.8如下圖,三角形PDC所在的平面與長方形ABCD所在的平面垂直,PDPC4,AB6,BC3.點(diǎn)E是CD邊的中點(diǎn),點(diǎn)F,G分別在線段AB,BC上,且AF2FB,CG2GB.(1)證明:PEFG;(2)求二面角PADC的正切值;(3)求直線PA與直線FG所成角的余弦值解(1)證明:由PDPC4知,PDC是等腰三角形,而E是底邊CD的中點(diǎn),故PECD.又平面PDC平面ABCD,平面PDC平面ABCDCD,故PE平面ABCD,又FG平面ABCD,故PEFG.(2)平面PDC平面ABCD,平面PDC平面ABCDCD,ADCD,AD平面PDC,而PD平面PDC,故ADPD,故PDC為二面角PADC的平面角在RtPDE中,PE,tanPDC,故二面角PADC的正切值是.(3)連接AC.由AF2FB,CG2GB知,F(xiàn),G分別是AB,BC且靠近點(diǎn)B的三等分點(diǎn),從而FGAC,PAC為直線PA與直線FG所成的角在RtADP中,AP5.在RtADC中,AC3.在PAC中,由余弦定理知,cosPAC,故直線PA與直線FG所成角的余弦值是.

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